浙教版（2024）数学七年级下册 1.5 平行线的性质（2） 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2019·石景山模拟）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
2．（2024七下·田阳月考） 如图， 已知 ， 则 等于 ( )
A． B． C． D．
3．（2024七下·乐平期中）如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·武平期末）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
6．（2024七下·玉州期末）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2的度数为 .
7．（2024七下·慈溪期末） 如图， ，若 ，则 =
8．（2024七下·惠州期末）如图，直线，一块含有角的直角三角尺顶点位于直线上，平分，则的度数为
二、能力提升
9．如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（ ）
A．42° B．43° C．44° D．45°
10．（2023七下·昭平期末）将一副三角板按如图的方式放置，则下列结论：①；②若，则有；③若，则有；④若，则必有，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
11．（2024八上·乐昌期中）如图，BE平分∠ABC，DE∥BC，如果∠2=22°，那么∠ADE= ．
12．已知：如图，∠AGB=∠EHF，∠C=∠D.
求证：∠A=∠F.
证明：∵∠AGB=∠EHF( )，∠AGB= ▲ (对顶角相等)，
∴∠EHF=∠DGF，
∴DB∥EC( )，
∴∠C=∠DBA(两直线平行，同位角相等).
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠DBA=∠D，
∴DF∥AC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠A=∠F( ).
13．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠F，∠4=∠5.求证：AB∥CD.
14．（2024七下·岳阳期中）如图，D，E，F，G分别是三角形边上的点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
三、拓展创新
15．（2024七下·云梦期末）如图，已知，，分别在直线，上，是直线，外一点，平分，平分，的反向延长线交于点，若，试用表示为 ．
16．（2024七下·金湾期末）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1） 如图1 所示， 已知AB∥CD， 点E为AB， CD之间一点， 连接BE， DE， 得到∠BED， 若∠B=20°， ∠D=30°， 则∠BED的度数为 ；
（2）【类比迁移】如图2所示， 已知AB∥CD，点E为AB， CD之间一点，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点 F， 若∠E=α， 请用含α的式子表示∠F；
（3）【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3 所示，已知AB∥CD， 点E的位置移到AB上方，点F在EB延长线上， ∠ABF与. 的平分线相交于点 G，请猜想∠G与∠E之间的数量关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠GEF，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠2，
∴∠2＝∠GEF，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠2+∠GEF＝180°，
∴∠2＝ （180°﹣70°）＝55°．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的定义可得∠BEG＝∠GEF，根据平行线的性质可得∠BEG＝∠2，从而可得∠2＝∠GEF.根据平行线的性质可得∠1+∠2+∠GEF＝180°，据此即可求出结论.
2．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”即可解答.
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠BEF=140°，
∵平分，
∴∠BEG=70°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠BEG=70°。
故答案为：A。
【分析】首先根据邻补角定义得出∠BEF=140°，再根据角平分线的定义求得∠BEG=70°，然后根据平行线的性质，即可得出∠2的度数。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同旁内角，
∴由AB∥CD，可以得到∠1+∠2=180°，故此选项错误，不符合题意；
B、∠1的对顶角与∠2由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同位角，
∴由AB平行CD，可以得到∠1的对顶角与∠2相等，再根据对顶角相等可得∠1=∠2，故此选项正确，符合题意；
C、∠1与∠2由直线AC与BD被第三条直线AD所截的一组内错角，
∴由AB平行CD，不能得到∠1与∠2相等，故此选项错误，不符合题意；
D、∠1与∠2由直线AC与CD被第三条直线CD所截的一组同旁内角，
∴由AB平行CD，不能得到∠1与∠2相等，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据两条平行线被第三条直线所截，所截的同位角相等，内错角相等，即可一 一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：过点EH∥AB
∴∠BEH=∠α=15°
∵β=45°
∴∠FEH=180°-45°-15°= 120°
∵AB∥FG
∴FG∥EH
∴∠FEH+∠EFG=180°
∴∠EFG=180°-∠FEH=180°-120°=60°
故答案为：A.
【分析】先根据EH∥AB，得出：∠BEH=∠α=15°，再计算∠FEH=180°-45°-15°= 120°，再根据FG∥EH，得到：∠FEH+∠EFG=180°，从而计算∠EFG的度数.
6．【答案】100°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意可得如图所示，
∵，，
∴，
由题意可知，，
，
故答案：．
【分析】先由邻补角求出∠3的度数，再由平行线的性质求∠2的度数．
7．【答案】28°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠ADC，
∵∠A+∠ADF=208°，
∴∠ADC+∠ADF=208°，
∴∠CDF=360°-208°=152°，
∵CD∥EF，
∴∠CDF+∠F=180°，
∴∠F=180°-152°=28°，
故答案为：28°.
【分析】根据平行线的性质得∠A=∠ADC，从而有∠ADC+∠ADF=208°，进而利用周角的定义求出∠CDF=152°，接下来根据平行线的性质得∠CDF+∠F=180°，从而求出∠F的度数.
8．【答案】60
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】∠GEF=30°，EG平分∠CEF，得∠CEF=2∠GEF=60°，由AB||CD得∠1=∠CEF=60°
答案：60
【分析】由角平分线的定义得∠CEF的值，由AB||CD即可得∠1的度数.
9．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点C作CNAB，过点E作EMAB，如图所示：
∵FDAB，CNAB，EMAB，
∴ABCNEMFD
∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．
∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC
∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，46°＝∠FDE+2∠BAC②．
①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，
∴∠BAC+∠FDE＝34°③．
①﹣③，得∠FDE＝22°．
∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．
故答案为：C
【分析】过点C作CNAB，过点E作EMAB，先根据平行公理及其推论得到ABCNEMFD，进而根据平行线的性质得到∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB，相加得到∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC，从而根据角平分线的定义得到∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC，再结合题意进行角的运算即可求解。
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；余角
【解析】【解答】解：①，，
∴，
∴原结论正确；
②，∠1+∠2=90°，
，
，
∴AC∥DE；
∴原结论正确；
③，∠3+∠2=90°，
，
，
∴；
∴原结论正确；
④，
∴AC∥DE，
，
∵∠CAF=90°，
，
，
．
∴原结论正确．
∴正确的结论有：①②③④.
故答案为：D.
【分析】①根据同角的余角相等可求解；
②由角的构成求出∠1的度数，根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可求解；
③由角的构成求出∠3的度数，根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可求解；
④根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可得：AC∥DE，由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”可求得∠EFA的度数，然后由角的构成求出∠2的度数，结合已知可求解.
11．【答案】44°
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠CBE=∠2=22°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠1=2∠CBE=44°，∠ADE=44°．
故答案为：44°．
【分析】本题考查平行线的概念，角平分线的定义.根据DE∥BC，利用平行线的性质两直线平行，内错角相等可推出∠ADE=∠ABC，∠CBE=∠2=22°，再利用角平分线的定义可得：∠ABC=2∠1=2∠CBE，代入数据进行计算可求出答案.
12．【答案】证明：∵∠AGB=∠EHF(已知)，∠AGB=∠DGF(对顶角相等)，
∴∠EHF=∠DGF，
∴DB∥EC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠C=∠DBA(两直线平行，同位角相等).
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠DBA=∠D，
∴DF∥AC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠A=∠F(两直线平行，内错角相等).
【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】∠AGB=∠EHF是题意告诉我们的，写已知，根据“对顶角的相等”，写出∠AGB的对顶角，根据∠EHF=∠DGF，这同位角相等，得到DB∥EC，理由为“同位角相等，两直线平行”，根据两直线平行，得到∠A=∠F，这两个角为内错角，故理由为“两直线平行，内错角相等”.
13．【答案】证明：∵∠4=∠5，
∴BD∥FC，
∴∠3=∠DEC，
∵∠3=∠F，
∴∠DEC=∠F，
∴BF∥DE，
∴∠FBD+∠3=180°，
∴∠1+∠5+∠3=180°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠5+∠3=180°，
∵∠BDC=∠2+∠3，
∴∠5+∠BDC=180°，
∴AB∥CD．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的判定得BD∥FC，从而由平行线的性质得∠3=∠DEC，进而得∠DEC=∠F，然后根据平行线的判定得BF∥DE，于是有∠1+∠5+∠3=180°，等量代换后得∠5+∠BDC=180°，即可得证结论.
14．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
又，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据直线直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
又，
，
，
，
．
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点P作MN∥AB，过点G∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥XY∥CD，
∴∠NPE=180°-∠PEB，∠NPF=∠PFC，∠BEH=∠YGE，∠CFG=∠FGY
∵平分，平分，
∴∠PEB=2∠BEH，∠PFC=2∠CFG，
∴∠P=∠NPF-∠NPE=∠PFC-（180°-∠PEB）=∠PFC+∠PEB-180°=2∠CFG+2∠BEH-180°=2（∠BEH+∠CFG）-180°=2（∠FGY+∠YGE）-180°=2α-180°。
故答案为：2α-180°.
【分析】 过点P作MN∥AB，过点G作XY∥AB ，即可得出MN∥AB∥XY∥CD，然后根据平行线的性质可得出∠P=∠NPF-∠NPE=∠PFC+∠PEB-180°，再根据角平分线的定义得出∠P=2∠CFG+2∠BEH-180°，再等量代换为2（∠FGY+∠YGE）-180°=2α-180°。
16．【答案】（1）50°
（2）解：如图2， 作EG∥AB， FH∥AB，
：AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH ∥CD，
∴∠ABF=∠BFH， ∠CDF=∠DFH，
∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°
∵∠E=a
∴
∵∠ABE和∠CDE的角平分线相交于F，
；
（3）解：
理由如下： 如图3， 过E作EM ∥AB ， 过G作GN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM ∥GN∥CD，
∴∠MEF=∠ABF，∠CDE=180°-∠DEM
由(2) 知∠BGD=∠ABG+∠CDG，
∵BG平分∠ABF与∠CDE的平分线DG相交于点G，
∴∠BED=∠MEF-∠MED=∠ABF-(180°-∠CDE)=∠ABF+∠CDE-180°=2∠BGD-180°，即
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】
（1）解：如图：过点 E作EF∥AB
∵AB∥CD
∴∠B=∠BEF=20°
∴EF∥CD
∴∠D=∠DEF=30°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=20°+30°=50°
故答案为50°.
【分析】
（1）先过点E作EF∥AB，得出：EF∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出：∠B=∠BEF=20°，∠D=∠DEF=30°，再根据∠BED=∠BEF+∠DEF求出 ∠BED的度数 即可
（2）分别 作EG∥AB， FH∥AB，根据两直线平行，同旁内角相等，得出：∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，推出：，再根据角平分线的定义，得出：，再根据（1）得出的结论，得出：
（3）过E作EM ∥AB ， 过G作GN∥AB，根据两直线平行，同位角相等和同旁内角互补，得出：∠MEF=∠ABF，∠CDE=180°-∠DEM，再根据（2）所得：∠BGD=∠ABG+∠CDG，和角平分线定义得出：而∠BED=∠MEF-∠MED，再根据等量代换，得出：∠BED=2∠BGD-180°，从而得出： ∠G与∠E之间的数量关系 .
1 / 1浙教版（2024）数学七年级下册 1.5 平行线的性质（2） 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2019·石景山模拟）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠GEF，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠2，
∴∠2＝∠GEF，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠2+∠GEF＝180°，
∴∠2＝ （180°﹣70°）＝55°．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的定义可得∠BEG＝∠GEF，根据平行线的性质可得∠BEG＝∠2，从而可得∠2＝∠GEF.根据平行线的性质可得∠1+∠2+∠GEF＝180°，据此即可求出结论.
2．（2024七下·田阳月考） 如图， 已知 ， 则 等于 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”即可解答.
3．（2024七下·乐平期中）如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠BEF=140°，
∵平分，
∴∠BEG=70°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠BEG=70°。
故答案为：A。
【分析】首先根据邻补角定义得出∠BEF=140°，再根据角平分线的定义求得∠BEG=70°，然后根据平行线的性质，即可得出∠2的度数。
4．（2023七下·武平期末）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同旁内角，
∴由AB∥CD，可以得到∠1+∠2=180°，故此选项错误，不符合题意；
B、∠1的对顶角与∠2由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同位角，
∴由AB平行CD，可以得到∠1的对顶角与∠2相等，再根据对顶角相等可得∠1=∠2，故此选项正确，符合题意；
C、∠1与∠2由直线AC与BD被第三条直线AD所截的一组内错角，
∴由AB平行CD，不能得到∠1与∠2相等，故此选项错误，不符合题意；
D、∠1与∠2由直线AC与CD被第三条直线CD所截的一组同旁内角，
∴由AB平行CD，不能得到∠1与∠2相等，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据两条平行线被第三条直线所截，所截的同位角相等，内错角相等，即可一 一判断得出答案.
5．（2024·潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：过点EH∥AB
∴∠BEH=∠α=15°
∵β=45°
∴∠FEH=180°-45°-15°= 120°
∵AB∥FG
∴FG∥EH
∴∠FEH+∠EFG=180°
∴∠EFG=180°-∠FEH=180°-120°=60°
故答案为：A.
【分析】先根据EH∥AB，得出：∠BEH=∠α=15°，再计算∠FEH=180°-45°-15°= 120°，再根据FG∥EH，得到：∠FEH+∠EFG=180°，从而计算∠EFG的度数.
6．（2024七下·玉州期末）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2的度数为 .
【答案】100°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意可得如图所示，
∵，，
∴，
由题意可知，，
，
故答案：．
【分析】先由邻补角求出∠3的度数，再由平行线的性质求∠2的度数．
7．（2024七下·慈溪期末） 如图， ，若 ，则 =
【答案】28°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠ADC，
∵∠A+∠ADF=208°，
∴∠ADC+∠ADF=208°，
∴∠CDF=360°-208°=152°，
∵CD∥EF，
∴∠CDF+∠F=180°，
∴∠F=180°-152°=28°，
故答案为：28°.
【分析】根据平行线的性质得∠A=∠ADC，从而有∠ADC+∠ADF=208°，进而利用周角的定义求出∠CDF=152°，接下来根据平行线的性质得∠CDF+∠F=180°，从而求出∠F的度数.
8．（2024七下·惠州期末）如图，直线，一块含有角的直角三角尺顶点位于直线上，平分，则的度数为
【答案】60
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】∠GEF=30°，EG平分∠CEF，得∠CEF=2∠GEF=60°，由AB||CD得∠1=∠CEF=60°
答案：60
【分析】由角平分线的定义得∠CEF的值，由AB||CD即可得∠1的度数.
二、能力提升
9．如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（ ）
A．42° B．43° C．44° D．45°
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点C作CNAB，过点E作EMAB，如图所示：
∵FDAB，CNAB，EMAB，
∴ABCNEMFD
∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．
∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC
∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，46°＝∠FDE+2∠BAC②．
①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，
∴∠BAC+∠FDE＝34°③．
①﹣③，得∠FDE＝22°．
∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．
故答案为：C
【分析】过点C作CNAB，过点E作EMAB，先根据平行公理及其推论得到ABCNEMFD，进而根据平行线的性质得到∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB，相加得到∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC，从而根据角平分线的定义得到∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC，再结合题意进行角的运算即可求解。
10．（2023七下·昭平期末）将一副三角板按如图的方式放置，则下列结论：①；②若，则有；③若，则有；④若，则必有，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；余角
【解析】【解答】解：①，，
∴，
∴原结论正确；
②，∠1+∠2=90°，
，
，
∴AC∥DE；
∴原结论正确；
③，∠3+∠2=90°，
，
，
∴；
∴原结论正确；
④，
∴AC∥DE，
，
∵∠CAF=90°，
，
，
．
∴原结论正确．
∴正确的结论有：①②③④.
故答案为：D.
【分析】①根据同角的余角相等可求解；
②由角的构成求出∠1的度数，根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可求解；
③由角的构成求出∠3的度数，根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可求解；
④根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可得：AC∥DE，由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”可求得∠EFA的度数，然后由角的构成求出∠2的度数，结合已知可求解.
11．（2024八上·乐昌期中）如图，BE平分∠ABC，DE∥BC，如果∠2=22°，那么∠ADE= ．
【答案】44°
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠CBE=∠2=22°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠1=2∠CBE=44°，∠ADE=44°．
故答案为：44°．
【分析】本题考查平行线的概念，角平分线的定义.根据DE∥BC，利用平行线的性质两直线平行，内错角相等可推出∠ADE=∠ABC，∠CBE=∠2=22°，再利用角平分线的定义可得：∠ABC=2∠1=2∠CBE，代入数据进行计算可求出答案.
12．已知：如图，∠AGB=∠EHF，∠C=∠D.
求证：∠A=∠F.
证明：∵∠AGB=∠EHF( )，∠AGB= ▲ (对顶角相等)，
∴∠EHF=∠DGF，
∴DB∥EC( )，
∴∠C=∠DBA(两直线平行，同位角相等).
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠DBA=∠D，
∴DF∥AC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠A=∠F( ).
【答案】证明：∵∠AGB=∠EHF(已知)，∠AGB=∠DGF(对顶角相等)，
∴∠EHF=∠DGF，
∴DB∥EC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠C=∠DBA(两直线平行，同位角相等).
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠DBA=∠D，
∴DF∥AC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠A=∠F(两直线平行，内错角相等).
【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】∠AGB=∠EHF是题意告诉我们的，写已知，根据“对顶角的相等”，写出∠AGB的对顶角，根据∠EHF=∠DGF，这同位角相等，得到DB∥EC，理由为“同位角相等，两直线平行”，根据两直线平行，得到∠A=∠F，这两个角为内错角，故理由为“两直线平行，内错角相等”.
13．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠F，∠4=∠5.求证：AB∥CD.
【答案】证明：∵∠4=∠5，
∴BD∥FC，
∴∠3=∠DEC，
∵∠3=∠F，
∴∠DEC=∠F，
∴BF∥DE，
∴∠FBD+∠3=180°，
∴∠1+∠5+∠3=180°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠5+∠3=180°，
∵∠BDC=∠2+∠3，
∴∠5+∠BDC=180°，
∴AB∥CD．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的判定得BD∥FC，从而由平行线的性质得∠3=∠DEC，进而得∠DEC=∠F，然后根据平行线的判定得BF∥DE，于是有∠1+∠5+∠3=180°，等量代换后得∠5+∠BDC=180°，即可得证结论.
14．（2024七下·岳阳期中）如图，D，E，F，G分别是三角形边上的点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
又，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据直线直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
又，
，
，
，
．
三、拓展创新
15．（2024七下·云梦期末）如图，已知，，分别在直线，上，是直线，外一点，平分，平分，的反向延长线交于点，若，试用表示为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点P作MN∥AB，过点G∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥XY∥CD，
∴∠NPE=180°-∠PEB，∠NPF=∠PFC，∠BEH=∠YGE，∠CFG=∠FGY
∵平分，平分，
∴∠PEB=2∠BEH，∠PFC=2∠CFG，
∴∠P=∠NPF-∠NPE=∠PFC-（180°-∠PEB）=∠PFC+∠PEB-180°=2∠CFG+2∠BEH-180°=2（∠BEH+∠CFG）-180°=2（∠FGY+∠YGE）-180°=2α-180°。
故答案为：2α-180°.
【分析】 过点P作MN∥AB，过点G作XY∥AB ，即可得出MN∥AB∥XY∥CD，然后根据平行线的性质可得出∠P=∠NPF-∠NPE=∠PFC+∠PEB-180°，再根据角平分线的定义得出∠P=2∠CFG+2∠BEH-180°，再等量代换为2（∠FGY+∠YGE）-180°=2α-180°。
16．（2024七下·金湾期末）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1） 如图1 所示， 已知AB∥CD， 点E为AB， CD之间一点， 连接BE， DE， 得到∠BED， 若∠B=20°， ∠D=30°， 则∠BED的度数为 ；
（2）【类比迁移】如图2所示， 已知AB∥CD，点E为AB， CD之间一点，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点 F， 若∠E=α， 请用含α的式子表示∠F；
（3）【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3 所示，已知AB∥CD， 点E的位置移到AB上方，点F在EB延长线上， ∠ABF与. 的平分线相交于点 G，请猜想∠G与∠E之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）50°
（2）解：如图2， 作EG∥AB， FH∥AB，
：AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH ∥CD，
∴∠ABF=∠BFH， ∠CDF=∠DFH，
∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°
∵∠E=a
∴
∵∠ABE和∠CDE的角平分线相交于F，
；
（3）解：
理由如下： 如图3， 过E作EM ∥AB ， 过G作GN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM ∥GN∥CD，
∴∠MEF=∠ABF，∠CDE=180°-∠DEM
由(2) 知∠BGD=∠ABG+∠CDG，
∵BG平分∠ABF与∠CDE的平分线DG相交于点G，
∴∠BED=∠MEF-∠MED=∠ABF-(180°-∠CDE)=∠ABF+∠CDE-180°=2∠BGD-180°，即
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】
（1）解：如图：过点 E作EF∥AB
∵AB∥CD
∴∠B=∠BEF=20°
∴EF∥CD
∴∠D=∠DEF=30°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=20°+30°=50°
故答案为50°.
【分析】
（1）先过点E作EF∥AB，得出：EF∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出：∠B=∠BEF=20°，∠D=∠DEF=30°，再根据∠BED=∠BEF+∠DEF求出 ∠BED的度数 即可
（2）分别 作EG∥AB， FH∥AB，根据两直线平行，同旁内角相等，得出：∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，推出：，再根据角平分线的定义，得出：，再根据（1）得出的结论，得出：
（3）过E作EM ∥AB ， 过G作GN∥AB，根据两直线平行，同位角相等和同旁内角互补，得出：∠MEF=∠ABF，∠CDE=180°-∠DEM，再根据（2）所得：∠BGD=∠ABG+∠CDG，和角平分线定义得出：而∠BED=∠MEF-∠MED，再根据等量代换，得出：∠BED=2∠BGD-180°，从而得出： ∠G与∠E之间的数量关系 .
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