浙教版（2024）数学七年级下册 2.1 二元一次方程 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·福田期中） 下列是二元一次方程的是 ( )
A． B． C．x+2y=3 D．2x-1=5
【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意，A错误；
B、是二元二次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意，B错误；
C、是二元一次方程，故此选项符合题意，C正确；
D、是一元一次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意，D错误；
故答案为：C．
【分析】本题考查二元一次方程的定义.二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．A选项含有分式，不是整式，据此可判断A选项；B选项未知数的次数是2次，据此可判断B选项；C选项方程是整式，含有两个未知数，未知数的次数是1次，据此可判断C选项；D选项只含有一个未知数，据此可判断D选项.
2．（2024八上·重庆市开学考）二元一次方程中，当时，y的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入中，得，
，
解得：，
故选：C．
【分析】把代入方程中，即可求出y值．
3．（2024七下·越秀期中）已知是二元一次方程的解，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得，，
∴，
故答案为：B
【分析】将x，y值代入二次方程可得， 化简代数值，再整体代入即可求出答案.
4．（2024八上·西塘开学考）将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；解二元一次方程
【解析】【解答】解：根据等式的基本性质1，方程两边同时减，
得，
故选：B．
【分析】本题考查二元一次方程的解、以及等式的基本性质，利用等式的基本性质，方程两边同时减，即可求解.
5．（2024八上·重庆市开学考）由，得到用y表示x的式子为 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：；
【分析】先移项得，再把x的系数化为1即可.
6．（2024七下·天元期中） 若是关于x，y的二元一次方程，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴a=1，b=1，
∴a+b=2，
故答案为：2
【分析】根据二元一次方程的定义结合题意即可得到a=1，b=1，进而相加即可求解。
7．（2024八上·南宁开学考）已知是二元一次方程的解，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入，
得，
解得，
故答案为：1．
【分析】将代入方程即可求出答案.
8．已知关于x，y的方程（m2-4）x2+（m-2）x+2y=3．
（1）m为何值时，它是一元一次方程？
（2）m为何值时，它是二元一次方程？
【答案】（1）解：依题意得，m2-4=0且m-2=0，
解得m=2，
即当m=2时，它是一元一次方程；
（2）解：依题意得，且m-2≠0，
解得m=-2，
即当m=-2时，它是二元一次方程.
【知识点】一元一次方程的概念；二元一次方程的概念
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得x2和x的系数均为0，即可求得；
（2）根据二元一次方程的定义可得x2的系数为0，且x的系数不为0，即可求得.
二、能力提升
9．（2023七下·洞头期中）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程3x-ay=1的一个解，
∴3×1-2a=1，
解得a=1.
故答案为：B.
【分析】根据方程解的概念，将x=1、y=2代入方程中进行计算就可求出a的值.
10．已知二次函数2x+3y=5.
用含x的代数式表示y，y= .
写出此方程的两组整数解： .
【答案】；
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解： 2x+3y=5
3y=5-2x
y=，
∵写出方程的整数解，∴当x=1时，y=1；当x=-2时，y=3，即。
故答案为：；。
【分析】本题用x来表示y，则需要把含有y的项放到等式在左侧，不含y的项放到等式右侧，即移项、系数化为1即可表示出来；写出 方程的两组整数解，需要逐步试探，可以从x=0、x=1、x=-1这样左右试探，只要满足x和y都是整数即可。
11．定义一种运算“※”：x※y=2x-y-1(其中x，y为任意实数)。若a※b=3，则(5+2a)※(2b)的值为 。
【答案】17
【知识点】列二元一次方程；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
a※b=2a-b-1=3
∴2a-b=4
(5+2a)※(2b)=2(5+2a)-2b-1=4a-2b-9=2(2a-b)+9=17
故答案为：17
【分析】根据新运算可得a※b=2a-b-1=3，则2a-b=4，即(5+2a)※(2b)=2(5+2a)-2b-1=4a-2b-9=2(2a-b)+9=17，即可求出答案.
12．某公司一共有九个工厂，每个工厂有同样多的库存成品，且每天能生产出同样多的新成品.现有A，B两组检验员来进行产品验收，每个检验员验收产品的速度一样. A组8个检验员先用两天时间验完两个工厂的所有成品，又用三天时间验完了另两个工厂的所有成品，而B组的检验员在这五天内刚好验完了其余五个工厂的所有成品，B组的检验员共有几个人
【答案】解：设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，
根据检验速度相同得
解得：a=4b；
则A组每名检验员每天检验的成品数为2（a+2b）÷（2×8）=12b
那么B组检验员的人数为 =12（人）.
故B组的检验员共有12个人.
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，根据“检验速度相同”列出方程求出a=4b，再求出B组的人数即可.
13．在浓度为x%的盐水中加入一定质量的水，使其变成浓度为20%的新溶液，在此新溶液中再加入与前次所加入的水质量相等的盐，溶液浓度变成30%，求x的值.
【答案】解：设浓度为x%的盐水为a千克，加水b千克，
根据题意得：第一次加水 ax%=（a+b）20%①，
第二次加水（a+b）（1-20%）=[（a+b）+b]（1-30%）②，
由②得8（a+b）=7（a+2b），
即a=6b，代入①得6bx=140b，
解得
答：x为
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】设浓度为x%的盐水为a千克，加水b千克，再分别第一次和第二次加水列出方程ax%=（a+b）20%①，（a+b）（1-20%）=[（a+b）+b]（1-30%）②，求出6bx=140b，再求出x的值即可.
三、拓展创新
14．（2024九上·重庆市开学考）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 .
【答案】；
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：①为“差中数”，
，
，
∴这个数为；
②设满足条件的四位自然数是，
又是差中数，
，即，
故或，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，，，，，
当时，这个“差中数”是9817，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9174，能被11整除，
∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，
故答案为：5138，9174．
【分析】①根据“差中数”定义列出方程，解之即可；
②设满足条件的四位自然数是，再根据“差中数”的定义可得，从而得出或，再利用各数位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可．
15．（2025七上·深圳开学考）某校有378人去春游，如乘坐大客车，每辆可坐54人，每辆车的租金1000元；如乘坐中巴车，每辆车可坐36人，每辆车的租金660元．为了能使每个人都能上车且各车正好坐满，则需要大客、中巴各几辆？请写出所有可能的租车方案，并找出租金最少的一种．（用简要文字说明，写出主要计算过程）
【答案】解：设租大客车x辆，可坐54x人，剩余人坐y辆中巴车，
则，
∵x，y为整数，
∴为正整数，
当x＝1时，y＝9，租金为1000+650×9=6850 (元)，
当x＝3时，y＝6，租金为1000×3+650×6=6900 (元) ，
当x＝5时，y＝3，租金为1000×5+650×3=6950 (元)，
当x＝7时，y＝0，租金为1000×7+650×0=7000 (元)，
所以租金最少的一种方案是1辆大客车，9辆中巴车．
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】租大客车x辆，可坐54x人，剩余人坐y辆中巴车，可得，根据x，y为整数，可得为正整数，据此分别确定x和y的值，和对应的租车费用.最后比较的租金最少的一种方案即可.
1 / 1浙教版（2024）数学七年级下册 2.1 二元一次方程 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·福田期中） 下列是二元一次方程的是 ( )
A． B． C．x+2y=3 D．2x-1=5
2．（2024八上·重庆市开学考）二元一次方程中，当时，y的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024七下·越秀期中）已知是二元一次方程的解，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
4．（2024八上·西塘开学考）将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·重庆市开学考）由，得到用y表示x的式子为 ．
6．（2024七下·天元期中） 若是关于x，y的二元一次方程，则的值为 ．
7．（2024八上·南宁开学考）已知是二元一次方程的解，则的值为 ．
8．已知关于x，y的方程（m2-4）x2+（m-2）x+2y=3．
（1）m为何值时，它是一元一次方程？
（2）m为何值时，它是二元一次方程？
二、能力提升
9．（2023七下·洞头期中）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
10．已知二次函数2x+3y=5.
用含x的代数式表示y，y= .
写出此方程的两组整数解： .
11．定义一种运算“※”：x※y=2x-y-1(其中x，y为任意实数)。若a※b=3，则(5+2a)※(2b)的值为 。
12．某公司一共有九个工厂，每个工厂有同样多的库存成品，且每天能生产出同样多的新成品.现有A，B两组检验员来进行产品验收，每个检验员验收产品的速度一样. A组8个检验员先用两天时间验完两个工厂的所有成品，又用三天时间验完了另两个工厂的所有成品，而B组的检验员在这五天内刚好验完了其余五个工厂的所有成品，B组的检验员共有几个人
13．在浓度为x%的盐水中加入一定质量的水，使其变成浓度为20%的新溶液，在此新溶液中再加入与前次所加入的水质量相等的盐，溶液浓度变成30%，求x的值.
三、拓展创新
14．（2024九上·重庆市开学考）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 .
15．（2025七上·深圳开学考）某校有378人去春游，如乘坐大客车，每辆可坐54人，每辆车的租金1000元；如乘坐中巴车，每辆车可坐36人，每辆车的租金660元．为了能使每个人都能上车且各车正好坐满，则需要大客、中巴各几辆？请写出所有可能的租车方案，并找出租金最少的一种．（用简要文字说明，写出主要计算过程）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意，A错误；
B、是二元二次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意，B错误；
C、是二元一次方程，故此选项符合题意，C正确；
D、是一元一次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意，D错误；
故答案为：C．
【分析】本题考查二元一次方程的定义.二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．A选项含有分式，不是整式，据此可判断A选项；B选项未知数的次数是2次，据此可判断B选项；C选项方程是整式，含有两个未知数，未知数的次数是1次，据此可判断C选项；D选项只含有一个未知数，据此可判断D选项.
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入中，得，
，
解得：，
故选：C．
【分析】把代入方程中，即可求出y值．
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得，，
∴，
故答案为：B
【分析】将x，y值代入二次方程可得， 化简代数值，再整体代入即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；解二元一次方程
【解析】【解答】解：根据等式的基本性质1，方程两边同时减，
得，
故选：B．
【分析】本题考查二元一次方程的解、以及等式的基本性质，利用等式的基本性质，方程两边同时减，即可求解.
5．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：；
【分析】先移项得，再把x的系数化为1即可.
6．【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴a=1，b=1，
∴a+b=2，
故答案为：2
【分析】根据二元一次方程的定义结合题意即可得到a=1，b=1，进而相加即可求解。
7．【答案】1
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入，
得，
解得，
故答案为：1．
【分析】将代入方程即可求出答案.
8．【答案】（1）解：依题意得，m2-4=0且m-2=0，
解得m=2，
即当m=2时，它是一元一次方程；
（2）解：依题意得，且m-2≠0，
解得m=-2，
即当m=-2时，它是二元一次方程.
【知识点】一元一次方程的概念；二元一次方程的概念
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得x2和x的系数均为0，即可求得；
（2）根据二元一次方程的定义可得x2的系数为0，且x的系数不为0，即可求得.
9．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程3x-ay=1的一个解，
∴3×1-2a=1，
解得a=1.
故答案为：B.
【分析】根据方程解的概念，将x=1、y=2代入方程中进行计算就可求出a的值.
10．【答案】；
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解： 2x+3y=5
3y=5-2x
y=，
∵写出方程的整数解，∴当x=1时，y=1；当x=-2时，y=3，即。
故答案为：；。
【分析】本题用x来表示y，则需要把含有y的项放到等式在左侧，不含y的项放到等式右侧，即移项、系数化为1即可表示出来；写出 方程的两组整数解，需要逐步试探，可以从x=0、x=1、x=-1这样左右试探，只要满足x和y都是整数即可。
11．【答案】17
【知识点】列二元一次方程；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
a※b=2a-b-1=3
∴2a-b=4
(5+2a)※(2b)=2(5+2a)-2b-1=4a-2b-9=2(2a-b)+9=17
故答案为：17
【分析】根据新运算可得a※b=2a-b-1=3，则2a-b=4，即(5+2a)※(2b)=2(5+2a)-2b-1=4a-2b-9=2(2a-b)+9=17，即可求出答案.
12．【答案】解：设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，
根据检验速度相同得
解得：a=4b；
则A组每名检验员每天检验的成品数为2（a+2b）÷（2×8）=12b
那么B组检验员的人数为 =12（人）.
故B组的检验员共有12个人.
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，根据“检验速度相同”列出方程求出a=4b，再求出B组的人数即可.
13．【答案】解：设浓度为x%的盐水为a千克，加水b千克，
根据题意得：第一次加水 ax%=（a+b）20%①，
第二次加水（a+b）（1-20%）=[（a+b）+b]（1-30%）②，
由②得8（a+b）=7（a+2b），
即a=6b，代入①得6bx=140b，
解得
答：x为
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】设浓度为x%的盐水为a千克，加水b千克，再分别第一次和第二次加水列出方程ax%=（a+b）20%①，（a+b）（1-20%）=[（a+b）+b]（1-30%）②，求出6bx=140b，再求出x的值即可.
14．【答案】；
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：①为“差中数”，
，
，
∴这个数为；
②设满足条件的四位自然数是，
又是差中数，
，即，
故或，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，，，，，
当时，这个“差中数”是9817，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9174，能被11整除，
∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，
故答案为：5138，9174．
【分析】①根据“差中数”定义列出方程，解之即可；
②设满足条件的四位自然数是，再根据“差中数”的定义可得，从而得出或，再利用各数位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可．
15．【答案】解：设租大客车x辆，可坐54x人，剩余人坐y辆中巴车，
则，
∵x，y为整数，
∴为正整数，
当x＝1时，y＝9，租金为1000+650×9=6850 (元)，
当x＝3时，y＝6，租金为1000×3+650×6=6900 (元) ，
当x＝5时，y＝3，租金为1000×5+650×3=6950 (元)，
当x＝7时，y＝0，租金为1000×7+650×0=7000 (元)，
所以租金最少的一种方案是1辆大客车，9辆中巴车．
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】租大客车x辆，可坐54x人，剩余人坐y辆中巴车，可得，根据x，y为整数，可得为正整数，据此分别确定x和y的值，和对应的租车费用.最后比较的租金最少的一种方案即可.
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