浙教版（2024）数学七年级下册 2.2 二元一次方程组和它的解 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·青秀开学考）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·渝北开学考）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中一道题，原文是：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗：下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”意思是：今有上禾七捆，减去一斗谷，加上下禾二捆，一共能打十斗谷：下禾八捆，加上一斗谷，再加上上禾二捆，一共能打十斗谷．问一捆上禾、一捆下禾各打几斗谷？设一捆上禾打x斗谷，一捆下禾打y斗谷，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七上·长春期末）方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（ ）
A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4
4．（2024七下·德庆期中）下列方程组中，解为的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·瑞安期中） 已知 是方程的一个解，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·重庆市期末）已知是二元一次方程的一组解，则 ．
7．（2024七下·新会期中）若关于x，y的二元一次方程有一个解是，则 ．
8．（2023七下·江北期中）若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是 ．
9．（沪科版七上数学3.3二元一次方程组及其解法课时作业（1））判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸ ．
二、能力提升
10．（2023七上·海曙期中）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八上·长沙开学考）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024七下·汝城期中）如果是方程的一组解，那么代数式 ．
13．（2024七下·赣县区期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似地，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ．
14．（2024七下·于都期末）“鸡兔同笼”是我国古代算术名著孙子算经中的第题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足问鸡兔各几何？”小亮同学设出未知数，后列出了正确的方程组，小颖也设出未知数后，列了和小亮不同的方程组：，则横线上应填的方程是 写一个即可．
15． 已知方程组 是二元一次方程组， 求 的值．
三、拓展创新
16．（2024七下·东阳月考）已知关于x，y的方程组的解是.则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023七上·越秀期中）对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为( )
A． B． C． D．
18．（2024·鹿城模拟）观察以下二元一次方程组与对应的解：
二元一次方程组 …
解 …
（1）通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组．
①猜想该方程组的解；
②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：因为第一个方程不是整式方程，所以原方程组不是二元一次方程组，A选项不符合题意；
因为含有三个未知数，所以原方程组不是二元一次方程组，B选项不符合题意；
因为是含有两个未知数且未知数的次数为1的整式方程组，所以原方程组是二元一次方程组，符合题意；
因为第二个方程含未知数的项的次数不是1，所以原方程组不是二元一次方程组，D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二元一次方程组的定义“由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程组”即可逐一判断.
2．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设一捆上禾打x斗谷，一捆下禾打y斗谷，
由题意得，，
故选：D．
【分析】由题意：上禾七捆，减去一斗谷，加上下禾二捆，一共能打十斗谷可得方程，根据下禾八捆，加上一斗谷，再加上上禾二捆可得方程，据此列出方程组即可．
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由题意得：
把代入，得：，
∴得到；
∴被●和▲遮盖的两个数分别为5，1．
故选：A．
【分析】本题主要考查二元一次方程组解及其应用．先把代入，求得，再把和，代入，即可求得被●和▲遮盖的两个数，得到答案.
4．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把代入x+y=10得，左边=右边，∴是方程x+y=10的解；
把代入x-y=4得，左边≠右边，∴不是方程x-y=4的解；
把代入x+2y=11得，左边≠右边，∴不是方程x+2y=11的解；
把代入3x-2y=18得，左边≠右边，∴不是方程3x-2y=18的解；
把代入x-2y=4得，左边=右边，∴是方程x-2y=4 的解；
把代入x-2y=5得，左边≠右边，∴不是方程x-2y=5 的解；
把代入3x-2y=20得，左边=右边，∴是方程3x-2y=20 的解；
∴是x+y=10、x-2y=4、3x-2y=20这三个方程中任意两个方程组成的方程组的解.
∴是方程组的解.
故答案为：C.
【分析】将分别代入四个选项所给方程组中所有的方程，根据方程解的定义判断出是x+y=10、x-2y=4、3x-2y=20这三个方程的解，进而根据方程组解的定义即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将x=1、y=1代入原方程得3-2m=1，解得m=1.
故答案为：A.
【分析】将解代入原方程即可解出.
6．【答案】2
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由题可知，是二元一次方程的一组解 ，故把代入二元一次方程有，
，解得：，
故答案为：．
【分析】此题考查了二元一次方程的解。因为是方程的一组解，故是满足方程 ，故将代入二元一次方程，再解方程即可.
7．【答案】4
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】将方程的解代入原方程得9-2a=1，解得a=4；
故答案为：4
【分析】直接将解代入原方程即可求出a的值.
8．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程组 ，
∴"······"可以是x-y=0；
故答案为：x-y=0（答案不唯一）.
【分析】根据二元一次方程组的定义进行求解即可.
9．【答案】解：（2）、（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组；（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组；（3）该方程组中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组；（4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组．
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【分析】两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程合在一起，叫做二元一次方程组，据此判断即可.
10．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，
则根据题意得：，
，
，
，．
，
即小长方形的长与宽的差是，
故选：A．
【分析】本题主要考查了整式的加减，设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，结合图形，得方程组，取得方程组的解，得到，进而得到小长方形的长与宽的差，得出答案.
11．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设共有x辆车，y人，
依题意得： .
故答案为：A.
【分析】 设共有x辆车，y人， 由“ 若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐 ”可得方程3（x-2）=y，由“ 若每车乘坐2人，则9人无车可乘 ”可得方程2x+9=y，继而得出方程组.
12．【答案】4
【知识点】二元一次方程组的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵是方程的一组解
∴2m-3n=2020
∴-2m+3n=-2020
∴2024-2020=4
故答案为：4.
【分析】将代入中，得到-2m+3n=-2020，再将其整体代入2024-2m+3n中，即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5
则根据图2可得：．
故填．
【分析】先明确算筹，根据例子和图（2）列出二元一次方程组．
14．【答案】答案不唯一
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：小颖如果设的未知数是笼子里鸡有x只足，兔有y只足，则可得方程组为：.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】首先根据方程x+y=94可得未知数是笼中鸡兔的足数，进而可得出小颖如果设的未知数是笼子里鸡有x只足，兔有y只足，则可得方程组为：，即可得出答案.
15．【答案】解：∵ 方程组 是二元一次方程组，
∴，且
解得m=5，m=-1且，
∴ m=5
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【分析】先根据二元一次方程组的定义列出等式和不等式，再进行求解即可.
16．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵ 关于x，y的方程组的解是，
∴ 关于x，y的方程组的解满足
解得
故答案为：D.
【分析】由整体换元的思想可得，进而求解即可得出答案.
17．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵对于任意实数都成立，
∴，
∴为．
故答案为：B．
【分析】先根据定义求出ux+vy=u，uy+vx=v，又由对于任意实数u，v都成立，根据多项式相等的知识求出x=1，y=0，即可求解.
18．【答案】（1）
（2）解：①猜想：方程组的解为
②把代入，
左边右边．
把代入，
左边右边．
是原方程组的解．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：（1）由题意得：方程组的解为
【分析】（1）通过归纳未知数系数与解的关系，即可得到答案；
（2）①通过归纳未知数系数与解的关系，即可猜测方程组的解；
②把猜测的方程的解分别代入两个方程的左边，计算并与右边对比，即可得到结论.
1 / 1浙教版（2024）数学七年级下册 2.2 二元一次方程组和它的解 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·青秀开学考）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：因为第一个方程不是整式方程，所以原方程组不是二元一次方程组，A选项不符合题意；
因为含有三个未知数，所以原方程组不是二元一次方程组，B选项不符合题意；
因为是含有两个未知数且未知数的次数为1的整式方程组，所以原方程组是二元一次方程组，符合题意；
因为第二个方程含未知数的项的次数不是1，所以原方程组不是二元一次方程组，D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二元一次方程组的定义“由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程组”即可逐一判断.
2．（2024八上·渝北开学考）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中一道题，原文是：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗：下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”意思是：今有上禾七捆，减去一斗谷，加上下禾二捆，一共能打十斗谷：下禾八捆，加上一斗谷，再加上上禾二捆，一共能打十斗谷．问一捆上禾、一捆下禾各打几斗谷？设一捆上禾打x斗谷，一捆下禾打y斗谷，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设一捆上禾打x斗谷，一捆下禾打y斗谷，
由题意得，，
故选：D．
【分析】由题意：上禾七捆，减去一斗谷，加上下禾二捆，一共能打十斗谷可得方程，根据下禾八捆，加上一斗谷，再加上上禾二捆可得方程，据此列出方程组即可．
3．（2024七上·长春期末）方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（ ）
A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由题意得：
把代入，得：，
∴得到；
∴被●和▲遮盖的两个数分别为5，1．
故选：A．
【分析】本题主要考查二元一次方程组解及其应用．先把代入，求得，再把和，代入，即可求得被●和▲遮盖的两个数，得到答案.
4．（2024七下·德庆期中）下列方程组中，解为的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把代入x+y=10得，左边=右边，∴是方程x+y=10的解；
把代入x-y=4得，左边≠右边，∴不是方程x-y=4的解；
把代入x+2y=11得，左边≠右边，∴不是方程x+2y=11的解；
把代入3x-2y=18得，左边≠右边，∴不是方程3x-2y=18的解；
把代入x-2y=4得，左边=右边，∴是方程x-2y=4 的解；
把代入x-2y=5得，左边≠右边，∴不是方程x-2y=5 的解；
把代入3x-2y=20得，左边=右边，∴是方程3x-2y=20 的解；
∴是x+y=10、x-2y=4、3x-2y=20这三个方程中任意两个方程组成的方程组的解.
∴是方程组的解.
故答案为：C.
【分析】将分别代入四个选项所给方程组中所有的方程，根据方程解的定义判断出是x+y=10、x-2y=4、3x-2y=20这三个方程的解，进而根据方程组解的定义即可得出答案.
5．（2024七下·瑞安期中） 已知 是方程的一个解，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将x=1、y=1代入原方程得3-2m=1，解得m=1.
故答案为：A.
【分析】将解代入原方程即可解出.
6．（2024七下·重庆市期末）已知是二元一次方程的一组解，则 ．
【答案】2
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由题可知，是二元一次方程的一组解 ，故把代入二元一次方程有，
，解得：，
故答案为：．
【分析】此题考查了二元一次方程的解。因为是方程的一组解，故是满足方程 ，故将代入二元一次方程，再解方程即可.
7．（2024七下·新会期中）若关于x，y的二元一次方程有一个解是，则 ．
【答案】4
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】将方程的解代入原方程得9-2a=1，解得a=4；
故答案为：4
【分析】直接将解代入原方程即可求出a的值.
8．（2023七下·江北期中）若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程组 ，
∴"······"可以是x-y=0；
故答案为：x-y=0（答案不唯一）.
【分析】根据二元一次方程组的定义进行求解即可.
9．（沪科版七上数学3.3二元一次方程组及其解法课时作业（1））判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸ ．
【答案】解：（2）、（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组；（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组；（3）该方程组中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组；（4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组．
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【分析】两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程合在一起，叫做二元一次方程组，据此判断即可.
二、能力提升
10．（2023七上·海曙期中）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，
则根据题意得：，
，
，
，．
，
即小长方形的长与宽的差是，
故选：A．
【分析】本题主要考查了整式的加减，设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，结合图形，得方程组，取得方程组的解，得到，进而得到小长方形的长与宽的差，得出答案.
11．（2024八上·长沙开学考）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设共有x辆车，y人，
依题意得： .
故答案为：A.
【分析】 设共有x辆车，y人， 由“ 若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐 ”可得方程3（x-2）=y，由“ 若每车乘坐2人，则9人无车可乘 ”可得方程2x+9=y，继而得出方程组.
12．（2024七下·汝城期中）如果是方程的一组解，那么代数式 ．
【答案】4
【知识点】二元一次方程组的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵是方程的一组解
∴2m-3n=2020
∴-2m+3n=-2020
∴2024-2020=4
故答案为：4.
【分析】将代入中，得到-2m+3n=-2020，再将其整体代入2024-2m+3n中，即可得到答案.
13．（2024七下·赣县区期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似地，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ．
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5
则根据图2可得：．
故填．
【分析】先明确算筹，根据例子和图（2）列出二元一次方程组．
14．（2024七下·于都期末）“鸡兔同笼”是我国古代算术名著孙子算经中的第题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足问鸡兔各几何？”小亮同学设出未知数，后列出了正确的方程组，小颖也设出未知数后，列了和小亮不同的方程组：，则横线上应填的方程是 写一个即可．
【答案】答案不唯一
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：小颖如果设的未知数是笼子里鸡有x只足，兔有y只足，则可得方程组为：.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】首先根据方程x+y=94可得未知数是笼中鸡兔的足数，进而可得出小颖如果设的未知数是笼子里鸡有x只足，兔有y只足，则可得方程组为：，即可得出答案.
15． 已知方程组 是二元一次方程组， 求 的值．
【答案】解：∵ 方程组 是二元一次方程组，
∴，且
解得m=5，m=-1且，
∴ m=5
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【分析】先根据二元一次方程组的定义列出等式和不等式，再进行求解即可.
三、拓展创新
16．（2024七下·东阳月考）已知关于x，y的方程组的解是.则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵ 关于x，y的方程组的解是，
∴ 关于x，y的方程组的解满足
解得
故答案为：D.
【分析】由整体换元的思想可得，进而求解即可得出答案.
17．（2023七上·越秀期中）对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵对于任意实数都成立，
∴，
∴为．
故答案为：B．
【分析】先根据定义求出ux+vy=u，uy+vx=v，又由对于任意实数u，v都成立，根据多项式相等的知识求出x=1，y=0，即可求解.
18．（2024·鹿城模拟）观察以下二元一次方程组与对应的解：
二元一次方程组 …
解 …
（1）通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组．
①猜想该方程组的解；
②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程．
【答案】（1）
（2）解：①猜想：方程组的解为
②把代入，
左边右边．
把代入，
左边右边．
是原方程组的解．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：（1）由题意得：方程组的解为
【分析】（1）通过归纳未知数系数与解的关系，即可得到答案；
（2）①通过归纳未知数系数与解的关系，即可猜测方程组的解；
②把猜测的方程的解分别代入两个方程的左边，计算并与右边对比，即可得到结论.
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