浙教版（2024）数学七年级下册 2.3 解二元一次方程组 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2023·龙游模拟）解二元一次方程组最好的做法首先采用（ ）
A．代入法 B．加减法 C．都可以 D．无法确定
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解二元一次方程组最好的做法首先采用加减消元法，
故选B
【分析】观察方程中未知数的系数选择适当的方法解题即可．
2．（2024七下·西湖月考）用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：若消去，
则得：；
若消去，
则得：；
故选：A．
【分析】本题考查加减消元法解方程组，加减消元法是指利用等式的性质，使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，从而使方程只含有一个未知数，即可求解.
3．（2024八上·哈尔滨开学考）已知，与，都是方程的解，则k与b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意知：，
解得：，
故选：A．
【分析】把二元一次方程的解代入二元一次方程，组成关于k，b的二元一次方程组，求解即可得出答案．
4．（2024八上·潮阳开学考）二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
所以方程组的解为，
故答案为：D．
【分析】用加减消元法，两个方程相加即可消去y，即可解出方程组的解.
5．（2024八上·哈尔滨开学考）在方程中，如果用含有x的式子表示y，得 ．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由方程，移项得，解得，
即用含有x的式子表示y，可得得，
故答案为：．
【分析】根据题意，移项得，结合多项式的运算性质，即可得到y关于x的表达式，得到答案.
6．（2024九下·北京市模拟）如果实数满足方程组，那么 ．
【答案】8
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由①-②得；
故答案为：8．
【分析】利用整体求值法，①-②直接得到m-2n的值.
7．（2024七下·娄底月考）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
将①代入②得，，解得：，
将代入①得：，
原方程组的解为：；
（2）解：，
，可得，
解得，把代入①，可得：，
解得，原方程组的解是.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法求出解即可；
（2）利用加减消元法求出解即可.
8．（2024七上·长春期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）加减消元法，第四步
（2）解：方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
【分析】（1） 根据解方程组的解法，结合加减消元法，把系数化为1时的计算出现错误，即可得到答案．（2）根据解方程组的解法，结合加减消元法，求得，得到，再将代入，求得x的值，即可得到方程组的解.
（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
（2）方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
二、能力提升
9．（非凡数学听课本 七年级上册 第四章代数式 第11节 整体思想）若3x+7y+z=5，4x+10y+z=3，则x+y+z的值等于 （ ）
A．9 B．2 C．-9 D．不能求出
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将等式3x+7y+z=5两边都乘以3，得9x+21y+3z=15①，
将等式4x+10y+z=3两边都乘以2，得8x+20y+2z=6②，
①-②，得x+y+z=9.
故选 A.
故答案为：A
【分析】将两个等式进行适当地变形，用整体法凑出含有x+y+z的式子，从而解决问题.
10．（【牵手重高】过关错题浙教版数学七（上）期末测试卷A）解方程组时，一个学生把a看错后得到而正确的解是则a，c，d的值是( )
A．不能确定 B．a=3，c=1，d=1
C．c，d不能确定，a=3 D．a=3，c=2，d=-2
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：将、分别代入得： ，
解得，
将代入中得：，
解得：，
则，，；
故答案为：B
【分析】根据题意将、分别代入，进而解二元一次方程组，在将代入中求出a，从而即可求解。
11．（2024八上·深圳期中）若方程组的解中，则等于（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①×6+②得：20x=25k－30
解得：x=1.25k－1.5.
把x=1.25k－1.5代入①得：3.75k－4.5－y=4k－5.
解得：y=0.5－0.25k.
∴x+y=k－1.
∵，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组求出x和y，可得，代入求解即可．
12．（2024八上·渝北开学考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2024
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：关于，的二元一次方程组的解为， 且
，
，即，
，
故答案为：A．
【分析】利用已知关于，的二元一次方程组的解为，方程组可看着是关于（3m+n）和（m+3n）的二元一次方程组，由此可得到关于m，n的方程组，利用方程组中系数的特点可求出m+n的值，然后整体代入求值.
13．（【牵手重高 】培优教程 第五讲 实数的运算）设x，y都是有理数，且满足方程那么x-y的值是 .
【答案】18
【知识点】解二元一次方程组；列二元一次方程；有理数的概念
【解析】【解答】解：原方程整理得3x+2πx+2y+3πy=24+6π，
即(3x+2y)+π(2x+3y)=24+6π，
解得
∴x-y=18.
故答案为：18
【分析】先根据题意整理原二元一次方程得到3x+2πx+2y+3πy=24+6π，即(3x+2y)+π(2x+3y)=24+6π，再根据有理数的定义结合题意即可列出二元一次方程组，从而即可求解。
14．如图，在方格图中的格子里填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数之和均相等，则x的值为 .
【答案】-1
【知识点】解二元一次方程组；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：6+1+2=9
设第一行第三个格子数字为y
则第二行第二个数字为9-2-y=7-y
由题意可得：，解得：
故答案为： -1
【分析】设第一行第三个格子数字为y，则第二行第二个数字为9-2-y=7-y，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
15．（2024·七下婺城期中）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：∵的解是，
∴ 的解是
∴ .
故答案为： .
【分析】根据二元一次方程组 与 同解可得再解二元一次方程组即可求得.
16．（2022七下·合肥月考）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的取值范围．
【答案】解：解方程组，得，
∵x为非正数，y为负数，
∴，
解得-2【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先求出方程组的解，再根据题意列出不等式组，最后求出m的取值范围即可。
17．（【牵手重高 】培优教程 第五讲 实数的运算）已知 是2x-y+4 的算术平方根， 是y-3x的立方根，试求 A+B的平方根.
【答案】解：由题意得
方程组整理，得
由②-①得3y=3，解得 y=1，
把y=1代入①，得x-1=2，解得x=3，
∴A+B=3-2=1，
∴A+B的平方根为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据算术平方根和立方根的定义即可得到二元一次方程组，从而解方程组得到x和y的值，再代入A和B，将A和B相加，根据平方根即可求解。
三、拓展创新
18．（2023七下·巴南期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，解得：，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
整理得：，
∴其正整数解为：，，，，故②符合题意；
∵，
∴，
∴，
上式对任意实数x，y均成立，
∴，
∴，故③符合题意；
故选：A.
【分析】先根据新定义运算法则，列出二元一次方程，解方程求出a和b的值，即可得出，再根据运算法则逐个计算，即可求解.
19．（2024七下·杭州期中）关于x，y的方程组的解为，则①a2+b2＝ ．
②关于x，y的方程组的解为 ．
【答案】；
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：①把代入得：
①+②得：
∴
故答案为：；
②方程整理得：
仿照已知方程组得：，
∴
故答案为：.
【分析】①把方程组的解代入方程后将两个方程相加即可求解；
②仿照已知方程组的解得到：，解此方程组即可求解.
20．（2024七下·长沙期中）阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即．
一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即．
（1）计算下列各对数的值： ， ， ；
（2）已知x，y的值满足：，，求x，y的值；
（3）已知x，y为正整数，且满足：，，当n为正整数时，求满足条件的x，y的值．
【答案】（1）2；3；6
（2）解：由题可知：，
∵，∴，此时，
故，
将，代入，得．
（3）解：由题可知：
解得：
∵n为正整数，x，y为正整数，
∴或或或或或，
∴（舍）；（舍）；
时，；时，；
时，（舍）；时，（舍），
综上满足条件的x，y的值为：或
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）由，则；由，则；由，则；
【分析】(1)由材料定义，即对数运算转换为乘方运算，可直接口算得出结果；
(2)同理根据材料定义，转换为乘方运算建立等量关系分别求出对应值即可；
(3)同(2)得出等量关系，即可视作为含参数n且关于x，y的二元一次方程组，故可用含n的式子解出x，y，最后利用因数进行整数解逐一分析即可.
1 / 1浙教版（2024）数学七年级下册 2.3 解二元一次方程组 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2023·龙游模拟）解二元一次方程组最好的做法首先采用（ ）
A．代入法 B．加减法 C．都可以 D．无法确定
2．（2024七下·西湖月考）用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·哈尔滨开学考）已知，与，都是方程的解，则k与b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·潮阳开学考）二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·哈尔滨开学考）在方程中，如果用含有x的式子表示y，得 ．
6．（2024九下·北京市模拟）如果实数满足方程组，那么 ．
7．（2024七下·娄底月考）解方程组：
（1）
（2）
8．（2024七上·长春期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
二、能力提升
9．（非凡数学听课本 七年级上册 第四章代数式 第11节 整体思想）若3x+7y+z=5，4x+10y+z=3，则x+y+z的值等于 （ ）
A．9 B．2 C．-9 D．不能求出
10．（【牵手重高】过关错题浙教版数学七（上）期末测试卷A）解方程组时，一个学生把a看错后得到而正确的解是则a，c，d的值是( )
A．不能确定 B．a=3，c=1，d=1
C．c，d不能确定，a=3 D．a=3，c=2，d=-2
11．（2024八上·深圳期中）若方程组的解中，则等于（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
12．（2024八上·渝北开学考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2024
13．（【牵手重高 】培优教程 第五讲 实数的运算）设x，y都是有理数，且满足方程那么x-y的值是 .
14．如图，在方格图中的格子里填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数之和均相等，则x的值为 .
15．（2024·七下婺城期中）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组 的解是 ．
16．（2022七下·合肥月考）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的取值范围．
17．（【牵手重高 】培优教程 第五讲 实数的运算）已知 是2x-y+4 的算术平方根， 是y-3x的立方根，试求 A+B的平方根.
三、拓展创新
18．（2023七下·巴南期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
19．（2024七下·杭州期中）关于x，y的方程组的解为，则①a2+b2＝ ．
②关于x，y的方程组的解为 ．
20．（2024七下·长沙期中）阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即．
一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即．
（1）计算下列各对数的值： ， ， ；
（2）已知x，y的值满足：，，求x，y的值；
（3）已知x，y为正整数，且满足：，，当n为正整数时，求满足条件的x，y的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解二元一次方程组最好的做法首先采用加减消元法，
故选B
【分析】观察方程中未知数的系数选择适当的方法解题即可．
2．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：若消去，
则得：；
若消去，
则得：；
故选：A．
【分析】本题考查加减消元法解方程组，加减消元法是指利用等式的性质，使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，从而使方程只含有一个未知数，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意知：，
解得：，
故选：A．
【分析】把二元一次方程的解代入二元一次方程，组成关于k，b的二元一次方程组，求解即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
所以方程组的解为，
故答案为：D．
【分析】用加减消元法，两个方程相加即可消去y，即可解出方程组的解.
5．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由方程，移项得，解得，
即用含有x的式子表示y，可得得，
故答案为：．
【分析】根据题意，移项得，结合多项式的运算性质，即可得到y关于x的表达式，得到答案.
6．【答案】8
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由①-②得；
故答案为：8．
【分析】利用整体求值法，①-②直接得到m-2n的值.
7．【答案】（1）解：，
将①代入②得，，解得：，
将代入①得：，
原方程组的解为：；
（2）解：，
，可得，
解得，把代入①，可得：，
解得，原方程组的解是.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法求出解即可；
（2）利用加减消元法求出解即可.
8．【答案】（1）加减消元法，第四步
（2）解：方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
【分析】（1） 根据解方程组的解法，结合加减消元法，把系数化为1时的计算出现错误，即可得到答案．（2）根据解方程组的解法，结合加减消元法，求得，得到，再将代入，求得x的值，即可得到方程组的解.
（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
（2）方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
9．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将等式3x+7y+z=5两边都乘以3，得9x+21y+3z=15①，
将等式4x+10y+z=3两边都乘以2，得8x+20y+2z=6②，
①-②，得x+y+z=9.
故选 A.
故答案为：A
【分析】将两个等式进行适当地变形，用整体法凑出含有x+y+z的式子，从而解决问题.
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：将、分别代入得： ，
解得，
将代入中得：，
解得：，
则，，；
故答案为：B
【分析】根据题意将、分别代入，进而解二元一次方程组，在将代入中求出a，从而即可求解。
11．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①×6+②得：20x=25k－30
解得：x=1.25k－1.5.
把x=1.25k－1.5代入①得：3.75k－4.5－y=4k－5.
解得：y=0.5－0.25k.
∴x+y=k－1.
∵，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组求出x和y，可得，代入求解即可．
12．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：关于，的二元一次方程组的解为， 且
，
，即，
，
故答案为：A．
【分析】利用已知关于，的二元一次方程组的解为，方程组可看着是关于（3m+n）和（m+3n）的二元一次方程组，由此可得到关于m，n的方程组，利用方程组中系数的特点可求出m+n的值，然后整体代入求值.
13．【答案】18
【知识点】解二元一次方程组；列二元一次方程；有理数的概念
【解析】【解答】解：原方程整理得3x+2πx+2y+3πy=24+6π，
即(3x+2y)+π(2x+3y)=24+6π，
解得
∴x-y=18.
故答案为：18
【分析】先根据题意整理原二元一次方程得到3x+2πx+2y+3πy=24+6π，即(3x+2y)+π(2x+3y)=24+6π，再根据有理数的定义结合题意即可列出二元一次方程组，从而即可求解。
14．【答案】-1
【知识点】解二元一次方程组；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：6+1+2=9
设第一行第三个格子数字为y
则第二行第二个数字为9-2-y=7-y
由题意可得：，解得：
故答案为： -1
【分析】设第一行第三个格子数字为y，则第二行第二个数字为9-2-y=7-y，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：∵的解是，
∴ 的解是
∴ .
故答案为： .
【分析】根据二元一次方程组 与 同解可得再解二元一次方程组即可求得.
16．【答案】解：解方程组，得，
∵x为非正数，y为负数，
∴，
解得-2【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先求出方程组的解，再根据题意列出不等式组，最后求出m的取值范围即可。
17．【答案】解：由题意得
方程组整理，得
由②-①得3y=3，解得 y=1，
把y=1代入①，得x-1=2，解得x=3，
∴A+B=3-2=1，
∴A+B的平方根为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据算术平方根和立方根的定义即可得到二元一次方程组，从而解方程组得到x和y的值，再代入A和B，将A和B相加，根据平方根即可求解。
18．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，解得：，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
整理得：，
∴其正整数解为：，，，，故②符合题意；
∵，
∴，
∴，
上式对任意实数x，y均成立，
∴，
∴，故③符合题意；
故选：A.
【分析】先根据新定义运算法则，列出二元一次方程，解方程求出a和b的值，即可得出，再根据运算法则逐个计算，即可求解.
19．【答案】；
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：①把代入得：
①+②得：
∴
故答案为：；
②方程整理得：
仿照已知方程组得：，
∴
故答案为：.
【分析】①把方程组的解代入方程后将两个方程相加即可求解；
②仿照已知方程组的解得到：，解此方程组即可求解.
20．【答案】（1）2；3；6
（2）解：由题可知：，
∵，∴，此时，
故，
将，代入，得．
（3）解：由题可知：
解得：
∵n为正整数，x，y为正整数，
∴或或或或或，
∴（舍）；（舍）；
时，；时，；
时，（舍）；时，（舍），
综上满足条件的x，y的值为：或
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）由，则；由，则；由，则；
【分析】(1)由材料定义，即对数运算转换为乘方运算，可直接口算得出结果；
(2)同理根据材料定义，转换为乘方运算建立等量关系分别求出对应值即可；
(3)同(2)得出等量关系，即可视作为含参数n且关于x，y的二元一次方程组，故可用含n的式子解出x，y，最后利用因数进行整数解逐一分析即可.
1 / 1
