浙教版（2024）数学七年级下册 2.4 二元一次方程组的应用 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024七下·桂林期中）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设竿长x尺，绳索长y尺，
由题意得，，
故选：A．
【分析】根据“绳索比竿长5尺”和“将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺”，分别列出方程式，即可求解.
2．（2023八上·兴宁开学考）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y=19
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：，
综上：；
故答案为：A.
【分析】根据题意列二元一次方程组即可得出答案.
3．（2024七下·江北期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选D ．
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，列出方程组即可．
4．（2024·湖北模拟）在我国古代数学名著《九章算术》中，记载有这样一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文如下：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各是多少？
答：（1）人数为 人；（2）物价为 钱．
【答案】7；53
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共x人合伙购物，物价是y钱，
由题意可得：，
解得：
故答案为：7；53．
【分析】设共x人合伙购物，物价是y钱，根据题意列出方程组，解方程组即可求出答案.
5．（2024九下·阳新月考）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？根据题意，可求得共有 人．
【答案】39
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车；
根据题意可得，，解得.
故答案为：39.
【分析】根据题意设未知数，列二元一次方程组，解方程组即可求解.
6．（2024八上·宝安期中）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分为 分.
【答案】33
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分，由题意得
，
得：，
∴小红得分为33分．
故答案为：33
【分析】设投中小圈得x分，投中大圈得y分，进而根据题意列出二元一次方程组，从而即可求解。
7．（2024八上·哈尔滨开学考）一条船顺流航行，每小时行20km，逆流航行，每小时行16km，则船在静水的速度 km/h．
【答案】18
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设船在静水的速度为xkm/h，水流的速度为ykm/h，
因为 顺流航行，每小时行20km，逆流航行，每小时行16km，
可得方程组，解得： ，所以轮船在静水中的速度为18千米．
故答案为：18．
【分析】设船在静水的速度为xkm/h，水流的速度为ykm/h，根据题意，得出关于x，y的二元一次方程组，利用消元法求得不等式组的解，即可得到答案.
二、能力提升
8．（2025八上·深圳期末）如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高76cm的收纳柜恰好可以收纳 把休闲凳。
【答案】6
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每把休闲凳的高度为x cm，每多叠一把休闲凳高度增加y cm，
根据题意得：，
解得：，
∴（把），
∴高76cm的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳．
故答案为：6．
【分析】设每把休闲凳的高度为x cm，每多叠一把休闲凳高度增加y cm，结合图形列出方程组，再求解即可.
9．（2024七下·淄川期中）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图中的（1）（2）．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是在图（2）所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图（2）所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
图2所表示方程组的解为．
设被墨水所覆盖的图形表示的数为，
将代入得：，
解得：，
被墨水所覆盖的图形为．
故选：C．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组及其应用 ，将代入方程，可求出值，得出图2所表示方程组的解，设被墨水所覆盖的图形表示的数为，代入方程，求出的值，再对照题意，即可得出被墨水所覆盖的图形，得到答案.
10．（2024七上·义乌月考）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元.
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元
（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）.陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元.”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了.②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔。如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 元
【答案】（1）解：设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．
∴
解得：
∴毛笔的单价为：
∴钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元
（2）2或6
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．∴解得：（不符合题意）．∴陈老师肯定搞错了．②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，∴∴∵a、z都是整数，且∴a可能为2、4、6、8．当a＝2时，4z＝180，z＝45，符合题意；当a＝4时，4z＝182，z＝45.5，不符合题意；当a＝6时，4z＝184，z＝46，符合题意；当a＝8时，4z＝186，z=46.5，不符合题意，∴签字笔的单价可能为2或6，
故答案为：2或6.
【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．根据题干"购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元"，据此列出方程：解此方程即可求解；
（2）①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．根据题意列出方程：解此方程，判断y的值是否为正整数即可；
②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，根据题意列出方程：则结合a、z都是整数，且即可求解.
11．（2018八上·沈河期末）某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示，计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？
【答案】解：设小长方形的长为x米，宽为y米，
由题意得，
，
解得： ，
则大长方形的长为20米，宽为18米，面积为：20×18=360平方米，
预计花费为：210×360=75600(元)，
答：要完成这块绿化工程，预计花费75600元.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，根据大长方形周长为76米，小长方形宽的5倍等于长的2倍，据此列方程组求解，然后求出面积，最终求得花费.
12．（2025八上·深圳期末）2024年国庆节深圳无人机表演火遍全网。某公司计划租用1000架无人机进行表演，已知A，B两种型号的无人机租金单价分别为300元和400元。
（1）若该公司租用的A，B两种型号无人机数量相等，则需要的租金为 元；
（2）若该公司花费的租金为34万元，求租用A，B两种型号无人机各多少架
【答案】（1）350000
（2）解：设公司租用A型号无人机x架，B型号无人机y架，
根据题意得：
解得：
答：公司租用A型号无人机600架，B型号无人机400架。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：300×500+400×500=350000（元），
故答案为：350000.
【分析】（1）利用“总租金=A租金+B租金”列出算式求解即可.
（2）设公司租用A型号无人机x架，B型号无人机y架，根据“ 某公司计划租用1000架无人机进行表演 ”和“ 该公司花费的租金为34万元 ”列出方程组，再求解即可.
13．（2024七下·岳阳期中）根据以下素材，探索解答任务一，任务二．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1是湘一南湖学校的学生座椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定剪裁方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背________张和坐垫________张． 方法三：裁切靠背________张和坐垫________张．
任务二 解决实际问题 工厂目前已有裁切好的12张靠背板材和4张坐垫板材，经商议，现需新购买一批该型号板材，其中一部分按照方案二裁剪，另一部分按照方案三裁剪，一共制作700张学生座椅，请问：需要购买该型号板材共多少张？（恰好全部用完）
【答案】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
，
∴，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
方法二：裁切靠背8张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背0张和坐垫6张；
故答案为：8，3；0，6；
任务二：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，
，
解得：
（张），
∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据每张靠背宽，每张坐垫宽，每张板材长，列二元一次方程，根据m、n都是自然数，赋值解答即可；
任务二：设用张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张；用张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张．根据现有4张座垫和12张靠背，列二元一次方程组解答．
三、拓展创新
14．（2024七下·路桥期末）工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 的值可能是（ ）
A．272 B．265 C．254 D．232
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，
根据题意可得：，
解得：，
∵m、n均为正整数，
∴a必须能被5整除，
∵只有265能被5整除，
∴a的值可能是265，
故答案为：B.
【分析】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，根据题意列出方程组求出m、n的值，再得到a必须能被5整除，最后分析求解即可.
15．（2024八上·深圳期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中 B型加料的奶茶买了多少杯？
【答案】解：任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，由题意得：
，
解得：，
答：每杯款奶茶10元，每杯款奶茶12元.
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
∴或或，
有3种购买方案；
任务3：∵奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），
设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶共买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，故款加料的奶茶买了杯，即杯，由题意得：
，
整理得：，
、、均为正整数，
（杯），
答：款加料的奶茶买了3杯．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据题意列出二元一次方程，整理得，可得(m+2)是6的倍数，据此即可确定正整数m和n的值；
任务3：由题意得：奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，款加料的奶茶买了杯，即杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可．
16．（2024七下·义乌期末）
素材1 某校 "半亩方塘" 劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地. 已知围栏的横杠长为 20 dm ， 竖杠长为 8 dm ， 一副围栏由 2 个横杠， 5 个竖杠制作而成.
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立， 劳动实践小组打算自己购买材料， 制作搭建疏菜基地的围栏. 已知这种规格的围栏材料每根长为 60 dm ， 价格为 50 元/根.
（1）【任务一：一根 60 dm 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢 (余料作废)】
方法①： 当只裁剪 8 dm 长的用料时， 最多可裁剪 根.
方法②：当先裁前下 1 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料 根.
方法③：当先裁塑下 2 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料 根.
（2）【任务二：要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 160 dm (即需要制作 8 副围栏， 需要的用料为： 16 个横杠， 40 个竖杠) .】劳动实践小组打算用 "任务 1"中的方法②和方法③完成裁剪任务. 请计算： 分别用 "任务 1"中的方法②和方法③各裁剪多少根 60 dm 长的围栏材料， 才能恰好得到所需要的相应数量的用料
（3）【任务三：劳动实践小组准备优化围栏： 将横杠材料由每根 20 dm 调整为每根 16 dm ， 再将其中两根竖杠材料由每根 8 dm 调整为每根 10 dm (其它三根竖杠长度不变）】若要搭建任务 2 中所需的围栏长度（ 160 dm ），每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) 或者若干根 8 dm 的用料 (可剩余) . 问： 购买 60 dm 的材料至少需要多少费用？落材料有剩余， 请求出剩余材料的长度. (剩余材料不可拼接）
【答案】（1）7；5；2
（2）解：设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题意得，
方法②的裁剪 6 根， 方法③的裁剪 5 根.
（3）解：由题意可得：，
∵a、b为正整数，
∴，
∵搭建 10 副围栏共需 20 根 16 dm 的， 20 根 10 dm 的， 30 根 8 dm 的. 买 10 根 60 dm 的材料可得 20 根 根 10 dm ， 则少 20 根 8 dm ， 再买 3 根 60 dm 的， 每根可得 7 根 8 dm 的用料，
剩余材料的长度为： .
∴至少需要的费用为： （元）.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）方法①：60÷8=7…4，
∴当裁剪8dm长的用料时，最多可剪裁7根；
故答案为：7.
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，
∴当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料5根；
故答案为：5.
方法③：（60-2×20）÷8=20÷8=2…4，
∴当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料2根；
故答案为：2.
【分析】（1）方法①：由题意，用60除以8，所得商的整数值即为所求；
方法②：由题意，先用60减去20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
方法③：由题意，先用60减去2倍20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
（2）设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题中的相等关系可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（3）根据相等关系“每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) ”可列关于a、b的二元一次方程，由a、b为正整数可求得a、b的值；根据题意求出剩余材料以及费用.
1 / 1浙教版（2024）数学七年级下册 2.4 二元一次方程组的应用 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024七下·桂林期中）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·兴宁开学考）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·江北期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北模拟）在我国古代数学名著《九章算术》中，记载有这样一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文如下：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各是多少？
答：（1）人数为 人；（2）物价为 钱．
5．（2024九下·阳新月考）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？根据题意，可求得共有 人．
6．（2024八上·宝安期中）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分为 分.
7．（2024八上·哈尔滨开学考）一条船顺流航行，每小时行20km，逆流航行，每小时行16km，则船在静水的速度 km/h．
二、能力提升
8．（2025八上·深圳期末）如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高76cm的收纳柜恰好可以收纳 把休闲凳。
9．（2024七下·淄川期中）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图中的（1）（2）．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是在图（2）所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图（2）所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024七上·义乌月考）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元.
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元
（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）.陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元.”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了.②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔。如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 元
11．（2018八上·沈河期末）某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示，计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？
12．（2025八上·深圳期末）2024年国庆节深圳无人机表演火遍全网。某公司计划租用1000架无人机进行表演，已知A，B两种型号的无人机租金单价分别为300元和400元。
（1）若该公司租用的A，B两种型号无人机数量相等，则需要的租金为 元；
（2）若该公司花费的租金为34万元，求租用A，B两种型号无人机各多少架
13．（2024七下·岳阳期中）根据以下素材，探索解答任务一，任务二．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1是湘一南湖学校的学生座椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定剪裁方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背________张和坐垫________张． 方法三：裁切靠背________张和坐垫________张．
任务二 解决实际问题 工厂目前已有裁切好的12张靠背板材和4张坐垫板材，经商议，现需新购买一批该型号板材，其中一部分按照方案二裁剪，另一部分按照方案三裁剪，一共制作700张学生座椅，请问：需要购买该型号板材共多少张？（恰好全部用完）
三、拓展创新
14．（2024七下·路桥期末）工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 的值可能是（ ）
A．272 B．265 C．254 D．232
15．（2024八上·深圳期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中 B型加料的奶茶买了多少杯？
16．（2024七下·义乌期末）
素材1 某校 "半亩方塘" 劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地. 已知围栏的横杠长为 20 dm ， 竖杠长为 8 dm ， 一副围栏由 2 个横杠， 5 个竖杠制作而成.
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立， 劳动实践小组打算自己购买材料， 制作搭建疏菜基地的围栏. 已知这种规格的围栏材料每根长为 60 dm ， 价格为 50 元/根.
（1）【任务一：一根 60 dm 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢 (余料作废)】
方法①： 当只裁剪 8 dm 长的用料时， 最多可裁剪 根.
方法②：当先裁前下 1 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料 根.
方法③：当先裁塑下 2 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料 根.
（2）【任务二：要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 160 dm (即需要制作 8 副围栏， 需要的用料为： 16 个横杠， 40 个竖杠) .】劳动实践小组打算用 "任务 1"中的方法②和方法③完成裁剪任务. 请计算： 分别用 "任务 1"中的方法②和方法③各裁剪多少根 60 dm 长的围栏材料， 才能恰好得到所需要的相应数量的用料
（3）【任务三：劳动实践小组准备优化围栏： 将横杠材料由每根 20 dm 调整为每根 16 dm ， 再将其中两根竖杠材料由每根 8 dm 调整为每根 10 dm (其它三根竖杠长度不变）】若要搭建任务 2 中所需的围栏长度（ 160 dm ），每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) 或者若干根 8 dm 的用料 (可剩余) . 问： 购买 60 dm 的材料至少需要多少费用？落材料有剩余， 请求出剩余材料的长度. (剩余材料不可拼接）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设竿长x尺，绳索长y尺，
由题意得，，
故选：A．
【分析】根据“绳索比竿长5尺”和“将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺”，分别列出方程式，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y=19
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：，
综上：；
故答案为：A.
【分析】根据题意列二元一次方程组即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选D ．
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，列出方程组即可．
4．【答案】7；53
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共x人合伙购物，物价是y钱，
由题意可得：，
解得：
故答案为：7；53．
【分析】设共x人合伙购物，物价是y钱，根据题意列出方程组，解方程组即可求出答案.
5．【答案】39
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车；
根据题意可得，，解得.
故答案为：39.
【分析】根据题意设未知数，列二元一次方程组，解方程组即可求解.
6．【答案】33
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分，由题意得
，
得：，
∴小红得分为33分．
故答案为：33
【分析】设投中小圈得x分，投中大圈得y分，进而根据题意列出二元一次方程组，从而即可求解。
7．【答案】18
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设船在静水的速度为xkm/h，水流的速度为ykm/h，
因为 顺流航行，每小时行20km，逆流航行，每小时行16km，
可得方程组，解得： ，所以轮船在静水中的速度为18千米．
故答案为：18．
【分析】设船在静水的速度为xkm/h，水流的速度为ykm/h，根据题意，得出关于x，y的二元一次方程组，利用消元法求得不等式组的解，即可得到答案.
8．【答案】6
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每把休闲凳的高度为x cm，每多叠一把休闲凳高度增加y cm，
根据题意得：，
解得：，
∴（把），
∴高76cm的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳．
故答案为：6．
【分析】设每把休闲凳的高度为x cm，每多叠一把休闲凳高度增加y cm，结合图形列出方程组，再求解即可.
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
图2所表示方程组的解为．
设被墨水所覆盖的图形表示的数为，
将代入得：，
解得：，
被墨水所覆盖的图形为．
故选：C．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组及其应用 ，将代入方程，可求出值，得出图2所表示方程组的解，设被墨水所覆盖的图形表示的数为，代入方程，求出的值，再对照题意，即可得出被墨水所覆盖的图形，得到答案.
10．【答案】（1）解：设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．
∴
解得：
∴毛笔的单价为：
∴钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元
（2）2或6
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．∴解得：（不符合题意）．∴陈老师肯定搞错了．②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，∴∴∵a、z都是整数，且∴a可能为2、4、6、8．当a＝2时，4z＝180，z＝45，符合题意；当a＝4时，4z＝182，z＝45.5，不符合题意；当a＝6时，4z＝184，z＝46，符合题意；当a＝8时，4z＝186，z=46.5，不符合题意，∴签字笔的单价可能为2或6，
故答案为：2或6.
【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．根据题干"购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元"，据此列出方程：解此方程即可求解；
（2）①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．根据题意列出方程：解此方程，判断y的值是否为正整数即可；
②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，根据题意列出方程：则结合a、z都是整数，且即可求解.
11．【答案】解：设小长方形的长为x米，宽为y米，
由题意得，
，
解得： ，
则大长方形的长为20米，宽为18米，面积为：20×18=360平方米，
预计花费为：210×360=75600(元)，
答：要完成这块绿化工程，预计花费75600元.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，根据大长方形周长为76米，小长方形宽的5倍等于长的2倍，据此列方程组求解，然后求出面积，最终求得花费.
12．【答案】（1）350000
（2）解：设公司租用A型号无人机x架，B型号无人机y架，
根据题意得：
解得：
答：公司租用A型号无人机600架，B型号无人机400架。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：300×500+400×500=350000（元），
故答案为：350000.
【分析】（1）利用“总租金=A租金+B租金”列出算式求解即可.
（2）设公司租用A型号无人机x架，B型号无人机y架，根据“ 某公司计划租用1000架无人机进行表演 ”和“ 该公司花费的租金为34万元 ”列出方程组，再求解即可.
13．【答案】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
，
∴，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
方法二：裁切靠背8张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背0张和坐垫6张；
故答案为：8，3；0，6；
任务二：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，
，
解得：
（张），
∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据每张靠背宽，每张坐垫宽，每张板材长，列二元一次方程，根据m、n都是自然数，赋值解答即可；
任务二：设用张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张；用张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张．根据现有4张座垫和12张靠背，列二元一次方程组解答．
14．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，
根据题意可得：，
解得：，
∵m、n均为正整数，
∴a必须能被5整除，
∵只有265能被5整除，
∴a的值可能是265，
故答案为：B.
【分析】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，根据题意列出方程组求出m、n的值，再得到a必须能被5整除，最后分析求解即可.
15．【答案】解：任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，由题意得：
，
解得：，
答：每杯款奶茶10元，每杯款奶茶12元.
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
∴或或，
有3种购买方案；
任务3：∵奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），
设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶共买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，故款加料的奶茶买了杯，即杯，由题意得：
，
整理得：，
、、均为正整数，
（杯），
答：款加料的奶茶买了3杯．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据题意列出二元一次方程，整理得，可得(m+2)是6的倍数，据此即可确定正整数m和n的值；
任务3：由题意得：奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，款加料的奶茶买了杯，即杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可．
16．【答案】（1）7；5；2
（2）解：设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题意得，
方法②的裁剪 6 根， 方法③的裁剪 5 根.
（3）解：由题意可得：，
∵a、b为正整数，
∴，
∵搭建 10 副围栏共需 20 根 16 dm 的， 20 根 10 dm 的， 30 根 8 dm 的. 买 10 根 60 dm 的材料可得 20 根 根 10 dm ， 则少 20 根 8 dm ， 再买 3 根 60 dm 的， 每根可得 7 根 8 dm 的用料，
剩余材料的长度为： .
∴至少需要的费用为： （元）.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）方法①：60÷8=7…4，
∴当裁剪8dm长的用料时，最多可剪裁7根；
故答案为：7.
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，
∴当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料5根；
故答案为：5.
方法③：（60-2×20）÷8=20÷8=2…4，
∴当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料2根；
故答案为：2.
【分析】（1）方法①：由题意，用60除以8，所得商的整数值即为所求；
方法②：由题意，先用60减去20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
方法③：由题意，先用60减去2倍20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
（2）设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题中的相等关系可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（3）根据相等关系“每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) ”可列关于a、b的二元一次方程，由a、b为正整数可求得a、b的值；根据题意求出剩余材料以及费用.
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