浙教版（2024）数学七下第1章 相交线与平行线 单元测试C卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九上·麒麟开学考）如图，要把河流中的水引到水池中，应过点作于河岸，这样做依据的几何学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：过点作于河岸，这样做依据的几何学原理是垂线段最短．
故答案为：A.
【分析】利用垂线段的性质（垂线段最短）分析求解即可.
2．（2024七下·鄞州期末）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A．杯 B．立 C．曲 D．比
【答案】D
【知识点】生活中的平移现象；图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，C不是平移得到，
D是利用图形的平移得到．
故答案为：D．
【分析】根据图形平移的性质解答即可．
3．（2024九下·临川模拟）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补可算出∠EAC的度数，根据作图可知AF平分∠EAC，进而根据角平分线的定义求出∠1的度数.
4．（2024八上·高州开学考）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠2和∠AOC是对顶角，
∴∠2=∠AOC，
∵OE⊥AB，∠1=35°，
∴∠AOC=∠2=90°-35°=55°，
故选：A．
【分析】根据对顶角相等，可得∠2=∠AOC；根据垂线的性质，可得∠AOE=90°；根据角的运算计算即可得∠2得度数.
5．（2024七上·莲都期末）如图，，下列线段的长能表示点B到的距离的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵，
∴线段的长能表示点B到的距离．
故选：B．
【分析】本题考查点到直线的距离．根据，利用点到直线的距离的定义可得线段的长能表示点B到的距离．
6．（2024七下·玉州期末）如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么∠CAO与∠DBO之间的大小关系一定为（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不等
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵、分别是、的平分线，
∴，，
∴，
∴与之间的大小关系一定为互余，
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质可得∠CAB+∠ABD=180°，然后由角平分线的定义，结合角的和差，余角的定义判定即可．
7．（2023七上·义乌月考）如图，7张全等的小长方形纸片（既不重叠也无空隙）放置于矩形ABCD中，设小长方形的长为a，宽为b（a＞b），若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出下面哪个数据（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：如图，延长EF交AB于点N，
由题意可得：AD=BC=a+b，
∴CG=b，CK=BC-BK=b，
结合平移思想可得两块阴影部分的周长之和即为长方形MANF和正方形GHKC的周长之和，
∴两块阴影部分的周长和=2[a+(a+b-3b)]+ 4b
=2 (а+а+b-3b)+4Ь=2а+2а+2b-6b+4b =4a，
∴若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出数据a，
故答案为：A.
【分析】延长EF交AB于点N，利用平移思想分析可得两块阴影部分的周长之和即为长方形MANF和正方形GHKC的周长之和，从而结合整式加减的运算法则列式计算，作出判断.
8．（2021七下·顺城期中）如图，已知直线 、 被直线 所截， ，E是直线 右边任意一点（点E不在直线 ， 上），设 ， ．下列各式：① ，② ，③ ，④ ， 的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α-β．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β．
即①α+β，②α-β，③β-α，都成立．
故答案为：A．
【分析】分类讨论，利用平行线的性质求解即可。
9．（2020七下·武汉期末）如图，AB∥EF，∠ABP＝ ∠ABC，∠EFP＝ ∠EFC，已知∠FCD＝60°，则∠P的度数为（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过C作CQ∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CQ，
∴∠ABC＋∠BCQ＝180°，∠EFC＋∠FCQ＝180°，
∴∠ABC＋∠BCF＋∠EFC＝360°，
∵∠FCD＝60°，
∴∠BCF＝120°，
∴∠ABC＋∠EFC＝360°﹣120°＝240°，
∵∠ABP＝ ∠ABC，∠EFP＝ ∠EFC，
∴∠ABP＋∠PFE＝60°，
∴∠P＝60°.
故答案为：A.
【分析】过C作CQ∥AB，利用平行线的判定与性质进行解答即可.
10．将一副三角尺按如图所示放置，其中∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°，有下列结论：①若∠2=30°，则 AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③若BC∥AD，则∠2=30°；④若∠CAD=150°，则∠4=∠C.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，
，故①正确，符合题意；
如图，延长DA至M．
，
，
又，
，
又，
，
即，故②正确，符合题意；
，，
．
，
，故③错误，不符合题意；
，，
．
，
，
．
，
．
，
，故④正确，符合题意，
综上正确的有①②④.
故答案为：A．
【分析】本题考查平行线的判定与性质．对于①，根据“内错角相等，两直线平行”可推出AC∥DE，进而判断①；对于②，标注图形，先利用角的运算推出，再根据角之间的关系可推出结论；对于③，根据“两直线平行，内错角相等”先求出，再根据角的运算可求出答案；对于④，先利用角的运算求出的度数，进而可说明两个角的关系．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021七下·本溪期中）若∠A的一边与∠B的一边互相平行，∠A的另一边与∠B的另一边互相垂直，且∠A=30°，则∠B的度数是 ．
【答案】60°或120°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】∵∠A的一边与∠B的一边互相平行，
∴∠1=∠A=30°，
∵∠A的另一边与∠B的另一边互相垂直，
∴∠B=90°-∠1=90°-30°=60°，
或∠B=90°+∠1=90°+30°=120°，
即∠B的度数是60°或120°．
故答案为60°或120°．
【分析】作出图形，根据两直线平行，同位角相等求得∠1的度数，再分两种情况：∠A的另一边与∠B的另一边互相垂直，讨论即可。
12．（2024七下·成都期末）如图，，、分别是线段、上的定点，在与之间有一点，、分别为、的角平分线，若，则 度
【答案】100
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点E作GH||AB
∵AB||CD
∴GH||CD
∴∠CQE=∠HEQ
∵GH||AB
∴∠PEH=∠APE
∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，∠PEQ=130°
∴∠APE+∠CQE=130°
∵PE、QE平分∠APF、∠CQF
∴∠APF=2∠APE，∠CQF=2∠CQE
∴∠APF+∠CQF=2(∠APE+∠CQE)=260°
∵∠BPF=180°-∠APF，∠DQF=180°-∠CQF
∴∠BPF+∠DQF=180°-∠APF+180°-∠CQF=360°-160°=100°
过点F作MN||AB
∵AB||CD，
∴MN||CD
∴∠PFM=∠BPF，∠QFM=∠DQF
∴∠PFQ=∠BPF+∠DQF=100°
故答案为：100.
【分析】过点E作GH||AB，利用平行线的性质得∠APF+∠CQF=2(∠APE+∠CQE)=260°，由此可得∠BPF+∠DQF=100°，同理作MN||AB即可得∠PFQ=∠BPF+∠DQF=100°.
13．（2024八下·金沙期末）将沿边向右平移得到，，，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】39
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿边向右平移得到，AB=8，
∴DE=AB=8，，
∵，，
∴，
∵DG=3，
∴GE=DE-DG=8-3=5，
∵BE=6，
∴，
故答案为：39.
【分析】根据平移的性质得DE=AB=8，，利用面积的和差关系得，然后求出GE=DE-DG，最后根据梯形的面积公式进行求解即可.
14．如图所示， 平分 平分 若设 则 °； 若 平分 平分 可得 平分 平分 可得 依次平分下去， 则 °(用含 的代数式表示)
【答案】x°+y°；（x°+y°）
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：过P1作P1G∥AB，如下图：
∵AB∥P1G，AB∥CD
∴AB∥P1G∥CD
∴∠P1EB=∠GP1E，∠GP1F=∠P1FD
∴∠EP1F=∠GP1E+∠GP1F=∠P1EB+∠P1FD=x°+y°；
同理，可得∠P2=∠P2EB+∠P2FD=∠P1EB+∠P1FD=（∠P1EB+∠P1FD）；
∠P3=（∠P2EB+∠P2FD）=（∠P1EB+∠P1FD）
以此类推，可得∠Pn=（∠P1EB+∠P1FD）=（x°+y°）.
故答案为：（x°+y°）；（x°+y°）.
【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得∠P1EB=∠GP1E，∠GP1F=∠P1FD；根据角的运算和等量代换原则，可得∠P1的值；根据数据规律进行总结，即可得∠Pn的值.
15．（2024七下·广州期中）如图，在四边形ABCD中，如果是边AB上一点，DE平分交边AB于点E，DF平分交边BC于点.以下四个结论中正确的是 .(填写序号)。
①.
②.
③若，则DP平分.
④若，则.
【答案】①③
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
又∵为角平分线，
∴，
∴，
故①正确；
∵根据无法判断四边形是平行四边形，
∴无法判断，故②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴平分，
故③正确；
若，
则为等边三角形，
∵线段为角平分线，
∴，
∴，
要证，
需证明，
根据题目给出的条件无法证明四边形为平行四边形，故无法证明，
故④错误；
故答案为：①③．
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义可以判断①，根据无法判断四边形是平行四边形，故无法得到②，根据平行线性质及角平分线的性质，通过等量代换可以判断③，通过，可证，，无法判断四边形是平行四边形，无法证明，故无法证明，故可判断④．
16．（2024七下·广丰期中） 如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ．
【答案】或或
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，
由平移得到，
，
，，
，
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
第二种情况：当点在外时，过点作，
由平移得到，
，
，，
，
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
当时，由图可知，，故不存在这种情况；
故答案为：或或．
【分析】平移时，E点可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上，故需分点在上和点在线段BC延长线上两种情况讨论。根据平移性质得到AB//DE，根据平行线性质得到之间的数量关系，再设未知数列方程求解即可。
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题8分，第20题7分，第21题7分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024七下·渝中期末）如图，点P，点Q分别在的内部和外部．
（1）请按要求完成下列画图：过点P作，交AB于点D．过点Q作，垂足为E，直线QE交PD于点F．
（2）在（1）的条件下，求证：．
请补充完整下面的证明过程或依据：
证明：∵（已知），
∴ ① （垂直的定义）．
∵（已知），
∴ ② （两直线平行，同位角相等）．
∴ ③ （ ④ ）．
∴（ ⑤ ）．
【答案】（1）解：作图如下：
（2）证明：∵（已知），
∴（垂直的定义）．
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）．
∴（等量代换）．
∴（垂直的定义）．
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）根据平行线和垂线的定义求作即可；
（2）根据垂直的定义以及平行线的性质进行推理，再填空即可。
18．（2024八上·龙马潭开学考）完成下面的证明：
已知：如图，于D，于G，且，求证：．
证明：∵，（已知）
∴（ ）
∴．（ ）
∴ （ ）
又∵（已知）
∴ ．（ ）
∴．（ ）
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠DBC；两直线平行，同旁内角互补；∠DBC；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】证明：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
又∵（已知），
∴（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行）．
【分析】根据垂直的定义可得∠BDC=∠FGC=90°，由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”可得∠2+∠DBC=180°，由等角的补角相等可得∠1=∠DBC，然后根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”即可求解．
19．如图，点O在直线AB 上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC=n∠EOC.
（1）若∠AOD=24°，n=3，求∠DOE的度数.
（2）若 DO⊥OE，求n的值.
（3）若n=4，设∠AOD=α，求∠DOE 的度数（用含α的代数式表示）.
【答案】（1）解：∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝24°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝48°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣48°＝132°，
∵n＝3，
∠BOC＝3∠EOC＝132°，
∴∠EOC＝44°，
∠EOD＝∠COD+∠EOC＝24°+44°＝68°
（2）解：设∠AOD＝x，∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝x，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝x+x＝2x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2x，
∵DO⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠COD＝90°﹣x，
∵∠BOC＝n∠EOC，
∴180°﹣2x＝n（90°﹣x），
∴n＝2.
（3）解：∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝α，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝α+α＝2α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2α，
∵n＝4，
∴∠BOC＝4∠EOC＝180°﹣2α，
∴
【知识点】角的运算；垂线的概念；补角
【解析】【分析】（1）根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝24°，即可算出∠AOC＝48°，根据平角的性质可得∠BOC=132°，由n＝3，即可算出∠EOC＝44°，再根据∠EOD＝∠COD+∠EOC，代入计算即可；
（2）设∠AOD＝x，根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝x，即可算出∠AOC＝2x，根据平角的性质可得∠BOC＝180°﹣2x，根据垂线的性质，可得∠COE＝90°-x，由∠BOC＝n∠EOC，代入计算即可算出n的值；
（3）根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝α，即可算出∠AOC=2α，根据平角的性质可得∠BOC=180°﹣2α，由n＝4，即可得出∠BOC＝4∠EOC，代入计算即可得出，再根据∠EOD＝∠COD+∠EOC，代入计算即可得出答案．
20．（2024七上·海曙期末）如图，在的正方形网格中，三角形是格点三角形（格点三角形指三个顶点均在小正方形的顶点上的三角形），按下列要求作图：
（1）在图1中，在格点上，找出格点，连结，使得；
（2）在图2中，平移格点三角形得到格点三角形，使得点为格点三角形一边的中点，画出三角形．
【答案】（1）解：如图，点即为所作，
（2）解：
（2）
如图，三角形即为所作．
【知识点】作图﹣平移
【解析】【分析】（1）把相等向下平移4格，则B点的对应点为E点；
（2）先确定AC的中点，可知先向右平移1格，再向下平移3格后得到点D，再按平移方向和距离画出△A'B'C'即可.
（1）如图，点即为所作，
（2）如图，三角形即为所作．
21．（2024八上·南宁开学考）如图， 已知
（1）试说明 ；
（2）若，平分， 试求的度数．
【答案】（1）解：，
，
，
又，
，
；
（2）解：，
，
又平分，
，
又，
．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直线平行判定定理可得，则，由可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，再根据角平分线性质可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：，
，
，
又，
，
；
（2），
，
又平分，
，
又，
．
22．（2024七下·港南期末） 数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线，再将三角板MBC（，MB与直线a相交于点A）放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形.
（1）如图1，若点B在直线b上，，则 ；
（2）如图2，若点B在直线a的下方，在直线b的上方，与有怎样的关系？写出结论，并给出证明；
（3）如图3，若点B在直线b的下方，请直接写出与之间的关系.
【答案】（1）114°
（2）解：与的关系：.
证明：过点B作，
∵a∥b，
∴BN∥b∥a，
∴，，
∵，
∴，
∴
（3）
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；余角；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）.
设三角板与直线b的交点为N，
由余角性质和平行线的性质可知，
，
，
∴，
∴-（90°-∠2）
∴.
故答案为：114°.
（3）. .
证明：设BC与直线b交于E点，BM与直线b交于F点，
则，，，
∵，
∴，
∴.
【分析】（1）根据余角性质及两条直线平行同旁内角互补即可解答；
（2）过点B作BN∥a，运用余角性质及两条直线平行同旁内角互补即可解答；
（3）运用对顶角性质、余角性质及两条直线平行同位角相等即可解答。
23．（2024七下·从江月考）（1）阅读理解
数学兴趣小组的同学在学行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”后，做了如下思考.
如图（1）所示，∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°.
如图（2）所示，点E，F分别在直线AB，CD上，点P为直线AB，CD内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接PE，PF.得出结论：∠EPF=∠AEP+∠CFP.
证明过程如下：
如图（3）所示，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD.
∴∠CFP=∠FPH（ ），
∵PH∥AB，
∴∠AEP=∠EPH.
∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP（ ）.
请补充完成上面的证明过程.
（2）请直接用（1）的结论解决下列问题.
问题解决
如图（4）所示，分别作∠BEP和∠DFP的平分线交于点M，若∠EPF=140°.求∠EMF的度数.
（3）拓展探究
如图（5）所示，分别作∠BEP和∠DFP的平分线交于点M，再分别作∠AEM和∠CFM的平分线交于点N，若∠EPF=α，∠EMF=β，∠ENF=θ，探究α，β，θ的关系式，并写出该关系式及解答过程.
【答案】（1）证明：如图（3）所示，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD.
∴∠CFP=∠FPH（两直线平行，内错角相等），
∵PH∥AB，
∴∠AEP=∠EPH.
∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP（等量代换）
（2）解：∵∠EPF=140°，
∴由（1）可知∠EPF=∠AEP+∠CFP=140°，∠EMF=∠BEM+∠DFM.
∵∠AEP+∠BEP=∠CFP+∠DFP=180°，
∴∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP=360°.
∴∠BEP+∠DFP=360°-140°=220°.
∵EM，FM分别平分∠BEP，∠DFP，
∴∠BEM=∠BEP，∠DFM=∠DFP.
∴∠BEM+∠DFM=(∠BEP+∠DFP)=110°.
∴∠EMF=110°.
（3）解：θ=α+β.
∵∠BEP和∠DFP的平分线交于点M，∠AEM和∠CFM的平分线交于点N，
∴∠BEP=2∠BEM，∠DFP=2∠DFM.
由（2）可得∠EMF=β=∠BEM+∠DFM，
∵α=∠AEP+∠CFP
=180°-∠BEP+180°-∠DFP
=360°-2∠BEM-2∠DFM
=360°-2(∠BEM+∠DFM)
=360°-2β，
∴α+2β=360°.
∴α+β=180°.
∵θ=∠AEN+∠CFN
=∠AEM+∠CFM
=(180°-∠BEM+180°-∠DFM)
=180°-(∠BEM+∠DFM)
=180°-β.
∴θ=α+β-β=α+β.
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）如图（3），过点P作PH∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥PH∥CD，由两直线平行，内错角相等，得∠CFP=∠FPH，∠AEP=∠EPH，进而根据角的构成及等量代换可得结论；
（2）由（1）可知∠EPF=∠AEP+∠CFP=140°，∠EMF=∠BEM+∠DFM，然后由邻补角及等式的性质可推出∠BEP+∠DFP=360°-140°=220°，结合角平分线的定义得∠BEM+∠DFM=(∠BEP+∠DFP)，从而即可得出答案；
（3）θ=α+β，理由如下：由角平分线的定义得∠BEP=2∠BEM，∠DFP=2∠DFM，由（2）可得∠EMF=β=∠BEM+∠DFM，由（1）结论可推出α+β=180°，θ=∠AEN+∠CFN=180°-β，从而等量代换可得出结论.
24．（2024七下·余江期中） 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动．
（1）【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数；
（2）【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系；
（3）【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，求（用含α的式子表示）．
【答案】（1）解：如图1，∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2）解：如图2，∵，
∴，即，
又∵，
∴
（3）解：如图3，∵，
∴，即，
又∵，，，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）由AB∥CD可得∠1=∠EGD，再结合，，可得，继而得解；
（2）由AB∥CD可得，结合即可求解；
（3）由AB∥CD可得，再利用角的和差关系进行解答即可.
1 / 1浙教版（2024）数学七下第1章 相交线与平行线 单元测试C卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九上·麒麟开学考）如图，要把河流中的水引到水池中，应过点作于河岸，这样做依据的几何学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短
2．（2024七下·鄞州期末）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A．杯 B．立 C．曲 D．比
3．（2024九下·临川模拟）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
4．（2024八上·高州开学考）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七上·莲都期末）如图，，下列线段的长能表示点B到的距离的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·玉州期末）如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么∠CAO与∠DBO之间的大小关系一定为（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不等
7．（2023七上·义乌月考）如图，7张全等的小长方形纸片（既不重叠也无空隙）放置于矩形ABCD中，设小长方形的长为a，宽为b（a＞b），若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出下面哪个数据（ ）
A． B． C． D．
8．（2021七下·顺城期中）如图，已知直线 、 被直线 所截， ，E是直线 右边任意一点（点E不在直线 ， 上），设 ， ．下列各式：① ，② ，③ ，④ ， 的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．（2020七下·武汉期末）如图，AB∥EF，∠ABP＝ ∠ABC，∠EFP＝ ∠EFC，已知∠FCD＝60°，则∠P的度数为（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
10．将一副三角尺按如图所示放置，其中∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°，有下列结论：①若∠2=30°，则 AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③若BC∥AD，则∠2=30°；④若∠CAD=150°，则∠4=∠C.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021七下·本溪期中）若∠A的一边与∠B的一边互相平行，∠A的另一边与∠B的另一边互相垂直，且∠A=30°，则∠B的度数是 ．
12．（2024七下·成都期末）如图，，、分别是线段、上的定点，在与之间有一点，、分别为、的角平分线，若，则 度
13．（2024八下·金沙期末）将沿边向右平移得到，，，，则阴影部分的面积为 ．
14．如图所示， 平分 平分 若设 则 °； 若 平分 平分 可得 平分 平分 可得 依次平分下去， 则 °(用含 的代数式表示)
15．（2024七下·广州期中）如图，在四边形ABCD中，如果是边AB上一点，DE平分交边AB于点E，DF平分交边BC于点.以下四个结论中正确的是 .(填写序号)。
①.
②.
③若，则DP平分.
④若，则.
16．（2024七下·广丰期中） 如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题8分，第20题7分，第21题7分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024七下·渝中期末）如图，点P，点Q分别在的内部和外部．
（1）请按要求完成下列画图：过点P作，交AB于点D．过点Q作，垂足为E，直线QE交PD于点F．
（2）在（1）的条件下，求证：．
请补充完整下面的证明过程或依据：
证明：∵（已知），
∴ ① （垂直的定义）．
∵（已知），
∴ ② （两直线平行，同位角相等）．
∴ ③ （ ④ ）．
∴（ ⑤ ）．
18．（2024八上·龙马潭开学考）完成下面的证明：
已知：如图，于D，于G，且，求证：．
证明：∵，（已知）
∴（ ）
∴．（ ）
∴ （ ）
又∵（已知）
∴ ．（ ）
∴．（ ）
19．如图，点O在直线AB 上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC=n∠EOC.
（1）若∠AOD=24°，n=3，求∠DOE的度数.
（2）若 DO⊥OE，求n的值.
（3）若n=4，设∠AOD=α，求∠DOE 的度数（用含α的代数式表示）.
20．（2024七上·海曙期末）如图，在的正方形网格中，三角形是格点三角形（格点三角形指三个顶点均在小正方形的顶点上的三角形），按下列要求作图：
（1）在图1中，在格点上，找出格点，连结，使得；
（2）在图2中，平移格点三角形得到格点三角形，使得点为格点三角形一边的中点，画出三角形．
21．（2024八上·南宁开学考）如图， 已知
（1）试说明 ；
（2）若，平分， 试求的度数．
22．（2024七下·港南期末） 数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线，再将三角板MBC（，MB与直线a相交于点A）放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形.
（1）如图1，若点B在直线b上，，则 ；
（2）如图2，若点B在直线a的下方，在直线b的上方，与有怎样的关系？写出结论，并给出证明；
（3）如图3，若点B在直线b的下方，请直接写出与之间的关系.
23．（2024七下·从江月考）（1）阅读理解
数学兴趣小组的同学在学行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”后，做了如下思考.
如图（1）所示，∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°.
如图（2）所示，点E，F分别在直线AB，CD上，点P为直线AB，CD内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接PE，PF.得出结论：∠EPF=∠AEP+∠CFP.
证明过程如下：
如图（3）所示，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD.
∴∠CFP=∠FPH（ ），
∵PH∥AB，
∴∠AEP=∠EPH.
∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP（ ）.
请补充完成上面的证明过程.
（2）请直接用（1）的结论解决下列问题.
问题解决
如图（4）所示，分别作∠BEP和∠DFP的平分线交于点M，若∠EPF=140°.求∠EMF的度数.
（3）拓展探究
如图（5）所示，分别作∠BEP和∠DFP的平分线交于点M，再分别作∠AEM和∠CFM的平分线交于点N，若∠EPF=α，∠EMF=β，∠ENF=θ，探究α，β，θ的关系式，并写出该关系式及解答过程.
24．（2024七下·余江期中） 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动．
（1）【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数；
（2）【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系；
（3）【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，求（用含α的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：过点作于河岸，这样做依据的几何学原理是垂线段最短．
故答案为：A.
【分析】利用垂线段的性质（垂线段最短）分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】生活中的平移现象；图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，C不是平移得到，
D是利用图形的平移得到．
故答案为：D．
【分析】根据图形平移的性质解答即可．
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补可算出∠EAC的度数，根据作图可知AF平分∠EAC，进而根据角平分线的定义求出∠1的度数.
4．【答案】A
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠2和∠AOC是对顶角，
∴∠2=∠AOC，
∵OE⊥AB，∠1=35°，
∴∠AOC=∠2=90°-35°=55°，
故选：A．
【分析】根据对顶角相等，可得∠2=∠AOC；根据垂线的性质，可得∠AOE=90°；根据角的运算计算即可得∠2得度数.
5．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵，
∴线段的长能表示点B到的距离．
故选：B．
【分析】本题考查点到直线的距离．根据，利用点到直线的距离的定义可得线段的长能表示点B到的距离．
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵、分别是、的平分线，
∴，，
∴，
∴与之间的大小关系一定为互余，
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质可得∠CAB+∠ABD=180°，然后由角平分线的定义，结合角的和差，余角的定义判定即可．
7．【答案】A
【知识点】生活中的平移现象；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：如图，延长EF交AB于点N，
由题意可得：AD=BC=a+b，
∴CG=b，CK=BC-BK=b，
结合平移思想可得两块阴影部分的周长之和即为长方形MANF和正方形GHKC的周长之和，
∴两块阴影部分的周长和=2[a+(a+b-3b)]+ 4b
=2 (а+а+b-3b)+4Ь=2а+2а+2b-6b+4b =4a，
∴若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出数据a，
故答案为：A.
【分析】延长EF交AB于点N，利用平移思想分析可得两块阴影部分的周长之和即为长方形MANF和正方形GHKC的周长之和，从而结合整式加减的运算法则列式计算，作出判断.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α-β．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β．
即①α+β，②α-β，③β-α，都成立．
故答案为：A．
【分析】分类讨论，利用平行线的性质求解即可。
9．【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过C作CQ∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CQ，
∴∠ABC＋∠BCQ＝180°，∠EFC＋∠FCQ＝180°，
∴∠ABC＋∠BCF＋∠EFC＝360°，
∵∠FCD＝60°，
∴∠BCF＝120°，
∴∠ABC＋∠EFC＝360°﹣120°＝240°，
∵∠ABP＝ ∠ABC，∠EFP＝ ∠EFC，
∴∠ABP＋∠PFE＝60°，
∴∠P＝60°.
故答案为：A.
【分析】过C作CQ∥AB，利用平行线的判定与性质进行解答即可.
10．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，
，故①正确，符合题意；
如图，延长DA至M．
，
，
又，
，
又，
，
即，故②正确，符合题意；
，，
．
，
，故③错误，不符合题意；
，，
．
，
，
．
，
．
，
，故④正确，符合题意，
综上正确的有①②④.
故答案为：A．
【分析】本题考查平行线的判定与性质．对于①，根据“内错角相等，两直线平行”可推出AC∥DE，进而判断①；对于②，标注图形，先利用角的运算推出，再根据角之间的关系可推出结论；对于③，根据“两直线平行，内错角相等”先求出，再根据角的运算可求出答案；对于④，先利用角的运算求出的度数，进而可说明两个角的关系．
11．【答案】60°或120°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】∵∠A的一边与∠B的一边互相平行，
∴∠1=∠A=30°，
∵∠A的另一边与∠B的另一边互相垂直，
∴∠B=90°-∠1=90°-30°=60°，
或∠B=90°+∠1=90°+30°=120°，
即∠B的度数是60°或120°．
故答案为60°或120°．
【分析】作出图形，根据两直线平行，同位角相等求得∠1的度数，再分两种情况：∠A的另一边与∠B的另一边互相垂直，讨论即可。
12．【答案】100
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点E作GH||AB
∵AB||CD
∴GH||CD
∴∠CQE=∠HEQ
∵GH||AB
∴∠PEH=∠APE
∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，∠PEQ=130°
∴∠APE+∠CQE=130°
∵PE、QE平分∠APF、∠CQF
∴∠APF=2∠APE，∠CQF=2∠CQE
∴∠APF+∠CQF=2(∠APE+∠CQE)=260°
∵∠BPF=180°-∠APF，∠DQF=180°-∠CQF
∴∠BPF+∠DQF=180°-∠APF+180°-∠CQF=360°-160°=100°
过点F作MN||AB
∵AB||CD，
∴MN||CD
∴∠PFM=∠BPF，∠QFM=∠DQF
∴∠PFQ=∠BPF+∠DQF=100°
故答案为：100.
【分析】过点E作GH||AB，利用平行线的性质得∠APF+∠CQF=2(∠APE+∠CQE)=260°，由此可得∠BPF+∠DQF=100°，同理作MN||AB即可得∠PFQ=∠BPF+∠DQF=100°.
13．【答案】39
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿边向右平移得到，AB=8，
∴DE=AB=8，，
∵，，
∴，
∵DG=3，
∴GE=DE-DG=8-3=5，
∵BE=6，
∴，
故答案为：39.
【分析】根据平移的性质得DE=AB=8，，利用面积的和差关系得，然后求出GE=DE-DG，最后根据梯形的面积公式进行求解即可.
14．【答案】x°+y°；（x°+y°）
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：过P1作P1G∥AB，如下图：
∵AB∥P1G，AB∥CD
∴AB∥P1G∥CD
∴∠P1EB=∠GP1E，∠GP1F=∠P1FD
∴∠EP1F=∠GP1E+∠GP1F=∠P1EB+∠P1FD=x°+y°；
同理，可得∠P2=∠P2EB+∠P2FD=∠P1EB+∠P1FD=（∠P1EB+∠P1FD）；
∠P3=（∠P2EB+∠P2FD）=（∠P1EB+∠P1FD）
以此类推，可得∠Pn=（∠P1EB+∠P1FD）=（x°+y°）.
故答案为：（x°+y°）；（x°+y°）.
【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得∠P1EB=∠GP1E，∠GP1F=∠P1FD；根据角的运算和等量代换原则，可得∠P1的值；根据数据规律进行总结，即可得∠Pn的值.
15．【答案】①③
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
又∵为角平分线，
∴，
∴，
故①正确；
∵根据无法判断四边形是平行四边形，
∴无法判断，故②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴平分，
故③正确；
若，
则为等边三角形，
∵线段为角平分线，
∴，
∴，
要证，
需证明，
根据题目给出的条件无法证明四边形为平行四边形，故无法证明，
故④错误；
故答案为：①③．
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义可以判断①，根据无法判断四边形是平行四边形，故无法得到②，根据平行线性质及角平分线的性质，通过等量代换可以判断③，通过，可证，，无法判断四边形是平行四边形，无法证明，故无法证明，故可判断④．
16．【答案】或或
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，
由平移得到，
，
，，
，
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
第二种情况：当点在外时，过点作，
由平移得到，
，
，，
，
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
当时，由图可知，，故不存在这种情况；
故答案为：或或．
【分析】平移时，E点可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上，故需分点在上和点在线段BC延长线上两种情况讨论。根据平移性质得到AB//DE，根据平行线性质得到之间的数量关系，再设未知数列方程求解即可。
17．【答案】（1）解：作图如下：
（2）证明：∵（已知），
∴（垂直的定义）．
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）．
∴（等量代换）．
∴（垂直的定义）．
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）根据平行线和垂线的定义求作即可；
（2）根据垂直的定义以及平行线的性质进行推理，再填空即可。
18．【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠DBC；两直线平行，同旁内角互补；∠DBC；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】证明：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
又∵（已知），
∴（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行）．
【分析】根据垂直的定义可得∠BDC=∠FGC=90°，由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”可得∠2+∠DBC=180°，由等角的补角相等可得∠1=∠DBC，然后根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”即可求解．
19．【答案】（1）解：∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝24°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝48°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣48°＝132°，
∵n＝3，
∠BOC＝3∠EOC＝132°，
∴∠EOC＝44°，
∠EOD＝∠COD+∠EOC＝24°+44°＝68°
（2）解：设∠AOD＝x，∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝x，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝x+x＝2x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2x，
∵DO⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠COD＝90°﹣x，
∵∠BOC＝n∠EOC，
∴180°﹣2x＝n（90°﹣x），
∴n＝2.
（3）解：∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝α，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝α+α＝2α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2α，
∵n＝4，
∴∠BOC＝4∠EOC＝180°﹣2α，
∴
【知识点】角的运算；垂线的概念；补角
【解析】【分析】（1）根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝24°，即可算出∠AOC＝48°，根据平角的性质可得∠BOC=132°，由n＝3，即可算出∠EOC＝44°，再根据∠EOD＝∠COD+∠EOC，代入计算即可；
（2）设∠AOD＝x，根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝x，即可算出∠AOC＝2x，根据平角的性质可得∠BOC＝180°﹣2x，根据垂线的性质，可得∠COE＝90°-x，由∠BOC＝n∠EOC，代入计算即可算出n的值；
（3）根据同角的补角相等可得∠AOD＝∠COD＝α，即可算出∠AOC=2α，根据平角的性质可得∠BOC=180°﹣2α，由n＝4，即可得出∠BOC＝4∠EOC，代入计算即可得出，再根据∠EOD＝∠COD+∠EOC，代入计算即可得出答案．
20．【答案】（1）解：如图，点即为所作，
（2）解：
（2）
如图，三角形即为所作．
【知识点】作图﹣平移
【解析】【分析】（1）把相等向下平移4格，则B点的对应点为E点；
（2）先确定AC的中点，可知先向右平移1格，再向下平移3格后得到点D，再按平移方向和距离画出△A'B'C'即可.
（1）如图，点即为所作，
（2）如图，三角形即为所作．
21．【答案】（1）解：，
，
，
又，
，
；
（2）解：，
，
又平分，
，
又，
．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直线平行判定定理可得，则，由可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，再根据角平分线性质可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：，
，
，
又，
，
；
（2），
，
又平分，
，
又，
．
22．【答案】（1）114°
（2）解：与的关系：.
证明：过点B作，
∵a∥b，
∴BN∥b∥a，
∴，，
∵，
∴，
∴
（3）
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；余角；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）.
设三角板与直线b的交点为N，
由余角性质和平行线的性质可知，
，
，
∴，
∴-（90°-∠2）
∴.
故答案为：114°.
（3）. .
证明：设BC与直线b交于E点，BM与直线b交于F点，
则，，，
∵，
∴，
∴.
【分析】（1）根据余角性质及两条直线平行同旁内角互补即可解答；
（2）过点B作BN∥a，运用余角性质及两条直线平行同旁内角互补即可解答；
（3）运用对顶角性质、余角性质及两条直线平行同位角相等即可解答。
23．【答案】（1）证明：如图（3）所示，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD.
∴∠CFP=∠FPH（两直线平行，内错角相等），
∵PH∥AB，
∴∠AEP=∠EPH.
∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP（等量代换）
（2）解：∵∠EPF=140°，
∴由（1）可知∠EPF=∠AEP+∠CFP=140°，∠EMF=∠BEM+∠DFM.
∵∠AEP+∠BEP=∠CFP+∠DFP=180°，
∴∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP=360°.
∴∠BEP+∠DFP=360°-140°=220°.
∵EM，FM分别平分∠BEP，∠DFP，
∴∠BEM=∠BEP，∠DFM=∠DFP.
∴∠BEM+∠DFM=(∠BEP+∠DFP)=110°.
∴∠EMF=110°.
（3）解：θ=α+β.
∵∠BEP和∠DFP的平分线交于点M，∠AEM和∠CFM的平分线交于点N，
∴∠BEP=2∠BEM，∠DFP=2∠DFM.
由（2）可得∠EMF=β=∠BEM+∠DFM，
∵α=∠AEP+∠CFP
=180°-∠BEP+180°-∠DFP
=360°-2∠BEM-2∠DFM
=360°-2(∠BEM+∠DFM)
=360°-2β，
∴α+2β=360°.
∴α+β=180°.
∵θ=∠AEN+∠CFN
=∠AEM+∠CFM
=(180°-∠BEM+180°-∠DFM)
=180°-(∠BEM+∠DFM)
=180°-β.
∴θ=α+β-β=α+β.
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）如图（3），过点P作PH∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥PH∥CD，由两直线平行，内错角相等，得∠CFP=∠FPH，∠AEP=∠EPH，进而根据角的构成及等量代换可得结论；
（2）由（1）可知∠EPF=∠AEP+∠CFP=140°，∠EMF=∠BEM+∠DFM，然后由邻补角及等式的性质可推出∠BEP+∠DFP=360°-140°=220°，结合角平分线的定义得∠BEM+∠DFM=(∠BEP+∠DFP)，从而即可得出答案；
（3）θ=α+β，理由如下：由角平分线的定义得∠BEP=2∠BEM，∠DFP=2∠DFM，由（2）可得∠EMF=β=∠BEM+∠DFM，由（1）结论可推出α+β=180°，θ=∠AEN+∠CFN=180°-β，从而等量代换可得出结论.
24．【答案】（1）解：如图1，∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2）解：如图2，∵，
∴，即，
又∵，
∴
（3）解：如图3，∵，
∴，即，
又∵，，，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）由AB∥CD可得∠1=∠EGD，再结合，，可得，继而得解；
（2）由AB∥CD可得，结合即可求解；
（3）由AB∥CD可得，再利用角的和差关系进行解答即可.
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