浙教版（2024）数学七下第1章 相交线与平行线 单元测试A卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023七下·武平期末）如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
2．（2024八上·重庆市开学考）在下面四个图形中，能由图经过平移得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·铜梁开学考）如图，点O在直线上，．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·博罗期末）如图，三条直线AB，CD，EF交于点O，且AB⊥CD，若∠EOD＝70°，则∠BOF＝（ ）
A．10° B．30° C．20° D．70°
5．（2024八上·惠城开学考）如图， 一把直尺、两个含 的三角尺拼接在一起， 则 的度数为 ( )
A． B． C． D．
6．（2024七下·潮阳期末）如图，，与不一定相等的角是( )
A． B． C． D．
7．（2024七下·梓潼期末）如图，已知直线，被直线所截，下列结论正确的有( )
；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（2024七下·涪城期末）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为与的交点，下列结论中正确的个数是( )
若平分，则
若，则
若，则
若，则
A．个 B．个 C．个 D．个
9．（2024八下·深圳期末）下列四个图案中，可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是( )
A． B．
C． D．
10．（2024七下·江北期末）如图，，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，，则∠E=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024七下·嵩明期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，应在铁路上处建设才能使李庄到铁路的距离最短，这样做依据的数学道理是 ．
12． 如图， 将直角三角形 沿 方向平移得到直角三角形 ． 已知 ， ， 则
13．（2024八上·重庆市开学考）如图，有一块长为、宽为的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则六块草坪的面积和为 ．
14．（2024八上·岳阳开学考）如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= .
15．（2024八上·南宁开学考）如图，，，，那么的度数是 度．
16．（2024八上·游仙开学考）如图，已知点D为内一点，，，交于点H，若，则的度数为 ．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题12分，第23题10分，第24题10分，共66分）
17．如图，直线AB，CD，EF 都经过点O，另有一条直线与AB，EF，CD分别相交于点 P，M，N.图中有几对对顶角
18．（2024八上·云南开学考）如图，的平分线交于点F，交线段的延长线于点E，．
求证：
19．（2024八上·富裕开学考）如图，E，F分别是直线BA，DC上的点，∠E＝∠F，∠B＝∠D．求证：ADBC．
20．（2024七下·岳阳期中）完成下面的证明过程，填写理由或数学式．
已知：如图，，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴（________________），
∴（________________），
又∵（已知），
∴________（等量代换），
∴________（________________），
∴（________________）．
21． 如图，点O在直线AB 上，∠BOD 与∠COD互补，∠BOC=n∠EOC.
（1）若∠AOD=24°，n=3，求∠DOE的度数.
（2）若∠DOE=90°，求 n的值.
（3）若n=4，设∠AOD=α，求∠DOE 的度数(用含α的代数式表示∠DOE的度数).
22．（2024七下·武汉月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点分别是的对应点．
（1）请画出平移后的三角形；
（2）直接写出三角形的面积为__________；
（3）连接，直接写出与的位置关系：_________；
（4）线段扫过的图形的面积为__________．
23．（2024七下·余姚期末）如图，已知CD∥BE，∠1+∠2=180°.
（1）求证：EF∥BC.
（2）若∠EFA-∠EBA=44°，∠D=2∠AEF，求∠D的度数.
24．（2024七下·江南期末）综合与实践
【问题情境】数学课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺其中”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交于点．
（1）【操作探究】乐学小组的同学发现，如图，若，则 ；
（2）奋进小组的同学将三角尺绕点旋转至图时，若，求的度数；
（3）【深入探究】博学小组继续探究，如图，如果不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于，旋转三角尺，当点旋转到平行线之间，如果直线与直线相交于点，设，请直接写出的度数用含有的代数式表示，写出其中一种情况即可．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的概念可得：线段PB的长度即为点P到直线l的距离，故A、C、D三个选项都错误，不符合题意，只有B选项正确，符合题意.
故答案为：B.
【分析】过直线外一点向已知直线引垂线，这点与垂足间的线段就是这点到直线的距离，据此判断.
2．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：因为平移前后的图形形状和大小都不变，且方向不改变，
故 经过平移得到.
故答案为：C
【分析】根据平移的性质直接判断：平移前后的图形形状和大小都不变，且方向不改变.
3．【答案】C
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】先求出的度数，再根据进行计算即可求解.
4．【答案】C
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，，
，
；
故答案为：C．
【分析】根据垂线的性质可得∠EOD=90°，根据角的和差，以及对顶角相等即可求解．
5．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意得到，再根据两直线平行，内错角相等即可求解。
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质，依次判断即可．
7．【答案】A
【知识点】平行线的定义与现象；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵对顶角相等，
∴∠1=∠2，①正确；
∵直线a、b被直线c所截，而a与b不平行，
∴②③④错误；
∴正确的个数为1个，
故答案为：A
【分析】根据对顶角相等结合题意即可判断。
8．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）当CD平分∠ADB，则∠ADC＝45°，
∴∠BCD＝∠A＋∠ADC＝105°，故（1）错误；
（2）若AB∥DF，且AB在DF的上方，则∠ABD＝∠BDF＝30°，
∴∠BDC＝∠EDF ∠BDF＝15°，故（2）错误；
（3）若∠ADF＝120°时，且AD在DF的下方时，则∠ADC＝180°，故（3）错误；
（4）若AB⊥FD，且EF⊥DF，则EF∥AB，故（4）正确，
故答案为：A．
【分析】根据旋转的性质和平行线的性质与判定，逐一分析求解．
9．【答案】C
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：A、B、D三个选项中的图形不是平移得到，只有C选项的图形，可看成是由基本图形
通过平移得到的，
故答案为：C．
【分析】根据平移的定义逐项分析即可。在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过F作，
∵，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，
设，，
∴，，
在四边形中，
，
∴，①
又∵，
∴，②
∴，
解得：，
故选：C．
【分析】过F作，由平行公理得，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，可得，再结合，即可求出.
11．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，应在铁路上处建设才能使李庄到铁路的距离最短，这样做依据的数学道理是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短．
【分析】根据"垂线段最短"即可求解．
12．【答案】5
【知识点】平移的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形 沿 方向平移得到直角三角形
∴AD=BE=4
∵AE=13
∴BD=AE-AD-BE=13-4-4=5
故答案为：5.
【分析】根据平移的性质，可得AD=BE=4；根据线段的计算，可得BD的值.
13．【答案】880
【知识点】平移的性质；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵长方形的对边平行，根据平行线间的距离处处相等，
∴两个平行四边形直道长和高转换成等底等高的长方形时，面积不变，故将三条直道平移到长方形一边时，如图所示：面积保持不变.
∴六块草坪的面积(44－2×2)(24－2)=880(m2).
故答案为：880．
【分析】根据长方形的对边平行以及平行线之间的距离处处相等，将三条直道平移到长方形一边时，得到一块完整的长方形，再计算面积即可.
14．【答案】360°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD∥EF，
∴ ∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，
∴ ∠BAC+∠ACE+∠CEF= ∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°，
故答案为：360°.
【分析】利用两条直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，再利用角的运算求解即可.
15．【答案】35
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解∶∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为∶35．
【分析】根据直线平行性质可得，则，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长至．
，
．
∵，
∴，
，.
∵，
∴．
∵，
．
．
故答案为：．
【分析】先根据平行线的性质与垂直的意义求得，再利用平行线的性质求得，根据两角之和求出的度数．
17．【答案】解：由题意可得：
共有4条直线两两相交，每两条直线有2对对顶角
∴共有4×3=12对对顶角
【知识点】对顶角及其性质；角的计数问题
【解析】【分析】根据相交两条直线有2对对顶角，结合对顶角的定义即可求出答案.
18．【答案】证明：∵的平分线交于点F，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质及等量代换可得，证出，最后利用平行线的性质可得 ，从而得证.
19．【答案】证明：∵∠E＝∠F，∴ABCD，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠BCF，
∴ADBC．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的判定和性质：“内错角相等，两直线平行”得到ABCD，根据平行线的性质得到∠B＝∠BCF，根据两直线平行，同位角相等进而得到∠D＝∠BCF，即可判定ADBC．
20．【答案】证明：∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴ （等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据已知的证明步骤以及平行线的判定以及性质，等量代换，完成证明填空即可．
21．【答案】（1）解：∵∠BOD+∠AOD=180°，∠BOD+∠COD=180°，
∴∠AOD=∠COD=24°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD
∴∠BOC=3∠EOC=132°，
∴∠EOC= ∠BOC= ×132°=44°，
∴∠DOE=∠COD+∠EOC=24°+44°=68°.
（2）解：设∠AOD=x，∵∠BOD+∠AOD=180°，∠BOD+∠COD=180°，
∴∠AOD=∠COD=x，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=x+x=2x，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°- 2x
∵∠BOC=n∠EOC，
∴180°-2x=n(90°-x)，
∴n=2.
（3）解：∵∠BOD+∠AOD=180°，∠BOD+∠COD=180°，
∴∠AOD=∠COD=α，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=α+α
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；垂线的概念
【解析】【分析】(1)根据∠BOD与∠COD互补，平角的意义，可得出∠AOD=∠COD，进而求出∠BOC，再根据∠BOC=3∠EOC，求出∠EOC，最后求出∠DOE；
（2）设∠AOD=x，根据同角的补角相等可得∠AOD=∠COD=x，即可算出∠AOC的度数，根据平角的性质可得∠BOC的度数，根据垂线的性质，可得∠DOE=90°，即可算出∠COE=90°-∠COD的度数，由∠BOC=n∠EOC，代入计算即可算出n的值；
(3)根据同角的补角相等可得∠AOD=∠COD=α，即可算出∠AOC关于α的表达式，根据平角的性质可得∠BOC关于α的表达式，由n=4，即可得出∠BOC=4∠EOC，代入计算即可得出∠EOC关于α的表达式，再根据∠EOD=∠COD+∠EOC代入计算即可得出答案.
22．【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）平行；
（4）．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）找出点的对应点，顺次连接，
如图，即为所求，
（2），
故答案为：；
（3）∵平移得到，
∴AD//BE，即与的位置关系是平行，
故答案为：平行；
（4），
∴线段扫过的图形的面积为28，
故答案为：．
【分析】（）根据点和的位置，确定平移的方向和距离，找出点的对应点，顺次连接，即可画出平移后的三角形DEF；
（）利用割补法求三角形的面积即可得到答案；
（）根据平移的性质可知，AD//BE，即可得到与的位置关系是平行；
（）利用割补法求面积即可得到答案.
23．【答案】（1）证明：∵，
，
，
同角的补角相等，
∴（内错角相等，两直线平行，
（2）解：∵，
，
，，
，即，
，
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据得到 ∠1+∠CBE=180 ° ，结合 ∠1+∠2=180 ° ，证明∠2=∠CBE，从而得到；
（2）先证明∠D=2∠AEF，进而证明∠D=2∠2，即可求出∠D的度数．
24．【答案】（1）60°
（2）解：过点作平行，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：或
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）解： 和交于点，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
或．
当时，延长交于，过作，如图：
，
，
，
，
，
，
；
当时，延长交于，过作，如图：
，
又，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或．
【分析】（1）根据平行线的性质、对顶角相等以及三角形内角和定理求解即可；
（2）过C 作CD∥MN，根据平行的性质，依次求出角三BCD，∠ACD，∠MEC，∠AEN即可；
（3）根据的大小分两类讨论，时或时，过C作MN的平行线，根据平行线的性质求出∠AEN即可．
1 / 1浙教版（2024）数学七下第1章 相交线与平行线 单元测试A卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023七下·武平期末）如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的概念可得：线段PB的长度即为点P到直线l的距离，故A、C、D三个选项都错误，不符合题意，只有B选项正确，符合题意.
故答案为：B.
【分析】过直线外一点向已知直线引垂线，这点与垂足间的线段就是这点到直线的距离，据此判断.
2．（2024八上·重庆市开学考）在下面四个图形中，能由图经过平移得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：因为平移前后的图形形状和大小都不变，且方向不改变，
故 经过平移得到.
故答案为：C
【分析】根据平移的性质直接判断：平移前后的图形形状和大小都不变，且方向不改变.
3．（2024八上·铜梁开学考）如图，点O在直线上，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】先求出的度数，再根据进行计算即可求解.
4．（2024七下·博罗期末）如图，三条直线AB，CD，EF交于点O，且AB⊥CD，若∠EOD＝70°，则∠BOF＝（ ）
A．10° B．30° C．20° D．70°
【答案】C
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，，
，
；
故答案为：C．
【分析】根据垂线的性质可得∠EOD=90°，根据角的和差，以及对顶角相等即可求解．
5．（2024八上·惠城开学考）如图， 一把直尺、两个含 的三角尺拼接在一起， 则 的度数为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意得到，再根据两直线平行，内错角相等即可求解。
6．（2024七下·潮阳期末）如图，，与不一定相等的角是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质，依次判断即可．
7．（2024七下·梓潼期末）如图，已知直线，被直线所截，下列结论正确的有( )
；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】平行线的定义与现象；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵对顶角相等，
∴∠1=∠2，①正确；
∵直线a、b被直线c所截，而a与b不平行，
∴②③④错误；
∴正确的个数为1个，
故答案为：A
【分析】根据对顶角相等结合题意即可判断。
8．（2024七下·涪城期末）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为与的交点，下列结论中正确的个数是( )
若平分，则
若，则
若，则
若，则
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）当CD平分∠ADB，则∠ADC＝45°，
∴∠BCD＝∠A＋∠ADC＝105°，故（1）错误；
（2）若AB∥DF，且AB在DF的上方，则∠ABD＝∠BDF＝30°，
∴∠BDC＝∠EDF ∠BDF＝15°，故（2）错误；
（3）若∠ADF＝120°时，且AD在DF的下方时，则∠ADC＝180°，故（3）错误；
（4）若AB⊥FD，且EF⊥DF，则EF∥AB，故（4）正确，
故答案为：A．
【分析】根据旋转的性质和平行线的性质与判定，逐一分析求解．
9．（2024八下·深圳期末）下列四个图案中，可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：A、B、D三个选项中的图形不是平移得到，只有C选项的图形，可看成是由基本图形
通过平移得到的，
故答案为：C．
【分析】根据平移的定义逐项分析即可。在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
10．（2024七下·江北期末）如图，，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，，则∠E=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过F作，
∵，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，
设，，
∴，，
在四边形中，
，
∴，①
又∵，
∴，②
∴，
解得：，
故选：C．
【分析】过F作，由平行公理得，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，可得，再结合，即可求出.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024七下·嵩明期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，应在铁路上处建设才能使李庄到铁路的距离最短，这样做依据的数学道理是 ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，应在铁路上处建设才能使李庄到铁路的距离最短，这样做依据的数学道理是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短．
【分析】根据"垂线段最短"即可求解．
12． 如图， 将直角三角形 沿 方向平移得到直角三角形 ． 已知 ， ， 则
【答案】5
【知识点】平移的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形 沿 方向平移得到直角三角形
∴AD=BE=4
∵AE=13
∴BD=AE-AD-BE=13-4-4=5
故答案为：5.
【分析】根据平移的性质，可得AD=BE=4；根据线段的计算，可得BD的值.
13．（2024八上·重庆市开学考）如图，有一块长为、宽为的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则六块草坪的面积和为 ．
【答案】880
【知识点】平移的性质；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵长方形的对边平行，根据平行线间的距离处处相等，
∴两个平行四边形直道长和高转换成等底等高的长方形时，面积不变，故将三条直道平移到长方形一边时，如图所示：面积保持不变.
∴六块草坪的面积(44－2×2)(24－2)=880(m2).
故答案为：880．
【分析】根据长方形的对边平行以及平行线之间的距离处处相等，将三条直道平移到长方形一边时，得到一块完整的长方形，再计算面积即可.
14．（2024八上·岳阳开学考）如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= .
【答案】360°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD∥EF，
∴ ∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，
∴ ∠BAC+∠ACE+∠CEF= ∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°，
故答案为：360°.
【分析】利用两条直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，再利用角的运算求解即可.
15．（2024八上·南宁开学考）如图，，，，那么的度数是 度．
【答案】35
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解∶∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为∶35．
【分析】根据直线平行性质可得，则，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
16．（2024八上·游仙开学考）如图，已知点D为内一点，，，交于点H，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长至．
，
．
∵，
∴，
，.
∵，
∴．
∵，
．
．
故答案为：．
【分析】先根据平行线的性质与垂直的意义求得，再利用平行线的性质求得，根据两角之和求出的度数．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题12分，第23题10分，第24题10分，共66分）
17．如图，直线AB，CD，EF 都经过点O，另有一条直线与AB，EF，CD分别相交于点 P，M，N.图中有几对对顶角
【答案】解：由题意可得：
共有4条直线两两相交，每两条直线有2对对顶角
∴共有4×3=12对对顶角
【知识点】对顶角及其性质；角的计数问题
【解析】【分析】根据相交两条直线有2对对顶角，结合对顶角的定义即可求出答案.
18．（2024八上·云南开学考）如图，的平分线交于点F，交线段的延长线于点E，．
求证：
【答案】证明：∵的平分线交于点F，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质及等量代换可得，证出，最后利用平行线的性质可得 ，从而得证.
19．（2024八上·富裕开学考）如图，E，F分别是直线BA，DC上的点，∠E＝∠F，∠B＝∠D．求证：ADBC．
【答案】证明：∵∠E＝∠F，∴ABCD，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠BCF，
∴ADBC．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的判定和性质：“内错角相等，两直线平行”得到ABCD，根据平行线的性质得到∠B＝∠BCF，根据两直线平行，同位角相等进而得到∠D＝∠BCF，即可判定ADBC．
20．（2024七下·岳阳期中）完成下面的证明过程，填写理由或数学式．
已知：如图，，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴（________________），
∴（________________），
又∵（已知），
∴________（等量代换），
∴________（________________），
∴（________________）．
【答案】证明：∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴ （等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据已知的证明步骤以及平行线的判定以及性质，等量代换，完成证明填空即可．
21． 如图，点O在直线AB 上，∠BOD 与∠COD互补，∠BOC=n∠EOC.
（1）若∠AOD=24°，n=3，求∠DOE的度数.
（2）若∠DOE=90°，求 n的值.
（3）若n=4，设∠AOD=α，求∠DOE 的度数(用含α的代数式表示∠DOE的度数).
【答案】（1）解：∵∠BOD+∠AOD=180°，∠BOD+∠COD=180°，
∴∠AOD=∠COD=24°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD
∴∠BOC=3∠EOC=132°，
∴∠EOC= ∠BOC= ×132°=44°，
∴∠DOE=∠COD+∠EOC=24°+44°=68°.
（2）解：设∠AOD=x，∵∠BOD+∠AOD=180°，∠BOD+∠COD=180°，
∴∠AOD=∠COD=x，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=x+x=2x，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°- 2x
∵∠BOC=n∠EOC，
∴180°-2x=n(90°-x)，
∴n=2.
（3）解：∵∠BOD+∠AOD=180°，∠BOD+∠COD=180°，
∴∠AOD=∠COD=α，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=α+α
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；垂线的概念
【解析】【分析】(1)根据∠BOD与∠COD互补，平角的意义，可得出∠AOD=∠COD，进而求出∠BOC，再根据∠BOC=3∠EOC，求出∠EOC，最后求出∠DOE；
（2）设∠AOD=x，根据同角的补角相等可得∠AOD=∠COD=x，即可算出∠AOC的度数，根据平角的性质可得∠BOC的度数，根据垂线的性质，可得∠DOE=90°，即可算出∠COE=90°-∠COD的度数，由∠BOC=n∠EOC，代入计算即可算出n的值；
(3)根据同角的补角相等可得∠AOD=∠COD=α，即可算出∠AOC关于α的表达式，根据平角的性质可得∠BOC关于α的表达式，由n=4，即可得出∠BOC=4∠EOC，代入计算即可得出∠EOC关于α的表达式，再根据∠EOD=∠COD+∠EOC代入计算即可得出答案.
22．（2024七下·武汉月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点分别是的对应点．
（1）请画出平移后的三角形；
（2）直接写出三角形的面积为__________；
（3）连接，直接写出与的位置关系：_________；
（4）线段扫过的图形的面积为__________．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）平行；
（4）．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）找出点的对应点，顺次连接，
如图，即为所求，
（2），
故答案为：；
（3）∵平移得到，
∴AD//BE，即与的位置关系是平行，
故答案为：平行；
（4），
∴线段扫过的图形的面积为28，
故答案为：．
【分析】（）根据点和的位置，确定平移的方向和距离，找出点的对应点，顺次连接，即可画出平移后的三角形DEF；
（）利用割补法求三角形的面积即可得到答案；
（）根据平移的性质可知，AD//BE，即可得到与的位置关系是平行；
（）利用割补法求面积即可得到答案.
23．（2024七下·余姚期末）如图，已知CD∥BE，∠1+∠2=180°.
（1）求证：EF∥BC.
（2）若∠EFA-∠EBA=44°，∠D=2∠AEF，求∠D的度数.
【答案】（1）证明：∵，
，
，
同角的补角相等，
∴（内错角相等，两直线平行，
（2）解：∵，
，
，，
，即，
，
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据得到 ∠1+∠CBE=180 ° ，结合 ∠1+∠2=180 ° ，证明∠2=∠CBE，从而得到；
（2）先证明∠D=2∠AEF，进而证明∠D=2∠2，即可求出∠D的度数．
24．（2024七下·江南期末）综合与实践
【问题情境】数学课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺其中”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交于点．
（1）【操作探究】乐学小组的同学发现，如图，若，则 ；
（2）奋进小组的同学将三角尺绕点旋转至图时，若，求的度数；
（3）【深入探究】博学小组继续探究，如图，如果不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于，旋转三角尺，当点旋转到平行线之间，如果直线与直线相交于点，设，请直接写出的度数用含有的代数式表示，写出其中一种情况即可．
【答案】（1）60°
（2）解：过点作平行，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：或
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）解： 和交于点，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
或．
当时，延长交于，过作，如图：
，
，
，
，
，
，
；
当时，延长交于，过作，如图：
，
又，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或．
【分析】（1）根据平行线的性质、对顶角相等以及三角形内角和定理求解即可；
（2）过C 作CD∥MN，根据平行的性质，依次求出角三BCD，∠ACD，∠MEC，∠AEN即可；
（3）根据的大小分两类讨论，时或时，过C作MN的平行线，根据平行线的性质求出∠AEN即可．
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