浙教版（2024）数学七下第1章 相交线与平行线 单元测试B卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．“潮涌”是杭州第 19 届亚运会会徽， 钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心， 下面左图是会徽的一部分， 在以下四个选项中， 能由该图经过平移得到的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：平移不改变图形的大小、方向与形状，选项中ABD不符合要求.
故答案为：C.
【分析】根据平移的定义：平移是指在同一平面内将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动.本题的关键是掌握平移的性质.
2．（2024七下·玉州期末）如图所示，计划在河边的A，B，C，D处，引水到P处，从何处引水，能使所用的水管最短（ ）
A．D处 B．C处 C．B处 D．A处
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：，
由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短．
故答案为：C．
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．
3．（2024七下·成都期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，点落在直线上若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由∠ACB=90°，∠1=48°得∠3=180°-90°-48°=42°，而a||b得∠2=∠3=42°
故答案为：A.
【分析】由平角的定义得∠3的度数，再由平行线的性质得∠2的度数.
4．（2024·宿迁）如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠DFN=∠1=40°，
∴∠2=180°-∠DFN=180°-40°=140°，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得∠DFN=∠1=40°，再根据平角的定义得∠2=180°-∠DFN.
5．（2024七下·金湾期末）如图，光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵水面和杯底互相平行，
∴，
又∵∠1=122°，
∴．
∵水中的两条折射光线平行，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．
6．（2024七下·花都期末） 某小区车库门口的曲臂道闸升降杜如图所示， 垂直地面 于 A 点， 平行于地面 ， 若 ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作，如图所示：
则，
，；
∵，
，
，
，
；
故答案为：D
【分析】过点B作，根据平行公理及其推论得到则，进而根据平行线的性质得到，，从而结合垂直等量代换求出∠FBC的度数，从而即可得到∠BCD的度数.
7．（2024七下·临海期末）如图，将含角的三角尺的一个顶点放置在直尺一边上，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，，进而结合已知条件即可得到，从而即可求解。
8．（2024七下·揭西期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数是（ ）
A．68° B．78° C．98° D．102°
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：AB∥CD，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=102°，
∴∠BCD=78°，
∴∠2=78°.
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠BCD，结合平角的定义即可求解.
9．将四张边长各不相同的正方形纸片①②③④按如图方式放在矩形上(相邻纸片之间互不重叠， 也无缝隙)， 未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示， 要求出两个阴影部分周长的差， 只要知道下列某个图形的边长， 该图形是( )
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；生活中的平移现象
【解析】【解答】解：如下图分别作辅助线，则可知左下角的阴影图形的周长相当于矩形BEFG的周长，右上角的阴影图形的周长相当于矩形DHIK的周长. 且通过条件可知AD=BC，AB=DC.
设正方形纸片①②③④的边长分别为a、b、c、d，则：
左下角阴影图形周长=2(AB-a)+2(BC-c-d)，右上角阴影图形周长=2(BC-a)+2(AB-d).
∴2(BC-a)+2(AB-d)-2(AB-a)-2(BC-c-d)=2c，即周长差只跟纸片③的边长有关.
故答案为：C.
【分析】通过辅助线，使得不规则图形巧妙地转化为熟悉的矩形后再求周长差，是解题的关键，然后分别表示出左下角阴影图形周长与右上角阴影图形周长，最后根据整式减法计算即可.
10．（2024七下·庐江期中） 如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：（1）当点B'在BC上时，过点C作CG//AB，如图所示：
∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的，
∴A'B'//AB，
∵CG//AB，
∴CG//A'B'，
①当∠ACA'=2∠CA'B'时，设∠CA'B'=m，则∠ACA'=2m，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=m，
∴2m+m=45°，
解得：m=15°，
∴∠ACA'=30°；
②当∠CA'B'=2∠ACA'时，设∠CA'B'=n，则∠ACA'=n，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=n，
∴，
解得：n=30°，
∴∠ACA'=15°；
（2）当点B'在△ABC外时，过点C作CG//AB，如图所示：
∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的，
∴AB//A'B'，
∵CG//AB，
∴CG//A'B'，
①当∠ACA'=2∠CA'B'时，设∠CA'B'=x，则∠ACA’=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=x，
∴2x=x+45°，
解得：x=45°，
∴∠ACA'=2x=90°；
②当∠CA'B'=2∠ACA'时，由图可得：∠CA'B'＜∠ACA'，不存在这种情况，
综上所述：∠ACA'的值为30°，15°或90°，不可能为45°，
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质和平行线的性质，结合图形，分类讨论求解即可。
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，将周长为10的△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为
【答案】14
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，
∴AD=CF=2，
∴四边形ABFD的周长，
=AB+BC+DF+CF+AD，
=△ABC的周长+AD+CF，
=10+2+2，
=14．
故答案为：14．
【分析】根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长=△ABC的周长+AD+CF代入数据计算即可得解．
12．（2024七下·博罗期末）如图，两个一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为 ．
【答案】48
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为：48
【分析】根据平移的性质分别求出BE、DE，根据题意求出OE，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算即可．
13．（2024七下·乌鲁木齐期末）如图，给出下列论断①AB∥CD②AD∥BC③∠A+∠B=180°④∠B+∠C=180°其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题为
【答案】若 AB∥CD 则有∠B+∠C=180°（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，得到：若 AB∥CD 则有∠B+∠C=180°（答案不唯一）；故答案为：若 AB∥CD 则有∠B+∠C=180°.
【分析】根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，得到：若（1）AB∥DC则有（4）∠B+∠C=180°；由（2）AD∥BC可以得到（3）∠A+∠B=180°．反之，根据平行线的判定，也成立．
14．（2024七下·余姚期末）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的度数 .
【答案】α+β
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，作OE∥AB，则OE∥CD，
∴∠ABO=∠BOE=α，∠COE=∠DCO=β，
∴∠BOC=∠BOE+∠COE=∠ABO+∠DCO=α+β.
故答案为：α+β.
【分析】作OE∥AB，则OE∥CD，根据平行线的性质可得∠ABO=∠BOE=α，∠COE=∠DCO=β，再根据角的和差求解。
15．（2024九上·宝山开学考）如图，点在直线外的一点，点，在直线上，，于，若，则线段上到点的距离为整数的点有 个．
【答案】6
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离
【解析】【解答】解：设点E在BD上，
∵，，，
∴，
∵为整数，
∴，
∴上有3个点到点的距离为整数，
同理可得：上有3个点到点的距离为整数，
∴线段上到点的距离为整数的点有6个，
故答案为：6．
【分析】设点E在BD上，根据点到直线的距离可得AD＜AE惜爱与A，即，结合有理数的范围可得AE可以取的整数位2、3、4，即BD上有3个点到点A的距离为整数，同理可得：CD上有3个点到点A的距离为整数，即可求解.
16．（2024七下·海曙期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面 上，镜面 的调节角 ，激光笔发出的光束 射到平面镜上后，形成反射光束 ， 发现 ，若激光笔与水平天花板 (直线 ) 的夹角 ，则 与天花板所形成的角 的度数可用含 的代数式表示为
【答案】 或
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，当点H在点P左侧时，过点G作GQ∥EF，
，
，
，，
，
根据光的反射定理可知，，
，
；
当点H在点P右侧时，过点G作GQ∥EF，
，
，
，
根据光的反射定理可知，，
，
，
，
故答案为：或
【分析】分两种情况：①当点H在点P左侧时，过点G作GQ∥EF；②当点H在点P右侧时，过点G作GQ∥EF，分别根据平行线的性质和光的反射定理，进行求解即可．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024八上·祁阳期中）作图题：已知∠ABC及AB上一点A，
（1）过点A画AE⊥BC，垂足为点E，此时线段的长为点A到直线BC的距离______．
（2）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）在射线BC上，以C为定点，作∠FCD=∠ABC
【答案】解：（1）AE
（2）如图所示，∠FCD即为所求．
【知识点】点到直线的距离；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】解：（1）过点A画AE⊥BC，垂足为点E，此时点A到直线BC的距离即为线段AE的长，
故答案为AE；
（2）如图所示，先以B为圆心，任意长为半径画弧，交BA、BD于点M、N，以同样半径长度将C作为圆心画弧，交CD于P，以P点为圆心，MN为半径画弧，两弧相交于F，连接CF，即得∠FCD=∠ABC．
【分析】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握点到直线的距离及作一个角等于已知角的尺规作图
（1）点到直线的距离是指从该点向直线作垂线，垂线段的长度；过点A作AE⊥BC，垂足为E，所以线段AE的长就是点A到直线BC的距离；
（2）用尺规作一个角等于已知角的方法：先以B为圆心，任意长为半径画弧，交BA、BD于点M、N，这是确定了角的两边上的两个点；再以C为圆心，同样半径长度画弧，交CD于P，这是在另一条射线上确定了一个点；然后以P为圆心，MN为半径画弧，两弧相交于F，连接CF，就得到∠FCD=∠ABC，这是利用了全等三角形的原理，保证了所作的角与已知角相等．
18．如图， 已知直线 被直线 所截， 且 ， 试判断直线 与 是否平行， 并说明理由．
【答案】解：AB∥CD.理由如下：
∵∠2=60°，∠AHG=∠2，
∴∠AHG=60°，
又∵∠1=60°，
∴∠1=∠AHG，
∴AB∥CD.
【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据对顶角相等得∠AHG的度数，结合已知得∠1=∠AHG，根据同位角相等，两直线平行即可得解.
19．（2024八上·湖南开学考）阅读下列文字，完成推理填空：
已知：如图，，，请说明：；
如图，延长交于点．
因为，
所以________（内错角相等，两直线平行）．
所以________（________________）．
因为，
所以________（________________）．
所以（________________）．
【答案】；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定；平行线的判定与性质；同位角的概念
【解析】【解答】解：如图所示，
延长交于点．
因为，所以（内错角相等，两直线平行）．
所以（两直线平行，同位角相等）．
因为，所以（等量代换）．
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】延长交于点，如图所示，根据内错角相等，两直线平行得到，进而确定，再由内错角相等，两直线平行即可得到，.
20．（2024八上·昆明开学考）如图，，
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线平行判定定理可得，则，即，再根据直线平行判定定理可得，则即可求出答案.
（2）由题意可得，再根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．（2024八上·潮阳开学考）综合与实践．
主题：探究平行线的性质与判定．素材：一副三角尺（一块含，一块含）、两根相同的长木棒．
步骤1：如图，摆放两根木棒使（可上下平移调节距离）．
步骤2：将一副三角尺按如图方式进行摆放，恰好满足，．
（1）的度数为 ，的度数为 ；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）答：，
理由如下：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解析】（1）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）根据三角板的特征及角的和差关系得出，再利用平行线的性质即可求出求解；
（2）利用平角的定义求出，同旁内角互补两直线平行证明出AB与DE平行.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
22． 在网格中的位置如图所示， 请根据下列要求作图或解答：
（1） 过点 作 的平行线 ， 要求点 是网格的格点．
（2） 已知点 是点 经平移后得到的， 请说明平移过程．
（3） 按照 (2) 的平移过程， 作出 经过平移后得到的 ．
（4） 连结 ， 请直接判断线段 与线段 的关系．
【答案】（1）解：如图， 直线 即为所求．
（2）解：点 向左平移 4 个单位， 向下平移 6 个单位得到 ．
（3）解：如图， 即为所求；
（4）解：， 线段 与线段 在同一直线上．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；图形的平移
【解析】【分析】（1）首先，D点就是AB沿AC平移到A点（A与C重合）后B点与网格重合的点，因此先找出A点平移到C点的平移过程：即A点右移4个单位后下移3个单位. 根据此平移过程，将B点同样右移4个单位后下移3个单位，即得到点C，连接CD即为所求；
（2）根据点A与点A1在网格上的相对位置关系直接得出平移过程；
（3）根据（2）的平移过程分别作出B、C的对应点B1、C1后连接A1B1、A1C1、B1C1即可；
（4）根据平移的性质（平移前后对应点的连线相等）可知， 而根据（3）的作图，可知若A点下移3个单位，左移2个单位即为B点，然后按照同样的平移方法可分别依次得到A1，B1，因此可知A、B、A1、B1均在同一直线上.
23．（2024八上·遂川期末）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F．
（1）求的度数，若，请直接用含的式子表示；
（2）随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
（3）当时，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴
∵分别平分和，
∴
∴；
．
（2）解：不变．恒为，理由如下：
∵，
∴
∵平分，
∴，
∴．
（3）解：．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）∵
又CE平分
在（1）中可知
故填：
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补的定理，可得的代数式，由图可知下面的等量关系式：，已知 CE、CF平分后两个角，根据角平分线定义，可得示的代数式；
（2）根据两直线平行内错角相等的定理，把和角等量平移到中，根据角平分线的定义，可得 ，只要两直线的平行关系存在， 的数量关系就存在；
（3）在前两问的基础上，根据平行关系、角平分线定义进行等量代换，可得所求角等于，而已在（1）中可求，故的度数就是55°。
24．（2024七下·青秀期末）综合与实践
【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图中，有小明同学用了两块镜子形成一个镜子组合体，镜子之间的角为他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变．
（1）【初步探究】
如图，当 ，此时入射光线与反射光线是平行的；
（2）【深入探究】
如图，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角的大小；
（3）【拓展应用】
如图，当，放入一块新的镜子，入射光线从镜面开始反射，经过次反射后，反射光线为，小明发现当满足一定数量关系时，，求此时之间满足的数量关系．
【答案】（1）；；
（2）解：在中，，
，
，，
，
，
，，
，
，
在中，，
；
（3）解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
作，
，
，
，，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）∵在△BEF中，∠2+∠3+∠ABC=180°，∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠2+∠DEF=180°，∠3+∠4+∠EFG=180°，
∴∠1+∠2+∠DEF+∠3+∠4+∠EFG=360°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠2+∠DEF+2∠3+∠EFG=360°，
∴2（∠2+∠3）+∠DEF++∠EFG=360°，
∵∠2+∠3=90°，
∴180°+∠DEF++∠EFG=360°，
∴∠DEF+∠EFG=180°，
∴DE∥GF，
故答案为：90；180；180；
【分析】（1）在△BEF中，∠2+∠3+∠ABC=180°，可得∠2+∠3=90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠DEF+∠EFG=180° 即可解答；
（2）在△BEF中，∠2+∠3+∠ABC=180°，得出∠2+∠3=80°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠HEF=2∠2、∠HFE=2∠3，在△HEF 中，∠HEF+∠HFE+∠H=180°，即可解答；
（3）根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得∠BEF=∠AED=x，从而表示出∠FED，∠EFN，∠FNG，作FH∥NG，证出∠DEF+∠EFN+∠FNG=360°，即可解答。
1 / 1浙教版（2024）数学七下第1章 相交线与平行线 单元测试B卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．“潮涌”是杭州第 19 届亚运会会徽， 钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心， 下面左图是会徽的一部分， 在以下四个选项中， 能由该图经过平移得到的是( )
A． B．
C． D．
2．（2024七下·玉州期末）如图所示，计划在河边的A，B，C，D处，引水到P处，从何处引水，能使所用的水管最短（ ）
A．D处 B．C处 C．B处 D．A处
3．（2024七下·成都期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，点落在直线上若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·宿迁）如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
5．（2024七下·金湾期末）如图，光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·花都期末） 某小区车库门口的曲臂道闸升降杜如图所示， 垂直地面 于 A 点， 平行于地面 ， 若 ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七下·临海期末）如图，将含角的三角尺的一个顶点放置在直尺一边上，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·揭西期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数是（ ）
A．68° B．78° C．98° D．102°
9．将四张边长各不相同的正方形纸片①②③④按如图方式放在矩形上(相邻纸片之间互不重叠， 也无缝隙)， 未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示， 要求出两个阴影部分周长的差， 只要知道下列某个图形的边长， 该图形是( )
A．① B．② C．③ D．④
10．（2024七下·庐江期中） 如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，将周长为10的△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为
12．（2024七下·博罗期末）如图，两个一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为 ．
13．（2024七下·乌鲁木齐期末）如图，给出下列论断①AB∥CD②AD∥BC③∠A+∠B=180°④∠B+∠C=180°其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题为
14．（2024七下·余姚期末）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的度数 .
15．（2024九上·宝山开学考）如图，点在直线外的一点，点，在直线上，，于，若，则线段上到点的距离为整数的点有 个．
16．（2024七下·海曙期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面 上，镜面 的调节角 ，激光笔发出的光束 射到平面镜上后，形成反射光束 ， 发现 ，若激光笔与水平天花板 (直线 ) 的夹角 ，则 与天花板所形成的角 的度数可用含 的代数式表示为
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024八上·祁阳期中）作图题：已知∠ABC及AB上一点A，
（1）过点A画AE⊥BC，垂足为点E，此时线段的长为点A到直线BC的距离______．
（2）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）在射线BC上，以C为定点，作∠FCD=∠ABC
18．如图， 已知直线 被直线 所截， 且 ， 试判断直线 与 是否平行， 并说明理由．
19．（2024八上·湖南开学考）阅读下列文字，完成推理填空：
已知：如图，，，请说明：；
如图，延长交于点．
因为，
所以________（内错角相等，两直线平行）．
所以________（________________）．
因为，
所以________（________________）．
所以（________________）．
20．（2024八上·昆明开学考）如图，，
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（2024八上·潮阳开学考）综合与实践．
主题：探究平行线的性质与判定．素材：一副三角尺（一块含，一块含）、两根相同的长木棒．
步骤1：如图，摆放两根木棒使（可上下平移调节距离）．
步骤2：将一副三角尺按如图方式进行摆放，恰好满足，．
（1）的度数为 ，的度数为 ；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
22． 在网格中的位置如图所示， 请根据下列要求作图或解答：
（1） 过点 作 的平行线 ， 要求点 是网格的格点．
（2） 已知点 是点 经平移后得到的， 请说明平移过程．
（3） 按照 (2) 的平移过程， 作出 经过平移后得到的 ．
（4） 连结 ， 请直接判断线段 与线段 的关系．
23．（2024八上·遂川期末）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F．
（1）求的度数，若，请直接用含的式子表示；
（2）随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
（3）当时，请直接写出的度数．
24．（2024七下·青秀期末）综合与实践
【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图中，有小明同学用了两块镜子形成一个镜子组合体，镜子之间的角为他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变．
（1）【初步探究】
如图，当 ，此时入射光线与反射光线是平行的；
（2）【深入探究】
如图，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角的大小；
（3）【拓展应用】
如图，当，放入一块新的镜子，入射光线从镜面开始反射，经过次反射后，反射光线为，小明发现当满足一定数量关系时，，求此时之间满足的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：平移不改变图形的大小、方向与形状，选项中ABD不符合要求.
故答案为：C.
【分析】根据平移的定义：平移是指在同一平面内将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动.本题的关键是掌握平移的性质.
2．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：，
由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短．
故答案为：C．
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由∠ACB=90°，∠1=48°得∠3=180°-90°-48°=42°，而a||b得∠2=∠3=42°
故答案为：A.
【分析】由平角的定义得∠3的度数，再由平行线的性质得∠2的度数.
4．【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠DFN=∠1=40°，
∴∠2=180°-∠DFN=180°-40°=140°，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得∠DFN=∠1=40°，再根据平角的定义得∠2=180°-∠DFN.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵水面和杯底互相平行，
∴，
又∵∠1=122°，
∴．
∵水中的两条折射光线平行，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．
6．【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作，如图所示：
则，
，；
∵，
，
，
，
；
故答案为：D
【分析】过点B作，根据平行公理及其推论得到则，进而根据平行线的性质得到，，从而结合垂直等量代换求出∠FBC的度数，从而即可得到∠BCD的度数.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，，进而结合已知条件即可得到，从而即可求解。
8．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：AB∥CD，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=102°，
∴∠BCD=78°，
∴∠2=78°.
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠BCD，结合平角的定义即可求解.
9．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；生活中的平移现象
【解析】【解答】解：如下图分别作辅助线，则可知左下角的阴影图形的周长相当于矩形BEFG的周长，右上角的阴影图形的周长相当于矩形DHIK的周长. 且通过条件可知AD=BC，AB=DC.
设正方形纸片①②③④的边长分别为a、b、c、d，则：
左下角阴影图形周长=2(AB-a)+2(BC-c-d)，右上角阴影图形周长=2(BC-a)+2(AB-d).
∴2(BC-a)+2(AB-d)-2(AB-a)-2(BC-c-d)=2c，即周长差只跟纸片③的边长有关.
故答案为：C.
【分析】通过辅助线，使得不规则图形巧妙地转化为熟悉的矩形后再求周长差，是解题的关键，然后分别表示出左下角阴影图形周长与右上角阴影图形周长，最后根据整式减法计算即可.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：（1）当点B'在BC上时，过点C作CG//AB，如图所示：
∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的，
∴A'B'//AB，
∵CG//AB，
∴CG//A'B'，
①当∠ACA'=2∠CA'B'时，设∠CA'B'=m，则∠ACA'=2m，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=m，
∴2m+m=45°，
解得：m=15°，
∴∠ACA'=30°；
②当∠CA'B'=2∠ACA'时，设∠CA'B'=n，则∠ACA'=n，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=n，
∴，
解得：n=30°，
∴∠ACA'=15°；
（2）当点B'在△ABC外时，过点C作CG//AB，如图所示：
∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的，
∴AB//A'B'，
∵CG//AB，
∴CG//A'B'，
①当∠ACA'=2∠CA'B'时，设∠CA'B'=x，则∠ACA’=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=x，
∴2x=x+45°，
解得：x=45°，
∴∠ACA'=2x=90°；
②当∠CA'B'=2∠ACA'时，由图可得：∠CA'B'＜∠ACA'，不存在这种情况，
综上所述：∠ACA'的值为30°，15°或90°，不可能为45°，
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质和平行线的性质，结合图形，分类讨论求解即可。
11．【答案】14
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，
∴AD=CF=2，
∴四边形ABFD的周长，
=AB+BC+DF+CF+AD，
=△ABC的周长+AD+CF，
=10+2+2，
=14．
故答案为：14．
【分析】根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长=△ABC的周长+AD+CF代入数据计算即可得解．
12．【答案】48
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为：48
【分析】根据平移的性质分别求出BE、DE，根据题意求出OE，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算即可．
13．【答案】若 AB∥CD 则有∠B+∠C=180°（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，得到：若 AB∥CD 则有∠B+∠C=180°（答案不唯一）；故答案为：若 AB∥CD 则有∠B+∠C=180°.
【分析】根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，得到：若（1）AB∥DC则有（4）∠B+∠C=180°；由（2）AD∥BC可以得到（3）∠A+∠B=180°．反之，根据平行线的判定，也成立．
14．【答案】α+β
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，作OE∥AB，则OE∥CD，
∴∠ABO=∠BOE=α，∠COE=∠DCO=β，
∴∠BOC=∠BOE+∠COE=∠ABO+∠DCO=α+β.
故答案为：α+β.
【分析】作OE∥AB，则OE∥CD，根据平行线的性质可得∠ABO=∠BOE=α，∠COE=∠DCO=β，再根据角的和差求解。
15．【答案】6
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离
【解析】【解答】解：设点E在BD上，
∵，，，
∴，
∵为整数，
∴，
∴上有3个点到点的距离为整数，
同理可得：上有3个点到点的距离为整数，
∴线段上到点的距离为整数的点有6个，
故答案为：6．
【分析】设点E在BD上，根据点到直线的距离可得AD＜AE惜爱与A，即，结合有理数的范围可得AE可以取的整数位2、3、4，即BD上有3个点到点A的距离为整数，同理可得：CD上有3个点到点A的距离为整数，即可求解.
16．【答案】 或
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，当点H在点P左侧时，过点G作GQ∥EF，
，
，
，，
，
根据光的反射定理可知，，
，
；
当点H在点P右侧时，过点G作GQ∥EF，
，
，
，
根据光的反射定理可知，，
，
，
，
故答案为：或
【分析】分两种情况：①当点H在点P左侧时，过点G作GQ∥EF；②当点H在点P右侧时，过点G作GQ∥EF，分别根据平行线的性质和光的反射定理，进行求解即可．
17．【答案】解：（1）AE
（2）如图所示，∠FCD即为所求．
【知识点】点到直线的距离；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】解：（1）过点A画AE⊥BC，垂足为点E，此时点A到直线BC的距离即为线段AE的长，
故答案为AE；
（2）如图所示，先以B为圆心，任意长为半径画弧，交BA、BD于点M、N，以同样半径长度将C作为圆心画弧，交CD于P，以P点为圆心，MN为半径画弧，两弧相交于F，连接CF，即得∠FCD=∠ABC．
【分析】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握点到直线的距离及作一个角等于已知角的尺规作图
（1）点到直线的距离是指从该点向直线作垂线，垂线段的长度；过点A作AE⊥BC，垂足为E，所以线段AE的长就是点A到直线BC的距离；
（2）用尺规作一个角等于已知角的方法：先以B为圆心，任意长为半径画弧，交BA、BD于点M、N，这是确定了角的两边上的两个点；再以C为圆心，同样半径长度画弧，交CD于P，这是在另一条射线上确定了一个点；然后以P为圆心，MN为半径画弧，两弧相交于F，连接CF，就得到∠FCD=∠ABC，这是利用了全等三角形的原理，保证了所作的角与已知角相等．
18．【答案】解：AB∥CD.理由如下：
∵∠2=60°，∠AHG=∠2，
∴∠AHG=60°，
又∵∠1=60°，
∴∠1=∠AHG，
∴AB∥CD.
【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据对顶角相等得∠AHG的度数，结合已知得∠1=∠AHG，根据同位角相等，两直线平行即可得解.
19．【答案】；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定；平行线的判定与性质；同位角的概念
【解析】【解答】解：如图所示，
延长交于点．
因为，所以（内错角相等，两直线平行）．
所以（两直线平行，同位角相等）．
因为，所以（等量代换）．
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】延长交于点，如图所示，根据内错角相等，两直线平行得到，进而确定，再由内错角相等，两直线平行即可得到，.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线平行判定定理可得，则，即，再根据直线平行判定定理可得，则即可求出答案.
（2）由题意可得，再根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．【答案】（1）；
（2）答：，
理由如下：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解析】（1）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）根据三角板的特征及角的和差关系得出，再利用平行线的性质即可求出求解；
（2）利用平角的定义求出，同旁内角互补两直线平行证明出AB与DE平行.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：如图， 直线 即为所求．
（2）解：点 向左平移 4 个单位， 向下平移 6 个单位得到 ．
（3）解：如图， 即为所求；
（4）解：， 线段 与线段 在同一直线上．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；图形的平移
【解析】【分析】（1）首先，D点就是AB沿AC平移到A点（A与C重合）后B点与网格重合的点，因此先找出A点平移到C点的平移过程：即A点右移4个单位后下移3个单位. 根据此平移过程，将B点同样右移4个单位后下移3个单位，即得到点C，连接CD即为所求；
（2）根据点A与点A1在网格上的相对位置关系直接得出平移过程；
（3）根据（2）的平移过程分别作出B、C的对应点B1、C1后连接A1B1、A1C1、B1C1即可；
（4）根据平移的性质（平移前后对应点的连线相等）可知， 而根据（3）的作图，可知若A点下移3个单位，左移2个单位即为B点，然后按照同样的平移方法可分别依次得到A1，B1，因此可知A、B、A1、B1均在同一直线上.
23．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴
∵分别平分和，
∴
∴；
．
（2）解：不变．恒为，理由如下：
∵，
∴
∵平分，
∴，
∴．
（3）解：．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）∵
又CE平分
在（1）中可知
故填：
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补的定理，可得的代数式，由图可知下面的等量关系式：，已知 CE、CF平分后两个角，根据角平分线定义，可得示的代数式；
（2）根据两直线平行内错角相等的定理，把和角等量平移到中，根据角平分线的定义，可得 ，只要两直线的平行关系存在， 的数量关系就存在；
（3）在前两问的基础上，根据平行关系、角平分线定义进行等量代换，可得所求角等于，而已在（1）中可求，故的度数就是55°。
24．【答案】（1）；；
（2）解：在中，，
，
，，
，
，
，，
，
，
在中，，
；
（3）解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
作，
，
，
，，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）∵在△BEF中，∠2+∠3+∠ABC=180°，∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠2+∠DEF=180°，∠3+∠4+∠EFG=180°，
∴∠1+∠2+∠DEF+∠3+∠4+∠EFG=360°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠2+∠DEF+2∠3+∠EFG=360°，
∴2（∠2+∠3）+∠DEF++∠EFG=360°，
∵∠2+∠3=90°，
∴180°+∠DEF++∠EFG=360°，
∴∠DEF+∠EFG=180°，
∴DE∥GF，
故答案为：90；180；180；
【分析】（1）在△BEF中，∠2+∠3+∠ABC=180°，可得∠2+∠3=90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠DEF+∠EFG=180° 即可解答；
（2）在△BEF中，∠2+∠3+∠ABC=180°，得出∠2+∠3=80°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠HEF=2∠2、∠HFE=2∠3，在△HEF 中，∠HEF+∠HFE+∠H=180°，即可解答；
（3）根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得∠BEF=∠AED=x，从而表示出∠FED，∠EFN，∠FNG，作FH∥NG，证出∠DEF+∠EFN+∠FNG=360°，即可解答。
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