浙教版（2024）数学七下第2章 二元一次方程组 单元测试A卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八上·梓潼开学考）下列方程中，是二元一次方程的有（ ）
A．6x﹣2z＝5y+3 B．＝5
C．x2﹣3y＝1 D．x＝2y
2．（2023七下·黔江期末）下列哪对x，y的值是二元一次方程的解（ ）
A． B． C． D．
3．如图，数轴上A，B，C，D四点对应的数都是整数，若点A对应的数为a，点B对应的数为b，且b-2a=7，则数轴上的原点应是( )
A．点 A B．点 B C．点C D．点 D
4．（2024八上·福田期中） 已知x+y=0， 且x， y满足二元一次方程组 则k的值为( )
A．- 9 B．9 C．0 D．1
5．（2024七下·长沙期中）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·长春期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（ ）
①；②；③3x+（100-x）＝100；④y+3（100-y）＝100．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2024八上·重庆市开学考）由方程组可得出x与y的关系式是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·船山开学考）利用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法，正确的是（ ）
A．要消去，可以将
B．要消去，可以将
C．要消去，可以将
D．要消去，可以将
9．如图，利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图①的方式放置，再交换两木块的位置，按图②的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是( )
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
10．（2024七下·临平期中）已知关于和的方程组（为常数），下列结论正确的个数为（ ）
①无论取何值，都有；②若，则
③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024七下·温州期中）已知二元一次方程，用关于的代数式表示，则 .
12．（2024八上·南宁开学考）已知是方程x﹣ay＝1的一个解，则a＝ ．
13． 2只羊、3匹马和4头牛每天共吃草143 kg，1 只羊、4匹马和2头牛每天吃草108kg，则1匹马每天吃草 kg.
14．（【牵手重高 】培优教程 第五讲 实数的运算）已知 是M 的立方根 是x的相反数，且 M=3a-7，那么x的平方根是 .
15．（2019·三门模拟）如图，九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等，请用含x的代数式表示y，y= .
16．（2024七下·鄱阳期末）如果无理数值介于两个连续正整数之间，即满足（其中，是连续正整数），我们则称无理数的“博雅区间”为．例：，所以的“博雅区间”为．若某一无理数的“博雅区间”为，且满足，其中是关于、的二元一次方程的一组正整数解，则 ．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题8分，第23题12分，第24题12分，共66分）
17．（2025八上·深圳期末）解方程组：
（1）
（2）
18．若 求2x-y的值.
19．（非凡数学听课本 七年级上册 第四章 代数式 第15节 用整式解决问题）某同学想用5个边长不等的正方形拼成如图所示的大正方形.请问：该同学的想法能实现吗 如果能实现，试求出这5个正方形边长的关系；如果不能实现，请说明理由.
20．某公司一共有九个工厂，每个工厂有一样多的库存成品，且每天能生产出一样多的新成品.现有A，B两组检验员来进行产品验收，每个检验员验收产品的速度一样.A组8个检验员先用两天时间验完两个工厂的所有成品，又用三天时间验完了另两个工厂的所有成品，而B组的检验员在这五天内刚好验完了其余五个厂的所有成品.B组的检验员共有多少人
21．若干人参加智力竞赛游戏，一共有3道题：第1题30分，后2道题每道均为35分.每个人对每道题，要么答对得满分，要么答错得0分.结束时的统计结果如下：每个人至少答对了1题，3题全答对的只有1人，答对2题的有15人，答对第1题与答对第2题的人数之和为29，答对第2题与答对第3题的人数之和为20，答对第1题与答对第3题的人数之和为25.求这次竞赛的平均成绩.
22．（2024七下·彭水期中）某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作共加工小麦26吨．
（1）台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？
（2）该厂现有450吨小麦需要加工，计划使用台大面粉机和台小面粉机同时工作，能否全部加工完？请你帮忙计算一下．
23．（2024七上·长春期中）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示：
购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元
第一次购物 6 5 980
第二次购物 3 7 940
（1）求商品A、B的标价；
（2）若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？
24．（2024七下·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）。 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张． 方法三：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义，故A选项不符合题意；
B、该方程不是整式方程，故B选项不符合题意；
C、未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程的定义，故C选项不符合题意；
D、符合二元一次方程的定义，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据只含有2个未知数，且未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫做二元一次方程，逐项分析即可求解.
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意得是二元一次方程的解，
故答案为：C
【分析】根据题意将选项逐一代入二元一次方程即可求解。
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：观察数轴可得：B点在A点的右侧且距离A点3个单位长度，
所以b-a=3 ①，
又因为 b-2a=7 ②，
解由①②组成的方程组，
解得：，
所以点A对应的数为-4，点B对应的数为-1，
所以数轴上原点为点C，
故答案为：C.
【分析】根据观察数轴及题意可得关于a，b的二元一次方程，解出a，b的值，从而确定原点的位置.
4．【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：解方程组得
把，代入方程，
得．
故答案为：A．
【分析】本题考查解二元一次方程组．先解二元一次方程组，得出，代入第一个方程，可列出方程，解方程可求出k的值.
5．【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：根据条件“买得2斗酒”，可知x+y=2；根据条件“现有30钱”，以及每种酒的每斗的价值，可知50x+10y=30. 联立二式，有.
故答案为：A.
【分析】根据条件，确定等量关系后列出方程组即可.
6．【答案】D
【知识点】列一元一次方程；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 大和尚有x人，小和尚有y人，
由题意可得： ，
由①可得：y=100-x③或x=100-y④，
将③代入②得：，
将④代入②得： y+3（100-y）＝100，
综上所述：正确的有②③④，共3个，
故答案为：D.
【分析】根据题意找出等量关系列方程求解即可。
7．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：方程组，
①②，得，
整理得：．
故选：B．
【分析】将方程组中两方程相减可得，再整理可得 x与y的关系式 ，然后判断即可.
8．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：对于方程组，
若要要消去，则可以将；
若要消去，可以将，
故答案为：D.
【分析】观察方程组中未知数x的系数的最小公倍数是10，且未知数x的系数的符号相同，所以用方程①×5-方程②×2可消去未知数x，可得关于未知数y的一元一次方程；观察方程组中未知数y的系数的最小公倍数是15，且未知数x的系数的符号相反，所以用方程①×3+方程②×5可消去未知数y，可得关于未知数x的一元一次方程；结合各选项即可判断求解.
9．【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为h-y+x=80，
由第二个图形可知桌子的高度为h-x+y=70，
两个方程相加得(h-y+x)+(h-x+y)=150，
解得h=75cm.
故答案为：C.
【分析】本题考查三元一次方程的解法.设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，根据量图形的高，可列出方程组h-y+x=80，h-x+y=70，两个方程相加可求出h的值，进而可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将（2）式乘以3并与（1）式相加得2x-y+3(2x+y)=3k-2+3(4-k)得8x+2y=10即有4x+y=5，故①正确；当k=1时，2x-y=1，2x+y=3，可得x=y=1，故(2x-1)y=1，故②正确；(1)+(2)得4x=2k+2，x=≥0，即有k≥-1，将x代入(1)式得y=3-2k≥0，t得k≤，故-1≤k≤，故③错误；当x、y互为相反数时，x+y=0，即有+3-2k=0得k=，故④正确.
故答案为：C.
【分析】①式中直接消去k便可得结果；而②可直接代入求解x和y的便可验证；③④可直接求出x和y的表达式，便可直接验证结果.
11．【答案】y=7-4x
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
移项得：y=7-4x.
故答案为：y=7-4x.
【分析】直接将4x移到方程的右边即可.
12．【答案】-1
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解： 把代入方程x﹣ay＝1的中，得2-a×（-1）=1，
解得：a=-1
故答案为：-1.
【分析】把代入方程x﹣ay＝1的中，即可求出a值.
13．【答案】14.6
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设每只羊每天吃草x千克，每匹马每天吃草y千克，每头牛每天吃草z千克，
根据题意得：，
由②×2 ①，得：5y＝73，
则y＝14.6．
即：1匹马每天吃草14.6千克．
故答案为：14.6．
【分析】设每只羊每天吃草x千克，每匹马每天吃草y千克，每头牛每天吃草z千克，列出方程组，再求出y的值即可.
14．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；实数的相反数；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解： 是M的立方根，
∴a+b=3①，
∵是x的相反数，
∴M=-(b-6)，
将M=3a-7代入M=-(b-6)，得3a-7=-(b-6)②，
联立①②得，
解得
∴M=3a-7=8，
∴x的平方根是
故答案为：
【分析】先根据立方根结合题意得到a+b=3①，再根据相反数得到M=-(b-6)，从而将M=3a-7代入M=-(b-6)，得3a-7=-(b-6)②，再联立①和②解二元一次方程组，从而根据立方根和平方根即可求解。
15．【答案】2x-7
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
第一行第三列，第二行第二列，第三行第一列的三个数之和为：x+y+7，
第一行第一列的数为：x+y+7﹣x﹣4＝y+3，
第一行第二列的数为：x+y+7﹣（y+3）﹣7＝x﹣3，
第三行第二列的数为：x+y+7﹣（x﹣3）﹣x＝10﹣x+y，
第三行的三个数之和为：y+（10﹣x+y）+4＝x+y+7，
整理得：y＝2x﹣7，
故答案为：2x﹣7．
【分析】根据“九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等”，结合图中已知的数，列出关于x和y的等式，整理后即可得到答案。
16．【答案】或或
【知识点】无理数的估值；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，，是两个连续正整数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴可以取，2，3，…，，
∵是关于、的二元一次方程组的一组正整数解，
∴为正整数，
∴a为1~15之间的完全平方数，
∴，，，
∴ 这一无理数的“博雅区间”为或或，
∵是关于、的二元一次方程的一组正整数解，
∴当，时，，，
∴；
当，时，，，
∴；
当，时，，，
∴；
故答案为：或或．
【分析】先利用“和，是连续正整数”，确定的取值范围，再根据为正整数，确定、b的值，最终确定为3组值，分别计算出p即可．
17．【答案】（1）解：
①代入②得： 3 + 4=8，
解得：x=3，
将x＝3代入①得： =3 4= 1，
所以原方程组的解是
（2）解：
①+②得： 2 =4，
解得：x=2
解得：y=-1 ，
所以原方程组的解是
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
18．【答案】解：2x-y+3z=3①，2y-4x-4z=0②，
①×4+②×3，得-4x+2y=12，
∴2x-y=-6.
【知识点】三元一次方程组及其解法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】结合 进行消元消去z这个未知量，可得-4x+2y=12，进而可求出 2x-y的值 .
19．【答案】解：该同学的想法不能实现.
理由如下：假设能实现，设正方形①和②的边长分别为x，y，其中x>0，y>0.则③的边长=②的边长一①的边长=y-x，
类似可得④的边长=y-2x，⑤的边长=y-3x；另一方面，⑤的边长=②的边长+①的边长=x+y，∴y-3x=x+y，即x=0，此时正方形①不存在，∴该同学的想法不能实现.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】 假设可以实现，设正方形①和②的边长分别为x，y，则可以顺时针依次算出③，④，⑤的边长分别为y-x，y-2x，y-3x，也可以逆时针依次算出⑤，④，③的边长为x+y，2x+y，3x+y，这样可以得到三个等式.
20．【答案】解：设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，根据检验速度相同得
解得a=4b，
则A组每名检验员每天检验的成品数为2(a+2b)÷(2×8)=12b
那么B组检验员的人数为=12(人).
故B组的检验员共有12个人
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】本题考查三元一次方程的解法.设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，根据检验速度相同，可列出方程组解方程组可得a=4b，进而可求出A组每名检验员每天检验的成品数为再根据B组检验员的人数为，通过计算可求出B组检验员的人数.
21．【答案】解：设答对第1题，第2题，第3题的人数分别为x，y，z，
解得
因为3题全答对的只有1人，答对2题的有15人，参加人数=17+20+25-2-15=20人，那么平均得分=[17×20+(12+8)×25]÷20=42分.
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【分析】设答对第1题，第2题，第3题的人数分别为x，y，z，根据“第1题30分，后2道题每道均为35分.每个人对每道题，要么答对得满分，要么答错得0分.结束时的统计结果如下：每个人至少答对了1题，3题全答对的只有1人，答对2题的有15人，答对第1题与答对第2题的人数之和为29，答对第2题与答对第3题的人数之和为20，答对第1题与答对第3题的人数之和为25”即可列出三元一次方程组，从而解方程，再根据平均数的计算公式即可求解。
22．【答案】（1）解：设1台大面粉机和1台小面粉机每小时分别加工小麦x吨、y吨
根据题意得：
解得：
答：1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨
（2）解：（吨）
∵
∴不能全部加工完
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设1台大面粉机和1台小面粉机每小时分别加工小麦x吨、y吨，根据2台大面粉机和5台小面粉机同时工作1h共加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作1h共加工小麦26吨，易列方程组，求解即可得结果；
（2）根据（1）中求得的值求出8台大面粉机和10台小面粉机同时工作5h加工的量进行比较即可得结论．
（1）解：设1台大面粉机每小时加工小麦x吨，1台小面粉机每小时加工小麦y吨，
根据题意得：
，
解得：，
答：1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨；
（2）解：（吨），
∵，
∴不能全部加工完．
23．【答案】（1）解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个．
（2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，根据题意得：，
∴．
当时，；当时，；当时，．
答：张老师共有三种购买方案，
方案一：购买15个商品A，4个商品B；
方案二：购买10个商品A，8个商品B；
方案三：购买5个商品A，12个商品B．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据“表格信息”建立方程组，结合方程组的加减消元法，求得方程的解，即可得到答案；
（2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，根据“这次购买总费用为960元”，建立二元一次方程，得到，再结合方程的正整数解，即可得到答案．
（1）解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个．
（2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，
根据题意得：，
∴．
当时，；当时，；当时，．
答：张老师共有三种购买方案，
方案一：购买15个商品A，4个商品B；
方案二：购买10个商品A，8个商品B；
方案三：购买5个商品A，12个商品B．
24．【答案】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
根据题意得：15m+35n＝240，
∴n＝，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
∴方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；
故答案为：9，3；2，6；
任务二：
∵＝240（张），
∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；
任务三：
设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，
根据题意得：
解得：
∵42+61=103（张），
∴需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背张和坐垫张，用y张板材裁切靠背张和坐垫张，根据制作的 学生椅 的数量为500张，制作 座垫（500-8）张，建立二元一次方程组，解方程组可得答案．
1 / 1浙教版（2024）数学七下第2章 二元一次方程组 单元测试A卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八上·梓潼开学考）下列方程中，是二元一次方程的有（ ）
A．6x﹣2z＝5y+3 B．＝5
C．x2﹣3y＝1 D．x＝2y
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义，故A选项不符合题意；
B、该方程不是整式方程，故B选项不符合题意；
C、未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程的定义，故C选项不符合题意；
D、符合二元一次方程的定义，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据只含有2个未知数，且未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫做二元一次方程，逐项分析即可求解.
2．（2023七下·黔江期末）下列哪对x，y的值是二元一次方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意得是二元一次方程的解，
故答案为：C
【分析】根据题意将选项逐一代入二元一次方程即可求解。
3．如图，数轴上A，B，C，D四点对应的数都是整数，若点A对应的数为a，点B对应的数为b，且b-2a=7，则数轴上的原点应是( )
A．点 A B．点 B C．点C D．点 D
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：观察数轴可得：B点在A点的右侧且距离A点3个单位长度，
所以b-a=3 ①，
又因为 b-2a=7 ②，
解由①②组成的方程组，
解得：，
所以点A对应的数为-4，点B对应的数为-1，
所以数轴上原点为点C，
故答案为：C.
【分析】根据观察数轴及题意可得关于a，b的二元一次方程，解出a，b的值，从而确定原点的位置.
4．（2024八上·福田期中） 已知x+y=0， 且x， y满足二元一次方程组 则k的值为( )
A．- 9 B．9 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：解方程组得
把，代入方程，
得．
故答案为：A．
【分析】本题考查解二元一次方程组．先解二元一次方程组，得出，代入第一个方程，可列出方程，解方程可求出k的值.
5．（2024七下·长沙期中）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：根据条件“买得2斗酒”，可知x+y=2；根据条件“现有30钱”，以及每种酒的每斗的价值，可知50x+10y=30. 联立二式，有.
故答案为：A.
【分析】根据条件，确定等量关系后列出方程组即可.
6．（2023七下·长春期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（ ）
①；②；③3x+（100-x）＝100；④y+3（100-y）＝100．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】列一元一次方程；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 大和尚有x人，小和尚有y人，
由题意可得： ，
由①可得：y=100-x③或x=100-y④，
将③代入②得：，
将④代入②得： y+3（100-y）＝100，
综上所述：正确的有②③④，共3个，
故答案为：D.
【分析】根据题意找出等量关系列方程求解即可。
7．（2024八上·重庆市开学考）由方程组可得出x与y的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：方程组，
①②，得，
整理得：．
故选：B．
【分析】将方程组中两方程相减可得，再整理可得 x与y的关系式 ，然后判断即可.
8．（2024八上·船山开学考）利用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法，正确的是（ ）
A．要消去，可以将
B．要消去，可以将
C．要消去，可以将
D．要消去，可以将
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：对于方程组，
若要要消去，则可以将；
若要消去，可以将，
故答案为：D.
【分析】观察方程组中未知数x的系数的最小公倍数是10，且未知数x的系数的符号相同，所以用方程①×5-方程②×2可消去未知数x，可得关于未知数y的一元一次方程；观察方程组中未知数y的系数的最小公倍数是15，且未知数x的系数的符号相反，所以用方程①×3+方程②×5可消去未知数y，可得关于未知数x的一元一次方程；结合各选项即可判断求解.
9．如图，利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图①的方式放置，再交换两木块的位置，按图②的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是( )
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为h-y+x=80，
由第二个图形可知桌子的高度为h-x+y=70，
两个方程相加得(h-y+x)+(h-x+y)=150，
解得h=75cm.
故答案为：C.
【分析】本题考查三元一次方程的解法.设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，根据量图形的高，可列出方程组h-y+x=80，h-x+y=70，两个方程相加可求出h的值，进而可求出答案.
10．（2024七下·临平期中）已知关于和的方程组（为常数），下列结论正确的个数为（ ）
①无论取何值，都有；②若，则
③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将（2）式乘以3并与（1）式相加得2x-y+3(2x+y)=3k-2+3(4-k)得8x+2y=10即有4x+y=5，故①正确；当k=1时，2x-y=1，2x+y=3，可得x=y=1，故(2x-1)y=1，故②正确；(1)+(2)得4x=2k+2，x=≥0，即有k≥-1，将x代入(1)式得y=3-2k≥0，t得k≤，故-1≤k≤，故③错误；当x、y互为相反数时，x+y=0，即有+3-2k=0得k=，故④正确.
故答案为：C.
【分析】①式中直接消去k便可得结果；而②可直接代入求解x和y的便可验证；③④可直接求出x和y的表达式，便可直接验证结果.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024七下·温州期中）已知二元一次方程，用关于的代数式表示，则 .
【答案】y=7-4x
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
移项得：y=7-4x.
故答案为：y=7-4x.
【分析】直接将4x移到方程的右边即可.
12．（2024八上·南宁开学考）已知是方程x﹣ay＝1的一个解，则a＝ ．
【答案】-1
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解： 把代入方程x﹣ay＝1的中，得2-a×（-1）=1，
解得：a=-1
故答案为：-1.
【分析】把代入方程x﹣ay＝1的中，即可求出a值.
13． 2只羊、3匹马和4头牛每天共吃草143 kg，1 只羊、4匹马和2头牛每天吃草108kg，则1匹马每天吃草 kg.
【答案】14.6
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设每只羊每天吃草x千克，每匹马每天吃草y千克，每头牛每天吃草z千克，
根据题意得：，
由②×2 ①，得：5y＝73，
则y＝14.6．
即：1匹马每天吃草14.6千克．
故答案为：14.6．
【分析】设每只羊每天吃草x千克，每匹马每天吃草y千克，每头牛每天吃草z千克，列出方程组，再求出y的值即可.
14．（【牵手重高 】培优教程 第五讲 实数的运算）已知 是M 的立方根 是x的相反数，且 M=3a-7，那么x的平方根是 .
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；实数的相反数；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解： 是M的立方根，
∴a+b=3①，
∵是x的相反数，
∴M=-(b-6)，
将M=3a-7代入M=-(b-6)，得3a-7=-(b-6)②，
联立①②得，
解得
∴M=3a-7=8，
∴x的平方根是
故答案为：
【分析】先根据立方根结合题意得到a+b=3①，再根据相反数得到M=-(b-6)，从而将M=3a-7代入M=-(b-6)，得3a-7=-(b-6)②，再联立①和②解二元一次方程组，从而根据立方根和平方根即可求解。
15．（2019·三门模拟）如图，九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等，请用含x的代数式表示y，y= .
【答案】2x-7
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
第一行第三列，第二行第二列，第三行第一列的三个数之和为：x+y+7，
第一行第一列的数为：x+y+7﹣x﹣4＝y+3，
第一行第二列的数为：x+y+7﹣（y+3）﹣7＝x﹣3，
第三行第二列的数为：x+y+7﹣（x﹣3）﹣x＝10﹣x+y，
第三行的三个数之和为：y+（10﹣x+y）+4＝x+y+7，
整理得：y＝2x﹣7，
故答案为：2x﹣7．
【分析】根据“九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等”，结合图中已知的数，列出关于x和y的等式，整理后即可得到答案。
16．（2024七下·鄱阳期末）如果无理数值介于两个连续正整数之间，即满足（其中，是连续正整数），我们则称无理数的“博雅区间”为．例：，所以的“博雅区间”为．若某一无理数的“博雅区间”为，且满足，其中是关于、的二元一次方程的一组正整数解，则 ．
【答案】或或
【知识点】无理数的估值；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，，是两个连续正整数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴可以取，2，3，…，，
∵是关于、的二元一次方程组的一组正整数解，
∴为正整数，
∴a为1~15之间的完全平方数，
∴，，，
∴ 这一无理数的“博雅区间”为或或，
∵是关于、的二元一次方程的一组正整数解，
∴当，时，，，
∴；
当，时，，，
∴；
当，时，，，
∴；
故答案为：或或．
【分析】先利用“和，是连续正整数”，确定的取值范围，再根据为正整数，确定、b的值，最终确定为3组值，分别计算出p即可．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题8分，第23题12分，第24题12分，共66分）
17．（2025八上·深圳期末）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①代入②得： 3 + 4=8，
解得：x=3，
将x＝3代入①得： =3 4= 1，
所以原方程组的解是
（2）解：
①+②得： 2 =4，
解得：x=2
解得：y=-1 ，
所以原方程组的解是
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
18．若 求2x-y的值.
【答案】解：2x-y+3z=3①，2y-4x-4z=0②，
①×4+②×3，得-4x+2y=12，
∴2x-y=-6.
【知识点】三元一次方程组及其解法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】结合 进行消元消去z这个未知量，可得-4x+2y=12，进而可求出 2x-y的值 .
19．（非凡数学听课本 七年级上册 第四章 代数式 第15节 用整式解决问题）某同学想用5个边长不等的正方形拼成如图所示的大正方形.请问：该同学的想法能实现吗 如果能实现，试求出这5个正方形边长的关系；如果不能实现，请说明理由.
【答案】解：该同学的想法不能实现.
理由如下：假设能实现，设正方形①和②的边长分别为x，y，其中x>0，y>0.则③的边长=②的边长一①的边长=y-x，
类似可得④的边长=y-2x，⑤的边长=y-3x；另一方面，⑤的边长=②的边长+①的边长=x+y，∴y-3x=x+y，即x=0，此时正方形①不存在，∴该同学的想法不能实现.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】 假设可以实现，设正方形①和②的边长分别为x，y，则可以顺时针依次算出③，④，⑤的边长分别为y-x，y-2x，y-3x，也可以逆时针依次算出⑤，④，③的边长为x+y，2x+y，3x+y，这样可以得到三个等式.
20．某公司一共有九个工厂，每个工厂有一样多的库存成品，且每天能生产出一样多的新成品.现有A，B两组检验员来进行产品验收，每个检验员验收产品的速度一样.A组8个检验员先用两天时间验完两个工厂的所有成品，又用三天时间验完了另两个工厂的所有成品，而B组的检验员在这五天内刚好验完了其余五个厂的所有成品.B组的检验员共有多少人
【答案】解：设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，根据检验速度相同得
解得a=4b，
则A组每名检验员每天检验的成品数为2(a+2b)÷(2×8)=12b
那么B组检验员的人数为=12(人).
故B组的检验员共有12个人
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】本题考查三元一次方程的解法.设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，根据检验速度相同，可列出方程组解方程组可得a=4b，进而可求出A组每名检验员每天检验的成品数为再根据B组检验员的人数为，通过计算可求出B组检验员的人数.
21．若干人参加智力竞赛游戏，一共有3道题：第1题30分，后2道题每道均为35分.每个人对每道题，要么答对得满分，要么答错得0分.结束时的统计结果如下：每个人至少答对了1题，3题全答对的只有1人，答对2题的有15人，答对第1题与答对第2题的人数之和为29，答对第2题与答对第3题的人数之和为20，答对第1题与答对第3题的人数之和为25.求这次竞赛的平均成绩.
【答案】解：设答对第1题，第2题，第3题的人数分别为x，y，z，
解得
因为3题全答对的只有1人，答对2题的有15人，参加人数=17+20+25-2-15=20人，那么平均得分=[17×20+(12+8)×25]÷20=42分.
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【分析】设答对第1题，第2题，第3题的人数分别为x，y，z，根据“第1题30分，后2道题每道均为35分.每个人对每道题，要么答对得满分，要么答错得0分.结束时的统计结果如下：每个人至少答对了1题，3题全答对的只有1人，答对2题的有15人，答对第1题与答对第2题的人数之和为29，答对第2题与答对第3题的人数之和为20，答对第1题与答对第3题的人数之和为25”即可列出三元一次方程组，从而解方程，再根据平均数的计算公式即可求解。
22．（2024七下·彭水期中）某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作共加工小麦26吨．
（1）台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？
（2）该厂现有450吨小麦需要加工，计划使用台大面粉机和台小面粉机同时工作，能否全部加工完？请你帮忙计算一下．
【答案】（1）解：设1台大面粉机和1台小面粉机每小时分别加工小麦x吨、y吨
根据题意得：
解得：
答：1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨
（2）解：（吨）
∵
∴不能全部加工完
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设1台大面粉机和1台小面粉机每小时分别加工小麦x吨、y吨，根据2台大面粉机和5台小面粉机同时工作1h共加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作1h共加工小麦26吨，易列方程组，求解即可得结果；
（2）根据（1）中求得的值求出8台大面粉机和10台小面粉机同时工作5h加工的量进行比较即可得结论．
（1）解：设1台大面粉机每小时加工小麦x吨，1台小面粉机每小时加工小麦y吨，
根据题意得：
，
解得：，
答：1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨；
（2）解：（吨），
∵，
∴不能全部加工完．
23．（2024七上·长春期中）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示：
购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元
第一次购物 6 5 980
第二次购物 3 7 940
（1）求商品A、B的标价；
（2）若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个．
（2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，根据题意得：，
∴．
当时，；当时，；当时，．
答：张老师共有三种购买方案，
方案一：购买15个商品A，4个商品B；
方案二：购买10个商品A，8个商品B；
方案三：购买5个商品A，12个商品B．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据“表格信息”建立方程组，结合方程组的加减消元法，求得方程的解，即可得到答案；
（2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，根据“这次购买总费用为960元”，建立二元一次方程，得到，再结合方程的正整数解，即可得到答案．
（1）解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个．
（2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，
根据题意得：，
∴．
当时，；当时，；当时，．
答：张老师共有三种购买方案，
方案一：购买15个商品A，4个商品B；
方案二：购买10个商品A，8个商品B；
方案三：购买5个商品A，12个商品B．
24．（2024七下·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）。 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张． 方法三：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
【答案】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
根据题意得：15m+35n＝240，
∴n＝，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
∴方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；
故答案为：9，3；2，6；
任务二：
∵＝240（张），
∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；
任务三：
设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，
根据题意得：
解得：
∵42+61=103（张），
∴需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背张和坐垫张，用y张板材裁切靠背张和坐垫张，根据制作的 学生椅 的数量为500张，制作 座垫（500-8）张，建立二元一次方程组，解方程组可得答案．
1 / 1
