浙教版（2024）数学七下第2章 二元一次方程组 单元测试C卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中， 属于二元一次方程的是( )
A． B． C． D．
2．（2024七下·铁东期中）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若a，c，d是整数，b是正整数，且a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是( )
A．5 B．2 C．-5 D．-2
4．（2023·衢州模拟）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022七下·恩平期中）二元一次方程有无数个解，下列选项中，不是此方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
6．（非凡数学听课本 七年级上册 第四章 代数式 第15节 用整式解决问题）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的长方形ABCD 内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形 ABCD 的一组邻边上.如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（ ）
A． B．5 C．9 D．10
7．（2024七下·洪雅月考）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022七下·合阳期末）在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．关于x，y的方程组的解为
则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·金华月考）关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024七下·赣州期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值为 ．
12．已知二元一次方程组，则代数式 .
13．（2024八上·岳阳开学考）关于x，y的二元一次方程组中，m与方程组的解中的x或y相等，则m的值为 .
14．（2024七上·成都开学考）某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了小时，返回时用了小时．已知走上坡每小时千米，走下坡时每小时千米．甲、乙两地的公路长 千米．
15．（2024八上·岳阳开学考）若方程组的解是则(a-b)(a+b)的值为 .
16．（2024八下·綦江期中）若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“吉祥数”，那么最大的“吉祥数”为 ；将一个“吉祥数”M的前两位数字组成的两位数记为s，后两位数字组成的两位数记为t，规定，，若、都是整数，则满足条件的M的最大值为 .
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．解下列方程 （组）：
（1） ．
（2）
18．（2024七下·鄞州期末） 学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列.如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
19．（2024七下·瑞安期中）综合与实践：设计运动会物资的购买方案．
【背景素材】七年级1班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料需340元．
【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究．
（1）思考1（确定售价）：A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元？
（2）思考2（方案探究）：购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有几种购买方案？
20．（2024七下·义乌月考）根据以下素材， 探索完成任务.
如何设计板材裁切方案？
素材1
图 1 中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成.经测量，该款学生椅的靠背尺寸为 ，座垫尺寸为 . 图 2 是靠背与座垫的尺寸示意图.
素材2
因学校需要， 某工厂配合制作该款式学生椅.经清点库存时发现， 工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫. 已知该板材长为 ， 宽为 . (裁切时不计损耗)
（1）【拟定裁切方案】若要不造成板材浪费， 请你设计出一张该板材的所有栽切方法
（2）【确定搭配数量】若该工厂购进 50 张该型号板材， 能制作成多少张学生椅
21． 对下列问题， 有三名同学提出了各自的想法： 若方程组 的解是 求方程组 的解． 甲说： “这个题目的条件好像不够， 不能求解， ”乙说： “它们的系数有一定的规律， 可以试试．”丙说： “能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 4 ， 通过换元替代的方法来解决？”参考他们的讨论， 请你探索： 若能求解， 请求出它的解； 若不能， 请说明理由．
22．（2024七下·金东期中） 某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．
（1）若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边 米， 米．
（2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值．
（3）若厂家已有140块甲型玻璃片，再购入块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是 （请写出满足条件的n的值）．
23．（2024七下·长沙期中）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足，就称点为“明德点”．
例如：点，令，得，，所以是“明德点”；点，令，得，，所以不是“明德点”．
（1）点，是“明德点”的是点 ；
（2）点是“明德点”，求点C的坐标；
（3）若以关于x，y的二元一次方程组的解为坐标的点是“明德点”，求t的值．
24． 阅读感悟：
有些关于方程组的问题， 欲求的结果不是每
一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值， 如以下问题：
已知实数 满足 ①， 7 ②， 求 和 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组， 解得 的值， 再代人欲求值的代数式得到答案， 但常规思路运算量比较大． 其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系， 本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值， 如 由 ① - ②可得 ，由①+② 可得 ． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：
（1）已知二元一次方程组 则 ， .
（2） 某班级组织活动购买小奖品， 买 20 支铅笔、 3 块橡皮、 2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、 5 块橡皮、 3 本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、 5 块橡皮、 5 本日记本共需多少元？
（3） 对于实数 ， 定义新运算： ， 其中 是常数， 等式右边是通常的加法和乘法运算． 已知 ， ， 那么 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵选项A是一元一次方程；选项B中不是整式；选项C中含有3个字母；选项D中，含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，是二元一次方程.
故正确答案选：D.
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是1的整式方程是二元一次方程，进行判断.
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】将代入原方程，可得：，解得：
故答案为：C
【分析】
将方程组的解代入方程，可得关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值．
3．【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：联立方程
解得
∴b最小值为1，
∴的最大值是．
故答案为：C
【分析】先根据题意联立方程，进而得到，即b最小值为1，从而得到a+b+c+d=-5b的最大值为-5.
4．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，得： .
故答案为：D.
【分析】根据5大盒、3小盒共装150瓶可得5x+3y=150；根据2大盒、6小盒共装100瓶可得2x+6y=100，联立可得方程组.
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：
A.当时，，不符合题意；
B. 当时，，不符合题意；
C. 当时，，符合题意；
D. 当时，，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将各选项分别代入判断即可。
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设较小正方形的边长为x，较大正方形的边长为y，阴影部分的长和宽分别为a，b，
∵两个正方形的周长和为45，
∴4x+4y=45，即
∵AD=x+y-a，AB=x+y-b，长方形ABCD 的周长为36，
∴x+y-a+x+y-b=18，即2（x+y）-（a+b）=18，
即
∴阴影部分的周长=2（a+b）=9.
故选C.
故答案为：C
【分析】 设较小正方形的边长为x，较大正方形的边长为y，阴影部分的长和宽分别为a，b，根据长方形周长条件列出等式，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：因为关于x，y的二元一次方程组的解是，
所以，
解得出，
故选：A.
【分析】根据方程组的解相同可得，再利用加减消元法求出即可.
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：图1前两列结合方程组中x、y的系数可知：一个”“表示数1，只需要数”“，有几个就表示系数为几，例如”“表示数3；11表示为””，其中”“表示1，所以”“表示10，“”表示20，结合27表示的”“可知“”上边的”—“表示5，所以图2中的“”表示10+5+4=19，“”表示20+3=23.
故答案为：D.
【分析】理解图1中算筹所示的表示方法，清楚”|“、“—”、”“分别代表的数，依次即可推出图2所示的方程组.
9．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：已知关于x，y的方程组 的解为，
即；
那么将关于x，y的方程组 整理得，
故5x=4045，5y=1，
解得：x=809，，
故该方程组的解为：；
故答案为：A.
【分析】结合已知条件，观察两个方程组的关系，根据二元一次方程组解的定义即可求得答案.
10．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ① 当时， 方程组为，
解得：，故①正确；
②当时，方程组为，
两式相减得：4x+8y=-1，
即 ，故 ② 错误；
③∵x=3-a-2ay，代入-ax-2y=1中，
得-a(3-a-2ay)-2y=1，
即，
当时，，
又∵，所以该方程组无解，故 ③ 正确
故答案为：C.
【分析】 ① 将a=2代入方程组，求解方程组即可得到答案；
② 将a=3代入方程组，求解方程组即可得到答案；
③ 首先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一次项系数和常数项判断方程是否有解。
11．【答案】23
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的一个解，
把代入得，，即，
∴，
故答案为：23．
【分析】把x=2a，y=b代入方程得，4a-5b=-7，再把所求代数式变形，进行整体代入求解即可．
12．【答案】6
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】
解：①-②，得：
3x-y-（x+y）=5-（-7）
2x-2y=12，
x-y=6.
故正确答案为：6．
【分析】通过观察、分析可以看出两个方程相减，可以得到2x-2y=12，即，两边同时除以2，可以直接得出x-y的值．
13．【答案】2或
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴解得，
∵m与方程组的解中的x或y相等，
∴2=m或-1-m=m，
解得：m=2或m=，
故答案为：m=2或m=.
【分析】先利用加减消元法求出方程组的解集，再结合“m与方程组的解中的x或y相等”可得2=m或-1-m=m，再求出m的值即可.
14．【答案】40
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设上山路为x千米，下山路为y千米
由题意，得；
解得：
∵
∴甲、乙两地的公路长为40米.
故答案为：40.
【分析】根据路程除以速度等于时间及去用了6.5小时，返回时用了7.5小时，列出方程组，求解即可.此题需要注意：去时的上坡路程等于回时的下坡路程，去时的下坡路程等于回时的上坡路程.
15．【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将代入，可得，
∴a-b=-1，a+b=1，
∴，
故答案为：2.
【分析】先将方程组的解代入方程组可得，再化简变形可得a-b=-1，a+b=1，最后将其代入计算即可.
16．【答案】9871；6021
【知识点】整式的加减运算；二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：①为最大“吉祥数”，而，
∵各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，
∴最大的完全平方数为25，
∴最大的“吉祥数”，当，时，，
∴最大的“吉祥数”为；
②，则，，
∵、都是整数，
∴设，，为正整数，
则，
两式相加得：，
两式相减得：，
∴都能被3整除，
∴能被3整除，
∵，且，
∴，
∵为完全平方数，
∴或16或25，
∵能被3整除，
∴
又∵都能被3整除，
∴时，M最大，
∴．
故答案为：9871；6021.
【分析】①由a、b、c、d的取值范围，确定出最大的完全平方数为25，即可求解；
②确定a+b，c+d都能被3整除，a+b+c+d能被3整除，继而得到a+b+c+d=9，据此求解即可。
17．【答案】（1）解：3x-3=2-2x
3x+2x=2+3
5x=5
（2）解：整理得：
①+②，得：4x=12
解得x=3
把x=3代入①得：3+4y=14
解得y=
∴ 方程组的解是
【知识点】解含括号的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查解一元一次方程，二元一次方程组.（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，可得答案；（2）先去分母，整理方程组，再用加法消元法，可得方程组的解.
18．【答案】解：设原队列有m人，
增加54人后组成a×a的正方形队列，减少74人后组成b×b的正方形队列.
根据题意得：
1- ②：
，解得，∴m1=1035；
，解得，∴m2=270；
，解得，∴m3=90；
综上所述，原队列有1035人或270人或90人。
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设原队列有m人，增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列.可得：，再利用因式分解的结果建立方程组解题即可；
19．【答案】（1）解：设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元，
由题意，得 ，
解得．
答：A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元．
（2）解：设购买A品牌运动饮料m瓶，B品牌运动饮料n瓶，
由题意得，，
则．
方案一：当时，；
方案二：当时，；
方案三：当时，；
方案四：当时，．
答：一共有4种购买方案
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）抓住等量关系：A单价xA数量+B单价xB数量=总成本，列出方程组并求解；
（2）根据题意得出A饮料瓶数m与B饮料瓶数n的数量关系，然后根据现实生活中m、n均为正整数的隐藏条件，全面找出方案. 可以注意到，n为5的倍数（以此为突破口探究搭配方案）.
20．【答案】（1）解：设一张板材裁切靠背x张， 座垫y张，
根据题意得：15x+35y=240，
∴y=，
∵x、y为非负整数，
∴x=9，y=3或x=2，y=6或x=16，y=0（舍）
∴①裁切靠背9张， 座垫3张，②裁切靠背2张， 座垫6张.
（2）解：=240（张）
∴ 该工厂购进 50 张该型号板材， 能制作成240张学生椅.
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）设一张板材裁切靠背x张， 座垫y张，根据题意得：15x+35y=240，求出x、y的非负整数解即可；
（2）直接列式，再计算即可.
21．【答案】解：第二个方程组的两个方程的两边都除以 4 ，
得
∴
解得
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】先把方程组两个方程的两边都除以4，转化为，再由方程组的解是，按照此方程组的解的模式，所以可得：，解出方程组，求出x、y的值即可.
22．【答案】（1）0.4；0.6
（2）解：由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，
可得：，
解得：；
（3）52或65
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1）AE=2÷5=0.4(米)，
AF=AB-AF=AD÷2- AF =2÷2-0.4=0.6(米)；
故答案为：0.4，0.6；
（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，则有（n-a）块按方案二进行切割．
根据有140片甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于140片，
∴5a≤140，即a≤28，
丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，则
解得：，
∵a≤28，，且a，n都是正整数
∴当n=52时，a=20；当n=65时，a=25；
综上：n的值是52或65．
【分析】（1）根据方案一可得AE，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得AF；
（2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组，即可解答；
（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，根据能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，确定a的范围，由丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，列出方程，求出整数解即可．
23．【答案】（1）B
（2）解：根据题意可得：，解得，
∵，，解得，所以点．
（3）解：方程组的解为；
∵点是“明德点”，∴，
解得，∵，∴，
解得，∴t的值是3．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1），令得，，，所以不是“明德点”；
，令得，，，所以是“明德点”.
故答案为：B.
【分析】（1）根据阅读材料中的明德点的判断方法进行列式计算即可求解.
（2）根据明德点的定义得，，解得，由，，解得，从而得解．
(3)方程组的解为，根据明德点的定义得，，解得，根据，得，解之即可求解．
24．【答案】（1）-1；5
（2）解：设铅笔的单价为x元， 橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，
由题意得：，
由①×2-②得：x+y+z=6，
∴5(x+y+z)=5×6=30（元）.
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.
（3）-11
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：（1），
由①-②得：x-y=-1；
由①+②得：3x+3y=15，
解得：x+y=5.
故答案为：第一空：-1；第二空：5.
（3）∵x※y=ax+by+c，3※5=15，4※7=28，
∴，
由①×3-②×2得：
a+b+c=-11，
∴1※1=a+b+c=-11.
故答案为：-11.
【分析】（1）由题意，将两个方程分别相减或相加即可求解；
（2）设铅笔的单价为x元， 橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，根据题中的两个相等关系“20支铅笔的费用+3块橡皮的费用+2本日记本的费用=32，39支铅笔的费用+5块橡皮的费用+3本日记本的费用=58”可列关于x、y、z的方程组，解方程组可求得（x+y+z）的值，然后根据5(x+y+z)可求解；
（3）根据新运算可列关于a、b、c的方程组，整理即可求解.
1 / 1浙教版（2024）数学七下第2章 二元一次方程组 单元测试C卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中， 属于二元一次方程的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵选项A是一元一次方程；选项B中不是整式；选项C中含有3个字母；选项D中，含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，是二元一次方程.
故正确答案选：D.
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是1的整式方程是二元一次方程，进行判断.
2．（2024七下·铁东期中）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】将代入原方程，可得：，解得：
故答案为：C
【分析】
将方程组的解代入方程，可得关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值．
3．若a，c，d是整数，b是正整数，且a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是( )
A．5 B．2 C．-5 D．-2
【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：联立方程
解得
∴b最小值为1，
∴的最大值是．
故答案为：C
【分析】先根据题意联立方程，进而得到，即b最小值为1，从而得到a+b+c+d=-5b的最大值为-5.
4．（2023·衢州模拟）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，得： .
故答案为：D.
【分析】根据5大盒、3小盒共装150瓶可得5x+3y=150；根据2大盒、6小盒共装100瓶可得2x+6y=100，联立可得方程组.
5．（2022七下·恩平期中）二元一次方程有无数个解，下列选项中，不是此方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：
A.当时，，不符合题意；
B. 当时，，不符合题意；
C. 当时，，符合题意；
D. 当时，，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将各选项分别代入判断即可。
6．（非凡数学听课本 七年级上册 第四章 代数式 第15节 用整式解决问题）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的长方形ABCD 内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形 ABCD 的一组邻边上.如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（ ）
A． B．5 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设较小正方形的边长为x，较大正方形的边长为y，阴影部分的长和宽分别为a，b，
∵两个正方形的周长和为45，
∴4x+4y=45，即
∵AD=x+y-a，AB=x+y-b，长方形ABCD 的周长为36，
∴x+y-a+x+y-b=18，即2（x+y）-（a+b）=18，
即
∴阴影部分的周长=2（a+b）=9.
故选C.
故答案为：C
【分析】 设较小正方形的边长为x，较大正方形的边长为y，阴影部分的长和宽分别为a，b，根据长方形周长条件列出等式，即可得出答案.
7．（2024七下·洪雅月考）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：因为关于x，y的二元一次方程组的解是，
所以，
解得出，
故选：A.
【分析】根据方程组的解相同可得，再利用加减消元法求出即可.
8．（2022七下·合阳期末）在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：图1前两列结合方程组中x、y的系数可知：一个”“表示数1，只需要数”“，有几个就表示系数为几，例如”“表示数3；11表示为””，其中”“表示1，所以”“表示10，“”表示20，结合27表示的”“可知“”上边的”—“表示5，所以图2中的“”表示10+5+4=19，“”表示20+3=23.
故答案为：D.
【分析】理解图1中算筹所示的表示方法，清楚”|“、“—”、”“分别代表的数，依次即可推出图2所示的方程组.
9．关于x，y的方程组的解为
则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：已知关于x，y的方程组 的解为，
即；
那么将关于x，y的方程组 整理得，
故5x=4045，5y=1，
解得：x=809，，
故该方程组的解为：；
故答案为：A.
【分析】结合已知条件，观察两个方程组的关系，根据二元一次方程组解的定义即可求得答案.
10．（2024七下·金华月考）关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ① 当时， 方程组为，
解得：，故①正确；
②当时，方程组为，
两式相减得：4x+8y=-1，
即 ，故 ② 错误；
③∵x=3-a-2ay，代入-ax-2y=1中，
得-a(3-a-2ay)-2y=1，
即，
当时，，
又∵，所以该方程组无解，故 ③ 正确
故答案为：C.
【分析】 ① 将a=2代入方程组，求解方程组即可得到答案；
② 将a=3代入方程组，求解方程组即可得到答案；
③ 首先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一次项系数和常数项判断方程是否有解。
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024七下·赣州期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值为 ．
【答案】23
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的一个解，
把代入得，，即，
∴，
故答案为：23．
【分析】把x=2a，y=b代入方程得，4a-5b=-7，再把所求代数式变形，进行整体代入求解即可．
12．已知二元一次方程组，则代数式 .
【答案】6
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】
解：①-②，得：
3x-y-（x+y）=5-（-7）
2x-2y=12，
x-y=6.
故正确答案为：6．
【分析】通过观察、分析可以看出两个方程相减，可以得到2x-2y=12，即，两边同时除以2，可以直接得出x-y的值．
13．（2024八上·岳阳开学考）关于x，y的二元一次方程组中，m与方程组的解中的x或y相等，则m的值为 .
【答案】2或
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴解得，
∵m与方程组的解中的x或y相等，
∴2=m或-1-m=m，
解得：m=2或m=，
故答案为：m=2或m=.
【分析】先利用加减消元法求出方程组的解集，再结合“m与方程组的解中的x或y相等”可得2=m或-1-m=m，再求出m的值即可.
14．（2024七上·成都开学考）某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了小时，返回时用了小时．已知走上坡每小时千米，走下坡时每小时千米．甲、乙两地的公路长 千米．
【答案】40
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设上山路为x千米，下山路为y千米
由题意，得；
解得：
∵
∴甲、乙两地的公路长为40米.
故答案为：40.
【分析】根据路程除以速度等于时间及去用了6.5小时，返回时用了7.5小时，列出方程组，求解即可.此题需要注意：去时的上坡路程等于回时的下坡路程，去时的下坡路程等于回时的上坡路程.
15．（2024八上·岳阳开学考）若方程组的解是则(a-b)(a+b)的值为 .
【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将代入，可得，
∴a-b=-1，a+b=1，
∴，
故答案为：2.
【分析】先将方程组的解代入方程组可得，再化简变形可得a-b=-1，a+b=1，最后将其代入计算即可.
16．（2024八下·綦江期中）若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“吉祥数”，那么最大的“吉祥数”为 ；将一个“吉祥数”M的前两位数字组成的两位数记为s，后两位数字组成的两位数记为t，规定，，若、都是整数，则满足条件的M的最大值为 .
【答案】9871；6021
【知识点】整式的加减运算；二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：①为最大“吉祥数”，而，
∵各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，
∴最大的完全平方数为25，
∴最大的“吉祥数”，当，时，，
∴最大的“吉祥数”为；
②，则，，
∵、都是整数，
∴设，，为正整数，
则，
两式相加得：，
两式相减得：，
∴都能被3整除，
∴能被3整除，
∵，且，
∴，
∵为完全平方数，
∴或16或25，
∵能被3整除，
∴
又∵都能被3整除，
∴时，M最大，
∴．
故答案为：9871；6021.
【分析】①由a、b、c、d的取值范围，确定出最大的完全平方数为25，即可求解；
②确定a+b，c+d都能被3整除，a+b+c+d能被3整除，继而得到a+b+c+d=9，据此求解即可。
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．解下列方程 （组）：
（1） ．
（2）
【答案】（1）解：3x-3=2-2x
3x+2x=2+3
5x=5
（2）解：整理得：
①+②，得：4x=12
解得x=3
把x=3代入①得：3+4y=14
解得y=
∴ 方程组的解是
【知识点】解含括号的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查解一元一次方程，二元一次方程组.（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，可得答案；（2）先去分母，整理方程组，再用加法消元法，可得方程组的解.
18．（2024七下·鄞州期末） 学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列.如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
【答案】解：设原队列有m人，
增加54人后组成a×a的正方形队列，减少74人后组成b×b的正方形队列.
根据题意得：
1- ②：
，解得，∴m1=1035；
，解得，∴m2=270；
，解得，∴m3=90；
综上所述，原队列有1035人或270人或90人。
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设原队列有m人，增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列.可得：，再利用因式分解的结果建立方程组解题即可；
19．（2024七下·瑞安期中）综合与实践：设计运动会物资的购买方案．
【背景素材】七年级1班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料需340元．
【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究．
（1）思考1（确定售价）：A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元？
（2）思考2（方案探究）：购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有几种购买方案？
【答案】（1）解：设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元，
由题意，得 ，
解得．
答：A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元．
（2）解：设购买A品牌运动饮料m瓶，B品牌运动饮料n瓶，
由题意得，，
则．
方案一：当时，；
方案二：当时，；
方案三：当时，；
方案四：当时，．
答：一共有4种购买方案
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）抓住等量关系：A单价xA数量+B单价xB数量=总成本，列出方程组并求解；
（2）根据题意得出A饮料瓶数m与B饮料瓶数n的数量关系，然后根据现实生活中m、n均为正整数的隐藏条件，全面找出方案. 可以注意到，n为5的倍数（以此为突破口探究搭配方案）.
20．（2024七下·义乌月考）根据以下素材， 探索完成任务.
如何设计板材裁切方案？
素材1
图 1 中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成.经测量，该款学生椅的靠背尺寸为 ，座垫尺寸为 . 图 2 是靠背与座垫的尺寸示意图.
素材2
因学校需要， 某工厂配合制作该款式学生椅.经清点库存时发现， 工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫. 已知该板材长为 ， 宽为 . (裁切时不计损耗)
（1）【拟定裁切方案】若要不造成板材浪费， 请你设计出一张该板材的所有栽切方法
（2）【确定搭配数量】若该工厂购进 50 张该型号板材， 能制作成多少张学生椅
【答案】（1）解：设一张板材裁切靠背x张， 座垫y张，
根据题意得：15x+35y=240，
∴y=，
∵x、y为非负整数，
∴x=9，y=3或x=2，y=6或x=16，y=0（舍）
∴①裁切靠背9张， 座垫3张，②裁切靠背2张， 座垫6张.
（2）解：=240（张）
∴ 该工厂购进 50 张该型号板材， 能制作成240张学生椅.
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）设一张板材裁切靠背x张， 座垫y张，根据题意得：15x+35y=240，求出x、y的非负整数解即可；
（2）直接列式，再计算即可.
21． 对下列问题， 有三名同学提出了各自的想法： 若方程组 的解是 求方程组 的解． 甲说： “这个题目的条件好像不够， 不能求解， ”乙说： “它们的系数有一定的规律， 可以试试．”丙说： “能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 4 ， 通过换元替代的方法来解决？”参考他们的讨论， 请你探索： 若能求解， 请求出它的解； 若不能， 请说明理由．
【答案】解：第二个方程组的两个方程的两边都除以 4 ，
得
∴
解得
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】先把方程组两个方程的两边都除以4，转化为，再由方程组的解是，按照此方程组的解的模式，所以可得：，解出方程组，求出x、y的值即可.
22．（2024七下·金东期中） 某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．
（1）若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边 米， 米．
（2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值．
（3）若厂家已有140块甲型玻璃片，再购入块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是 （请写出满足条件的n的值）．
【答案】（1）0.4；0.6
（2）解：由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，
可得：，
解得：；
（3）52或65
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1）AE=2÷5=0.4(米)，
AF=AB-AF=AD÷2- AF =2÷2-0.4=0.6(米)；
故答案为：0.4，0.6；
（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，则有（n-a）块按方案二进行切割．
根据有140片甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于140片，
∴5a≤140，即a≤28，
丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，则
解得：，
∵a≤28，，且a，n都是正整数
∴当n=52时，a=20；当n=65时，a=25；
综上：n的值是52或65．
【分析】（1）根据方案一可得AE，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得AF；
（2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组，即可解答；
（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，根据能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，确定a的范围，由丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，列出方程，求出整数解即可．
23．（2024七下·长沙期中）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足，就称点为“明德点”．
例如：点，令，得，，所以是“明德点”；点，令，得，，所以不是“明德点”．
（1）点，是“明德点”的是点 ；
（2）点是“明德点”，求点C的坐标；
（3）若以关于x，y的二元一次方程组的解为坐标的点是“明德点”，求t的值．
【答案】（1）B
（2）解：根据题意可得：，解得，
∵，，解得，所以点．
（3）解：方程组的解为；
∵点是“明德点”，∴，
解得，∵，∴，
解得，∴t的值是3．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1），令得，，，所以不是“明德点”；
，令得，，，所以是“明德点”.
故答案为：B.
【分析】（1）根据阅读材料中的明德点的判断方法进行列式计算即可求解.
（2）根据明德点的定义得，，解得，由，，解得，从而得解．
(3)方程组的解为，根据明德点的定义得，，解得，根据，得，解之即可求解．
24． 阅读感悟：
有些关于方程组的问题， 欲求的结果不是每
一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值， 如以下问题：
已知实数 满足 ①， 7 ②， 求 和 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组， 解得 的值， 再代人欲求值的代数式得到答案， 但常规思路运算量比较大． 其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系， 本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值， 如 由 ① - ②可得 ，由①+② 可得 ． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：
（1）已知二元一次方程组 则 ， .
（2） 某班级组织活动购买小奖品， 买 20 支铅笔、 3 块橡皮、 2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、 5 块橡皮、 3 本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、 5 块橡皮、 5 本日记本共需多少元？
（3） 对于实数 ， 定义新运算： ， 其中 是常数， 等式右边是通常的加法和乘法运算． 已知 ， ， 那么 .
【答案】（1）-1；5
（2）解：设铅笔的单价为x元， 橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，
由题意得：，
由①×2-②得：x+y+z=6，
∴5(x+y+z)=5×6=30（元）.
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.
（3）-11
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：（1），
由①-②得：x-y=-1；
由①+②得：3x+3y=15，
解得：x+y=5.
故答案为：第一空：-1；第二空：5.
（3）∵x※y=ax+by+c，3※5=15，4※7=28，
∴，
由①×3-②×2得：
a+b+c=-11，
∴1※1=a+b+c=-11.
故答案为：-11.
【分析】（1）由题意，将两个方程分别相减或相加即可求解；
（2）设铅笔的单价为x元， 橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，根据题中的两个相等关系“20支铅笔的费用+3块橡皮的费用+2本日记本的费用=32，39支铅笔的费用+5块橡皮的费用+3本日记本的费用=58”可列关于x、y、z的方程组，解方程组可求得（x+y+z）的值，然后根据5(x+y+z)可求解；
（3）根据新运算可列关于a、b、c的方程组，整理即可求解.
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