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专题1.5平行线的性质十大题型（一课一讲）
（内容:平行线的性质及其应用）
【浙教版】
题型一：根据平行线的判定和性质求角度
【经典例题1】如图所示，，长方形的顶点B在直线m上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如图，，连接，平分交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】生活情境·路线图如图所示是一条街道的路线图，若，且，那么当等于（ ）时，．
A． B． C． D．
【变式训练1-4】如图，直线，，且顶点F在直线上，交直线于点H，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】如图，，平分，平分，，求（ ）
A． B． C． D．
题型二：根据平行线的判定和性质证明
【经典例题2】如图，交于点F，点C在的延长线上，．
(1)若，求的度数．
(2)若，求证：．
【变式训练2-1】已知，E、F分别为，上一点，P，H分别在，上，，．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，过点P作，交于点M，作的平分线交于点N，求的度数．
【变式训练2-2】如图，在四边形中，平分，交于点G，交的延长线于点E，F为延长线上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式训练2-3】如图，已知：△ABC中，D、E、F、G分别在、和上，连接、和，，．
(1)判断与的位置关系，并证明；
(2)若，，求的度数．
【变式训练2-4】如图，，点E是直线上的一点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)连结，若，，则是否平分？请说明理由．
【变式训练2-5】如图，直线、被直线所截，分别交、于点、，平分交于点，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若点为射线上一点，连接．平分交于点，，求的度数．
题型三：根据平行线的判定和性质填空
【经典例题3】把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整．
如图，，，．
（1）试说明；
（2）推导证明与的位置关系．
解：（1）∵（已知）
________（________）
又（已知）
________（________）
（________）
（2）∵（已知）
∴________（________）
又∵（已知）
∴________________（等量代换）
∴________
【变式训练3-1】如图，已知，，垂足分别为、，．试说明：，在下列解答中，在横线填空（理由或数学式）．
解：∵，（________），
∴（________）
∴（________）
∴________（________）
又∵（________），
∴（________）
∴________（________）
∴（________）
【变式训练3-2】如图，，．求证∶．
证明∶因为（已知），
所以（ ），
所以_____，
因为（已知），
所以_____（等量代换），
所以（_____）．
【变式训练3-3】如图，在中，，，垂足分别为，，试说明：，请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据．
理由如下：因为（已知），
所以（ ）．
同理，得，
所以（等量代换）．
所以（同位角相等，两直线平行）．
所以 （ ）．
又（已知）．
所以 （等量代换）．
所以（ ）．
所以（两直线平行，同位角相等）．
又 （已知），
所以（两直线平行，同位角相等）．
即（等量代质）．
所以（ ）．
【变式训练3-4】如图，已知，、分别平分、，且，求证
证明：（ ）
、分别平分、（ ）
，（ ）
（ ）
∵，
∴，
（ ）
，（ ）
（ ）
【变式训练3-5】如图，已知，求的度数．请将下面的解答过程解：
（已知），
___________（ ），
又（已知），
（ ）
___________（ ）
（ ）
（已知），
___________．
题型四：求平行线之间的距离
【经典例题4】如图，，平分，平分，．
(1)问：与平行吗？试说明理由．
(2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离．
【变式训练4-1】如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．
(1)求证：．
(2)若，且．求与之间的距离．
(3)若．试求点到直线的距离的取值范围．
【变式训练4-2】如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．
(1)求证：
(2)若 ，且，，．求与之间的距离．
(3)若，，．试求点到直线的距离的取值范围．
【变式训练4-3】如图，直线与分别相交于点，且交直线于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求直线与的距离．
【变式训练4-4】如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求直线与的距离．
题型五：平行线的性质在三角板中的应用
【经典例题5】如图，，把一块直角三角板的直角顶点B落在上，顶点D落在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】一副三角板如图所示摆放，，°，若，则 ．
【变式训练5-3】把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点恰好落在的延长线上，，则的大小为 ．
【变式训练5-4】在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数为 ．
【变式训练5-5】一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，．若固定三角板，改变三角板的位置（其中点的位置始终不变），当 时，．
题型六：平行线的性质在生活中的应用
【经典例题6】生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式训练6-1】仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-5】如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（ ）
A． B． C． D．
题型七：利用平行线之间的距离解决问题
【经典例题7】如图，在梯形中，，若，那么等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式训练7-1】如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（ ）
A．无法比较 B．①与②相等
C．①是②的2倍 D．①是②的3倍
【变式训练7-2】如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（ )
A．32 B．34 C．35 D．36
【变式训练7-3】如图，已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【变式训练7-4】如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ．
【变式训练7-5】如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ．
题型八：平行线中拐点问题
【经典例题8】已知，如图，，则，，之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-1】如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-2】如图，，，则、、的关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-3】如图，，则满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-4】如图，已知，，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-5】如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型九：平行线的性质中多结论问题
【经典例题9】将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练9-1】如图，已知，，垂足为，、分别是和的平分线，则下列五种说法：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练9-2】如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练9-3】如图，在三角形中，已知，，．对于下列五个结论：①；②；③；④；⑤与互补．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练9-4】如图，，平分，下列结论：①；②
；③；④；⑤若，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练9-5】如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型十：利用平行线的判定和性质进行探索
【经典例题10】已知：如图，直线与分别相交于点E，F．
(1)如图1，若，则和的位置关系为 ．
(2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系．
①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）：
解：如图2，过点P作，
则（ ）
∵（已知），（作图），
∴（ ）
∴
∴（ ）
即；
②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系；
③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系．
【变式训练10-1】数学活动：探究利用平行线构造等角“转化”．
(1)阅读理解：如图1，已知三角形，求的度数．阅读并补充下列推理过程：
解：过点A作，则__________，__________，
∵__________，
∴__________．
(2)方法运用：如图2，已知，，，求的度数；
(3)如图3，已知，，，直接写出的度数；
(4)拓展探索：如图4，已知，点E、F是、上的点，N是、之间的一点，分别作、的平分线，交于点M，若，直接写出的度数．
【变式训练10-2】探索与实践：
数学兴趣小组的同学在学行线的性质后．用一副三角板进行探索．
如图：在三角板和三角板中，，，，将三角板绕着点C做旋转运动．
(1)当时，如图1所示．______；
(2)如图2所示，当时，求的度数．
(3)当时，直接写出的度数______．
【变式训练10-3】【问题情境】
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、．
【探索发现】
当时，求证：；
【深入探究】
（2）如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由．
【变式训练10-4】如图1，四边形为一张长方形纸片．
(1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°．
(2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°．
(3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°．
(4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
【变式训练10-5】同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：；
(2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系；
(3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.5平行线的性质十大题型（一课一讲）
（内容:平行线的性质及其应用）
【浙教版】
题型一：根据平行线的判定和性质求角度
【经典例题1】如图所示，，长方形的顶点B在直线m上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
故选：C ．
【变式训练1-1】如图，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，标记角，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B
【变式训练1-2】如图，，连接，平分交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故选D．
【变式训练1-3】生活情境·路线图如图所示是一条街道的路线图，若，且，那么当等于（ ）时，．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：且，
，
，
，
，
故选：B．
【变式训练1-4】如图，直线，，且顶点F在直线上，交直线于点H，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，且顶点F在直线上，，
，
，
，
，
故选：C．
【变式训练1-5】如图，，平分，平分，，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，分别过G、H作的平行线和，
∵，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
题型二：根据平行线的判定和性质证明
【经典例题2】如图，交于点F，点C在的延长线上，．
(1)若，求的度数．
(2)若，求证：．
【答案】(1)(2)详见解析
【详解】（1）解：，
，
．
，
，即．
（2）证明：由（1），可知，
．
又，
，
【变式训练2-1】已知，E、F分别为，上一点，P，H分别在，上，，．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，过点P作，交于点M，作的平分线交于点N，求的度数．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴平分．
（2）设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【变式训练2-2】如图，在四边形中，平分，交于点G，交的延长线于点E，F为延长线上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
【变式训练2-3】如图，已知：中，D、E、F、G分别在、和上，连接、和，，．
(1)判断与的位置关系，并证明；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)，证明见详解(2)
【详解】（1）证明：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练2-4】如图，，点E是直线上的一点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)连结，若，，则是否平分？请说明理由．
【答案】(1)，见解析(2)平分，见解析
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴（两直线平行， 同旁内角互补）
∵，
∴．
∵，
∴，
∴ （内错角相等，两直线平行）．
（2）解：平分，理由如下：
∵，
∴（两直线平行， 同旁内角互补），
∵，
∴．
∵，
∴，
∴平分．
【变式训练2-5】如图，直线、被直线所截，分别交、于点、，平分交于点，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若点为射线上一点，连接．平分交于点，，求的度数．
【答案】(1)，详见解析(2)
【详解】（1）解：，理由如下，
平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）知，
，
，
平分，平分，
，
，
．
题型三：根据平行线的判定和性质填空
【经典例题3】把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整．
如图，，，．
（1）试说明；
（2）推导证明与的位置关系．
解：（1）∵（已知）
________（________）
又（已知）
________（________）
（________）
（2）∵（已知）
∴________（________）
又∵（已知）
∴________________（等量代换）
∴________
【答案】（1）；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；（2）；两直线平行，内错角相等；；3 ；
【详解】解：（1）∵（已知）
（两直线平行，内错角相等）
又（已知）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（2）∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴．
【变式训练3-1】如图，已知，，垂足分别为、，．试说明：，在下列解答中，在横线填空（理由或数学式）．
解：∵，（________），
∴（________）
∴（________）
∴________（________）
又∵（________），
∴（________）
∴________（________）
∴（________）
【答案】已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【详解】解：∵，（已知），
∴（垂直的定义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
又∵（已知），
∴（同角的补角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
【变式训练3-2】如图，，．求证∶．
证明∶因为（已知），
所以（ ），
所以_____，
因为（已知），
所以_____（等量代换），
所以（_____）．
【答案】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；D；同旁内角互补，两直线平行
【详解】证明：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行．
【变式训练3-3】如图，在中，，，垂足分别为，，试说明：，请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据．
理由如下：因为（已知），
所以（ ）．
同理，得，
所以（等量代换）．
所以（同位角相等，两直线平行）．
所以 （ ）．
又（已知）．
所以 （等量代换）．
所以（ ）．
所以（两直线平行，同位角相等）．
又 （已知），
所以（两直线平行，同位角相等）．
即（等量代质）．
所以（ ）．
【答案】垂直定义；，两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行
【详解】解：因为（已知），
所以（垂直定义）．
同理，得，
所以（等量代换）．
所以（同位角相等，两直线平行）．
所以（两直线平行，同位角相等）．
又（已知）．
所以（等量代换）．
所以（内错角相等，两直线平行）．
所以（两直线平行，同位角相等）．
又（已知），
所以（两直线平行，同位角相等）．
即（等量代质）．
所以（同位角相等，两直线平行），
故答案为：垂直定义；，两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行．
【变式训练3-4】如图，已知，、分别平分、，且，求证
证明：（ ）
、分别平分、（ ）
，（ ）
（ ）
∵，
∴，
（ ）
，（ ）
（ ）
【答案】已知；已知；角平分线的定义；角平分线的定义；两直线平行，错角相等，；两直线平行，同旁内角互补；等角的补角相等
【详解】证明：（已知）
、分别平分、（已知）
，（角平分线的定义）
（等量代换）
∵，
∴，
（两直线平行，内错角相等）
，（两直线平行，同旁内角互补）
（等角的补角相等）
【变式训练3-5】如图，已知，求的度数．请将下面的解答过程解：
（已知），
___________（ ），
又（已知），
（ ）
___________（ ）
（ ）
（已知），
___________．
【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
【详解】解：（已知），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；．
题型四：求平行线之间的距离
【经典例题4】如图，，平分，平分，．
(1)问：与平行吗？试说明理由．
(2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离．
【答案】(1)平行，见解析(2)8
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
设，所在的直线之间的距离为，
，
即，
，
即，所在的直线之间的距离为．
【变式训练4-1】如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．
(1)求证：．
(2)若，且．求与之间的距离．
(3)若．试求点到直线的距离的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)(3)大于0小于等于5
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解：由知：与之间的距离等于点到直线的距离，
即设三角形的边上的高为，
由三角形的面积计算公式可得：
，即，
解得：，
与之间的距离为2.4；
（3）解：过点作于，连接，
，
当与重合时，，
当无限接近时，无限接近0，
，
点到直线的距离的取值范围为大于0小于等于5．
【变式训练4-2】如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．
(1)求证：
(2)若 ，且，，．求与之间的距离．
(3)若，，．试求点到直线的距离的取值范围．
【答案】(1)详见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：
两直线平行，内错角相等
又
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（2）由知与之间的距离等于点到直线的距离即三角形的边上的高设为．由三角形的面积计算公式可得：
即：
解得：
故：与之间的距离为．
（3）设点到直线的距离为，∵，，
如图所示，作，当点与点重合时，到直线的距离为，
当点接近直线时，则点到直线的距离接近，
∴点到直线的距离的取值范围：．
【变式训练4-3】如图，直线与分别相交于点，且交直线于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求直线与的距离．
【答案】（1）20°；（2）
【详解】（1）解：因为，
所以，
又因为，
所以，
所以
（2）设三角形中边上的高为，
因为边上的高线垂直于
又因为，点在直线，
所以边上的高即为直线与的距离，
因为，
所以，
所以直线与的距离为．
【变式训练4-4】如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求直线与的距离．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）
∵
∴
又∵
∴
（2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离
∵，，
是直角三角形
∵
∴
∴直线与的距离
题型五：平行线的性质在三角板中的应用
【经典例题5】如图，，把一块直角三角板的直角顶点B落在上，顶点D落在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【变式训练5-1】如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的补角的度数是，
故选：B．
【变式训练5-2】一副三角板如图所示摆放，，°，若，则 ．
【答案】105
【详解】解：过点G作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：105．
【变式训练5-3】把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点恰好落在的延长线上，，则的大小为 ．
【答案】
【详解】解：由题意可知：，，，
，，
，
，
，
，
故答案为：
【变式训练5-4】在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数为 ．
【答案】/53度
【详解】解∶如图， 过E作，
∴，，
又，
∴，
∵直尺对边平行，即，
∴，
故答案为∶．
【变式训练5-5】一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，．若固定三角板，改变三角板的位置（其中点的位置始终不变），当 时，．
【答案】或
【详解】解：如图，当时，，
∴，
∴；
如图，当时，过点作，，
∴，，
∴；
故答案为：或．
题型六：平行线的性质在生活中的应用
【经典例题6】生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【变式训练6-1】仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故选：D．
【变式训练6-2】如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，点在射线上，，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【变式训练6-3】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点作，
，
，
，，
，，
，
，
故选：D．
【变式训练6-4】小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如下图所示，过点作，
，，
，
，
又，
．
故选：D．
【变式训练6-5】如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点作，为法线，如图：
∵，
∴，
∴，
∴为法线，
∴，
∵为法线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
题型七：利用平行线之间的距离解决问题
【经典例题7】如图，在梯形中，，若，那么等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【详解】解：设点到的距离为，
∵，
∴点到的距离也为，
∴；
故选B．
【变式训练7-1】如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（ ）
A．无法比较 B．①与②相等
C．①是②的2倍 D．①是②的3倍
【答案】C
【详解】解：设两平行线间的距离为h，
∴三角形面积为，梯形面积为，
∴①的面积是②的面积的2倍，
故选：C．
【变式训练7-2】如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（ )
A．32 B．34 C．35 D．36
【答案】B
【详解】解：如图，作，连接，则，
可知，
因此有：，
而；
因此，．
故选：B．
【变式训练7-3】如图，已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【详解】解：直线，点、、在直线上，
点到直线的距离与点到直线的距离相等．
又，
与是等底等高的两个三角形，
，
故选：C．
【变式训练7-4】如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练7-5】如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【详解】解：连接，
∵，，
∴
∴；
同理：
∴．
故答案为：．
题型八：平行线中拐点问题
【经典例题8】已知，如图，，则，，之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，作，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
即．
故选：C．
【变式训练8-1】如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】过向左作射线，
则，
∴
，
，
，
．
故选：D．
【变式训练8-2】如图，，，则、、的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：分别过点作，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【变式训练8-3】如图，，则满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点作，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练8-4】如图，已知，，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，过点E作
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴．
故选：B．
【变式训练8-5】如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，
，，
，，
，
故选：．
题型九：平行线的性质中多结论问题
【经典例题9】将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
如果，则，故，故③正确；
如果，则，故，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
【变式训练9-1】如图，已知，，垂足为，、分别是和的平分线，则下列五种说法：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】，
，故①正确；
平分，，
．
又，
∴，
，故②正确；
，
，故④正确；
、分别平分、，，
，
∴，即，故③正确；
无法证明，故无法证明，故⑤错误
故正确的个数为4个．
故选C．
【变式训练9-2】如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：，交于I．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①正确；②2正确，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
可见，的值未必为，未必为，只要和为即可，
∴③平分，④平分不一定正确．
故选：B．
【变式训练9-3】如图，在三角形中，已知，，．对于下列五个结论：①；②；③；④；⑤与互补．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：①，
；
故①正确；
②，
，
，
，
；
故②正确；
③，
；
故③正确；
④，
，
，
；
故④正确；
⑤．
，
与互余．
故⑤错误．
其中正确的有①②③④4个．
故选：C．
【变式训练9-4】如图，，平分，下列结论：①；②
；③；④；⑤若，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误：
∵，，，，
∴
∵，
∴°，即，故④正确；
∵，
∴为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
【变式训练9-5】如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，故结论①错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即平分，故结论②正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故结论③正确；
∵，
又∵，
∴，故结论④错误．
综上所述，结论正确的是②③，共计2个．
故选：B．
题型十：利用平行线的判定和性质进行探索
【经典例题10】已知：如图，直线与分别相交于点E，F．
(1)如图1，若，则和的位置关系为 ．
(2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系．
①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）：
解：如图2，过点P作，
则（ ）
∵（已知），（作图），
∴（ ）
∴
∴（ ）
即；
②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系；
③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系．
【答案】(1)
(2)①见解析；②；③
【详解】（1）解：由题意得，
∵，
∴，
故答案为：平行；
（2）①解：如图2、过点P作，
则（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），（作图），
∴（平行于同一条直线的两直线平行）．
∴．
∴（等式的性质）．
即；
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；等式的性质；
②解：；
如图3，过点P作，
则．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴；
③解：，
如图4，过点P作，
则．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴．
【变式训练10-1】数学活动：探究利用平行线构造等角“转化”．
(1)阅读理解：如图1，已知三角形，求的度数．阅读并补充下列推理过程：
解：过点A作，则__________，__________，
∵__________，
∴__________．
(2)方法运用：如图2，已知，，，求的度数；
(3)如图3，已知，，，直接写出的度数；
(4)拓展探索：如图4，已知，点E、F是、上的点，N是、之间的一点，分别作、的平分线，交于点M，若，直接写出的度数．
【答案】(1)，，，(2)(3)(4)
【详解】（1）解：解：过点A作，则，，
∵，
∴，
故答案为：，，，．
（2）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（4）解：过点M作，
∵、平分、，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴同理得，
∴，
∴，
∴．
【变式训练10-2】探索与实践：
数学兴趣小组的同学在学行线的性质后．用一副三角板进行探索．
如图：在三角板和三角板中，，，，将三角板绕着点C做旋转运动．
(1)当时，如图1所示．______；
(2)如图2所示，当时，求的度数．
(3)当时，直接写出的度数______．
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）由题意可知, ,
∵,
∴,
故答案为:；
（2）由题意可知, ,
∵
∴,
∴，
即；
（3）如图, 当时,
，
，
如图, 当 时, 延长交于点，
∵
，
，
综上所述，满足条件的的度数为或
故答案为： 或
【变式训练10-3】【问题情境】
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、．
【探索发现】
当时，求证：；
【深入探究】
（2）如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3），理由见解析
【详解】证明：（1）如图所示，过F作，
，
，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）与之间的数量关系为，理由如下：
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴设，
过点M作，
；
，
，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【变式训练10-4】如图1，四边形为一张长方形纸片．
(1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°．
(2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°．
(3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°．
(4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：过作（如图②）．
原四边形是长方形，
，
又，
（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
，
（两直线平行，同旁内角互补）．
，
（两直线平行，同旁内角互补）．
，
又，
，
故答案为：；
（2）分别过、分别作、，如图③所示，
原四边形是长方形，
，
又，
．
，，，
，
，，
，
故答案为：；
（3）分别过、、分别作、、，如图④所示，
原四边形是长方形，
，
又，，，
．
，，，，
，
，，，
，
故答案为：；
（4）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度，
故答案为：．
【变式训练10-5】同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：；
(2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系；
(3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)．
【详解】（1）证明：过点P作，如图1所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：，理由如下：
如图2所示：
∵，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∴；
（3）解：如图3所示：
由（2）的结论得：，
∵，
∴①，
∵，
∴，
由（2）的结论得：，
∴②，
得：．
