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第1章 相交线与平行线 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 哈尔滨期末）本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．“滨滨”和“妮妮”的原型是2023年9月出生于黑龙江东北虎林园的两只可爱的小东北虎，“滨滨”名字取自“哈尔滨”，“妮妮”取自“您”的读音，两个名字寓意“哈尔滨欢迎您”．如图，通过平移吉祥物，可以得到的图形是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据平移的定义判断即可．
【解析】根据平移的定义，平移前后的图形形状、大小完全一样，仅位置不一样，那么符合题意．
故选．
2．（2023秋 海港区期末）“直线与射线相交于点”，画图正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据直线、射线相交的定义判断即可．
【解析】如图，直线与射线相交于点，
故选．
3．（2024春 陈仓区期中）如图，为方便群众，需要从新建的广场处修一条人行通道到小路，沿，，均可，其中，在资金紧张的情况下应将人行通道修在 处．
A． B． C． D．不能确定
【答案】
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【解析】，
根据垂线段最短，应将人行通道修在处．
故选．
4．（2024春 莲都区期末）如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，已知点，之间的距离为1，，则的长是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】根据平移的性质得到，然后计算即可．
【解析】三角形沿水平方向向右平移到三角形，，
，
，
．
故选．
5．（2024秋 晋江市期末）如图所示，下列说法一定正确的是
A．和互为余角 B．和是内错角
C．和互为补角 D．和是同位角
【答案】
【分析】根据互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形进行判断即可．
【解析】．由于与的和不一定是，所以和不一定是互为余角，因此选项不符合题意；
．和不是两条直线被第三条直线所截得的角，不符合内错角的定义，因此选项不符合题意；
．和是一组同旁内角，但和不一定互补，因此选项不符合题意；
．和是两条直线被第三条直线所截的同位角，因此选项符合题意．
故选．
6．（2024春 新化县期末）下列说法：①等角的余角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．正确的共有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】
【分析】根据余角的定义对①进行判断；根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行对②进行判断；根据对顶角的定义对③进行判断；根据平行线的性质对④进行判断．
【解析】等角的余角相等，所以①为真命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以②为假命题；相等的角不一定为对顶角，所以③为假命题；两直线平行，同位角相等，所以④为假命题．
故选．
7．（2024秋 三水区期末）如图，直线、被直线所截，，下列条件中可以判定的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可．
【解析】直线、被直线所截，，如图，
，
，
．
故选．
8．（2024秋 禅城区期末）如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知易得：，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解析】如图：
，，
，
直线，
，
，
，
故选．
9．（2024春 虹口区校级月考）下列推理判断正确的是
A．，，，
B．，，，，在同一平面内）
C．如图，，
D．如图，，
【答案】
【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理及推论并结合图形进行分析，逐一判断即可解答．
【解析】、，，，，故符合题意；
、，，，，在同一平面内），故不符合题意；
、如图，，，故不符合题意；
、如图，，，故不符合题意；
故选．
10．（2023秋 单县期末）如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则；其中正确的有
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】
【分析】根据平行线的性质得出和的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
【解析】，，
，
的平分线交于点，
，
，
平分，①正确，
，
，
，②正确，
，
与互余的角有，，，，有4个，③错误，
，，
又，
，④正确，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 清镇市期末）如图，直线与直线相交于点，若，则的度数是 ．
【答案】．
【分析】根据对顶角的性质即可求解．
【解析】，
，
故答案为：．
12．（2024秋 徐汇区校级期末）如图，如果，那么的同位角的度数为 ．
【答案】．
【分析】由于，利用邻补角定义可求，而就是的同位角．
【解析】，如图，
，
，
的同位角等于，
故答案为：．
13．如图，已知，，所以点、、三点共线的理由 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ．
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．
【解析】已知，，所以点、、三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
14．（2024春 香洲区期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点、重合，若固定三角形，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 或 时，．
【答案】或
【分析】分两种情况，根据，利用平行线的性质，即可得到的度数．
【解析】如图所示：当时，；
如图所示，当时，，
；
故答案为：或．
15．（2024秋 沈丘县期末）已知与一边互相垂直，另一边互相平行，且比大，则的度数为 或 ．
【答案】或．
【分析】如图所示，根据平行线的性质和垂直的性质分两种情况进行讨论求解即可．
【解析】①如图所示，，
即，，
，，
，
又比大，
，
．
②如图所示，，
即，，
，，
，
比大（不符合题意），
如图，，，设．则，，
，
．
故答案为：或．
16．（2024秋 徐州校级期末）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ．
【答案】．
【分析】根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角，，，对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系．
【解析】过点作，过点作
，
，
，，，，
，
，
，
，
，分别平分和，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 香坊区期末）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）平移三角形，使点平移到点（点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形；
（2）连接，，请直接写出三角形的面积是 ．
【分析】（1）由题意得，三角形向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到三角形，结合平移的性质作图即可．
（2）利用三角形的面积公式计算即可．
【解析】（1）由题意得，三角形向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到三角形．
如图，三角形即为所求．
（2）三角形的面积是．
故答案为：．
18．（2024春 平邑县期末）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线，被直线所截，点为与的交点，于点，，．试说明：．
解： 已知 ，
又 ，
又
【分析】要证，只需证，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得，故本题得证．
【解析】证明：（已知），
（垂直定义），
又（已知），
，
（对顶角相等），
又（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：已知；垂直定义；已知；；对顶角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
19．（2024春 泉港区期末）如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点．
（1）请求出的度数；
（2）若，，试求出点与点的之间的距离．
【分析】（1）根据平移前后对应角相等以及三角形内角和定理进行计算即可；
（2）根据平移的性质得到，由，，得到即可．
【解析】（1）在中，，，
，
由平移的性质可知，点的对应点是点，
；
（2）连接，由平移的性质可知，，
，，
，
即点与点的之间的距离是5．
20．（2024春 韩城市期末）如图，直线，，相交于点，．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等可得，即，进而得到，根据，然后利用角的和差计算求解；
（2）由（1）知，根据邻补角的定义及角的和差关系列式计算即可求解．
【解析】（1），，
，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
．
21．（2024春 兴庆区校级期中）如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出的同旁内角与的内错角；
（2）若测得，，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
【分析】（1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案；
（2）由邻补角的性质求出的度数，由，即可得到答案．
【解析】（1）的同旁内角是，，，的内错角是，；
（2），
，
，
水下部分向上折弯了30度．
22．（2024秋 扬州期末）如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，且，求的度数．
【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得，从而得，则可求得，即可证得；
（2）由平行线的性质可得，，可得，再利用平行线的性质可求得，则可求的度数，从而求的度数．
【解析】（1），理由如下：
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
23．（2024春 凤凰县期末）问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象的几何图形，其中，．点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．
（1）与平行吗？理由是什么？
（2）求证：（提示：延长交于点
【分析】（1）根据平行线的判定即可证明；
（2）根据平行线的性质即可证明．
【解析】（1）平行；理由如下：
，
，
，
，
；
（2）延长交于点，
，
，
，
，
，
，，
．
24．（2024秋 兴庆区校级期末）如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．
（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点在点的右侧时，若，求的度数；
②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【分析】（1）依据角平分线，可得，根据，可得，进而得出；
（2）①依据平行线的性质可得，再根据平分，平分，即可得到，再根据，即可得到中，；
②分两种情况进行讨论：当点在点的右侧时，．当点在点的左侧时，．
【解析】（1）平分
，
又，
，
；
（2）①如图2，，
，
又平分，平分
，，
，
又，
中，，
即；
②点是射线上一动点，故分两种情况讨论：
如图2，当点在点的右侧时，．
证明：，
，
又平分，平分
，，
，
又，
中，，
即；
如图3，当点在点的左侧时，．
证明：，
，
又平分，平分
，，
，
又，
中，，
即．
第1页（共1页）中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 相交线与平行线 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 哈尔滨期末）本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．“滨滨”和“妮妮”的原型是2023年9月出生于黑龙江东北虎林园的两只可爱的小东北虎，“滨滨”名字取自“哈尔滨”，“妮妮”取自“您”的读音，两个名字寓意“哈尔滨欢迎您”．如图，通过平移吉祥物，可以得到的图形是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 海港区期末）“直线与射线相交于点”，画图正确的是
A． B．
C． D．
3．（2024春 陈仓区期中）如图，为方便群众，需要从新建的广场处修一条人行通道到小路，沿，，均可，其中，在资金紧张的情况下应将人行通道修在 处．
A． B． C． D．不能确定
4．（2024春 莲都区期末）如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，已知点，之间的距离为1，，则的长是
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024秋 晋江市期末）如图所示，下列说法一定正确的是
A．和互为余角 B．和是内错角
C．和互为补角 D．和是同位角
6．（2024春 新化县期末）下列说法：①等角的余角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．正确的共有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2024秋 三水区期末）如图，直线、被直线所截，，下列条件中可以判定的是
A． B． C． D．
8．（2024秋 禅城区期末）如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是
A． B． C． D．
9．（2024春 虹口区校级月考）下列推理判断正确的是
A．，，，
B．，，，，在同一平面内）
C．如图，，
D．如图，，
10．（2023秋 单县期末）如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则；其中正确的有
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 清镇市期末）如图，直线与直线相交于点，若，则的度数是 ．
12．（2024秋 徐汇区校级期末）如图，如果，那么的同位角的度数为 ．
13．如图，已知，，所以点、、三点共线的理由 ．
14．（2024春 香洲区期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点、重合，若固定三角形，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 时，．
15．（2024秋 沈丘县期末）已知与一边互相垂直，另一边互相平行，且比大，则的度数为 ．
16．（2024秋 徐州校级期末）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 香坊区期末）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）平移三角形，使点平移到点（点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形；
（2）连接，，请直接写出三角形的面积是 ．
18．（2024春 平邑县期末）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线，被直线所截，点为与的交点，于点，，．试说明：．
解： ，
又 ，
又
19．（2024春 泉港区期末）如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点．
（1）请求出的度数；
（2）若，，试求出点与点的之间的距离．
20．（2024春 韩城市期末）如图，直线，，相交于点，．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
21．（2024春 兴庆区校级期中）如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出的同旁内角与的内错角；
（2）若测得，，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
22．（2024秋 扬州期末）如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，且，求的度数．
23．（2024春 凤凰县期末）问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象的几何图形，其中，．点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．
（1）与平行吗？理由是什么？
（2）求证：（提示：延长交于点
24．（2024秋 兴庆区校级期末）如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．
（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点在点的右侧时，若，求的度数；
②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
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