宁波市七下数学第一章 相交线与平行线 培优测试卷（含解析）

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七下第一章培优测试卷
一、选择题
1． 如图，直线相交于点，如果，那么等于（　　）
A． B． C． D．
2．如图，AB、CD被DE所截，则∠D的同位角是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
3．如图，直线，相交于点O，下列命题中，是真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则与互为对顶角
C．若，则
D．若，则与互为邻补角
4．如图， 烧杯内液体表面 与烧杯下底部 平行， 光线 从液体中射向空气时会发生折射， 光线变成 ， 点 在射线 上. 若 ， ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）.折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠ABE＝∠CBE，则∠1为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．135°
6．已知M、N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M、N所在直线进行第一次折叠，点A、D的对应点分别为点E、F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B、C的对应点分别为点G、H，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，将长方形ABCD的一角折叠，以CE（点E在AB上，不与A，B重合）为折痕，得到，连结，设的度数分别为，若，则之间的关系是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，按如图所示进行翻折，使，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为何时，与平行（　　）
A．4或10秒 B．10或20秒 C．10或 40秒 D．4或40秒
二、填空题
11．如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向下折叠，点A落在点处，当时，　 　度．
12． 如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若的度数为，则的度数为　 　．
13．如图，一张长方形纸片，它的四个内角都是直角，将其分别沿折叠后，点落在点处，点落在上点处，若，则的角度用含的代数式表示为　 　．
14．如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点（），请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与的一边平行，则为　 　度．
15． 有三面镜子如图放置，其中镜子 和 相交所成的角 ，已知入射光线 经 反射后，反射光线与入射光线 平行，若 ，则镜子 和 相交所成的角 　 　. (结 果用含 的代数式表示)
16．如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为秒时，射线与射线互相平行．
17．如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过　 　秒边与三角板的一条直角边（边，）平行．
18．图1 是一盏可折叠台灯，图 2，图 3 是其平面示意图，固定底座于点，支架与分别可绕点和旋转，台灯灯罩且可绕点旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，，此时，则　 　．现继续调节图2中的支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），则此时　 　．
三、解答题
19．请将下列证明过程补充完整．
如图，已知，．
求证：．
证明：∵（ ），
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴（ ）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（ ）．
20．已知直线，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究．
（1）如图，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线上若，则的度数为　 　；
（2）将含角的直角三角板如图所示摆放，当平分时，一定平分吗？请做出判断，并说明理由；
（3）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的直角顶点与角的顶点重合于点，直角三角板的斜边在直线上，含角的直角三角板的另一个顶点在直线上，求的度数．
21．（1）如图①，，，，求的度数．
（2）如图②，，，，求的度数；
（3）如图③，在的条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数．
22．【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
（1）【建立模型】如图①②已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，请分别写出∠AEC与∠BAE、∠DCE之间的关系，并对图②中的结论进行证明．
（2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆AO⊥底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE＝45°始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，求∠BAO的度数．
（3）【拓展应用】如图（4），已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E﹣∠F＝75°，求∠CDE的度数．
23．
（1）【学科融合】
光在反射时，光束的路径可用图①来表示，叫做入射光线，叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面的射线叫做法线．与的夹角叫做入射角，与的夹角叫做反射角．根据科学实验可得．则图①中与的数量关系是　 　．
（2）【数学思考】
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图②，一束“激光”射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线．
猜想：当满足什么条件时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知探究的结论说明理由．
（3）【知识应用】
人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图③所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请直接写出的度数．
24．如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分．
（1）如图（1），已知平分，，则　 　；
（2）如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数；
（3）在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：．
【分析】根据对顶角性质可得，再根据邻补角互补即可得解.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，、被所截，
和在和的上方，在的同一侧
的同位角是
故答案为：A．
【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，处于载线的同旁同位的角，据此判断即可．
3．【答案】A
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠CEF=125°，∠CEF+∠GED=180°，
∴∠GED=180°-125°=55°，
∵AB∥CD，
∴∠GFB=∠GED=55°，
∵∠GEB=∠GFH+∠HFB，∠HFB=20°，
∴∠GFH=55°-20°=35°.
故答案为：B.
【分析】由邻补角的性质可求得∠GED的度数，然后根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”并结合角的构成即可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由折叠可知，2∠ABE+∠CBE＝180°，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴5∠CBE+∠CBE＝180°，
∴∠CBE＝30°，
∵BE∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBE＝150°，
由折叠可知，2∠DCE+∠1＝180°，
∵∠BCD＝∠1+∠DCE，
∴2（150°﹣∠1）+∠1＝180°，
∴∠1＝120°，
故选：C．
【分析】由折叠的性质得出2∠ABE+∠CBE＝180°，再根据平行线的性质得出∠BCD＝180°﹣∠CBE＝150°，再由折叠的性质得出2∠DCE+∠1＝180°，进而解答即可得出答案．
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵以（点在上，不与，重合）为折痕，得到，
∴，
∵设，度数分别为，，四边形是长方形，
∴，
∵
∴
故答案为：B.
【分析】根据折叠性质，得出，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：由翻折得：∠B'=∠B，∠C'=∠C，∠CFG=∠C'FG，
∵B'D∥C'G∥BC，
∴∠B'=∠B'EF=∠B，∠C'=∠C'FE=∠C，
∵B'E∥FG，
∴∠CFG=∠C'FG=∠B'EF=∠B，
∵∠CFG+∠C'FG+∠C'FE=180°，
∴2∠B+∠C=180°，
又∵∠B+∠C=，
∴∠C=2-180°，
即∠C'FE=.
故答案为：A.
【分析】由翻折得：∠B'=∠B，∠C'=∠C，∠CFG=∠C'FG，由二直线平行，内错角相等，可得∠B'=∠B'EF=∠B，∠C'=∠C'FE=∠C，由二直线平行，同位角相等，可得∠CFG=∠C'FG=∠B'EF=∠B，进而根据平角的定义可得2∠B+∠C=180°，结合已知即可得出答案.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：
如图① ，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF=100°，∠DCF=60°，
∴∠ACD=180°-60°-(6t)°=120°-(6t)°，
∠BAC=100°-t°，
要使AB//CD，则∠ACD=∠BAC，
即120°-(6t)°=100°=t°，
t=4，
此时（180°-60°）÷6=20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠DCF=360°-60°-(6t)°=300°-(6t)°，
∠BAC=100°-t°，
要使AB//CD，则∠DCF=∠BAC，
即300°-(6t)°=100°-t°，
t=40，
此时（360°-60°）÷6=50，
∴20＜t＜50；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠DCF=(6t)°-（180°-60°+180°）=(6t)°-300°，
∠BAC=t°-100°，
要使AB//CD，则∠DCF=∠BAC，
即(6t)°-300°=t°-100°，
t=40，
此时t＞50，
∴此情况不存在，
综上所述，当t的值为4或40时，CD与AB平行.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论，①AB与CD在EF的两侧时，分别表示出∠ACD与∠BAC，根据内错角相等两直线平行，列出算式即可求解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，分别表示出∠DCF与∠BAC，根据同位角相等两直线平行，列出算式即可求解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，分别表示出∠DCF与∠BAC，根据同位角相等两直线平行，列出算式即可求解。
11．【答案】70
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
由折叠可得2∠2+∠3=180°，又∠2=56°，
∴∠3=68°，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=68°.
故答案为：68°.
【分析】由折叠及平角定义可得2∠2+∠3=180°，据此可算出∠3的度数，进而根据二直线平行，同位角相等可求出∠1=∠3=68°.
13．【答案】
14．【答案】或或或
15．【答案】
【解析】【解答】解：根据入射光线FE可依次画出反射光线EG，GD，HK，过点G作GP∥EF，则可得出GP∥EF∥HK，
根据入射角等于反射角，可得出∠BEG=∠AEF=α，
∴∠FEG=180°-2α，
∵∠ABC=110°，
∴∠BGE=180°-110°-α=70°-α，
∴∠CGH=∠BGE=70°-α，
∵EF∥GP，
∴∠EGP=180°-∠FEG=180°-180°+2α=2α，
∴∠PGH=180°-∠BGE-∠EGP-CGH=180°-70°+α-2α-70°+α=40°，
∵GP∥HK，
∴∠GHK=140°，
∴∠CHG=，
∴∠BCD=180°-70°+α-20°=90°+α。
故答案为：90°+α。
【分析】先根据入射角等于反射角画出光线反射途径，再根据平行线的性质和三角形内角和即可得出答案.
16．【答案】36或108
17．【答案】15，60，105或150
【解析】【解答】解：如图3，当点E在MN上方且DE∥BC时，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图4，当点F在MN上方且DF∥BC时，
，
，
，
，
；
如图5，当点E在MN下方且DE∥BC时，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图6，当点F在MN下方且DF∥BC时，
，
，
，
，
15，60，105或150，
故答案为：15，60，105或150.
【分析】分类讨论：①当点E在MN上方且DE∥BC时，②当点F在MN上方且DF∥BC时，③当点E在MN下方且DE∥BC时，④当点F在MN下方且DF∥BC时，根据4种不同的情况分别画出图形，利用平行线的性质得到DF旋转的角度进而解得t值.
18．【答案】；
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，过点B作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，过点A作，过点作交于点，
，
，
，平分，
，
，
，
，
角平分线与垂直，
，
，
，
故答案为：；．
【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形外角的性质.如图，过点A作，过点B作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，再结合已知条件可求出，利用角的运算可求出，进而推出，再根据平行线的性质得到，利用角的运算可求出；过点A作，过点作交于点，根据两直线平行，内错角相等可求出，再利用角平分线的性质和三角形外角定义可求出，利用角的运算可求出，据此可求出答案.
19．【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
20．【答案】（1）130°
（2）解：一定平分，理由如下：
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
平分；
（3）解：延长交直线于点，如图，
由题意得：，，，
，
，
，
，
．
【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵a∥b，
∴∠1+∠β=180°，
∵∠1=180°-90°-α=180°-90°-40°=50°，
∴∠β=180°-50°=130°.
故答案为：130°.
【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，可证得∠1+∠β=180°，利用平角的定义可求出∠1的度数，然后求出∠β的的数即可.
（2）利用直角三角形的两锐角互余可求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义可求出∠MBC的度数；利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠BCN的度数；然后证明∠2=∠ACB，利用角平分线的定义可证得结论.
（3）延长CA交直线a于点F，结合已知条件可求出∠CAD的度数，利用两直线平行同旁内角互补，求出∠AFD的度数，然后利用三角形外角的性质求出∠γ的度数.
21．【答案】（1）90°；（2）70°；（3）35°
22．【答案】（1）解：如图①，过E作直线EF∥AB，
而AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°，
即∠A+∠AEC+∠C＝360°；
如图②，过E作直线EF∥AB，
而AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，
∴∠A+∠C＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC；
（2）解：如图③，延长DC，AB交于点Q，过A作AF∥CD，
而MN∥CD，
∴MN∥AF∥CD，
∴∠FAB＝∠Q，∠FAO+∠AOM＝180°，
∵∠DCE＝45°，AB∥CE，
∴∠DCE＝∠Q＝45°，
∴∠BAF＝45°，
∵AO⊥MN，
∴∠AOM＝90°，
∴∠FAO＝90°，
∴∠BAO＝45°+90°＝135°；
（3）解：如图④，
由（1）的结论可得：∠E＝∠ABE+∠CDE，∠F＝∠A B F+∠C D F，
∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，
∵2∠E﹣∠F＝75°，
∴2∠ABE+2∠CDE﹣∠ABF﹣∠CDF＝75°，
∴，
∴∠CDE＝50°；
【解析】【分析】（1）过E作直线EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，再利用平行线的性质可得结论；
（2）延长DC，AB交于点Q，过A作AF∥CD，可得MN∥AF∥CD，根据平行线的性质可得∠FAB＝∠Q，∠FAO+∠AOM＝180°，由AB∥CE可得∠DCE＝∠Q＝45°，利用垂线的定义，结合角的和差即可求解；
（3）由（1）的结论可得∠E＝∠ABE+∠CDE，∠F＝∠A B F+∠C D F，根据平行线的定义，结合2∠E﹣∠F＝75°，即可求出∠CDE的度数．
23．【答案】（1）相等
（2）解：∵EF//HG，
∴∠FEG+∠EGH=180°，
由（1）可得∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠FEG=180°-2∠1，∠EGH=180°-2∠4，
∴∠1+∠4=90°，
过点B作BD//EF，则∠1=∠ABD，如图所示：
∵EF//HG，
∴BD//HG，
∴∠4=∠DBG，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBG=∠1+∠4=90°，
故答案为：90°。
（3）解：①当点D在点C下方时，如图所示：
根据题意可得：DE//OF，AB//OF，
∴AB//DE，
∵∠ODE=22°，
∴∠DOF=180°-22°=158°，
∵∠OAB=75°，
∴∠AOF=180°-75°=105°，
∴∠AOD=∠DOF-∠AOF=158°-105°=53°；
②当点D在点C上方时，如图所示：
根据题意可得：DE//OF，AB//OF，
∴AB//DE，
∵∠ODE=22°，
∴∠DOC=∠ODE=22°，
∵∠OAB=75°，
∴∠AOC=∠OAB=75°，
∴∠AOD=∠DOC+∠AOC=22°+75°=97°，
综上所述，∠AOD的度数为53°或97°。
故答案为：53°或97°。
【解析】【解答】解：（1）∵OM⊥EF，
∴∠EOM=∠FOM=90°，
∵，
∴∠EOM-=∠FOM-，
∴∠1=∠2，
故答案为：相等.
【分析】（1）利用垂直的性质及角的运算和等量代换可得∠1=∠2，从而得证；
（2）利用平行线的性质可得∠FEG+∠EGH=180°，再结合∠1=∠2，∠3=∠4，利用角的运算和等量代换可得∠1+∠4=90°，再利用平行线的性质可得∠4=∠DBG，最后利用角的运算和等量代换可得∠ABC=∠ABD+∠DBG=∠1+∠4=90°；
（3）分类讨论：①当点D在点C下方时，②当点D在点C上方时，再分别画出图象并利用平行线的性质及角的运算求解即可.
24．【答案】（1）75
（2）解：如图2，过点作，
，
∴CD∥NH，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：落在射线上的时间为：，
如图，当第一次时，
，
由旋转知，，
，
解得：；
如图，当时，
由（2）知，，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当时，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当第二次时，旋转角，
又，
，
解得：；
综上所述，或或或．
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点作，
，∴MG∥CD，
∵∠BEM=40°，
，，，，
平分，
，
平分，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）过点作，根据平行线的传递性得MG∥CD，由平行四边形的性质得，，，同时求出∠AEM的度数，然后根据角平分线的定义得、的度数，从而得，即可求出的度数；
（2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解；
（3）先求出落在射线上的时间为，再分四种情况讨论：当第一次时，当时，当时，当第二次时，根据旋转的性质和平行线的性质列出等量关系求解即可．
（1）解：如图1，过点作，
，
，
，，，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，过点作，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）落在射线上的时间为：，
如图，当第一次时，
，
由旋转知，，
，
解得：；
如图，当时，
由（2）知，，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当时，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当第二次时，旋转角，
又，
，
解得：；
综上所述，或或或．
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