第2章《 二元一次方程组》2.5 三元一次方程组及其解法——浙教版数学七（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．已知实数x，y，z满足则代数式3x-3z+1的值是( )
A．-2 B．2 C．-6 D．8
2．已知方程组，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A．要消去 ， 先将①+②， 再将①③
B．要消去 ， 先将①+(2)， 再将①-③
C．要消去 ， 先将①-③， 再将②- ③
D．要消去 ， 先将①-②， 再将②+ ③
4．某商场推出A，B，C三种特价玩具，若购买A种2件，B种1件，C种3件，共需24元；若购买A种3件，B种4件，C种2件，共需36元.小明购买A种1件，B种1件，C种1件，共需付款( )
A．11元 B．12元 C．13元 D．不能确定
5．（2024八上·梓潼开学考）如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
二、填空题（每题5分，共25分）
6． 2只羊、3匹马和4头牛每天共吃草143 kg，1 只羊、4匹马和2头牛每天吃草108kg，则1匹马每天吃草 kg.
7．已知a，b，c是有理数，观察表中的运算，并在空格内填上相应的数.
a，b，c的运算 a+6b 2a-5c a-2b+7c 2a+2b+c
运算的结果 -4 9 -3
8．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b= ．
9．方程组 的解为 .
10．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择 3 件甲、 2 件乙、 1 件丙时显示的价格为 420 元； 当购物车内选择 2 件甲、 3 件乙、 4 件丙时显示的价格为 580 元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款
三、解答题（共5题，共50分）
11．解方程组： ．
12．解下列三元一次方程组：
（1）
（2）
（3）
13．在等式中，当x=-1时，y=.4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
（1）求a，b，c的值.
（2）当x=-2时，求y的值
14．某农场有300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻．棉花和蔬菜，已知种植每种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投人的资金正好够用？
15． 阅读感悟：
有些关于方程组的问题， 欲求的结果不是每
一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值， 如以下问题：
已知实数 满足 ①， 7 ②， 求 和 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组， 解得 的值， 再代人欲求值的代数式得到答案， 但常规思路运算量比较大． 其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系， 本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值， 如 由 ① - ②可得 ，由①+② 可得 ． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：
（1）已知二元一次方程组 则 ， .
（2） 某班级组织活动购买小奖品， 买 20 支铅笔、 3 块橡皮、 2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、 5 块橡皮、 3 本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、 5 块橡皮、 5 本日记本共需多少元？
（3） 对于实数 ， 定义新运算： ， 其中 是常数， 等式右边是通常的加法和乘法运算． 已知 ， ， 那么 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：
②-①得3x-3z=-3，
则原式=-3+1=-2.
故答案为：A.
【分析】本题考查三元一次方程的解法.根据题意按照②-①可将方程变形为：3x-3z=-3，再代入原式可得：原式=-3+1，再进行计算可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】，
【解答】解：得：，
∴．
故选：A．
【分析】通过观察、分析可以发现：每个方程含有两个不同的字母，而所求的是x+y+z的值。所以可以直接利用①+②+③，得到：2x+2y+2z=4-6+8，进而可以求出x+y+z的值.
3．【答案】D
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：A、要消去z，先将①+②得3x+y=5，再将①×2+③得5x+5y=15，A正确；
B、 ①-③得5y+5z=25，无法消去z，B错误；
C、 ②- ③ 无法消去y，C错误；
D、 ①-②无法消去y，D错误.
故选：A.
【分析】根据各选项的处理步骤，对A、B、C、D四个选项进行一一验证.
4．【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，
依题意得
(①+②)÷5，得x+y+z=12.
故答案为：B.
【分析】本题考查三元一次方程的解法.设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，根据题意可列出方程组，再按照(①+②)÷5变形可求出x+y+z的值，进而求出答案.
5．【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为，
∴，
∴由①得，
把③代入②，，整理得，，
∴，
∴应方△的数量为6个，
故选：B ．
【分析】设圆形为，三角形为，正方形为，根据“两个三角形和三个圆形的和等于一个正方形和五个三角形的和，两个正方形等于一个圆和四个三角形的和”列出方程组，解方程组求出x=2y，即可求解.
6．【答案】14.6
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设每只羊每天吃草x千克，每匹马每天吃草y千克，每头牛每天吃草z千克，
根据题意得：，
由②×2 ①，得：5y＝73，
则y＝14.6．
即：1匹马每天吃草14.6千克．
故答案为：14.6．
【分析】设每只羊每天吃草x千克，每匹马每天吃草y千克，每头牛每天吃草z千克，列出方程组，再求出y的值即可.
7．【答案】1
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：由表格可得
则①+②+③得
a+6b+2a-5c+a-2b+7c=2，
故4a+4b+2c=2，
则2a+2b+c=1.
故答案为：1.
【分析】本题考查三元一次方程的解法.由表格可列出方程组，
由①+②+③可得a+6b+2a-5c+a-2b+7c=2，再进行变形可求出2a+2b+c的值，进而可求出答案.
8．【答案】1
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，知是方程组的解，
①+②，得7a+7b=7，
方程两边都除以7，得a+b=1．
【分析】两个方程组的解相同，意思是这两个方程组中的x都等于4，y都等于3，即是方程组的解，根据方程组的解的定义，即可求出a+b的值．
9．【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：设 ，则x=3k，y=4k，z=7k.
∴，即-25k=50.
∴k=2.
∴.
故答案为：.
【分析】首先，我们假设，这样我们就可以用k来表示x、y、z. 然后，我们将x、y、z的值代入第二个方程，就可以求出k的值，从而得到x、y、z的值.
10．【答案】400元
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，
根据题意得：，
由①＋②得：5x＋5y＋5z＝1000，
∴x＋y＋z＝200，
∴2x＋2y＋2z＝400，
∴购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故答案为：400元.
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据“ 购物车内选择 3 件甲、 2 件乙、 1 件丙时显示的价格为 420 元 ”和“ 购物车内选择 2 件甲、 3 件乙、 4 件丙时显示的价格为 580 元 ”列出方程组，再求解即可.
11．【答案】解：
由②×3+③，可得：10x-y=21④，
由①+④，可得：12x=24，
解得：x=2，
将x=2代入①，可得：4+y=3，
解得：y=-1，
将x=2代入②，可得：6-z=7，
解得：z=-1，
∴方程组的解为： .
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤求解三元一次方程组即可.
12．【答案】（1）解：，将①代入②得y-2z=2④. 然后将④-③得-z=4，解得z=-4.
将z=-4代入③得，解得y=-6. 再将y=-6代入①，解得x=-7.
故答案为：；
（2）解：，将①-②得x-z=-2④. 然后将④+③得2x=2，解得x=1. 将x=1代入③，解得z=3.
再将x=1代入①，解得y=2.
故答案为：；
（3）解：，将·①+②得3x-4z=5④. 再将②×2+③得7x-7z=7，即x=z+1⑤.
再将⑤代入④，得3z+3-4z=5，解得z=-2. 将z=-2代入⑤，解得x=-1. 最后将x=-1、z=-2代入①，解得y=0.
故答案为：.
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】利用加减消元法先消去一元，然后通过解新构成二元一次方程组解出其中两个未知量，再求出第三个未知量.
13．【答案】（1）解：∵ 在等式中，当x=-1时，y=.4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
∴
解得：
（2）解：由（1）可知，等式y=ax2+bx+c可以转化为：y=x2-x+2，
∴当x=-2时y=8.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由题意可知：把x=-1，y=4代入y=ax2+bx+c中，可得：a-b+c=4，①；把x=2，y=4代入y=ax2+bx+c中，可得4a+2b+c=4，②；把x=1，y=2代入y=ax2+bx+c中，可得a+b+c=2，③；然后把①、②、③这三个方程组成方程组，解方程组，求出a、b、c的值即可.
（2）由（1）可知：a=-1，b=-1，c=2.把a=-1，b=-1，c=2代入y=ax2+bx+c，可以得到：y=x2-x+2。再把x=-2代入这个等式，即可求出x=-2时，y的值.
14．【答案】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，由题
意，得 ， 解得 .
答：种植水稻15 公顷，棉花20公顷，蔬菜16 公顷.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】 此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，并根据关键词句找出相对应的等量关系，设未知数，列方程组.
15．【答案】（1）-1；5
（2）解：设铅笔的单价为x元， 橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，
由题意得：，
由①×2-②得：x+y+z=6，
∴5(x+y+z)=5×6=30（元）.
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.
（3）-11
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：（1），
由①-②得：x-y=-1；
由①+②得：3x+3y=15，
解得：x+y=5.
故答案为：第一空：-1；第二空：5.
（3）∵x※y=ax+by+c，3※5=15，4※7=28，
∴，
由①×3-②×2得：
a+b+c=-11，
∴1※1=a+b+c=-11.
故答案为：-11.
【分析】（1）由题意，将两个方程分别相减或相加即可求解；
（2）设铅笔的单价为x元， 橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，根据题中的两个相等关系“20支铅笔的费用+3块橡皮的费用+2本日记本的费用=32，39支铅笔的费用+5块橡皮的费用+3本日记本的费用=58”可列关于x、y、z的方程组，解方程组可求得（x+y+z）的值，然后根据5(x+y+z)可求解；
（3）根据新运算可列关于a、b、c的方程组，整理即可求解.
1 / 1第2章《 二元一次方程组》2.5 三元一次方程组及其解法——浙教版数学七（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．已知实数x，y，z满足则代数式3x-3z+1的值是( )
A．-2 B．2 C．-6 D．8
【答案】A
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：
②-①得3x-3z=-3，
则原式=-3+1=-2.
故答案为：A.
【分析】本题考查三元一次方程的解法.根据题意按照②-①可将方程变形为：3x-3z=-3，再代入原式可得：原式=-3+1，再进行计算可求出答案.
2．已知方程组，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】，
【解答】解：得：，
∴．
故选：A．
【分析】通过观察、分析可以发现：每个方程含有两个不同的字母，而所求的是x+y+z的值。所以可以直接利用①+②+③，得到：2x+2y+2z=4-6+8，进而可以求出x+y+z的值.
3．利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A．要消去 ， 先将①+②， 再将①③
B．要消去 ， 先将①+(2)， 再将①-③
C．要消去 ， 先将①-③， 再将②- ③
D．要消去 ， 先将①-②， 再将②+ ③
【答案】D
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：A、要消去z，先将①+②得3x+y=5，再将①×2+③得5x+5y=15，A正确；
B、 ①-③得5y+5z=25，无法消去z，B错误；
C、 ②- ③ 无法消去y，C错误；
D、 ①-②无法消去y，D错误.
故选：A.
【分析】根据各选项的处理步骤，对A、B、C、D四个选项进行一一验证.
4．某商场推出A，B，C三种特价玩具，若购买A种2件，B种1件，C种3件，共需24元；若购买A种3件，B种4件，C种2件，共需36元.小明购买A种1件，B种1件，C种1件，共需付款( )
A．11元 B．12元 C．13元 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，
依题意得
(①+②)÷5，得x+y+z=12.
故答案为：B.
【分析】本题考查三元一次方程的解法.设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，根据题意可列出方程组，再按照(①+②)÷5变形可求出x+y+z的值，进而求出答案.
5．（2024八上·梓潼开学考）如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为，
∴，
∴由①得，
把③代入②，，整理得，，
∴，
∴应方△的数量为6个，
故选：B ．
【分析】设圆形为，三角形为，正方形为，根据“两个三角形和三个圆形的和等于一个正方形和五个三角形的和，两个正方形等于一个圆和四个三角形的和”列出方程组，解方程组求出x=2y，即可求解.
二、填空题（每题5分，共25分）
6． 2只羊、3匹马和4头牛每天共吃草143 kg，1 只羊、4匹马和2头牛每天吃草108kg，则1匹马每天吃草 kg.
【答案】14.6
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设每只羊每天吃草x千克，每匹马每天吃草y千克，每头牛每天吃草z千克，
根据题意得：，
由②×2 ①，得：5y＝73，
则y＝14.6．
即：1匹马每天吃草14.6千克．
故答案为：14.6．
【分析】设每只羊每天吃草x千克，每匹马每天吃草y千克，每头牛每天吃草z千克，列出方程组，再求出y的值即可.
7．已知a，b，c是有理数，观察表中的运算，并在空格内填上相应的数.
a，b，c的运算 a+6b 2a-5c a-2b+7c 2a+2b+c
运算的结果 -4 9 -3
【答案】1
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：由表格可得
则①+②+③得
a+6b+2a-5c+a-2b+7c=2，
故4a+4b+2c=2，
则2a+2b+c=1.
故答案为：1.
【分析】本题考查三元一次方程的解法.由表格可列出方程组，
由①+②+③可得a+6b+2a-5c+a-2b+7c=2，再进行变形可求出2a+2b+c的值，进而可求出答案.
8．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b= ．
【答案】1
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，知是方程组的解，
①+②，得7a+7b=7，
方程两边都除以7，得a+b=1．
【分析】两个方程组的解相同，意思是这两个方程组中的x都等于4，y都等于3，即是方程组的解，根据方程组的解的定义，即可求出a+b的值．
9．方程组 的解为 .
【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：设 ，则x=3k，y=4k，z=7k.
∴，即-25k=50.
∴k=2.
∴.
故答案为：.
【分析】首先，我们假设，这样我们就可以用k来表示x、y、z. 然后，我们将x、y、z的值代入第二个方程，就可以求出k的值，从而得到x、y、z的值.
10．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择 3 件甲、 2 件乙、 1 件丙时显示的价格为 420 元； 当购物车内选择 2 件甲、 3 件乙、 4 件丙时显示的价格为 580 元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款
【答案】400元
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，
根据题意得：，
由①＋②得：5x＋5y＋5z＝1000，
∴x＋y＋z＝200，
∴2x＋2y＋2z＝400，
∴购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故答案为：400元.
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据“ 购物车内选择 3 件甲、 2 件乙、 1 件丙时显示的价格为 420 元 ”和“ 购物车内选择 2 件甲、 3 件乙、 4 件丙时显示的价格为 580 元 ”列出方程组，再求解即可.
三、解答题（共5题，共50分）
11．解方程组： ．
【答案】解：
由②×3+③，可得：10x-y=21④，
由①+④，可得：12x=24，
解得：x=2，
将x=2代入①，可得：4+y=3，
解得：y=-1，
将x=2代入②，可得：6-z=7，
解得：z=-1，
∴方程组的解为： .
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤求解三元一次方程组即可.
12．解下列三元一次方程组：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：，将①代入②得y-2z=2④. 然后将④-③得-z=4，解得z=-4.
将z=-4代入③得，解得y=-6. 再将y=-6代入①，解得x=-7.
故答案为：；
（2）解：，将①-②得x-z=-2④. 然后将④+③得2x=2，解得x=1. 将x=1代入③，解得z=3.
再将x=1代入①，解得y=2.
故答案为：；
（3）解：，将·①+②得3x-4z=5④. 再将②×2+③得7x-7z=7，即x=z+1⑤.
再将⑤代入④，得3z+3-4z=5，解得z=-2. 将z=-2代入⑤，解得x=-1. 最后将x=-1、z=-2代入①，解得y=0.
故答案为：.
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】利用加减消元法先消去一元，然后通过解新构成二元一次方程组解出其中两个未知量，再求出第三个未知量.
13．在等式中，当x=-1时，y=.4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
（1）求a，b，c的值.
（2）当x=-2时，求y的值
【答案】（1）解：∵ 在等式中，当x=-1时，y=.4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
∴
解得：
（2）解：由（1）可知，等式y=ax2+bx+c可以转化为：y=x2-x+2，
∴当x=-2时y=8.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由题意可知：把x=-1，y=4代入y=ax2+bx+c中，可得：a-b+c=4，①；把x=2，y=4代入y=ax2+bx+c中，可得4a+2b+c=4，②；把x=1，y=2代入y=ax2+bx+c中，可得a+b+c=2，③；然后把①、②、③这三个方程组成方程组，解方程组，求出a、b、c的值即可.
（2）由（1）可知：a=-1，b=-1，c=2.把a=-1，b=-1，c=2代入y=ax2+bx+c，可以得到：y=x2-x+2。再把x=-2代入这个等式，即可求出x=-2时，y的值.
14．某农场有300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻．棉花和蔬菜，已知种植每种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投人的资金正好够用？
【答案】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，由题
意，得 ， 解得 .
答：种植水稻15 公顷，棉花20公顷，蔬菜16 公顷.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】 此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，并根据关键词句找出相对应的等量关系，设未知数，列方程组.
15． 阅读感悟：
有些关于方程组的问题， 欲求的结果不是每
一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值， 如以下问题：
已知实数 满足 ①， 7 ②， 求 和 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组， 解得 的值， 再代人欲求值的代数式得到答案， 但常规思路运算量比较大． 其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系， 本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值， 如 由 ① - ②可得 ，由①+② 可得 ． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：
（1）已知二元一次方程组 则 ， .
（2） 某班级组织活动购买小奖品， 买 20 支铅笔、 3 块橡皮、 2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、 5 块橡皮、 3 本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、 5 块橡皮、 5 本日记本共需多少元？
（3） 对于实数 ， 定义新运算： ， 其中 是常数， 等式右边是通常的加法和乘法运算． 已知 ， ， 那么 .
【答案】（1）-1；5
（2）解：设铅笔的单价为x元， 橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，
由题意得：，
由①×2-②得：x+y+z=6，
∴5(x+y+z)=5×6=30（元）.
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.
（3）-11
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：（1），
由①-②得：x-y=-1；
由①+②得：3x+3y=15，
解得：x+y=5.
故答案为：第一空：-1；第二空：5.
（3）∵x※y=ax+by+c，3※5=15，4※7=28，
∴，
由①×3-②×2得：
a+b+c=-11，
∴1※1=a+b+c=-11.
故答案为：-11.
【分析】（1）由题意，将两个方程分别相减或相加即可求解；
（2）设铅笔的单价为x元， 橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，根据题中的两个相等关系“20支铅笔的费用+3块橡皮的费用+2本日记本的费用=32，39支铅笔的费用+5块橡皮的费用+3本日记本的费用=58”可列关于x、y、z的方程组，解方程组可求得（x+y+z）的值，然后根据5(x+y+z)可求解；
（3）根据新运算可列关于a、b、c的方程组，整理即可求解.
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