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专题2.1二元一次方程八大题型（一课一讲）
（内容:二元一次方程的定义和解）
【浙教版】
题型一：判定是否为二元一次方程
【经典例题1】（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，属于二次项，所以不是一次方程，故此选项错误；
B．，属于三元一次方程，故此选项错误；
C．，属于二元二次方程，故此选项错误；
D．，属于二元一次方程，故选项正确．
故选：D．
【变式训练1-1】（24-25八年级上·四川达州·期末）下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
【答案】A
【详解】解：下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是①；⑤，
故选：．
【变式训练1-2】（23-24七年级下·湖南益阳·期中）观察下列方程：，，，，，其中二元一次方程有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解： ，未知数次数为2，不是二元一次方程，
是二元一次方程，
，未知数次数为2，不是二元一次方程，
，一个未知数，不是二元一次方程，
是二元一次方程，
其中二元一次方程有2个，
故选：B．
【变式训练1-3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列算式中，是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意；
B、是分式方程，不符合题意；
C、，整理得：，
不是二元一次方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
【变式训练1-4】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，是二元一次方程，符合题意；
B、，含有2次项，不是二元一次方程，不符合题意；
C、，不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意；
D、，含有2次项，不是二元一次方程，不符合题意；
故选A．
【变式训练1-5】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）．
【答案】⑤
【详解】解：①，不是方程；
②，仅含有一个未知数，不是二元一次方程；
③整理得：，不是二元一次方程；
④中含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程；
⑤整理得：，是二元一次方程；
综上，是二元一次方程的有：⑤，
故答案为：⑤．
题型二：根据二元一次方程的定义求参数的值
【经典例题2】（23-24七年级下·四川达州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】解：是关于x，y的二元一次方程，
解得：，
故选：C
【变式训练2-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ．
【答案】1
【详解】解∶ ∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴且，
解得，
故答案为∶1．
【变式训练2-2】（24-25七年级下·上海虹口·期中）如果方程是关于，的二元一次方程，则 ， ．
【答案】
【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程，
∴，，
∴，．
故答案为：；．
【变式训练2-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知关于，的二元一次方程，则 ．
【答案】2
【详解】解：∵是二元一次方程，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故答案为： ．
【变式训练2-4】（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ．
【答案】3
【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程，
∴，
解得：．
故答案为：3．
【变式训练2-5】（23-24七年级下·河南周口·期末）已知方程，当 时该方程是一元一次方程；当 时该方程是二元一次方程．
【答案】 1
【详解】解：当，即或时，
当时，原方程为，该方程是一元一次方程；
当时，方程为，该方程为二元一次方程，
故答案为：；1
【变式训练2-6】（2024七年级下·全国·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程．
(1)求m，n的值；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴，
．
（2）解：由（1）知，，
∴原方程可化为．
当时，，
解得．
题型三：根据条件写二元一次方程
【经典例题3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）写一个关于x，y的二元一次方程组 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：关于x，y的二元一次方程组可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式训练3-1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：由题意得，的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，
∴满足题意，
∵，是这个二元一次方程的解，
∴当时，，
解得：，
∴符合题意．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式训练3-2】（23-24七年级下·北京通州·期中）写出一个解为的二元一次方程 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵，
∴该方程可以为，
故答案为：．（答案不唯一）
【变式训练3-3】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）某一个二元一次方程的一个解是，请写出一个符合条件的二元一次方程： ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】按照二元一次方程满足的条件写出：（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
【变式训练3-4】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）请写出一个以为解的二元一次方程： ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】∵本题答案不唯一，只要写出的二元一次方程的解为即可
∴令，，得
∴把代入方程
解出
∴
故答案是：．
题型四：用一个变量表示另一个变量
【经典例题4】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知方程，用含y的代数式表示x，那么 ．
【答案】
【详解】解：∵方程，
∴整理得：，
解得：．
故答案为：．
【变式训练4-1】（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）已知方程，若用含x的代数式表示y，则有y= ，若用含y的代数式表示x，则x= ．
【答案】
【详解】解：
；
；
故答案为：；．
【变式训练4-2】（23-24七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，那么用含y的代数式表示x，则 ．
【答案】
【详解】解：由题意可得，，
故答案为：．
【变式训练4-3】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）把方程化为用含的代数式来表示， ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-4】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）把方程改写成用含有x的式子表示y的形式： ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练4-5】（23-24七年级下·福建福州·期末）把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式 ．
【答案】
【详解】解：方程，
解得：．
故答案为．
题型五：利用二元一次方程的解求字母的值
【经典例题5】（24-25七年级下·江西抚州·期末）若是关于x、y的方程的一个解，则m的值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】A
【详解】解：∵是关于x、y的方程的一个解，
∴把代入，
得，
解得，
故选：A．
【变式训练5-1】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若是关于x，y的方程的一个解，则a的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】C
【详解】解：∵是关于x，y的方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：C．
【变式训练5-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：是方程的一个解，
，
解得：，
故选：A．
【变式训练5-3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（ ）
0 1 2 5
3 1
A． B． C．0 D．7
【答案】A
【详解】解：把代入，得，
∴，
则，
把代入，得，
∴，
∴二元一次方程为：，
把代入，得，
∴，
∴．
故选：A．
【变式训练5-4】（23-24七年级下·全国·单元测试）在二元一次方程中，若互为相反数，则 ，
【答案】
【详解】解：∵互为相反数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；．
题型六：利用二元一次方程的解求代数式的值
【经典例题6】（23-24七年级下·四川成都·开学考试）已知x，y都是自然数，如果那么（ ）．
A．3 B．24 C．13
【答案】A
【详解】解：，
因为，
所以，
因为x，y都是自然数，
所以，，
所以．
故答案为：A
【变式训练6-1】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
【答案】C
【详解】解：是二元一次方程的解，
，
，
．
故选：C
【变式训练6-2】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若是关于x、y的方程和的公共解，则 ．
【答案】7
【详解】解：把分别代入方程和得：，，
解得：，
则．
故答案为：7．
【变式训练6-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是方程的解，则代数式的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵是方程的解，
，
，
故答案为：．
【变式训练6-4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知是方程的解，求的值．
【答案】
【详解】解：把代入方程，
得，
．
【变式训练6-5】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值．
【答案】5
【详解】解：把代入方程，
得，
解得．
把代入方程，
得，
解得，
．
【变式训练6-6】（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知和是方程的两个解，求的值．
【答案】3
【详解】解：当时，得到，解得；
当时，得到，则，解得；
．
题型七：二元一次方程中整数解问题
【经典例题7】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：方程，
解得：，
当时，；时，；时，，
则方程的正整数解有3个．
故选：C．
【变式训练7-1】（23-24七年级下·浙江·期末）方程的正整数的组数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：去分母得：，
，
又与是正整数，两整数之积为，
存在三种情况；
①，
解得：，
不合题意舍去；
②，
解得：，
不合题意舍去；
③，
解得：，
不合题意舍去；
故符合题意的方程的解为组；
故选：A
【变式训练7-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）二元一次方程的正整数解的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴一定是3的倍数，
∴当时，满足题意，
当时，满足题意；
∴二元一次方程的正整数解的个数是2个，
故选：B．
【变式训练7-3】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）二元一次方程有 个非负整数解．
【答案】4
【详解】解：∵
∴，
∵方程的解为非负整数，
∴，
∴有4组非负整数解．
故答案为：4．
【变式训练7-4】（24-25七年级下·重庆长寿·阶段练习）二元一次方程的正整数解为 ．
【答案】，
【分析】本题考查二元一次方程的解，先变形为，然后求出二元一次方程的正整数解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵都是正整数，
∴，，
故答案为：，．
【变式训练7-5】（2025七年级下·全国·专题练习）求方程的正整数解．
【答案】或或
【详解】解：由原方程，得．
因为x，y为正整数，
所以原方程的正整数解是或或．
题型八：二元一次方程中定义新运算
【经典例题8】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义运算：，例如：，所以方程的解的情况是（ ）
A．有且只有一组解 B．有无数组解
C．无解 D．有且只有两组解
【答案】B
【详解】解：根据题意得：，
∴有无数组可以满足，
故选：B．
【变式训练8-1】（23-24七年级下·云南昆明·期末）定义运算，下面给出了关于这种运算的几个结论：
①；②是无理数；③方程不是二元一次方程；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③ D．①③
【答案】D
【详解】∵，
∴，
故①正确；
，是有理数，
故②错误；
不是二元一次方程，
故③正确；
故选D．
【变式训练8-2】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，则称x与y是关于m的好数．
(1)若5与a是关于2的好数，则_____；
(2)若，，判断b与c是否是关于3的好数，并说明理由：
(3)若，，且e与d是关于3的好数，若x为正整数，求非负整数k的值．
【答案】(1)
(2)b与c是关于3的好数；
(3)k的值为0或1或3或7．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，
故答案为：；
（2）解：
，
∴b与c是关于3的好数；
（3）解：∵e与d是关于3的好数，
∴，
∴，
∴，
∵x为正整数，k是非负整数，
∴或或或，
∴k的值为0或1或3或7．
【变式训练8-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）定义：若有序数对满足二元一次方程（a，b为不等于0的常数），则称为二元一次方程的数对解．例如：有序数对满足，则称为的数对解．
(1)下列有序数对是二元一次方程的数对解的是__________．（填序号）
①，②，③．
(2)若有序数对为方程的一个数对解，且p，q为正整数，求p，q的值．
【答案】(1)②③
(2)或
【详解】（1）②③
（2）∵有序数对为方程的一个数对解，
∴．整理，得．
∵p，q为正整数，∴或．
【变式训练8-4】（23-24七年级下·重庆万州·期中）定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且它的百位数字的倍与十位数字和个位数字之和恰好能被整除，则称这个自然数为“博雅数”．例如：是“博雅数”，因为，，都不为，且，能被整除；不是“博雅数”，因为，不能被整除．
(1)判断，是否是“博雅数”？并说明理由；
(2)求出百位数字比十位数字大的所有“博雅数”，并说明理由．
【答案】(1)是“博雅数”，不是“博雅数”；理由见解析
(2)这样的“博雅数”共有个，它们分别是，，；理由见解析
【详解】（1）解：是“博雅数”，不是“博雅数”，
∵，能被整除，
∴是“博雅数”；
∵，不能被整除，
∴不是“博雅数”．
（2）由题意可设这样的“博雅数”为：，则，
∴，
由“博雅数”的定义可知：能被整除，
∴为整数，
又∵，且，为整数，
∴或或，
综上，这样的“博雅数”共有个，它们分别是，，．
【变式训练8-5】（23-24七年级上·重庆·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．
根据以上定义，回答下列问题∶
(1)下列两位数30，52，77中，“互异数”为 ；________．
(2)若“互异数”满足，求所有“互异数”．
【答案】(1)52，6
(2)14或23或32或41
【详解】（1）解：由“互异数”的定义得，两位数30，52，77中，“互异数”为52，
，
故答案为：52，6；
（2）解：设“互异数”b的个位数字为x，十位数字为y，
则，
整理得：，
∴或或或，
∴所有“互异数”b的值为14或23或32或41．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.1二元一次方程八大题型（一课一讲）
（内容:二元一次方程的定义和解）
【浙教版】
题型一：判定是否为二元一次方程
【经典例题1】（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（24-25八年级上·四川达州·期末）下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
【变式训练1-2】（23-24七年级下·湖南益阳·期中）观察下列方程：，，，，，其中二元一次方程有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列算式中，是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）．
题型二：根据二元一次方程的定义求参数的值
【经典例题2】（23-24七年级下·四川达州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练2-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ．
【变式训练2-2】（24-25七年级下·上海虹口·期中）如果方程是关于，的二元一次方程，则 ， ．
【变式训练2-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知关于，的二元一次方程，则 ．
【变式训练2-4】（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ．
【变式训练2-5】（23-24七年级下·河南周口·期末）已知方程，当 时该方程是一元一次方程；当 时该方程是二元一次方程．
【变式训练2-6】（2024七年级下·全国·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程．
(1)求m，n的值；
(2)当时，求y的值．
题型三：根据条件写二元一次方程
【经典例题3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）写一个关于x，y的二元一次方程组 ．
【变式训练3-1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是 ．
【变式训练3-2】（23-24七年级下·北京通州·期中）写出一个解为的二元一次方程 ．
【变式训练3-3】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）某一个二元一次方程的一个解是，请写出一个符合条件的二元一次方程： ．
【变式训练3-4】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）请写出一个以为解的二元一次方程： ．
题型四：用一个变量表示另一个变量
【经典例题4】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知方程，用含y的代数式表示x，那么 ．
【变式训练4-1】（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）已知方程，若用含x的代数式表示y，则有y= ，若用含y的代数式表示x，则x= ．
【变式训练4-2】（23-24七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，那么用含y的代数式表示x，则 ．
【变式训练4-3】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）把方程化为用含的代数式来表示， ．
【变式训练4-4】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）把方程改写成用含有x的式子表示y的形式： ．
【变式训练4-5】（23-24七年级下·福建福州·期末）把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式 ．
题型五：利用二元一次方程的解求字母的值
【经典例题5】（24-25七年级下·江西抚州·期末）若是关于x、y的方程的一个解，则m的值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【变式训练5-1】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若是关于x，y的方程的一个解，则a的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
【变式训练5-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（ ）
0 1 2 5
3 1
A． B． C．0 D．7
【变式训练5-4】（23-24七年级下·全国·单元测试）在二元一次方程中，若互为相反数，则 ，
题型六：利用二元一次方程的解求代数式的值
【经典例题6】（23-24七年级下·四川成都·开学考试）已知x，y都是自然数，如果那么（ ）．
A．3 B．24 C．13
【变式训练6-1】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
【变式训练6-2】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若是关于x、y的方程和的公共解，则 ．
【变式训练6-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是方程的解，则代数式的值为 ．
【变式训练6-4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知是方程的解，求的值．
【变式训练6-5】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值．
【变式训练6-6】（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知和是方程的两个解，求的值．
题型七：二元一次方程中整数解问题
【经典例题7】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练7-1】（23-24七年级下·浙江·期末）方程的正整数的组数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）二元一次方程的正整数解的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练7-3】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）二元一次方程有 个非负整数解．
【变式训练7-4】（24-25七年级下·重庆长寿·阶段练习）二元一次方程的正整数解为 ．
【变式训练7-5】（2025七年级下·全国·专题练习）求方程的正整数解．
题型八：二元一次方程中定义新运算
【经典例题8】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义运算：，例如：，所以方程的解的情况是（ ）
A．有且只有一组解 B．有无数组解
C．无解 D．有且只有两组解
【变式训练8-1】（23-24七年级下·云南昆明·期末）定义运算，下面给出了关于这种运算的几个结论：
①；②是无理数；③方程不是二元一次方程；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③ D．①③
【变式训练8-2】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，则称x与y是关于m的好数．
(1)若5与a是关于2的好数，则_____；
(2)若，，判断b与c是否是关于3的好数，并说明理由：
(3)若，，且e与d是关于3的好数，若x为正整数，求非负整数k的值．
【变式训练8-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）定义：若有序数对满足二元一次方程（a，b为不等于0的常数），则称为二元一次方程的数对解．例如：有序数对满足，则称为的数对解．
(1)下列有序数对是二元一次方程的数对解的是__________．（填序号）
①，②，③．
(2)若有序数对为方程的一个数对解，且p，q为正整数，求p，q的值．
【变式训练8-4】（23-24七年级下·重庆万州·期中）定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且它的百位数字的倍与十位数字和个位数字之和恰好能被整除，则称这个自然数为“博雅数”．例如：是“博雅数”，因为，，都不为，且，能被整除；不是“博雅数”，因为，不能被整除．
(1)判断，是否是“博雅数”？并说明理由；
(2)求出百位数字比十位数字大的所有“博雅数”，并说明理由．
【变式训练8-5】（23-24七年级上·重庆·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．
根据以上定义，回答下列问题∶
(1)下列两位数30，52，77中，“互异数”为 ；________．
(2)若“互异数”满足，求所有“互异数”．
