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2024-2025七年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.1 二元一次方程八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列选项是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
3．在下列二元一次方程中，有一组解为的是（ ）
A． B． C． D．
4．由方程可以得到用x表示y的式子为（ ）
A． B． C． D．
5．小明带50元去商店买作业本和笔，作业本的单价为5元，笔的单价为2元．购买作业本a本、笔b支，他的钱刚好够用．a的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．8.8 D．9
6．按如图所示的运算程序，使输出的结果为1的、的值可以是（ ）
A． B． C． D．
7．二元一次方程的所有正整数解（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
8．小江去商店购买签字笔和笔记本（签字笔的单价相同，笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足，差25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买 17 支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱会不足，差 95 元
B．他身上的钱会剩下 95 元
C．他身上的钱会不足，差 105 元
D．他身上的钱会剩下 105元
9．把这9个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书．如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方，则其中的值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
10．某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（ ）
①可能购买A商品3件，B商品5件；
②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件；
③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ．
12．写出一个二元一次方程，使这个方程与所组成的方程组的解为，这个方程可以是 ．
13．已知方程，用含的式子表示，那么 ．
14．若是二元一次方程的一个解，则 ．
15．若关于的方程是二元一次方程，则的值为 ．
16．若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是 ．
17．某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有 种购买方案．
18．综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值．
20．（1）根据表中所给的x的值以及x与y的对应关系，填写下表：
x 1 2 3 4 5 6 7
（2）根据上表，写出二元一次方程的三个解．
21．已知实数的一个平方根是，的立方根是，求方程的非负整数解．
22．甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值．
23．星期天，小明和七名同学共八人去郊游．途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完，那么
(1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各买多少杯？
(2)当至少购买2杯奶茶且每人至少分得1杯饮料时，有几种购买方式？
24．我们把按照某种规律排列的一列数，称为数列，我们规定：如果对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c，总满足，则称这个数列为好运数列．
(1)在数列①，，；②，，3中，是好运数列的是____；（填序号）
(2)如果数列…，2，x，，…，是好运数列，求x的值；
(3)若数列…，m，n，3，…，是好运数列，且m，n都是正整数，直接写出所有符合条件的m，n的值．中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025七年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.1 二元一次方程八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列选项是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，不是等式，故不是二元一次方程；
B．中含未知数项的次数是2，故不是二元一次方程；
C．含3个未知数，故不是二元一次方程；
D．是二元一次方程；
故选D．
2．已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】解：代入二元一次方程，得
，
解得：，
故选：C．
3．在下列二元一次方程中，有一组解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将分别代入，，
得：，，
故选：C．
4．由方程可以得到用x表示y的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．小明带50元去商店买作业本和笔，作业本的单价为5元，笔的单价为2元．购买作业本a本、笔b支，他的钱刚好够用．a的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．8.8 D．9
【答案】B
【详解】解：依题意得：，
∴，
∵，均为非负整数，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：B．
6．按如图所示的运算程序，使输出的结果为1的、的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，运算程序即计算，即，
A选项，当时，，符合题意；
B选项，当时，，不符合题意；
C选项，当时，，不符合题意；
D选项，当时，，不符合题意．
故选：A．
7．二元一次方程的所有正整数解（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
【答案】B
【详解】解：由原方程可得：，
∵、取正整数，
∴当，，，时，，，，，
∴ 二元一次方程的所有正整数解为，，，，共对，
故选：B．
8．小江去商店购买签字笔和笔记本（签字笔的单价相同，笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足，差25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买 17 支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱会不足，差 95 元
B．他身上的钱会剩下 95 元
C．他身上的钱会不足，差 105 元
D．他身上的钱会剩下 105元
【答案】B
【详解】解：设签字笔的单价为x 元，笔记本的单价为 y 元．
根据题意，得，
整理，得．
∵ 小江购买 17 支签字笔和9本笔记本的钱为元，
∴
．
即小江身上的钱会剩下 95元．
故选 B．
9．把这9个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书．如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方，则其中的值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【详解】解：由题意得：，
，
故选：B
10．某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（ ）
①可能购买A商品3件，B商品5件；
②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件；
③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：∵A商品每件进价40元，利润率为，
∴A商品每件售价为元，
设购买A商品x件，购买B商品y件，
当打折前购买的总金额不超过600元时，则，
∴，
∴，
∵x、y都为正整数，
∴当时，，
当时，；
∴当购买A商品3件，B商品5件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元；
当购买A商品7件，B商品2件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元；
当打折前购买的总金额超过600元时，则，
∴，
∴，
∵x、y都为正整数，
∴当时，，
当时，；
∴当购买A商品3件，B商品6件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元；
当购买A商品7件，B商品3件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元；
∴如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元，
∵，
∴购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件；
∴①②③的说法都正确，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ．
【答案】
【详解】解：∵是二元一次方程，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
12．写出一个二元一次方程，使这个方程与所组成的方程组的解为，这个方程可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解： 所组成的方程组的解为的二元一次方程为，
故答案为：（答案不唯一）．
13．已知方程，用含的式子表示，那么 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．若是二元一次方程的一个解，则 ．
【答案】
【详解】解：由于是方程的解，
，
，
故答案为：．
15．若关于的方程是二元一次方程，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意，得，，
解得：，
故答案为：
16．若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是 ．
【答案】
【详解】解：把代入，得：，
解得：；
故答案为：．
17．某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有 种购买方案．
【答案】4
【详解】解：设购买支笔记本，个碳素笔，
依题意得：，
．
又，均为正整数，
或或或，
共有4种不同的购买方案．
故答案为：4．
18．综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）
【答案】，（答案不唯一）
【详解】解：如图可得，
解得：，
∵设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，
∴当时，，底面周长为，高为：，符合题意，
故答案为：，．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值．
【答案】，
【详解】解：由题意，得，
解得或，
又，
，
，的值分别为，．
20．（1）根据表中所给的x的值以及x与y的对应关系，填写下表：
x 1 2 3 4 5 6 7
（2）根据上表，写出二元一次方程的三个解．
【答案】（1）见解析；（2），，（答案不唯一）
【详解】解：（1）填写表格如下：
x 1 2 3 4 5 6 7
2 5 8 11 14 17
（2）由表格知，二元一次方程的三个解为：
，，（答案不唯一）．
21．已知实数的一个平方根是，的立方根是，求方程的非负整数解．
【答案】，，
【详解】解：由题可知，
解得：，
∴方程，
可化为：，
∴，
∴，
∴方程的非负整数解是：．
22．甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值．
【答案】，
【详解】解：由题意得：
把代入
得：，
解得：，
方程组为，
因为乙将一个方程中的写成了相反数，
所以把代入方程组得：，
把代入方程得：．
23．星期天，小明和七名同学共八人去郊游．途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完，那么
(1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各买多少杯？
(2)当至少购买2杯奶茶且每人至少分得1杯饮料时，有几种购买方式？
【答案】(1)有四种购买方式，方式一：10杯可乐；方式二：7杯可乐，2杯奶茶；方式三：4杯可乐，4杯奶茶；方式四：1杯可乐，6杯奶茶
(2)当至少购买2杯奶茶且每人至少分得1杯饮料时，有2种购买方式
【详解】分析：本题的实质是求一个二元一次方程的自然数解的问题，因此首先确定其中一个未知数的自然数值，然后求得另一个未知数的自然数值．
答案：（1）设分别买x杯可乐、y杯奶茶，则（且x，y均为自然数），所以，所以取，得，即或或或
所以有四种购买方式，方式一：10杯可乐；方式二：7杯可乐，2杯奶茶；方式三：4杯可乐，4杯奶茶；方式四：1杯可乐，6杯奶茶．
（2）由（1）知，当至少购买2杯奶茶且每人至少分得1杯饮料时，有2种购买方式．
24．我们把按照某种规律排列的一列数，称为数列，我们规定：如果对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c，总满足，则称这个数列为好运数列．
(1)在数列①，，；②，，3中，是好运数列的是____；（填序号）
(2)如果数列…，2，x，，…，是好运数列，求x的值；
(3)若数列…，m，n，3，…，是好运数列，且m，n都是正整数，直接写出所有符合条件的m，n的值．
【答案】(1)①(2)(3)或或
【详解】（1）解：①，故①是好运数列；
②，故②不是好运数列；
故答案为：①．
（2）解：∵数列…，2，x，，…，是好运数列，
∴，
解得：．
（3）解：∵数列…，m，n，3，…，是好运数列，
∴，
又∵m，n都是正整数，
∴或或．
