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专题2.5三元一次方程组及其解法七大题型（一课一讲）
（内容:三元一次方程组及其实际应用）
【浙教版】
题型一：判断是否为三元一次方程组
【经典例题1】下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意；
C、是三元一次方程，符合题意；
D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
故选C．
【变式训练1-1】下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本选项不符合题意；
B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意；
C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意；
D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2，
故A选项中方程组不是三元一次方程组；
对于B选项，第一个方程中分母含有未知数，
故B选项中方程组不是三元一次方程组；
对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，
故C选项中的方程组不是三元一次方程组；
对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，
故D选项中的方程组是三元一次方程组．
故选：D．
【变式训练1-3】下列方程组是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意；
B．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；
C．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；
D．是三元一次方程组，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-4】下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、是三元一次方程组，则此项符合题意；
B、方程组中含有4个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意；
C、方程组中含有2个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意；
D、方程组的每个方程中含未知数的项的次数不都是1，不是三元一次方程组，则此项不符合题意；
故选：A．
【变式训练1-5】（23-24七年级下·吉林通化·期末）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由三元一次方程组的定义得
是三元一次方程组，
故选：C．
题型二：三元一次方程组的解题过程
【经典例题2】（23-24七年级下·山东日照·期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意知，得，，，
∴消去z，组成关于x、y的方程组为，
故选：C．
【变式训练2-1】三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
得，，
得：，
∴三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是，
故选A．
【变式训练2-2】观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【详解】解：
方程①+②，②+③可直接消去未知数y，
即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，
∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y，
故选：B．
【变式训练2-3】（23-24七年级下·山东烟台·期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
②③得：即，
③①得：，
∴，
故选A
【变式训练2-4】（23-24七年级下·湖南娄底·期末）下列四组数值中，是方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
得：
得：
把代入中
，
把，代入得：
，
方程组的解为，
故选：D．
【变式训练2-5】（23-24七年级下·吉林长春·期末）解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（ ）
A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③
【答案】C
【详解】解：解三元一次方程组，
得：
得：
方程组变形为，刚好消去z，
故选：C．
题型三：利用三元一次方程组求代数式的值
【经典例题3】关于的方程组的解是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：把 代入得，，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练3-1】已知，，，则代数式的值是（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
【答案】C
【详解】解：，，
得：，
，
而，
得，
，
把代入得：，
．
故选：C．
【变式训练3-2】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴原方程组的解为，
把代入得：，
解得：．
故选：C．
【变式训练3-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）三个整数a，b，c满足，则a的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【变式训练3-4】已知是方程组的解，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【答案】A
【详解】解：由题意将代入方程组得：
，
得：，
即，
∴．
故选：．
【变式训练3-5】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
得，．
故选A．
题型四：三元一次方程组特殊解法
【经典例题4】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（ ）
A． B． C．- D．-
【答案】A
【详解】解：，
得：，
∴，
把代入②得：，
∴，
∴；
故选A
【变式训练4-1】（23-24七年级下·江苏南京·期末）已知，则 ．
【答案】1
【详解】解：，
得：，即，
得：，即，
∴，
故答案为：1．
【变式训练4-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y，z满足，则 ．
【答案】
【详解】解：原方程组变为，
由得，
把代入得，
所以．
故答案为：．
【变式训练4-3】（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ．
【答案】
【详解】解：，
由得：，
∴，
由得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【变式训练4-4】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于，，的方程组，则的算术平方根为 ．
【答案】
【详解】，
由①设，
∴，，，
代入②得：，
，
，
，，，
方程组的解为．
，则算术平方根为，
故答案为：．
【变式训练4-5】已知，且，求的值．
【答案】
【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组
，得
所以原式
．
题型五：解三元一次方程组
【经典例题5】解方程组：．
【详解】解：，
把①代入②，可得，整理可得，
④×2，可得，
③+⑤，可得，解得，
把代入①，可得，
把代入③，可得，解得，
∴原方程组的解为．
【变式训练5-1】解下列方程组：
(1) (2)
【详解】（1）解：，得④
，得
，得
，得
原方程组的解为；
（2）把①代入②，得．④
由④和③组成方程组
解得
把代入①，得，
原方程组的解为
【变式训练5-2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）解方程组：
(1)； (2)．
【详解】（1）解：，
整理可得，
由，可得，
解得，
将代入②，可得，
解得，
所以，该方程组的解为；
（2）解：，
由，可得 ④，
由，可得 ⑤，
由，可得 ，解得 ，
将代入④，可得，解得，
将，代入②，可得，
解得，
所以，该方程组的解为．
【变式训练5-3】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）解方程组：．
【详解】解：
得
，
解得：
得
将代入④得
解得：，
将，代入①得
，
解得：，
原方程组的解为．
【变式训练5-4】解方程组：
(1) (2)
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
把代入得：，
把，代入得，
方程组的解为：；
（2）解：
由，得：．
由，得：，
解得：，
把代入，得：，
把代入，得：，
原方程组的解集是．
【变式训练5-5】解方程组：
(1) (2)
【详解】（1）解：，
把代入得，
联立方程组得，
由得，
解得，
把分别代入得，，
原方程组的解为；
（2）解：，
由，得：
由，得：，
把代入，得：，
把代入，得：，
原方程组的解集是：．
题型六：构建三元一次方程组求解
【经典例题6】已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得，解得，
故．
故答案为：．
【变式训练6-1】对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，
∴
得：，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为
【答案】
【详解】解：由题可得：，
解得，
∴等式为，
故答案为：．
【变式训练6-3】（23-24七年级下·贵州黔南·期末）在等式中，当时，当时；当时，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意可得，，
解得，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-4】（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长．
【答案】8，9，13
【详解】解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，
∴，
∴，
①②得：④，
把③代入④得：⑤，
①②得：⑥，
⑥3得：⑦，
⑤⑦得：，
把代入③得：，
把，代入①得：，
∴方程组的解为：，
∴三角形的三边长分别为8，9，13．
【变式训练6-5】（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知等式，且当时，；当时，；当时，；
(1)求 a、b、c 的值；
(2)当 时，y 的值又是多少？
【答案】(1).
(2)15．
【详解】（1）由已知得
解得
即.
（2）由(1)得.
当时，.
即y 的值是15．
题型七：三元一次方程组的应用
【经典例题7】某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】C
【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数，
根据题意得，，
整理得，，
①当时，，
∴
∵且均为整数，
∴当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
②当时，，
∴
∵，且均为整数，
∴当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：C．
【变式训练7-1】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（ ）
A．65 B．70 C．72 D．75
【答案】D
【详解】解：由图可知，，
①②得：，
则，
解得，
故选：D．
【变式训练7-2】[传统文化]《孙子算经》中有这么一个问题：今有甲乙丙三人持钱．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成七十．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六．”若设甲、乙手中的钱数分别为x，y，则根据乙说的话，丙手中的钱数可以表示为 ．
【答案】或或
【详解】解：设丙的钱数为z，
根据丙语得：整理得，
根据甲语得：整理得，
根据乙语得：整理得，
故答案为：或或．
【变式训练7-3】一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数．
【答案】原来的三位数为287．
【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，
由题意，得，
解得，
答：原来的三位数为287．
【变式训练7-4】今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在三个换币机上各换了多少次？
【答案】他在甲换币机上换了2次，乙换币机上换了2次，丙换币机上换了8次
【详解】解：设他在甲换币机上换了次，乙换币机上换了次，丙换币机上换了次，
由题意得：，
整理得：，
又，且、、均为正整数，
∴当时，，不符合题意；当时，，此时；当时，，此时，不符合题意；
，
答：他在甲换币机上换了2次，乙换币机上换了2次，丙换币机上换了8次．
【变式训练7-5】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 6 9 10
汽车运费（元/辆） 500 600 600
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省．
【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆
(2)①甲9辆，乙6辆，丙3辆；②甲10辆，乙2辆，丙6辆；方案②最省
【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆．
根据题意可得：，
解得：．
答：需要甲车8辆，乙车10辆．
（2）解：设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆．
根据题意得：，
消去z可得：，即：．
由于x、y、z均是正整数，且三种车共18辆要求同时参与
∴x与y都不能大于16，
解得或．
∴共有两种方案：①甲车9辆，乙车6辆，丙车3辆；②甲车10辆，乙车2辆，丙车6辆；
两种方案的运费分别是：
①（元）；②（元）；
∵，
∴方案②最省．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.5三元一次方程组及其解法七大题型（一课一讲）
（内容:三元一次方程组及其实际应用）
【浙教版】
题型一：判断是否为三元一次方程组
【经典例题1】下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】下列方程组是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】（23-24七年级下·吉林通化·期末）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：三元一次方程组的解题过程
【经典例题2】（23-24七年级下·山东日照·期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练2-3】（23-24七年级下·山东烟台·期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】（23-24七年级下·湖南娄底·期末）下列四组数值中，是方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】（23-24七年级下·吉林长春·期末）解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（ ）
A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③
题型三：利用三元一次方程组求代数式的值
【经典例题3】关于的方程组的解是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】已知，，，则代数式的值是（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
【变式训练3-2】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式训练3-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）三个整数a，b，c满足，则a的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
【变式训练3-4】已知是方程组的解，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【变式训练3-5】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（ ）
A． B． C． D．
题型四：三元一次方程组特殊解法
【经典例题4】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（ ）
A． B． C．- D．-
【变式训练4-1】（23-24七年级下·江苏南京·期末）已知，则 ．
【变式训练4-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y，z满足，则 ．
【变式训练4-3】（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ．
【变式训练4-4】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于，，的方程组，则的算术平方根为 ．
【变式训练4-5】已知，且，求的值．
题型五：解三元一次方程组
【经典例题5】解方程组：．
【变式训练5-1】解下列方程组：
(1) (2)
【变式训练5-2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）解方程组：
(1)； (2)．
【变式训练5-3】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）解方程组：．
【变式训练5-4】解方程组：
(1) (2)
【变式训练5-5】解方程组：
(1) (2)
题型六：构建三元一次方程组求解
【经典例题6】已知，则代数式的值为 ．
【变式训练6-1】对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ．
【变式训练6-2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为
【变式训练6-3】（23-24七年级下·贵州黔南·期末）在等式中，当时，当时；当时，则的值为 ．
【变式训练6-4】（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长．
【变式训练6-5】（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知等式，且当时，；当时，；当时，；
(1)求 a、b、c 的值；
(2)当 时，y 的值又是多少？
题型七：三元一次方程组的应用
【经典例题7】某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【变式训练7-1】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（ ）
A．65 B．70 C．72 D．75
【变式训练7-2】[传统文化]《孙子算经》中有这么一个问题：今有甲乙丙三人持钱．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成七十．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六．”若设甲、乙手中的钱数分别为x，y，则根据乙说的话，丙手中的钱数可以表示为 ．
【变式训练7-3】一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数．
【变式训练7-4】今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在三个换币机上各换了多少次？
【变式训练7-5】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 6 9 10
汽车运费（元/辆） 500 600 600
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省．
