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专题2.2二元一次方程组和它的解六大题型（一课一讲）
（内容:二元一次方程组的定义和解）
【浙教版】
题型一：判断是否为二元一次方程组
【经典例题1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程组中属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号）
①②③④
【变式训练1-4】（22-23七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）．
【变式训练1-5】（23-24七年级下·江苏·周测）下列方程组，其中是二元一次方程组的有 （填序号）
①② ③ ④．
题型二：已知二元一次方程组的定义求参数
【经典例题2】（23-24七年级下·全国·课后作业）若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ．
【变式训练2-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）若方程组是二元一次方程组，则a的值为 ．
【变式训练2-2】（24-25七年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ．
【变式训练2-3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知方程组 ，则的值是 ．
【变式训练2-4】（2023七年级下·全国·专题练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ．
题型三：判定是否为二元一次方程组的解
【经典例题3】（2024七年级下·全国·专题练习）写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ．
【变式训练3-1】（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ．
【变式训练3-2】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习） 方程组的解（填“是”或“不是”）．
【变式训练3-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·阶段练习）写出一个以为解的二元一次方程组 ．
【变式训练3-4】（23-24七年级下·福建泉州·期中）判断 （填“是”或“不是”）方程组的解．
【变式训练3-5】（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ．
题型四：已知二元一次方程组的解求参数
【经典例题4】（24-25七年级上·湖南益阳·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则 ．
【变式训练4-1】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。
【变式训练4-2】（23-24七年级下·河北承德·期末）已知是关于，的方程的一组解，那么的值是 ．
【变式训练4-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）方程组的解中与互为相反数，则 ．
【变式训练4-4】（23-24七年级下·云南大理·期末）已知关于，的二元一次方程的一组解为，则的值为 ．
【变式训练4-5】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则 ．
【变式训练4-6】（23-24七年级上·湖南常德·期中）当 时，方程组的解为．
题型五：已知二元一次方程组的解求代数值
【经典例题5】（23-24七年级下·吉林·期中）已知方程组的解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，则 ．
【变式训练5-1】（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是方程组的解，则的值为 ．
【变式训练5-2】（23-24七年级上·全国·单元测试）若方程组的解是，则 ．
【变式训练5-3】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）关于x、y的方程组的解为，则的平方根是
【变式训练5-4】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ．
【变式训练5-5】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【变式训练5-6】（23-24七年级下·重庆江津·期末）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回●这个数，●＝ ．
题型六：二元一次方程组的综合
【经典例题6】（23-24七年级上·广东广州·期中）对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为( )
A． B． C． D．
【变式训练6-1】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 …
已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
（1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ．
（2）关于，的二元一次方程组的解为 ．
【变式训练6-2】（23-24七年级下·湖南永州·期末）无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ．
【变式训练6-3】（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，这可以试试”；丙说：“能不能通过换元替代的方法来解决”，参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
【变式训练6-4】（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知关于的方程组，下列说法正确的有
①若是第一个方程的解，则一定是第二个方程的解；
②若是方程组的解，则一定是第二个方程的解；
③若是方程组的解，且，则；
④若是方程组的解，且，则．
【变式训练6-5】（23-24七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
(1)填空：将写成矩阵形式为： ；
(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.2二元一次方程组和它的解六大题型（一课一讲）
（内容:二元一次方程组的定义和解）
【浙教版】
题型一：判断是否为二元一次方程组
【经典例题1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．方程组是二元一次方程组，与要求不符；
B．方程组是二元一次方程组，与要求不符；
C．方程组中，含有未知数的项最高次数不是1，不是二元一次方程组，符合要求；
D．方程组是二元一次方程组，与要求不符．
故选：C．
【变式训练1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列方程组中属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由二元一次方程组的定义可知，四个选项中只有C选项中的方程组是二元一次方程组，
故选：C．
【变式训练1-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：、含有三个未知数，不符合题意；
、符合二元一次方程组的定义，符合题意；
、未知数项的次数是，不符合题意；
、未知数在分母上，不是整式方程，不符合题意；
故选：．
【变式训练1-3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号）
①②③④
【答案】④
【详解】解：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组是二元一次方程组，符合定义的是④．
故答案为：④．
【变式训练1-4】（22-23七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）．
【答案】①②④
【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义；
② ，符合二元一次方程组定义；
③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义；
④ ，符合二元一次方程组定义；
所以符合二元一次方程组定义的是①②④．
故答案为：①②④．
【变式训练1-5】（23-24七年级下·江苏·周测）下列方程组，其中是二元一次方程组的有 （填序号）
①② ③ ④．
【答案】①③/③①
【详解】解：二元一次方程组有①③．
故答案为：①③
题型二：已知二元一次方程组的定义求参数
【经典例题2】（23-24七年级下·全国·课后作业）若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ．
【答案】 3或2
【详解】解：是关于，的二元一次方程组，
，或0，，
解得：或2，，，
答案：3或2，，
【变式训练2-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）若方程组是二元一次方程组，则a的值为 ．
【答案】0
【详解】因为是二元一次方程组，所以此方程组中只含有未知数x、y，所以a＝0.
故答案为：0.
【变式训练2-2】（24-25七年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ．
【答案】0
【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组，
∴，
故答案为：0．
【变式训练2-3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知方程组 ，则的值是 ．
【答案】34
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：34．
【变式训练2-4】（2023七年级下·全国·专题练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ．
【答案】1
【详解】解：根据题意知，，
解得，，，
，，
，
故答案为：1．
题型三：判定是否为二元一次方程组的解
【经典例题3】（2024七年级下·全国·专题练习）写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式训练3-1】（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】
解：根据题意得：．
故答案为：（答案不唯一）
【变式训练3-2】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习） 方程组的解（填“是”或“不是”）．
【答案】不是
【详解】解：把代入原方程组中的中，
方程左边右边，所以不是原方程组的解．
故答案为：不是．
【变式训练3-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·阶段练习）写出一个以为解的二元一次方程组 ．
【答案】(答案不唯一)
【详解】解：∵，
∴，
∴这个方程组可以是
故答案为： (答案不唯一)．
【变式训练3-4】（23-24七年级下·福建泉州·期中）判断 （填“是”或“不是”）方程组的解．
【答案】不是
【详解】解：把分别代入到两个方程中，看左、右两边的值是否相等即可，可发现它不是方程的解，不是方程的解，所以它不是这个方程组的解．
故答案为：不是．
【变式训练3-5】（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ．
【答案】
【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解，
可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解，
∴方程组的解为，
故答案为：．
题型四：已知二元一次方程组的解求参数
【经典例题4】（24-25七年级上·湖南益阳·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则 ．
【答案】1
【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解，
∴，
解得：．
故答案为：1．
【变式训练4-1】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。
【答案】
【详解】解：两式相加得：，
∴，
∵的和为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-2】（23-24七年级下·河北承德·期末）已知是关于，的方程的一组解，那么的值是 ．
【答案】4
【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的一个解，
，
解得．
故答案为：4．
【变式训练4-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）方程组的解中与互为相反数，则 ．
【答案】
【详解】解：，
∵与互为相反数，
∴③，
把③代入②，得：，
把代入③，得：，
把，代入①，得：．
故答案为：．
【变式训练4-4】（23-24七年级下·云南大理·期末）已知关于，的二元一次方程的一组解为，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：将代入原方程得：，
解得：．
故答案为：．
【变式训练4-5】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则 ．
【答案】
【详解】解：，
得：③，
把代入③得：，
解得：，
把代入得：，
把和代入②得：，
解得：，
故答案为：．
【变式训练4-6】（23-24七年级上·湖南常德·期中）当 时，方程组的解为．
【答案】
【详解】解：把代入方程得，，
∴，
故答案为：．
题型五：已知二元一次方程组的解求代数值
【经典例题5】（23-24七年级下·吉林·期中）已知方程组的解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，则 ．
【答案】4
【详解】解：把代入得，解得，
∴▲为．
再把代入，得，
∴●为6，
∴
故答案为：4．
【变式训练5-1】（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是方程组的解，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵是方程组的解，
∴
由①②得：，
即，
∴，
由①②得：
即，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练5-2】（23-24七年级上·全国·单元测试）若方程组的解是，则 ．
【答案】
【详解】解：由题意得
，
①②得，
，
解得：，
故答案：．
【变式训练5-3】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）关于x、y的方程组的解为，则的平方根是
【答案】
【详解】解：∵方程组的解为，
∴，解得：，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：
【变式训练5-4】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：
【变式训练5-5】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【答案】9
【详解】解：把代入方程组，得：，
解得：，
∴；
故答案为：9．
【变式训练5-6】（23-24七年级下·重庆江津·期末）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回●这个数，●＝ ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴整理为：，
∴将代入中得：，
∵，
∴，
故答案为：．
题型六：二元一次方程组的综合
【经典例题6】（23-24七年级上·广东广州·期中）对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∵对于任意实数都成立，
∴，
∴为．
故选：B．
【变式训练6-1】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 …
已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
（1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ．
（2）关于，的二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中，
∴关于，二元一次方程组的解为，
故答案为；
（2）∵关于，二元一次方程组的解为，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
解得，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
故答案为．
【变式训练6-2】（23-24七年级下·湖南永州·期末）无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ．
【答案】6
【详解】解：，
，得，
即
∴，
∵无论m为何值，方程组都有解，
∴，即，
且，
∴．
故答案为：6
【变式训练6-3】（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，这可以试试”；丙说：“能不能通过换元替代的方法来解决”，参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
【答案】
【详解】，
方程组中两个方程的两边都除以4，得，
∵方程组的解是，
∴，
∴，
故答案为.
【变式训练6-4】（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知关于的方程组，下列说法正确的有
①若是第一个方程的解，则一定是第二个方程的解；
②若是方程组的解，则一定是第二个方程的解；
③若是方程组的解，且，则；
④若是方程组的解，且，则．
【答案】②③
【详解】解：若是第一个方程的解，则不一定是第二个方程的解，故说法①错误；
若是方程组的解，则一定是第二个方程的解，说法②正确；
若是方程组的解，则有，
将两个方程相加，可得，整理可得，
又因为，即有，解得，
故说法③正确，说法④错误．
故答案为：②③．
【变式训练6-5】（23-24七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
(1)填空：将写成矩阵形式为： ；
(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．
【答案】(1)
(2)a，b的值分别是和1
【详解】（1）解：将方程组变形为，
所以，将写成矩阵形式为：，
故答案为：；
（2）解：矩阵所对应的关于x，y的二元一次方程组为，
∵此方程组的解为
∴将代入方程组得：
由①得；
由②得；
所以a，b的值分别是和1
