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【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版 能力提升
专题突破六：二元一次方程中整体换元法
本题组共15道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
2．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解是 ．
3．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）在解二元一次方程组中，如果方程组中含有未知数的比例，那么可以进行参数换元法，如解二元一次方程组：，设，那么，将a代入于②中，得，
∵且，
∴原方程组的解为，请用这种方法完成下列各题：
(1)【学以致用】解二元一次方程组：．
(2)【能力提升】解二元一次方程组：．
(3)【拓展训练】，求x和y的值．
4．（23-24七年级上·内蒙古包头·期末）先阅读，然后解方程组：
解方程组 时， 可由①得③， 然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组
5．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）在数学课上，老师教给了同学们一种新的解方程组的方法，例如：解方程组
时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”．
(1)用上述方法解方程组
(2)若方程组的解是，求方程组的解．
6．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得
(1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组：
(2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．
7．（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，，把代入方程①，得，所以方程组的解为 ，请你解决以下问题
(1)模仿小强同学约“整体代换”法解方程组
(2)已知x、y满足方程组求的值；
8．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”．
(1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组
的解是______．
(2)迁移：请用换元法解方程组：；
(3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组
的解．
9．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得．
根据材料，回答下列问题
(1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______．
(2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．
10．（23-24七年级下·四川泸州·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便：
解：①②得，，所以，
将③，得，
②④，得，由③，得，
所以方程组的解是
(1)请采用上面的方法解方程组．
(2)直接写出关于x、y的方程组的解．
11．阅读探索：
知识累计：解方程组
解：设，，原方程组可变为，
解方程组得，即，解得，此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：
(2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解．
12．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为，
解得，∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，试求方程组的解；
(2)仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
13．（23-24七年级下·山东威海·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解．
14．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．原方程组化为，解得，
把代入，，得，解得，
原方程组的解为．
(1)学以致用：
运用上述方法解方程组：
(2)拓展提升：
已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______．
15．（23-24七年级下·山西临汾·期中）【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得．
这种解方程组的方法叫做整体换元法．
【知识应用】
（1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来．
【知识迁移】
（2）用材料中的方法解二元一次方程组中小学教育资源及组卷应用平台
【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版 能力提升
专题突破六：二元一次方程中整体换元法
本题组共15道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意可得，，
解得．
关于，的二元一次方程组的解为．
故答案为：．
2．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】/
【详解】解：∵方程组的解是，
，
解得：，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）在解二元一次方程组中，如果方程组中含有未知数的比例，那么可以进行参数换元法，如解二元一次方程组：，设，那么，将a代入于②中，得，
∵且，
∴原方程组的解为，请用这种方法完成下列各题：
(1)【学以致用】解二元一次方程组：．
(2)【能力提升】解二元一次方程组：．
(3)【拓展训练】，求x和y的值．
【答案】(1)(2)(3)，
【详解】（1）解：
设，那么，则，，
代入于②中，得，
解得，
∵，，
∴原方程组的解为
（2）
设，那么，
代入于②中，得，
解得，
∵，，
∴原方程组的解为
（3）∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
解得，
∴，
则
4．（23-24七年级上·内蒙古包头·期末）先阅读，然后解方程组：
解方程组 时， 可由①得③， 然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组
【答案】
【详解】解：
由①可得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
5．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）在数学课上，老师教给了同学们一种新的解方程组的方法，例如：解方程组
时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”．
(1)用上述方法解方程组
(2)若方程组的解是，求方程组的解．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
解得，
将代入③，得，
解得，
所以方程组的解为；
（2）方程组的解是，
由题意可得，
解得．
6．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得
(1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组：
(2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：设，
原方程组化为：，
得：，即③
把③代入①得：，即，
把代入③得：，
∴ ，
解得：；
（2）设，，
原方程组化为：，
∴，
解得：.
7．（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，，把代入方程①，得，所以方程组的解为 ，请你解决以下问题
(1)模仿小强同学约“整体代换”法解方程组
(2)已知x、y满足方程组求的值；
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
将方程②变形：，即③，
把方程①代入③得：，
解得，
把代入方程①，得，
所以方程组的解为；
（2）解：原方程组化为，
，得，
∴．
8．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”．
(1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组
的解是______．
(2)迁移：请用换元法解方程组：；
(3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组
的解．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得∶ ，
故答案为：．
（2）解：变形，得，
设， ，
则，
解得：
∴
解得∶ ．
∴原方程组的解为．
（3）解：先将方程组，变形为
∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴．
∴关于m，n的方程组的解为：．
9．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得．
根据材料，回答下列问题
(1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______．
(2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：令，，
关于的方程组的解为，
，
解得，
故答案为：；
（2）解：令，，
则原方程组可化为，
解得，即，
解得．
10．（23-24七年级下·四川泸州·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便：
解：①②得，，所以，
将③，得，
②④，得，由③，得，
所以方程组的解是
(1)请采用上面的方法解方程组．
(2)直接写出关于x、y的方程组的解．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）
①②，得，
∴，
将③，得，
②④，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为；
（2），
①②，得，
∴，
将③，得，
②④，得，
解得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
11．阅读探索：
知识累计：解方程组
解：设，，原方程组可变为，
解方程组得，即，解得，此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：
(2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解．
【答案】(1)，详见解析(2)，详见解析
【详解】（1）解：设，，
∴原方程组可变为：，
解得：，
即，
解得：；
（2）设，，
∴所求方程组可变为：
∴可得，
∴解得：．
12．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为，
解得，∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，试求方程组的解；
(2)仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵方程组的解是，
∴，
解得；
（2）解：设，，
则原方程组可化为，
解得，
∴，
∴原方程组的解为．
13．（23-24七年级下·山东威海·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解．
【答案】
【详解】解：由，得：
，
设，
由得：，
∵方程组的解是，
是方程组的解， ，
解得：．
14．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．原方程组化为，解得，
把代入，，得，解得，
原方程组的解为．
(1)学以致用：
运用上述方法解方程组：
(2)拓展提升：
已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：令，，
原方程组化为，
解得，
，
解得：，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：在中，令，，
则可化为，
∵方程组解为，
∴，
，
故答案为：．
15．（23-24七年级下·山西临汾·期中）【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得．
这种解方程组的方法叫做整体换元法．
【知识应用】
（1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来．
【知识迁移】
（2）用材料中的方法解二元一次方程组
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）设则原方程组可化为，
根据的解为，可得：
解得
即；
（2）方程组可变形为：
设，
原方程可化为
解得：
即，解得
原方程组的解为
