4.1因式分解的意义 浙教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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4.1因式分解的意义浙教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.当为自然数时，一定能被下列哪个数整除( )
A. B. C. D.
2.已知，，则的值( )
A. 为正数 B. 为负数 C. 为非正数 D. 不能确定
3.下列变形是因式分解( )
A. B.
C. D.
4.下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5.下列由左边到右边的变形，是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
6.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
7.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
8.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
9.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
10.甲、乙两人在因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.设，，若，则的值为 ．
12.多项式因式分解得，则 ， ．
13.把多项式分解因式得，则的值是 ．
14.两名同学将同一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解成乙因看错了常数项而分解成，则将原多项式因式分解后的正确结果应该是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若能分解成两个因式的乘积，且一个因式为，另一个因式为，其中，为两个未知的常数．请你求出，的值．
16.本小题分
利用因式分解求值．
已知，，求的值．
17.本小题分
将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解．
18.本小题分
图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题请你利用数形结合的思想解决以下数学问题．
根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式______；
如图，将一张大长方形纸板按图中线裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长都为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的全等的小长方形，且．
观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______；
若阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积．
19.本小题分
如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪，制作成一个无盖的长方体盒子，其中四个小正方形的边长是，中间长方形的长是，宽是，且．
观察图形，通过计算长方形纸板的面积可以发现代数式可以因式分解，请直接写出因式分解的结果： ______；
若折成的无盖长方体的四个侧面的面积和是，图中所有裁剪线虚线部分长之和是，试求和的值．
20.本小题分
阅读与思考：
在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为或，取个人年龄作为的值，当时，，，此时可以得到数字密码或．
根据上述方法，若多项式为，请你结合个人年龄设置一个锁屏密码，当 ______时，锁屏密码为______；
若王老师选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是位数字，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
，
一定能被整除．
2.【答案】
【解析】，，
．
3.【答案】
【解析】解：、是整式的乘法，故本选项不符合；
B、等式左边不是多项式，故本选项不符合；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合；
故选：．
根据因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式解答即可．
本题考查了因式分解的意义，利用把一个多项式转化成几个整式积的形式判断是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意；
B、，等号左右两边不相等，不属于因式分解，故B不符合题意；
C、，等号左右两边不相等，不属于因式分解，故C不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故选：．
根据因式分解的意义求解即可．
本题考查了因式分解的意义，利用把一个多项式转化成几个整式积的形式判断是解题关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是因式分解的概念，解题关键是掌握因式分解的定义，
由题意对各个选项进行逐一判断，即可求解．
【解答】
解： ，不是因式分解，是单项式乘多项式，故A错误；
B.正确的因式分解应为：，故B错误；
C.，不是积的形式，不是因式分解，故C错误．
D.，是因式分解，故D正确；
故选D．
6.【答案】
【解析】解：、是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、，不是因式分解，不符合题意．
故选：．
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目．
此题考查因式分解的定义，解题关键在于需要掌握因式分解的定义．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是因式分解的概念，关键掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
利用因式分解的概念进行解答即可．
【解答】
解：属于多项式乘以多项式，不是因式分解，故A不符合题意；
B.等式左边是单项式，不是因式分解，故B不符合题意；
C.等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故C不符合题意；
D.是因式分解，故D符合题意．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是多项式的因式分解定义，分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．
据此对各项进行判断即可．
【解答】
A.，是因式分解，符合题意；
B. ，不属于因式分解，不符合题意；
C.，不属于因式分解，不符合题意；
D. ，是整式的乘法，不属于因式分解，不符合题意；
故选A．
9.【答案】
【解析】解：，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B.，是因式分解，故该选项正确，符合题意；
C.，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D.，是整式乘法，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定，即可求解．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．
10.【答案】
【解析】甲、乙两人在因式分解时，由于甲看错了的值，分解的结果是，所以此时的值是正确的，即由于乙看错了的值，分解的结果为，所以此时的值是正确的，即，所以，故选A．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】

【解析】【分析】
此题考查了因式分解的意义；关键是根据因式分解的意义求出，的值，是一道基础题．
根据多项式能因式分解为，得出，即可求出，的值．
【解答】
解：因为多项式能因式分解，，
所以，
所以，，
所以，．
故答案为，．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
先计算多项式乘多项式，合并同类项后与原多项式对比，即可得出相关等式，求解即可．
【解答】
解：由题意得：
，
，
，
，，
，，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】，
【解析】略
16.【答案】解：原式．
当，时，原式．

【解析】略
17.【答案】解：将图中四个图形拼成一个大长方形如图所示．．

【解析】见答案
18.【答案】
【解析】解：，
故答案为：；
，
故答案为：；
图中阴影部分的面积为平方厘米，
，
大长方形纸板的周长为厘米，
，
即，
，
，
，
，
空白部分面积为平方厘米．
根据图中大正方形，可以表示为，也可以分别表示出每一小块的面积，再求和，即可得到结果；
根据图中长可表示为，宽可表示为，从而表示出面积即可；
根据图中阴影面积，得到，结合周长，得到方程组，得到结果．
本题考查了因式分解，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，读懂图形是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：根据题意可知，长方形纸板的面积等于四个小正方形的面积加上五个长方形的面积之和，即：，
长方形纸板的面积等于长为，宽为的长方形的面积，即，
故答案为：；
若长方体的侧面积之和是，虚线和是，
则，．
解得，．
，
．
根据图中面积关系，大长方形纸板的面积等于四个小正方形的面积加上五个长方形的面积，据此可解；
根据题意可得，，解得，，再利用完全平方公式变形求解即可．
本题考查了因式分解在几何图形中的应用，涉及到完全平方公式，正确记忆相关知识点是解题关键．
20.【答案】
【解析】解：，
当时，，锁屏密码为．
故答案为：，．
，
王老师手机的锁屏密码是位数字，
．
答：王老师的年龄是岁．
，知道的值，就可得出密码．
，知道密码，可分析出王老师年龄．
本题考查了因式分解的应用，关键是完全平方公式，平方差，提公因式的运用．
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