4.3用乘法公式分解因式 浙教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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4.3用乘法公式分解因式浙教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列因式分解不正确的是( )
A. B.
C. D.
2.现有一列式子：；；；，则第个式子的计算结果用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.已知长方形的长和宽分别为和，其周长为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：；；多项式可因式分解为；无论为何值时，代数式的值一定不大于其中正确个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
6.已知的三边长、、满足条件：，则的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
7.分解因式的结果为( )
A. B. C. D.
8.已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
9.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
10.甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知是一个关于的完全平方式，则常数的值为 ．
12.已知，，则的值为 ．
13.已知能被之间的两个整数整除，则这两个整数是 ．
14.若一个整数能表示成是整数的形式，则称这个数为“完美数”例如，因为，所以是一个“完美数”已知是一个“完美数”，且是两个任意整数，是常数，则的值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
将下列各式分解因式：
16.本小题分
因式分解：；
因式分解：．
17.本小题分
定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”例如：，，，因此，，都是“登高数”．
特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由．
规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明．
拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和．
18.本小题分
如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长利用因式分解计算浇制一节这样的管道约需要多少立方米的混凝土取，结果精确到
19.本小题分
我们知道：如果一个自然数的各位数字之和能被整除，则这个数就能被整除我们不妨用三位数来说明，即设是一个三位数，如果是的倍数，那么这个数一定是的倍数，为什么？请说明理由．
20.本小题分
综合实践．
活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系
初步应用 如图，请写出一个学过的公式：______用，表示．
操作探究 仿照如图，构造图形并计算：．
迁移应用 已知、、满足，，，求的值结果可用含、的式子表示．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】解：开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，故结论正确；
函数图象经过点，对称轴为直线，
抛物线还过点，
，即，故结论不正确；
抛物线过点，，
，
多项式可因式分解为，故结论不正确；
当时，，
当时，有最大值，
无论为何值时，则有，
，故结论正确；
综上所述，正确的结论是．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，然后根据即可判断；根据抛物线的对称性即可判断；把解析式化成交点式即可判断；根据函数的最值即可判断．
此题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的最值，二次函数的三种表现形式，抛物线与轴的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，因式分解不彻底，选项不符合题意；
，选项因式分解错误，选项不符合题意；
错误，没有全部做到因式分解，选项不符合题意；
，选项符合题意．
故选：．
利用因式分解判断并选择．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
6.【答案】
【解析】解：由题知，
因为，
所以，
则．
因为，
所以或，
即或，
所以的形状是等腰三角形或直角三角形．
故选：．
利用因式分解法即可解决问题．
本题主要考查了因式分解的应用及勾股定理的逆定理，熟知因式分解的步骤及勾股定理的逆定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
先提取公因数，然后按照完全平方公式把多项式分解因式即可．
本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握利用提公因式法和公式法分解因式．
【解答】
解：
，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：
．
，
原式
．
，
．
，
．
的最小值为．
的最小值是．
故选：．
求代数式的最小值，应该把所给代数式整理成一个完全平方式加一个常数的形式．把所给代数式“两、两”分组，进而把整理成的形式，然后继续整理，可得一个完全平方式加一个常数的形式，然后分析完全平方式的最小值可得整个式子的最小值．
本题考查因式分解的应用．关键是把所给代数式整理成一个完全平方式加一个常数的形式．易错点是根据所给的值判断出的最小值．
9.【答案】
【解析】解：可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意；
B.可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意；
C.可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意；
D.不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，熟练掌握因式分解是关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，，
原多项式为：，
故选：．
先根据题意求出、的值，再代入分解因式．
本题考查了因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】，
【解析】略
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先利用平方差公式法进行因式分解，再提公因式即可；
先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
16.【答案】解：
；
．
【解析】根据分组分解法分解；
根据十字相乘法分解．
本题考查了分解因式，掌握分解因式的各种方法是解题的关键．
17.【答案】解：是“登高数”，理由如下：
，
是“登高数”；
“登高数”都能被整除，理由如下：
设两个连续正奇数为和，其中是正整数，
，
“登高数”都能被整除；
由知“登高数”表示为，其中是正整数，
，
，
不超过的“登高数”有个，分别为，，，，，，
这些“登高数”的和为．
【解析】根据，由“登高数”的定义即可进行判断；
根据题意，可得，证得结论；
由题意，可得到不超过的“登高数”有个，这个数，因为利用“首尾相加”的方法，得到个和是的数，从而得到结果．
本题考查了新定义“登高数”，涉及到平方差公式的应用，正确理解新定义是解本题的关键．
18.【答案】解：．
当，，时，
原式．
．
浇制一节这样的管道约需要的混凝土．

【解析】见答案
19.【答案】解：由题知，
，
因为是的倍数，是的倍数，且是的倍数，
所以一定是的倍数．
【解析】根据题意，先用，，表示出这个三位数，再对所得代数式进行变形处理即可解决问题．
本题主要考查了因式分解的应用及倍数，能根据题意用含，，的代数式表示出并进行正确的变形处理是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：由所给图形可知，
整个图形的面积可表示为：，还可表示为：，
所以我发现：．
故答案为：．
构图如下：
所以．
由知
．
又因为，
所以．
又因为，
所以
．
用两种不同的方法分别求出图形的面积即可解决问题．
根据所给图形及代数式，构造出符合要求的图形即可．
结合中发现的结论进行计算即可．
本题主要考查了因式分解的应用，能用两种不同的方法表示同一个图形的面积及巧用整体思想是解题的关键．
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