2.1二元一次方程 浙教版（2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）

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2.1二元一次方程浙教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.由可以得到用表示的式子是( )
A. B. C. D.
2.端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入，两种食品盒中，种食品盒每盒装个粽子，种食品盒每盒装个粽子．若要将个粽子分别装入，两种食品盒中两种食品盒均要使用并且装满，则不同的分装方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.下列几组解中，二元一次方程的解是( )
A. B. C. D.
4.若方程是关于，的二元一次方程，则的值为( )
A. B. C. D.
5.下列命题为真命题的是( )
A. 的平方根是 B. 二元一次方程都有无数组解
C. 是第二象限的点 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6.已知关于，的方程组下列结论：
当时，方程组的解满足的解
无论取何值，，的值不可能互为相反数
，均为正整数的解只有对
若，则．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
7.下列方程中属于二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
8.已知是关于，的二元一次方程的解，则的值是( )
A. B. C. D.
9.已知方程组的解为，则方程组的解为( )
A. B. C. D.
10.孙子算经中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.按下图的运算程序，请写出一组能使输出结果为的，的值： ．
12.如果是方程的一组解，那么代数式 ．
13.某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励两种奖品都买，其中笔记本每本元，碳素笔每支元，共花费元，则共有______种购买方案．
14.写出二元一次方程的一组解______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
李阳购买羽毛球和乒乓球共用去元羽毛球和乒乓球都购买，已知羽毛球元个，乒乓球元个．设李阳购买羽毛球个，乒乓球个，请列出关于，的二元一次方程，并写出所有可能的购买方案．
16.本小题分
如果关于，的方程有一个解是请你再写出该方程的一个整数解，使得这个解中的，异号．
17.本小题分
教材习题变式已知甲种物品每个重，乙种物品每个重，现有甲种物品个，乙种物品个，共重．
列出关于，的二元一次方程；
若，则________；
若乙种物品有个，则甲种物品有________个；
请你写出中所列方程的全部非负整数解．
18.本小题分
如果三角形的三个内角分别是，，，求：
，满足的关系式；
当时，的值；
当时，的值．
19.本小题分
甲种物品每个，乙种物品每个现有甲种物品个，乙种物品个，共有．
列出关于、的二元一次方程为 ；
若，则的值为 ；
请将关于、的二元一次方程写成用含的代数式表示的形式： ；
用列表的方式列出甲、乙两种物品个数的所有可能情况．
20.本小题分
某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
关于最值问题的探究
素材 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元未知数，将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程但若把看成“主元”，看作常数，则原方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了．
素材 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务 感受新知：用判别式法求的最小值．
任务 探索新知：若实数、满足，求的最大值对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得______若将新得到的等式看作关于字母的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为______．
任务 应用新知：如图，在平行四边形中，，，记，，当最大时，求此时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
把看做已知数表示出即可．
【解答】
解：，
，
．
2.【答案】
【解析】设使用种食品盒个，种食品盒个．
由题意，得，，
方程的正整数解为或或或
不同的分装方式有种．
3.【答案】
【解析】解：把代入方程，得左边，右边，左边右边，
所以是二元一次方程的解，故本选项符合题意；
B.把代入方程，得左边，右边，左边右边，
所以不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
C.把代入方程，得左边，右边，左边右边，
所以不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
D.把代入方程，得左边，右边，左边右边，
所以不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
故选：．
把、的值代入方程，看看方程两边是否相等即可．
本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义是解此题的关键，注意：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．依据二元一次方程的定义求解即可．
【解答】
解：方程是关于，的二元一次方程，
且，
解得．
5.【答案】
【解析】解：、的平方根是，原命题是假命题；
B、二元一次方程都有无数组解，是真命题；
C、是第四象限的点，原命题是假命题；
D、在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
故选：．
根据平方根、二元一次方程、坐标和垂直判断即可．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
6.【答案】
【解析】解：当时，关于，的方程组为，
解得，
所以，
当时，，
所以当时，方程组的解也是的解，正确；
，
得，，
解得，
把代入得，，
所以，
所以无论取何值，，的值不可能是互为相反数，正确；
由得，
所以原方程组的正整数解是，，共对，错误；
得，，
所以，
所以，
解得，正确；
所以正确的有，
故选：．
把代入方程组，求出方程组的解，即可得出的值，然后把代入方程中得出的值，比较即可；
解方程组得到、的值，然后求出的值，如果的值为，则，互为相反数，否则不是；
根据中即可得出方程组的正整数解，从而判断即可；
得到，结合即可求出的值．
本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、因为分母中含未知数，故不是二元一次方程，故A错误；
B、未知数的次数为，不是二元一次方程，故B错误；
C、，是二元一次方程，故C正确；
D、含有个未知数，不是二元一次方程，故D错误．
故选：．
依据二元一次方程的定义求解即可．
本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：将代入关于，的二元一次方程得：
．
．
故选：．
将代入关于，的二元一次方程得到关于的方程，解这个方程即可得到的值．
本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，将方程的解代入原方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由题意，方程组的解为，
方程组的解满足：
，解得，
故选：．
运用整体的思想，得，解得．
本题考查二元一次方程组解的定义，运用整体的思想是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
由所列的方程，可找出，表示的含义，再结合“将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，即可列出另一个二元一次方程．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【解答】
解：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，且已经列出一个方程为，
表示长木的长度，表示绳子的长度，
又将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，
．
故选：．
11.【答案】，答案不唯一
【解析】略
12.【答案】
【解析】先将解代入方程，得出，代入代数式即可．
【详解】解：是方程的一组解，
，
，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：笔记本每本元，碳素笔每支元，共花费元，设购买支笔记本，个碳素笔，
依题意得：，
．
又，均为正整数，
或或或，
共有种不同的购买方案．
故答案为：．
设购买支笔记本，个碳素笔，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：把代入得：，
二元一次方程的一组解为：答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
取，然后代入方程，求出即可．
本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的定义．
15.【答案】解：根据题意，得，则，都是正整数，，可取的值有 即共有四种购买方案： 购买羽毛球个，乒乓球个； 购买羽毛球个，乒乓球个； 购买羽毛球个，乒乓球个； 购买羽毛球个，乒乓球个．
【解析】略
16.【答案】解：由题意，将代入，得，解得，
将代入，可得原方程为，则符合要求的另一个整数解可以是

【解析】略
17.【答案】【小题】
解：关于，的二元一次方程为．
【小题】
【小题】
【小题】
解：因为，
所以，
所以方程的全部非负整数解为

【解析】 本题主要考查了根据实际问题抽象二元一次方程，根据“甲种物品的质量乙种物品的质量”列出方程即可．
【分析】
本题主要考查了二元一次方程的解，把代入方程可得的值．
【解答】
解：把代入方程，得，
解得．
【分析】
本题主要考查了二元一次方程的解，把代入方程求出的值即可．
【解答】
解：把代入方程，得，即甲种物品有个．
故答案为．
本题主要考查了二元一次方程的解，先用含的式子表示出，然后写出符合题意的，的值即可．
18.【答案】【小题】
解：，即．
【小题】
把代入，得，解得．
【小题】
把代入，得，解得．

【解析】 见答案
见答案
见答案
19.【答案】【小题】

【小题】

【小题】
【小题】
列表如下：

【解析】 略
略
略
见答案
20.【答案】
【解析】任务：
解：根据素材中的判别式法，令，整理得．
关于的一元二次方程，，
解得，．
故的最小值为．
任务：
解：令，则．
将代入，得．
把看作是关于的一元二次方程，则，
解得，，
则．
的最大值为．
故答案为：；．
任务：
如图，过点作，点为垂足．
根据题意，，，．
在中，，
在中，，
即．
整理得，，
令，则，代入上式得到一个关于的一元二次方程：．
，
解不等式得，，则的最大值为，即的最大值为．
把代入得，．
解方程得，．
故当最大时，．
任务：直接利用素材中的判别式法，令，然后整理得到关于的一元二次方程，再利用根的判别式来确定的最小值．
任务：根据题意把代入，整理得到关于的一元二次方程，再根据判别式法求出的最大值，即可得出答案．
任务：过点作的垂线交于点，由角的三角函数易得和的长度关于的表达式，然后在中应用勾股定理即可得到，这样就得到关于、的等式．根据任务中的方法，令，观察题目所求为的值，故消掉变量，于是将代入前面的等式，就可以得到一个关于的一元二次方程，再由判别式法求出的最大值，即可通过一元二次方程求出此时的值．
本题考查了一元二次方程判别式的应用，通过等式灵活构建关于某个变量的一元二次方程，再由判别式法求极值是解答本题的关键．
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