1.1 直线的相交（含解析）-2024-2025学年浙教版七年级下册 同步分层作业

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1.1直线的相交 同步分层作业
1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝66°，则∠BOD的度数是（　　）
A．55° B．66° C．77° D．88°
3．在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．无数
4．下列选项中，过点A画BC的垂线AD，三角板摆放正确的是（　　）
A． B．C． D．
5．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是（　　）
A．∠AOC＝90° B．∠AOC＝∠BOC C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC+∠BOD＝180°
6．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条
7．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE＝60°，则∠BOD＝（　　）
A．130° B．150° C．120° D．140°
8．如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于O．若∠1＝35.8°，则∠2的大小是（　　）
A．35°48' B．54°12' C．54°52' D．55°12'
9．如图，AB⊥BC，DB⊥AC，下列线段的长能表示点B到AC的距离的是（　　）
A．AB B．BD C．BC D．AD
10．如图，直线a，b，c交于点O，∠1＝32°，∠2＝48°，则∠3＝　 　．
11．如图，点P到一条笔直的公路MN共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，这一选择用到的数学知识是 　 　．
12．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC＝∠COB﹣40°，求∠BOE的度数．
13．（1）如图，已知A、B、C三点，画射线BA、线段BC、直线AC；
（2）已知△ABC的面积为6，AC＝3，求点B到直线AC的最短距离．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系；
（2）若∠AOC＝2∠1，求∠BOC的度数．
15．下列说法中，正确的有（　　）个．
①两直线相交，对顶角相等；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
④如果AM＝MB，那么点M是AB的中点．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
16．噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小．如图，工厂A处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在 　 　（填B或C）点受到的危害较小．
17．如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
18．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．
（1）点B到AC的距离是 　　cm；点A到BC的距离是 　 　cm；
（2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长；
（3）AC 　 　CD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是 　 　．
19．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（　　）
A．n（n﹣1） B．n2﹣n+1 C．n+1 D．
20．已知：在同一平面内，线段AB的长为6，点A、B到直线l的距离分别为2和3，则符合条件的直线l共有 　4　条．
21．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
（1）若∠COE＝30°，则∠AOD＝ 　 　°；
（2）若∠COE＝60°，则∠AOD＝ 　 　°；
（3）猜想∠AOD和∠COE的关系是 　 　，并证明关系式成立．
答案与解析
1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此判断即可．
【解析】解：A、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
C、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
2．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝66°，则∠BOD的度数是（　　）
A．55° B．66° C．77° D．88°
【点拨】由对顶角相等即可求解．
【解析】解：由题意可知，∠AOC和∠BOD是对顶角，
∴∠BOD＝∠AOC＝66°，
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，掌握对顶角相等是解题关键．
3．在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【点拨】根据垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行分析即可．
【解析】解：在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了垂线的性质，正确把握垂线的性质是解题关键．
4．下列选项中，过点A画BC的垂线AD，三角板摆放正确的是（　　）
A． B．C． D．
【点拨】根据过直线外一点作已知直线的垂线做法及三角板的特征直接可得．
【解析】解：过点A画BC的垂线AD，三角板摆放正确的是选项D．
故选：D．
【点睛】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线，熟记其做法是解题的关键．
5．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是（　　）
A．∠AOC＝90° B．∠AOC＝∠BOC C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC+∠BOD＝180°
【点拨】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【解析】解：A、∠AOD＝90°可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意；
B、∠AOC和∠BOC是邻补角，邻补角的和是180°，所以可以得到∠COB＝90°，能判定垂直，故此选项不符合题意；
C、∠AOC＝∠BOD是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意；
D、∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角相等，和又是180°，所以可得到∠AOC＝90°，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为90°．
6．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条
【点拨】根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．
【解析】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了垂线段最短，线段的性质，熟记垂线段最短是解题的关键．
7．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE＝60°，则∠BOD＝（　　）
A．130° B．150° C．120° D．140°
【点拨】根据邻补角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【解析】解：∵∠COE为直角，∠AOE＝60°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣30°＝150°．
故选：B．
【点睛】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角、邻补角的定义是正确解答的关键．
8．如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于O．若∠1＝35.8°，则∠2的大小是（　　）
A．35°48' B．54°12' C．54°52' D．55°12'
【点拨】已知OE⊥AB，∠1＝35.8°，可得∠AOC的度数，因为对顶角∠2＝∠AOC，即得∠2的度数．
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠1＝35.8°，
∴∠AOC＝90°﹣35.8°＝54.2°＝54°12'，
∴∠2＝∠AOC＝54°12'．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线、度分秒的换算，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质是解决问题的关键．
9．如图，AB⊥BC，DB⊥AC，下列线段的长能表示点B到AC的距离的是（　　）
A．AB B．BD C．BC D．AD
【点拨】利用点到直线的距离的定义分析．
【解析】解：∵DB⊥AC，
∴线段BD的长能表示点B到AC的距离．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟记“点到直线的距离即是点到直线的垂线段的长度”是解题的关键．
10．如图，直线a，b，c交于点O，∠1＝32°，∠2＝48°，则∠3＝　100°　．
【点拨】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据对顶角相等即可求出∠3的度数．
【解析】解：∵∠1＝32°，∠2＝48°，
∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝100°，
∴∠3＝∠4＝100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查了平角的定义，对顶角，根据平角的定义求出∠4的度数是解题的关键．
11．如图，点P到一条笔直的公路MN共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，这一选择用到的数学知识是 　垂线段最短　．
【点拨】根据垂线段最短求解即可．
【解析】解：∵PB⊥MN，
∴根据垂线段最短得出最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解答的关键．
12．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC＝∠COB﹣40°，求∠BOE的度数．
【点拨】设∠COB＝x°，则∠AOC＝（x﹣40）°，然后根据∠AOC和∠BOC互补即可列方程求得∠COB，进而求解∠AOC的度数，再根据对顶角相等求得∠BOD的度数，最后依据角平分线的定义求解．
【解析】解：设∠COB＝xo，则∠AOC＝（x﹣40）°．
根据题意得：x+（x﹣40）＝180，
解得：x＝110．
则∠AOC＝110°﹣40°＝70°．∠BOD＝∠AOC＝70°．
∵OE平分∠BOD，
∴
【点睛】本题考查了对顶角以及角的平分线的定义，利用邻补角的概念计算∠AOC的度数是关键．
13．（1）如图，已知A、B、C三点，画射线BA、线段BC、直线AC；
（2）已知△ABC的面积为6，AC＝3，求点B到直线AC的最短距离．
【点拨】（1）按要求作出相应的图形即可；
（2）利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解析】解：如图，
（2）△ABC的面积为6，AC＝3，
∴B点到射线AC的距离为：6×2÷3＝4．
【点睛】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系；
（2）若∠AOC＝2∠1，求∠BOC的度数．
【点拨】（1）根据垂直定义可得∠AOM＝90°，进而可得∠1+∠AOC＝90°，再利用等量代换可得到∠2+∠AOC＝90°，从而可得ON⊥CD；
（2）根据垂直定义和条件可得∠1＝30°，∠BOC＝120°．
【解析】解：（1）ON⊥CD．
理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD．
（2）由（1）知∠1+∠AOC＝90°，
因为∠AOC＝2∠1，
所以∠1+2∠1＝90°，
解得∠1＝30°，
所以∠AOC＝60°，
所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°．
【点睛】此题主要垂直定义，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
15．下列说法中，正确的有（　　）个．
①两直线相交，对顶角相等；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
④如果AM＝MB，那么点M是AB的中点．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【点拨】分别根据对顶角性质，垂线段最短，线段中点的定义判断即可．
【解析】解：①两直线相交，对顶角相等，正确；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；
④如果M在线段AB上，并且MA＝MB，那么点M是线段AB的中点，故错误；
综上分析可知，正确的有3个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，垂线段最短，线段中点的定义，熟练掌握相关的定义和性质是解题的关键．
16．噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小．如图，工厂A处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在 　B　（填B或C）点受到的危害较小．
【点拨】根据两点间的距离即可得到结论．
【解析】解：由图象得，AB＞AC，
∴人站在B点受到的危害较小．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，两点间的距离，正确地识别图形是解题的关键．
17．如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
【点拨】先由对顶角相等得到∠COD＝∠MON＝70°，设∠AOC＝x，则∠BOC＝3x，∠AOD＝x+70°，∠BOD＝3x﹣70°，再由∠AOD＝2∠BOD得到x+70°＝2（3x﹣70°），解方程求出BOC＝126°，则∠BON＝180°﹣∠BOC＝54°．
【解析】解：∵∠MON＝70°，
∴∠COD＝∠MON＝70°，
设∠AOC＝x，则∠BOC＝3x，∠AOD＝x+70°，
∴∠BOD＝3x﹣70°，
∵∠AOD＝2∠BOD，
∴x+70°＝2（3x﹣70°），
解得x＝42°，
∴BOC＝126°，
∴∠BON＝180°﹣∠BOC＝54°．
【点睛】此题主要考查了角的计算，关键是掌握邻补角互补．
18．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．
（1）点B到AC的距离是 　4　cm；点A到BC的距离是 　3　cm；
（2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长；
（3）AC 　＞　CD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是 　垂线段最短　．
【点拨】（1）根据点到直线的距离的定义求解；
（2）根据几何语言画出对应几何图形，并用面积法求出CD的长即可；
（3）利用垂线段最短求解．
【解析】解：（1）由题意得：点B到AC的距离是4cm；点A到BC的距是3cm．
故答案为4，3；
（2）如图，CD为所作；
∵，
∴BC AC＝AB CD，
∴4×3＝5CD，
∴；
（3）AC＞CD．
理由是垂线段最短；
故答案为：＞，垂线段最短．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，画三角形的高．也考查了垂线段最短．
19．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（　　）
A．n（n﹣1） B．n2﹣n+1 C．n+1 D．
【点拨】分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线…的交点个数，找出规律即可解答．
【解析】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点；
3条直线相交最多可以有1+2个交点，最少有1个交点；
4条直线相交最多可以有1+2+3个交点，最少有1个交点；
5条直线相交最多可以有1+2+3+4个交点，最少有1个交点；
6条直线相交最多可以有1+2+3+4+5个交点，最少有1个交点；
…
n条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点；
所以，而b＝1，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是n条直线相交时最少有一个交点．
20．已知：在同一平面内，线段AB的长为6，点A、B到直线l的距离分别为2和3，则符合条件的直线l共有 　4　条．
【点拨】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．画出图形进行判断．
【解析】解：在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线；与线段AB相交，有两条线段符合条件，所以符合条件的直线l有4条．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．
21．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
（1）若∠COE＝30°，则∠AOD＝ 　120　°；
（2）若∠COE＝60°，则∠AOD＝ 　150　°；
（3）猜想∠AOD和∠COE的关系是 　∠AOD﹣∠COE＝90°　，并证明关系式成立．
【点拨】（1）根据EO⊥AB得∠EOA＝90°，则∠AOC＝∠EOA﹣∠COE＝60°，再根据∠AOD＝180°﹣∠AOC可得出答案；
（2）根据EO⊥AB得∠EOA＝90°，则∠AOC＝∠EOA﹣∠COE＝30°，再根据∠AOD＝180°﹣∠AOC可得出答案；
（3）根据EO⊥AB得∠EOA＝90°，则∠AOC＝90°﹣∠COE，再根据∠AOD＝180°﹣∠AOC可得出∠AOD和∠COE的关系．
【解析】解：（1）∵EO⊥AB，
∴∠EOA＝90°，
∵∠COE＝30°，
∴∠AOC＝∠EOA﹣∠COE＝60°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°；
故答案为：120°．
（2）∵EO⊥AB，
∴∠EOA＝90°，
∵∠COE＝60°，
∴∠AOC＝∠EOA﹣∠COE＝30°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝150°；
故答案为：150°．
（3）∠AOD和∠COE的关系是∠AOD﹣∠COE＝90°，证明如下：
∵EO⊥AB，
∴∠EOA＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠COE，
∵直线AB、CD相交于点O，
∵∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣（90°﹣∠COE）＝90°+∠COE，
∴∠AOD﹣∠EOA＝90°．
故答案为：∠AOD﹣∠COE＝90°．
【点睛】此题主要考查了垂线，邻补角的定义，准确识图，熟练掌握垂线的定义，邻补角的定义是解决问题的关键．
基础过关
能力提升
培优拔尖
基础过关
能力提升
培优拔尖
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