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第2章 二元一次方程组 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是
A． B． C． D．
2．已知是方程的一个解，那么常数的值是
A．5 B． C．3 D．
3．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是
A． B． C． D．
4．若，则，的值是
A． B． C． D．
5．利用加减消元法解方程组，嘉嘉说：要消去，可以将①②；淇淇说：要消去，可以将①②，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是
A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对
C．嘉嘉和淇淇都对 D．嘉嘉和淇淇都不对
6．代数式中，当取值分别为，0，1，2时，对应代数式的值如表：
0 1 2
1 3 5
则的值为
A． B．1 C．3 D．5
7．方程组的解使代数式的值为，则的值为
A．0 B． C． D．
8．已知是方程组的解，则的值是
A．5 B． C．25 D．
9．《九章算术盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为
A． B．
C． D．
10．已知关于，的二元一次方程组是常数），若不论取什么实数，代数式是常数）的值始终不变，则的值为
A． B． C．1 D．2
二．填空题（共6小题）
11．观察所给的4个方程组：
①；②；③；④．
其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）
12．若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是 ．
13．对于有理数，定义新运算：，其中，为常数已知，，则 ．
14．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则 ．
15．在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 ．
16．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 ．
三．解答题（共8小题）
17．解方程组：
（1）用代入法解；
（2）用加减法解．
18．已知，当时，，当时，；当时，．
（1）求、、的值；
（2）求当时，的值．
19．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
20．已知关于，的方程组和有相同的解．
（1）求出它们的相同解；
（2）求的值．
21．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值．
（1）按照小云的方法，的值为 ，的值为 ；
（2）请按照小辉的思路求出的值．
22．嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成3，请你解二元一次方程组；
（2）妈妈说：“你猜错了”，我看到该题标准答案与是一对相反数，通过计算说明原题中“□”是几？
23．我们规定，关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．
根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断方程 “最佳”方程（填“是”或“不是” ；
（2）若关于，的二元一次方程是“最佳”方程，求的值．
（3）若是关于，的“最佳”方程组的解，求的值．
24．下表是某工厂设计玩具的裁剪方案．
课题 设计裁剪方案
素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具．
素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗）
我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和 张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪 张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料．
任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？
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第2章 二元一次方程组 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义解答即可．
【解析】、未知数的次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
、，含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
、，含有分式，不是二元一次方程，不符合题意；
、是二元一次方程，符合题意．
故选．
2．已知是方程的一个解，那么常数的值是
A．5 B． C．3 D．
【答案】
【分析】将代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可得出答案．
【解析】由题意得：，
解得：，
故选．
3．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】将作为整体替换未知数，再去括号解答即可．
【解析】将①代入②得，
，
去括号得：，
故选．
4．若，则，的值是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据非负数的性质可得关于，的二元一次方程组，再解方程组即可解答．
【解析】，
，
①②得：，
解得：，
将代入①得：，
方程组的解为．
故选．
5．利用加减消元法解方程组，嘉嘉说：要消去，可以将①②；淇淇说：要消去，可以将①②，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是
A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对
C．嘉嘉和淇淇都对 D．嘉嘉和淇淇都不对
【答案】
【分析】加减消元法适用于未知数的系数互为相反数或者系数相同，据此分析即可．
【解析】嘉嘉：将①②，可得，不可以消去，
淇淇：①②，可得，可以消去，
故嘉嘉不对，淇淇对，
故选．
6．代数式中，当取值分别为，0，1，2时，对应代数式的值如表：
0 1 2
1 3 5
则的值为
A． B．1 C．3 D．5
【答案】
【分析】根据题意列得二元一次方程组，解得，的值后代入中计算即可．
【解析】由题意可得，
解得：，
则，
故选．
7．方程组的解使代数式的值为，则的值为
A．0 B． C． D．
【答案】
【分析】用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出．
【解析】，
①②得：④，
③④得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
原方程组的解为，
把代入得：，
解得：．
故选．
8．已知是方程组的解，则的值是
A．5 B． C．25 D．
【答案】
【分析】把代入方程组中，即可得到，于是问题得解．
【解析】把代入方程组中，得，
，
故选．
9．《九章算术盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据题意直接列出方程组即可．
【解析】设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为：
，
故选．
10．已知关于，的二元一次方程组是常数），若不论取什么实数，代数式是常数）的值始终不变，则的值为
A． B． C．1 D．2
【答案】
【分析】根据原方程得出，的表达式，整理得，推出当时，不论取何值，，从而得解．
【解析】是常数），
，
，
则，
，
当时，不论取何值，，
故的值为，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．观察所给的4个方程组：
①；②；③；④．
其中，符合二元一次方程组定义的是 ①②④ （写出所有正确的序号）
【答案】①②④．
【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可．
【解析】①，符合二元一次方程组定义；
②，符合二元一次方程组定义；
③，未知数的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义；
④，符合二元一次方程组定义；
所以符合二元一次方程组定义的是①②④．
故答案为：①②④．
12．若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是 或 ．
【答案】或
【分析】根据二元一次方程组的定义：
（1）含有两个未知数；
（2）含有未知数的项的次数都是1．
【解析】由二元一次方程组的概念，得
，，
解得
，，
所以．
或，，，
解得
，，，
所以．
故答案为：或．
13．对于有理数，定义新运算：，其中，为常数已知，，则 ．
【答案】
【分析】利用题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出的值．
【解析】根据题意得：，，
整理得：，
①②得：，即，
把代入②得：，
则，
故答案为：
14．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则 3 ．
【答案】3．
【分析】根据题意把代入方程中求出的值，把代入方程中求出的值，然后计算即可．
【解析】把代入方程中，得，
解得，
把代入方程中，得，
解得，
，
故答案为：3．
15．在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 44 ．
【答案】44．
【分析】设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
【解析】设小长方形的长、宽分别为，，
依题意得，
解之得，
小长方形的长、宽分别为，，
，
．
故答案为：44．
16．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 ．
【答案】．
【分析】该方程变形为，再分别令和时求解方程即可．
【解析】该方程变形为，
当时，解得，
将代入方程得，，
解得；
当时，解得，
将代入方程得，，
解得，
不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．解方程组：
（1）用代入法解；
（2）用加减法解．
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解析】（1），
由②得③，
把③代入①，得，
解得，
把代入②，得，
所以方程组的解是；
（2），
①，得③，
②③，得，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是．
18．已知，当时，，当时，；当时，．
（1）求、、的值；
（2）求当时，的值．
【分析】（1）把、的三对对应值分别代入，列出方程组，再求解；
（2）把代入，求解．
【解析】（1）由题意得：，
解得：，
，，；
（2）当时，．
19．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
【分析】首先假设这个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为．根据题目说明，以及百位数是百位数字的100倍，十位数是十位数字的10倍，个位数就是个位数字列出方程组
通过加减消元法、代入法求得、、的值，那么这个三位数也就确定．
【解析】这个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为．
由题意列方程组
②③得，即，
由①得⑤，
将代入③得⑥，
⑤⑥得，
即，那么，
答：这个三位数是473．
20．已知关于，的方程组和有相同的解．
（1）求出它们的相同解；
（2）求的值．
【分析】（1）将两个方程组中只含和的两个方程联立构成关于、的二元一次方程组并求解即可；
（2）将两个方程组中含有和的两个方程联立构成关于、的二元一次方程组，并将（1）中得到的解代入并解方程，求出、的值即可．
【解析】（1）解方程组，解得．
（2）将代入，得，解得．
，
．
21．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值．
（1）按照小云的方法，的值为 5 ，的值为 ；
（2）请按照小辉的思路求出的值．
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）利用整体代入的方法求解即可．
【解析】（1）③①，得，
把代入①，得，
解得，
故答案为：5；；
（2）①②，得，
即，
，
，
，
解得．
22．嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成3，请你解二元一次方程组；
（2）妈妈说：“你猜错了”，我看到该题标准答案与是一对相反数，通过计算说明原题中“□”是几？
【分析】（1）运用加减消元法解方程组即可；
（2）用代入消元法解方程组，然后代入□求出缺少系数即可．
【解析】（1），
①②得，，解得，，
把代入①，解得，，
所以，
（2）由题意可得，代入，得，解得，，
所以，
设“□”为，则有，解得，．
23．我们规定，关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．
根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断方程 是 “最佳”方程（填“是”或“不是” ；
（2）若关于，的二元一次方程是“最佳”方程，求的值．
（3）若是关于，的“最佳”方程组的解，求的值．
【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行判断即可；
（2）根据“友好方程”的定义，进行求解即可；
（3）先根据“友好”方程组的定义求出，的值，再根据方程组的解的定义，得到关于，的方程组，进行求解即可．
【解析】（1）3根据“友好方程”的定义可知，中，
所以方程是最佳方程．
故答案为：是；
（2）因为二元一次方程是“最佳”方程，
所以，
解得：，
故的值是3；
（3）因为方程组是“最佳”方程组，
所以，，
解得：，，
所以原方程组为，
因为是方程组 的解，
所以，
解得，
所以．
故的值为3．
24．下表是某工厂设计玩具的裁剪方案．
课题 设计裁剪方案
素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具．
素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗）
我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和 12 张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪 张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料．
任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？
【分析】（1）设一张该布料裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料，根据原始布料尺寸和所需布料尺寸，可以先将原始布料对半裁剪，再根据长度进行裁剪，利用布料长度相等列出二元一次方程，求出整数解即可；
（2）设用张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料，列方程组可得答案．
【解析】任务一：设一张该布料裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料，根据布料尺寸为，豌豆所需布料的尺寸是，豌豆荚所需布料的尺寸是，因此可以先将原始布料对半裁剪，即得到2块的布料，然后裁剪所需布料的长度即可．根据裁剪前后布料长度相等，可得：
，即，
，其中，为正整数，
当，，即为方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料；
当，，即为方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；
当，，即为方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料．
任务二：设用张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料．
则，
解得，
，
还需从仓库拿100张布料．
答：在没有布料浪费的条件下，还需从仓库拿100张布料．
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