数学七年级下册
专题拓展
垂直面面观
例3如图，马路！上有两城市B,C,马路外有城市
A,要在马路上修建货运站P,使P到三城市路程
典型例题
和最短，问货运站P应建在何处？
"月
例1如图，木匠师傅在检测长方形木窗是否合格
时，通常使用角尺（角尺的两条边互相垂直），他应
当怎样检测所做的长方形木窗，才知道合不合格呢？
点拨：由于货运站P修建在马路上，根据“两点之间
的所有连线中，线段最短”这一性质可知，点P应在
B、C两点的连线上（即在马路1上）；再根据“直线
外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最
短”的性质可知，需要过A点作直线1的垂线
点拨：因为角尺的两条边互相垂直，所以要检测长
方形的木窗是否合格，只要把角尺的直角顶，点放在木
窗的顶，点，如果角尺的两边与木窗的两边重合，根据
垂直定义“如果两条直线相交成直角，那么这两条直
线互相垂直”，则可确定这个角是直角，这个长方形木
窗是合格的；如果有一条边不重合，则不合格
例2如图，一个人从A地到河边某处挑水，问这人
沿着什么方向走路最近？画图说明原因。
变式练习知识是用来为人类服务的，我们应该把
它们用于有意义的地方.下面就两个情景请你作出
评判.
点拔：因为直线外一点与直线上各，点连接的所有线
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走
段中，垂线段最短，所以可过点A向河岸作垂线，交
人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学
河岸于点D,则沿着AD方向走最近.
知识来说明这个问题.
●
安T
情景二：A、B是河流1两旁的两个村庄，现要
在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什
么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出
抽水站点P的位置，并说明你的理由.
15
数学七年级下册
5.如图，∠BAC为钝角.
1
(1)画出点C到AB的垂线段；
(2)过点A画BC的垂线段；
(3)过点B画AC的垂线段.
●5
你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识
为人类服务时应注意什么？
巩固练习
一、夯实基础
1,通过作垂线可得到下面的结论是
A.过一点有无数条直线与已知直线垂直
6.如图，AO⊥BC,垂足为O,OA平分∠EOD,
B.过一点只有一条直线与已知直线垂直
∠1=65°，求∠2的度数.
C.在平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直
D.过一点能画出一条直线与已知直线相交
2.点到直线的距离是指
●
A.从直线外一点到这条直线的垂线
●
●
B.从直线外一点到这条直线的垂线段
C,从直线外一点到这条直线的垂线的长
D.从直线外一点到这条直线的垂线段的长
3.如图，P为直线1外一点，A,B,C在1上，且PB
⊥l,有下列说法：①PA,PB,PC三条线段中，
PB最短；②线段PB的长叫作点P到直线I的
距离；③线段AB的长是点A到PB的距离；④
线段AC的长是点A到PC的距离.其中正确的
个数是
●
●
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图，∠ABD=90°，直线
⊥直线
,垂足为
,过D点有且只有
条直线
与直线AC垂直.
16又.MNCD,.∠C+∠CPM=180°，
专题拓展
垂直面面观
∴.∠A+∠C+∠APM+∠CPM=∠A+∠C
+∠P=360°.
典型例题
(2)过点P作MN∥AB.
例1把角尺的直角顶点放在木窗的顶点，如果角尺
两边与木窗的两边重合，则木窗合格：如果有一条边
B
不重合，则木窗不合格。
例2沿AD方向走最近，如图.
,MN∥AB,∴.∠A=∠APM,MN∥CD,
.∠C=∠CPM,
∴.∠A+∠C=∠APM+∠CPM=∠P.
例3如图，过点A作AP⊥l,垂足为点P,由“两点
10.(1)变小变大(2)和为定值(3)15
之间的所有连线中，线段最短”和“直线外一点与直线
1.6图形的平移
上各点连接的所有线段中，垂线段最短”易知PA十
PB十PC最短，故P点即为所修建的货运站地址.
典型例题
例1B
例236
变式练习1.B2.140cm
8 P C
例35n+6
变式练习
巩固练习
情景一：
1.A2.30°3.104.D5.C
两点之间的所有连线中，线段最短，
6.(1)画图如下：
情景二：
理由：两点之间的所有连线中，线段最短.
赞同情景二中运用知识的做法.理由胳.
(2)平行且相等(3)8
巩固练习
7.(1)∠BEC=2∠A'(2)A'D'平分∠B'A'C
1.C2.D3.C
8.(1)如图所示：
4.AC BD B一DB
5.如下图.
(2)ab-8 ab-8 ab-b (3)ab-b
9.(1)35°(2(2n+35）°(3(215-2）
·3…
6..∠1+∠AOE=90°，.∠AOE=90°-65°=
∠CEF=70,.∠ECD=110°，：∠DCB=70°，
25,又OA平分∠E0D,∴.∠2=∠AOE=25
.∠ACB=40°.
7.设∠BOD=2x°，则∠BOE=3.x°，因为OE
13.(1)76°90°(2)90°90°(3)90°理
平分∠BOC,所以∠EOC=3.x°，3x十3x十2x=180,
由略
=15
,2x=45,即∠B0D=45°
14.(1)1803605407201620(2)(n-
1)180
而∠BOD+∠FOD+∠AOF=180°，所以
15.(1)证明：如图1，过点P作OP∥AB,,AB∥
∠AOF=180°-90°-45°=45.
CD,∴.OP∥AB∥CD,.∠1=∠PAB,∠2=
8.∠BOA+∠BC=90°，∠BOC=a,则
∠PCD,∴.∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD,
∠AOB=90°-&，∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°
即∠APC=∠PAB+∠PCD.
a+90°=180°-a.
(2)①如图2，过点A2作A2O∥AA1,由(1)可知
9.还需要测量BC边上的高，过点A作AD⊥
∠B,=∠A1+∠1，∠B2=∠2+∠Ax,所以，∠B1+
BC于D,量出AD的长度即可.
∠B2=∠A1十∠A2十∠A8:②如图3，由①可知：
10.易求得∠BOG=0=18,所以∠P0B=
∠A1+∠A2+…+∠Aw=∠B,+∠B2+…
5
十∠Bm-1
90°-∠B0G=72°，∠PSN=2∠POB-60°=144°
(3)①如图4，过∠x的顶点作CD∥AB,则∠x=
60°=84°.
(180-a)+(3-Y)=180°-a-Y十B,故选B;②如
图5，由(1)可知，40°+∠GHM+50°=∠G+∠M,,
专题拓展平行线的性质与判定
∠G=90°，∠M=30°，∴.∠GHM=90°+30°-40°-
一、夯实基础
50°=30°，故填：30°
1.A2.A3.D4.A5.C
B.
二、典型例题
4，
A
例1(1)50°(2)：GM⊥EF,HN⊥EF,
图1
图2
∴∠MGH=90°，∠NHF=90°，.∠MGH=
∠NHF,∴.HN/GM(3)40
1_F
例2∠A+∠B+∠C+∠ADC=360
一
例3∠AMG=∠3.理由：，∠1=∠2，ABCD.
50%
图3
图4
∠3=∠4，CD∥EF.AB∥EF.∴∠AMG=
∠5.又∠5=∠3，∴∠AMG=∠3.
周末拓展相交线与平行线章拓展(1)
三、巩固练习
1.D2.B3.B4.C5.C6.D7.B
1.A2.C3.C4.D5.B6.D7.75
8.B9.D10.D
8.270°9.510.平行
11.垂线段最短12.6013.平行14.60
11.对顶角相等∠2=∠ANC DB EC两
15.150°16.120°17.618.719.40°20.102
直线平行，同位角相等DFAC内错角相等，两
21.(1)如图1所示：
直线平行∠D=∠ABD等量代换
12.(1)EF∥AB.理由：，CD∥AB,∠DCB=
70°，∠ABC=70°，：∠CBF=20°，.∠ABF=
50°，，∠EFB=130°，∴.∠ABF+∠EFB=180,
∴.EF∥AB.(2),EF∥AB,CD∥AB,.EF∥CD,
·4·
