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第一章：相交线与平行线培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：，
，
，
，
，
平分，
，
．
故选择：B．
2.答案：A
解析：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，
∴∠EFC+∠EFC'＝200°，
∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，
故选择：A．
3.答案：B
解析：过B作BK∥m，
∵m∥n，
∴BK∥n，
∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，
∵∠ABO＝45°，
∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，
∴∠2＝∠ABK＝25°．
故选择：B．
4.答案：D
解析：如图，过点作，
由题意得：，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选择：D．
5.答案：D
解析：过A作AB∥l1，
∵l1∥l2，
∴AB∥l2，
∴∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，
∴∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．
故选择：D．
6.答案：B
解析：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，
（1）若∠CDG＝∠BFE，
∵∠BCD＝∠BFE，
∴∠BCD＝∠CDG，
∴DG∥BC，
∴∠AGD＝∠ACB．
（2）若∠AGD＝∠ACB，
∴DG∥BC，
∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE，
∴∠CDG＝∠BFE．
（3）由题意知，EF∥DC，
∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB，
如图，
①当DG∥BC时，则∠AGD＝∠ACB＞∠BFE，
即∠AGD一定大于∠BFE；
②当GD（GD′、GD″）与BC不平行时，
如图，设DG∥BC，
当点G′在点G的上方时，
∵∠AG′D＞AGD，
由①知，∠AG′D一定大于∠BFE；
当点G″在点G的下方时，
见上图，则∠AG″D不一定大于∠BFE，
综上，∠AGD不一定大于∠BFE；
（4）如果连接GF，则GF不一定平行于AB；
综上知：正确的说法有两个．
故选择：B．
7.答案：D
解析：如图：根据题意得：，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴,即向右转．
故选择：D．
8.答案：B
解析：延长FG，交CH于I．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，
∵FD∥EH，
∴∠EHC＝∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，
∴3∠EHC＝90°，
∴∠EHC＝30°，
∴∠D＝30°，
∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，
∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFI＝30°×2＝60°，
∵∠BFD＝30°，
∴∠GFD＝90°，
∴∠GFH+∠HFD＝90°，
可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，
∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．
故选择B．
9.答案：A
解析：③，
，
，
又平分，
，
故③正确；
①，
，
又，
，
又，
，
，
，
平分，
故①正确；
②，，
，
又，
，
故②正确；
④由①可知，
，
故，
故④不正确．
故结论正确的是①②③，
故选A．
10.答案：A
解析：如图①，，
∵，
∴，
∵，
∴；
如图②，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或．
故选择：A．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵OP∥QR∥ST，∠2＝100°，∠3＝120°，
∴∠2+∠PRQ＝180°，∠3＝∠SRQ＝120°，
∴∠PRQ＝180°﹣100°＝80°，
∴∠1＝∠SRQ﹣∠PRQ＝40°，
故答案是40°．
12.答案：150
解析：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
故答案为：．
13.答案：
解析：，
，，
，
，
，
．
14.答案：
解析：如图，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，
∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，
即∠E+2∠BFC＝180°，①
又∵∠E﹣∠BFC＝60°，
∴∠BFC＝∠E﹣60°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣60°）＝180°，
解得∠E＝100°，
故答案为：100°．
15.答案：
解析：如图所示，过点作，过点作，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴．
∵，
∴，
∴
故答案为：．
16.答案：40°；（）
解析：（1）过点E作EF∥AC，
∵AC∥EF，
∵AC∥BD，
∴AC∥EF∥BD，
∴∠CAE＝∠AEF，∠EDB＝∠FED，
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠CAE+∠EDB＝15°+25°＝40°；
（2）∵AC∥BD，
∴∠AGD＝∠ODB，
∠CAO+∠AGD＝90°，
∴∠CAB+∠ODB＝90°，
∵∠EAC＝∠CAB，∠EDB＝∠ODB，
由（1）同理可得：∠AED＝∠CAE+∠EDB＝（∠CAB+∠ODB）＝，
故答案为：40°；（）．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：证明（已知），
(内错角相等，两直线平行)
(两直线平行，内错角相等)
（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
18.解析：，（已知）
．（垂直于同一直线的两直线平行）
．（两直线平行、同旁内角互补）
，（已知）
．（同角的补角相等）
．（内错角相等，两直线平行）
．（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
．（等量代换）
，（已知）
．（垂直的定义）
，（平角定义）
．（等式性质）
（已证），
．（两直线平行，同位角相等）．
19.解析：（已知），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
（已知），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
20.解析：（1）如图，过点D作EF∥MN，则∠NAD＝∠ADE．
∵MN∥OP，EF∥MN，
∴EF∥OP．
∴∠PBD＝∠BDE，
∴∠NAD+∠PBD＝∠ADE+∠BDE＝∠ADB．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠NAD+∠PBD＝90°．
（2）由（1）得：∠NAD+∠PBD＝90°，则∠NAD＝90°﹣∠PBD．
∵∠OBD+∠PBD＝180°，
∴∠OBD＝180°﹣∠PBD，
∴∠OBD﹣∠NAD＝（180°﹣∠PBD）﹣（90°﹣∠PBD）＝90°．
（3）若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，则有∠NAD＝∠BAD＝α，∠NAB＝2∠BAD＝2α，∠OBD＝2∠OBA．
∵OP∥MN，
∴∠OBA＝∠NAB＝2α，
∴∠OBD＝4α．
由（2）知：∠OBD﹣∠NAD＝90°，则4α﹣α＝90°，解得：α＝30°．
21.解析：（1）由平移的性质可得：，，，，
，
，
，
；
（2）解：由平移的性质可得：，
∵，
，
又，
；
（3）解：由平移的性质可得：，，
的周长为，
，
又四边形的周长为，
，
即：，
，
，
，
，
即：的长度为6．
22.解析：（1）证明：过C作CS∥MN，如图，
∵CS∥MN，
∴∠NAC＝∠ACS，
∵∠ACB＝∠ACS+∠BCS＝∠NAC+∠CBQ，
∴∠BCS＝∠CBQ，
∴PQ∥CS，
∴MN∥PQ；
（2）解：如图，连接DC并延长交AE于点F，则：
∠ACF＝∠DAC+∠ADC，∠BCF＝∠DBC+∠BDC，
∴∠ACB＝∠DAC+∠DBC+∠ADB＝2∠ADB，
∴∠ADB＝∠DAC+∠DBC，
∴2∠ADB＝2∠DAC+2∠DBC＝2∠DAC+∠QBC，
又∠ACB＝∠NAC+∠CBQ＝2∠ADB．
∴∠NAC+∠CBQ＝2∠DAC+∠QBC，即∠NAC＝2∠DAC，
∴∠DAC＝∠NAC，
∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝∠MAC+∠NAC＝（∠MAC+∠NAC）＝90°．
23.解析：（1）2∠AFD+∠AED＝360°，
证明：如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
∵FN∥AB，
∴∠NFA＝∠BAF，
∵AF平分∠EAB，
∴∠EAB＝2∠BAF，
∴∠EAB＝2∠NAF，
∵FN∥AB，AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠NFD＝∠FDC，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDC＝2∠FDC，
∴∠EDC＝2∠NFD，
∴∠BAE+∠EDC＝2（∠NFA+∠NFD）＝2∠AFD，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∵EM∥AB，
∴∠BAE+∠AEM＝180°，
∵EM∥CD，
∴∠DEM+∠EDC＝180°，
∴（∠BAE+∠AEM）+（∠DEM+∠EDC）＝360°，
即∠BAE+∠AED+∠EDC＝360°，
∴∠AED＝360°﹣（∠EAB+∠EDC）＝360°﹣2∠AFD，
2∠AFD+∠AED＝360°；
（2）解：∵∠DAG：∠FDE＝2：7，
∴设∠DAG＝2α，∠FDE＝∠FDG＝7α，
∴∠EDH＝2∠FDG＝14α，
∵∠GAD＝∠GAE﹣∠DAE＝∠BAE﹣∠EAH＝∠BAH，
∴∠BAH＝4α，
∵AB∥CD，
∴∠AHD＝∠BAH＝4α，
∵AH∥ED，
∴∠AHD+∠EDH＝180°，
∴4α+14α＝180°，
解得：α＝10°，
∴∠BAH＝4α＝40°．
24.解析：（1）证明：过点P作PF∥AB，
∴∠B＝∠BPF，
∵∠B+∠PEC＝∠BPE＝∠BPF+∠EPF，
∴∠PEC＝∠EPF，
∴PF∥CD，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，
∴∠ABP＝∠BPF，∠MEH＝∠EHD，
∵∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，即∠ABP+∠PEM+∠MEH＝∠BPF+∠FPE+∠EHD，
∴∠PEM＝∠FPE，
∴PF∥EM，
∴EM∥AB，
∴AB∥CD；
（3）如图3，过点E作EN∥AB，
由（2）得AB∥CD，
∴EN∥CD，
∠BFE＝∠FEN，∠NEH＝∠EHD，
∴∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，
设∠EHD＝α，∠PBG＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，
∵BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，
∴∠ABP＝2β，∠PEH＝2γ，
∵BP⊥PE，
∴∠P＝90°，
由（2）得∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，
∴2β+2γ＝90°+α，
∵∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，
∴γ＝α+10°+α＝2α+10°，
∵∠BGE＝36°，∠FGB＝180°﹣（∠BFG+∠FBG），∠FGB＝180°﹣∠BGE，
∴∠BFG+∠FBG＝∠BGE＝36°，
∴α+10°+β＝36°，
∴β＝26°﹣α，
∴2（26°﹣α）+2（2α+10°）＝90°+α，
∴α＝18°．
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第一章：相交线与平行线培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．如图，直线分别交，于，两点，的平分线交于点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
3.如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
4．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5.将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
6．小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，
小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，一艘快艇向正东方向行驶至点A时，接到指令向右转航行到B处，再向左转航行至C处．若该快艇到达点C后仍向正东方向行驶，则在点C处调整的航向是（ ）
A．向左转 B．向左转 C．向右转 D．向右转
8．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图：平分，则下列结论：①平分②③④，其中结论正确的序号是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．①②③④ D．只有①④
10．已知，且的两边与的两边满足一边互相平行，另一边互相垂直，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝120°，则∠1＝ ．
12．如图，直线相交于点平分，则 ．
13．如图，已知，则三者之间的数量关系是 ．
14.如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝60°，则∠E＝
15．如图，直线，点E，F分别在直线和直线上，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，已知，则的度数为 ．
16．如图，直线l1⊥直线l2，垂足为O，Rt△ABC如图放置，过点B作BD∥AC交直线l2于点D，在△ABC内取一点E，连接AE，DE．
（1）若∠CAE＝15°，∠EDB＝25°，则∠AED＝ ．
（2）若∠EAC＝∠CAB，∠EDB＝∠ODB，则∠AED＝ °．（用含n的代数式表示）
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）已知：如图，，求证：
18.（本题6分）如图，在△ABC中，于点D，点E在上，于点F，过点D作直线交于点G，交的延长线于点H，，．求的度数．
19.（本题8分）如图，已知，，．求证：．
20．（本题8分）如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB＝α（α为锐角）．
（1）求∠NAD与∠PBD的和；（提示过点D作EF∥MN）
（2）当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD﹣∠NAD＝90°；
（3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的值
21．（本题10分）如图，在三角形中，∠B=90°，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接．
(1)分别求和的度数；
(2)若，，求图中阴影部分的面积；
(3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度．
22.（本题10分）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．
（1）求证：MN∥PQ；
（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．
23．（本题12分）已知，如图AB∥CD，AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．
（1）如图1，探究∠F与∠E的数量关系并证明．
（2）如图2，在（1）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDE＝2：7，求∠BAH的度数．
24.（本题12分）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．
（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；
（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．
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