1.4 平行线的判定-2024-2025学年浙教版七年级下册 同步分层作业（含解析）

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1.4平行线的判定 同步分层作业
1．如图，若∠1＝∠2，则下列结论正确的是（　　）
A．AC∥BD B．AC∥EF C．EF∥BD D．AB∥CD
2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（　　）
A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180°
3．如图，直线a、b被直线c所截，∠2＝36°，下列条件中可以判定a∥b的是（　　）
A．∠1＝36° B．∠1＝54° C．∠1＝72° D．∠1＝144°
4．下列条件中，能判断AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠1+∠4＝180° D．∠3+∠4＝180°
5．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，下列条件能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠5 B．∠1＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠2
7．如图，下列选项中，不能判定l1∥l2的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠5 C．∠2＝∠3 D．∠3+∠4＝180°
8．如图，不能判断l1∥l2的条件是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5 C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180°
9．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a 　 　c．
10．如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是 　 　．
11．如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 　 　°时，木条a与b平行．
12．完成下面的证明：
已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（　 　）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝　 　（角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（　 　）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝　 　（　 　）．
∴AB∥CD（　 　）．
13．如图，∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°．
（1）若∠2＝125°，求∠C的度数；
（2）若∠1和∠D互余，你能试着判断AB∥CD吗？
14．如图，能判断AB∥EF的条件是（　　）
A．∠ADE＝∠C B．∠ADE＝∠DEF C．∠ADE＝∠B D．∠ADE＝∠EFC
15．已知：如图，要得到AB∥CD，则需要的条件　 　（填一个你认为正确的条件即可）
16．如图，一个弯形管道的拐角∠ABC＝120°，若工人师傅准备在点C处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分CD与AB平行，则加工后拐角∠BCD的度数是 　 　度．
17．如图所示，EF⊥BC于点F，DM⊥BC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C．求证：AB∥MN．
18．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，并且∠1＝∠2．说出图中哪些直线互相平行，并说明理由，
19．如图，给出下列条件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③EF∥CD，且∠D＝∠4；④∠3+∠5＝180°．其中，能推出AD∥BC的条件为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
20．小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝　 　，则三角尺BCE有一条边与斜边AD平行（写出所有可能）．
21．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2﹣∠1；⑤∠ACB＝∠1+∠3；能判断直线m∥n的有 　 　．（填序号）
22．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）填空：∠1＝　 　°，∠2＝　 　°；
（2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值；
（3）如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至第一次与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t（s）．在旋转过程中，是否存在BM∥QN；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
23．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（AB∥CD）两旁安置了两盏可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从EB开始顺时针旋转至EA便立即回转，灯F射线从FC开始顺时针旋转至FD便立即回转，两灯不停旋转照射，当两条光束相交时，记交点为G．
【猜想验证】（1）如图，转至某刻，∠G＝60°，∠AEG＝25°，则∠CFG为多少度？请说明理由；
【应用迁移】（2）灯E、灯F转动的速度分别是每秒2°、每秒4°．若两灯同时开始转动，则在灯E射线第一次到达EA之前，灯F转动几秒时，∠EGF＝90°？请画图分析并计算．
答案与解析
1．如图，若∠1＝∠2，则下列结论正确的是（　　）
A．AC∥BD B．AC∥EF C．EF∥BD D．AB∥CD
【点拨】由内错角相等，两直线平行，即可判断．
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴AC∥BD，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行．
2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（　　）
A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180°
【点拨】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解析】解：∵∠2＝∠5，
∴a∥b，
∵∠4＝∠5，
∴a∥b，
∵∠1+∠5＝180°，
∴a∥b，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．如图，直线a、b被直线c所截，∠2＝36°，下列条件中可以判定a∥b的是（　　）
A．∠1＝36° B．∠1＝54° C．∠1＝72° D．∠1＝144°
【点拨】先标注∠3，根据同位角相等，两直线平行判断即可．
【解析】解：直线a、b被直线c所截，∠2＝36°，如图，
∴∠2＝∠3＝36°，
∴∠1＝∠3＝36°，
∴a∥b．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．
4．下列条件中，能判断AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠1+∠4＝180° D．∠3+∠4＝180°
【点拨】根据各选项中角的关系及平行线的判定定理，分别分析判断AD、BC是否平行即可．
【解析】解：A、∠1＝∠3，不能判定AD∥BC，不符合题意，
B、∠2＝∠4，不能判定AD∥BC，不符合题意，
C、∵∠1+∠4＝180°，∴AB∥CD，不能判定AD∥BC，不符合题意，
D、∵∠3+∠4＝180°，∴AD∥BC，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
5．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解析】解：A、∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
故A不符合题意；
B、由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD，
故B不符合题意；
C、如图，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD，
故C符合题意；
D、由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6．如图，下列条件能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠5 B．∠1＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠2
【点拨】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解析】解：A、∠1＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，可以判定AB∥CD；
B、∠1和∠4不是直线AB、CD构成的同位角，不能判定AB∥CD；
C、∵∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”可以判定EFGH，不能判定AB∥CD；
D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD；
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
7．如图，下列选项中，不能判定l1∥l2的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠5 C．∠2＝∠3 D．∠3+∠4＝180°
【点拨】根据同位角相等，两直线平行可判断A，根据内错角相等，两直线平行可判断C，根据同旁内角互补，两直线平行可判断B、D，从而可得答案．
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴l1∥l2，故A不符合题意；
∵∠2＝∠3，
∴l1∥l2，故C不符合题意；
∵∠3+∠4＝180°
∴l1∥l2，故D不符合题意；
∵∠2＝∠5，且∠2，∠5是同旁内角，
∴不能判定l1∥l2，故B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解本题的关键．
8．如图，不能判断l1∥l2的条件是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5 C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180°
【点拨】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解析】解：A、∵∠1＝∠3，
∴l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∵∠4＝∠5，
∴l1∥l2，故此选项不合题意；
C、∠2＝∠3，无法得出l1∥l2，故此选项符合题意；
D、∵∠2+∠4＝180°，
∴l1∥l2，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
9．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a 　∥　c．
【点拨】由垂直的定义得到∠1＝∠2＝90°，由同位角相等，两直线平行推出a∥c．
【解析】解：如图，a⊥b，b⊥c，
∴∠1＝∠2＝90°，
∴a∥c．
故答案为：∥．
【点睛】本题考查平行线的判定，垂线，关键是由垂直的定义得到∠1＝∠2＝90°．
10．如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是 　内错角相等，两直线平行　．
【点拨】直接根据平行线的判定定理解答即可．
【解析】解：若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是内错角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键．
11．如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 　70　°时，木条a与b平行．
【点拨】由同位角相等，两直线平行，即可求解．
【解析】解：当∠2＝70°时，a∥b，
∵∠3＝∠2＝70°，∠1＝70°，
∴∠3＝∠1，
∴a∥b，
故答案为：70．
【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
12．完成下面的证明：
已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（　角平分线的定义　）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝　2∠2　（角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（　等式的性质　）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝　180°　（　等量代换　）．
∴AB∥CD（　同旁内角互补两直线平行　）．
【点拨】首先根据角平分线的定义可得∠BDC＝2∠1，∠ABD＝2∠2，根据等量代换可得∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2），进而得到∠ABD+∠BDC＝180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【解析】证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（ 角平分线的定义）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠2（角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 等式的性质）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 等量代换）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
13．如图，∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°．
（1）若∠2＝125°，求∠C的度数；
（2）若∠1和∠D互余，你能试着判断AB∥CD吗？
【点拨】（1）根据平行线的判定得出CF∥EB，再根据平行线的性质得出∠C+∠2＝180°，据此计算即可得出答案；
（2）先根据∠1＝∠B，余角的性质得出∠BFD＝∠D，推出∠BFD＝∠D，即可证明结论．
【解析】（1）解：∵∠1＝∠B，
∴CF∥EB，
∴∠C+∠2＝180°，
又∵∠2＝125°，
∴∠C＝55°；
（2）证明：∵∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°，
∴∠1+∠BFD＝90°，
又∵∠1和∠D互余，即∠1+∠D＝90°，
∴∠BFD＝∠D，
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
14．如图，能判断AB∥EF的条件是（　　）
A．∠ADE＝∠C B．∠ADE＝∠DEF C．∠ADE＝∠B D．∠ADE＝∠EFC
【点拨】由平行线的判定方法，即可判断．
【解析】解：A、D，相等的角不是同位角，也不是内错角，因此不能判断AB∥EF，故A、D不符合题意；
B、∠ADE＝∠DEF，能判定AB∥FE，故B符合题意；
C、∠ADE＝∠B，能判定DE∥BC，故 C不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
15．已知：如图，要得到AB∥CD，则需要的条件　∠EAD＝∠ADC（答案不唯一）　（填一个你认为正确的条件即可）
【点拨】根据平行线的判定方法解答即可．
【解析】解：添加∠EAD＝∠ADC，利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD；
故答案为：∠EAD＝∠ADC（答案不唯一）．
【点睛】考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．本题属于开放性试题，答案不唯一．
16．如图，一个弯形管道的拐角∠ABC＝120°，若工人师傅准备在点C处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分CD与AB平行，则加工后拐角∠BCD的度数是 　60或120　度．
【点拨】过点D作CD′∥AB，由平行线的性质即可得出结论．
【解析】解：过点D作CD′∥AB，
如图1，
∵∠ABC＝120°，CD′∥AB，
∴∠BCD′＝180°﹣120°＝60°；
如图2，
∵∠ABC＝120°，CD′∥AB，
∴∠BCD′＝′ABC＝120°，
综上所述，加工后拐角∠BCD的度数是60°或120°．
故答案为：60或120．
【点睛】本题考平行查的是线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
17．如图所示，EF⊥BC于点F，DM⊥BC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C．求证：AB∥MN．
【点拨】由垂直的性质得到EF∥DM，进而可证∠1＝∠CDM，根据平行线的判定得到CD∥MN，再由∠3＝∠C，可证AB∥CD，然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN．
【解析】证明：∵EF⊥BC，DM⊥BC（已知），
∴∠EFC＝∠DMC＝90°（垂直定义），
∴EF∥DM（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠CDM（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠CDM（等量代换），
∴CD∥MN（内错角相等，两直线平行），
∵∠3＝∠C（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴AB∥MN（平行于同一直线的两直线互相平行）．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，关键是平行线性质定理的熟练应用．
18．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，并且∠1＝∠2．说出图中哪些直线互相平行，并说明理由，
【点拨】依据PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，即可得到∠GPQ＝∠1＝∠BPQ，∠HQP＝∠2＝∠CQP，依据∠1＝∠2，可得∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP，进而得出QH∥PG，AB∥CD．
【解析】解：AB∥CD，QH∥PG．
理由：∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，
∴∠GPQ＝∠1＝∠BPQ，∠HQP＝∠2＝∠CQP，
∵∠1＝∠2，
∴∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP，
∴QH∥PG，AB∥CD．
【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，解决问题的关键是运用：内错角相等，两直线平行．
19．如图，给出下列条件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③EF∥CD，且∠D＝∠4；④∠3+∠5＝180°．其中，能推出AD∥BC的条件为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【点拨】根据平行线的判定方法结合题目所给的条件进行推理即可．
【解析】解：①∠3＝∠4可以根据同位角相等，两直线平行判定AD∥BC，故此选项正确；
②∠1＝∠2可以根据内错角相等，两直线平行判定AB∥DC，故此选项错误，
③因为EF∥CD得∠1＝∠2又因为∠D＝∠4，根据三角形内角和是180°得∠DAC＝∠BCA得AD∥BC，
故此选项正确；
④∠3+∠5＝180°，可得到∠5＝∠DAB，再根据同位角相等，两直线平行判定AD∥BC，故此选项正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握：
（1）定理1：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
20．小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝　15°或60°　，则三角尺BCE有一条边与斜边AD平行（写出所有可能）．
【点拨】根据题意，画出图形，当∠ACE为15°或60°，分别利用同位角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行，得到BE∥AD，BC∥AD．
【解析】解：（1）图1，当∠ACE＝15°时，BE∥AD，理由如下：
∵∠ACE＝15°，
∴∠FCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣15°＝75°，
∵∠E＝45°，
∴∠EFC＝180°﹣∠FCE﹣∠E＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵∠D＝60°，
∴BE∥AD；
（2）图2，当∠ACE＝60°时，BC∥AD，理由如下：
∵∠ACE＝60°，∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝150°，
∵∠A＝30°，
∴∠ACB+∠A＝180°，
∴BC∥AD，
故答案为：15°或60°．
【点睛】本题考查了平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
21．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2﹣∠1；⑤∠ACB＝∠1+∠3；能判断直线m∥n的有 　③④⑤　．（填序号）
【点拨】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【解析】解：∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故①不符合题意；
∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠1＝25°，∠2＝55°，∠ABC＝30°，
∴∠ABC+∠1＝55°＝55°＝∠2，
∴m∥n，故③符合题意；
∵∠ABC＝∠2﹣∠1，
∴∠2＝∠ABC+∠1，
∴m∥n，故④符合题意；
过点C作CE∥m，
∴∠3＝∠4，
∵∠ACB＝∠1+∠3，∠ACB＝∠4+∠5，
∴∠1＝∠5，
∴EC∥n，
∴m∥n，故⑤符合题意；
故答案为：③④⑤．
【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）填空：∠1＝　120　°，∠2＝　90　°；
（2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值；
（3）如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至第一次与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t（s）．在旋转过程中，是否存在BM∥QN；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）根据∠2恰好是∠1的倍列方程，计算可求解；
（3）分两种情况，根据∠AQN＝∠ABM画出图形，列方程可解得答案．
【解析】解：（1）∵DG∥EF，
∴∠AQG＝∠ABC＝60°，∠2＝∠ACF＝90°，
∴∠1＝180°﹣60°＝120°；
故答案为：120，90；
（2）∵∠2恰好是∠1的倍，
∴90+n＝，
解得n＝36，
∴n的值是36；
（3）存在BM∥NQ，理由如下：
如图：则∠FBM＝（2t）°，∠AQN＝（3t）°，
∵BM∥NQ，
∴∠AQN＝∠ABM＝∠ABF﹣∠FBM，
∴3t＝60﹣2t，
解得t＝12；
如图：
∵BM∥NQ，
∴∠ABM＝∠BQN，
∴2t﹣60＝180﹣3t，
解得t＝48，
综上所述，t的值为12或48．
【点睛】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用．
23．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（AB∥CD）两旁安置了两盏可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从EB开始顺时针旋转至EA便立即回转，灯F射线从FC开始顺时针旋转至FD便立即回转，两灯不停旋转照射，当两条光束相交时，记交点为G．
【猜想验证】（1）如图，转至某刻，∠G＝60°，∠AEG＝25°，则∠CFG为多少度？请说明理由；
【应用迁移】（2）灯E、灯F转动的速度分别是每秒2°、每秒4°．若两灯同时开始转动，则在灯E射线第一次到达EA之前，灯F转动几秒时，∠EGF＝90°？请画图分析并计算．
【点拨】（1）如图，过G作GM∥AB，由铅笔型计算即可；
（2）分两种情况讨论：当G在EF右边时，当G在EF左边时，再根据铅笔型计算即可．
【解析】解：（1）∠CFG＝35°．
理由：如图，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，GH∥AB，
∴GH∥CD，
∴∠AEG＝∠EGH，∠CFG＝∠FGH，
∵∠EGH+∠FGH＝∠EGF，
∴∠AEG+∠CFG＝∠EGF，
∵∠EGF＝60°，∠AEG＝25°，
∴∠CFG＝60°﹣25°＝35°．
（2）设灯F转动t秒时，∠EGF＝90°，
∵灯E转动的速度是每秒2°，
∴∠BEG＝（2t）°，
∴∠AEG＝（180﹣2t）°，
∵当灯E射线第一次到达EA时，t＝180÷2＝90（秒），
∴0 t 90，
①如图所示，当点G在EF右边时，
∵灯F转动的速度是每秒4°，
∴∠CFG＝（4t）°，∠DFG＝（180﹣4t）°，
∴∠EGF＝∠BEG+∠DFG＝90°，
∴2t+180﹣4t＝90，
解得t＝45，符合题意，
∴灯F转动45秒时，∠EGF＝90°．
②如图所示，当点G在EF左边时，
即当灯F射线旋转180°后返回时，
则∠CFG＝（360﹣4t）°，∠AEG＝（180﹣2t）°，
根据题意得360﹣4t+180﹣2t＝90，
∴﹣6t＝90﹣360﹣180，
∴t＝75．
∴灯F转动45秒和75秒时，∠EGF＝90°．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、平行线的判定，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
基础过关
能力提升
培优拔尖
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