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1.1直线的相交 课堂同步基础达标卷
一、选择题
1．两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件是（ ）
A．两对对顶角分别相等 B．有一对对顶角互补
C．有一对邻补角相等 D．有三个角相等
2．如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ）
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
3．下列语句叙述正确的有（ ）
①如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角；②如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；③连接两点的线段长度叫做两点间的距离；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图，直线AB交CD于O，OE⊥AB，且∠DOE=50°，则∠AOC等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
5．平面直角坐标系中，点，是轴上的一动点，则，两点间的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若β=44°，则a为（ ）
A．44° B．45° C．46° D．56°
7．如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
8．如图，直线a，b相交于点O，OE⊥a于点O，OF⊥b于点O，若∠1=40°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠2=∠3=50° B．∠2=∠3=40°
C．∠2=40°，∠3=50° D．∠2=50°，3=40°
9．下列语句正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．不是对顶角的角都不相等.
C．不相等的角一定不是对顶角
D．有公共点且和为180°的两个角是对顶角.
10．平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（ ）.
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题
11．如图，直线相交于点O，已知，把分成两部分，且，则 ．
12．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，垂足分别为B，A，则A点到直线l1的距离是线段 的长度．
13．已知，且，则的度数是 ．
14．已知A 、O、B 三点共线，∠BOC=35°，作 OD⊥OC，则∠DOB= .
15．如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．将三角尺OCD绕点O按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
16．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为 .
三、综合题
17．某中学在创建绿色和谐校园活动中要在一块三角形花圃里种植两种不同的花草，同时拟从A点修建一条花间小径到边BC。
（1）若要使修建小路所使用的材料最少，请在图中画出小路AD，你的理由是 。
（2）将如图方格中的图形向右平移4格，再向上平移2格，在方格中画出平移后的图形．
18．如图，直线AB、CD交于点O，
（1）若∠AOC=90°，则AB CD．
（2）若AB⊥CD，则∠AOC= = = = 度．
19．如图，直线相交于点，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
20．如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°．
（1）线段 的长度表示点M到NE的距离；
（2）比较MN与MO的大小（用“<”号连接）： ，并说明理由： ；
（3）求∠AON的度数．
21．如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
22．如图，OA⊥OC，OB⊥OD．
（1）∠AOD与∠BOC相等吗？为什么？
（2）已知∠AOB＝140°，求∠COD的度数．
23．已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB.
（1）如图1，OP为∠AOD内的一条射线，若∠1＝∠2，求证：OP⊥CD；
（2）如图2，若∠BOC＝2∠AOC，求∠COE的度数；
（3）如图3.在（2）的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，若射线OM平分∠BOD，请直接写出图中与2∠EOF度数相等的角.
24．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…
（1）10条直线交于一点，对顶角有多少对？
（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有多少对？
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1.1直线的相交 课堂同步基础达标卷
一、选择题
1．两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件是（ ）
A．两对对顶角分别相等 B．有一对对顶角互补
C．有一对邻补角相等 D．有三个角相等
【答案】A
【解析】【解答】由B，C，D都能得到一个90°的角，所以能判定这两条直线垂直，只有A不能得到一个角为90°，所以不能判断两直线垂直．
故答案为：A
【分析】两直线相交所成的四个角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直，根据定义判断即可．
2．如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ）
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】C
【解析】【解答】体育课上测量跳远成绩是：落地时脚跟所在点到起跳线的距离，依据的是垂线段最短
故答案为：C．
【分析】这道题是数学知识的应用，由实际出发，可知测量跳远成绩的依据是垂线段最短.
3．下列语句叙述正确的有（ ）
①如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角；②如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；③连接两点的线段长度叫做两点间的距离；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】【解答】解：① 如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角，错误；
② 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误；
③ 连接两点的线段长度叫做两点间的距离，正确；
④ 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离，错误；
综上所述：正确的有1个.
故答案为：B.
【分析】对顶角定义：有一个共同的顶点且一边是另一边的反向延长线，由此可知①和②均错误；
两点间的距离： 连接两点的线段长度 ，由此可知③正确；
点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，由此可知④错误.
4．如图，直线AB交CD于O，OE⊥AB，且∠DOE=50°，则∠AOC等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【解析】【解答】∵OE⊥AB，且∠DOE=50°，
∴∠BOD=40°，
∵∠AOC与∠BOD为对顶角，
∴∠AOC=40°，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出∠BOD=40°，再根据对顶角计算求解即可。
5．平面直角坐标系中，点，是轴上的一动点，则，两点间的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点，B是x轴上的一动点，
∴当AB⊥x轴时，A，B两点间的距离的最小，即点A到x轴的距离5.
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短的性质可得：当AB⊥x轴时，A，B两点间的距离的最小，据此解答.
6．如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若β=44°，则a为（ ）
A．44° B．45° C．46° D．56°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵OM⊥l1，
∴=90°，
∵=44°，
∴=90°-44°=46°.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义和平角的定义得出=90°，得出=90°-，再进行计算，即可得出答案.
7．如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】A
【解析】【解答】解：由对顶角相等，得
∠1=∠2，又∠1+∠2=80°，
∴∠1=40°．
故答案为：A．
【分析】根据对顶角的性质可得答案。
8．如图，直线a，b相交于点O，OE⊥a于点O，OF⊥b于点O，若∠1=40°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠2=∠3=50° B．∠2=∠3=40°
C．∠2=40°，∠3=50° D．∠2=50°，3=40°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：∵∠1=40°，OE⊥a于点O，
∴∠3=50°，
又∵OF⊥b于点O，
∴∠2=40°．
故选：C．
【分析】直接利用垂直定义以及结合互余的定义得出答案．
9．下列语句正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．不是对顶角的角都不相等.
C．不相等的角一定不是对顶角
D．有公共点且和为180°的两个角是对顶角.
【答案】C
【解析】【解答】有公共端点且两条边互为反向延长线的两个角为对顶角．由此可以推导出：对顶角一定相等，不相等的角一定不是对顶角．但是，有些相等的角，并不是对顶角，所以选项A和B错误；对顶角相等，但并不一定互补，所以选项D错误；所以选C．
【分析】掌握对顶角和性质解答本题的关键．本题考查对顶角的性质．
10．平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（ ）.
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【解析】【解答】每两条直线相交构成2对对顶角，三条直线两两相交构成 对对顶角，故选B．
【分析】能够运用所学知识加以拓展，从而判断不同情况下对顶角的对数．
二、填空题
11．如图，直线相交于点O，已知，把分成两部分，且，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】 已知 ，根据对顶角相等可知，再由即，求出的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于即可求出的度数．本题考查了角的概念、对顶角、邻补角，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于求解是解题的关键．
12．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，垂足分别为B，A，则A点到直线l1的距离是线段 的长度．
【答案】AB
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的定义，易得A点到直线l1的距离是线段AB的长度．
故答案为：AB．
【分析】根据点到直线的定义，结合图形求解即可。
13．已知，且，则的度数是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
当在内部时，则有：，
当在外部时，则有：，
故答案为：或．
【分析】本题考查了垂直定义，以及几何图形中角度计算，由，得到，根据题意，分在内部时和在外部，两种情况分类讨论，结合和，进行求解，即可得到答案.
14．已知A 、O、B 三点共线，∠BOC=35°，作 OD⊥OC，则∠DOB= .
【答案】125°或55°
【解析】【解答】解：如图1，
∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∵∠BOC=35°，
∴∠DOB=90°+35°=125°；
如图2，
∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∵∠BOC=35°，
∴∠DOB=90°-35°=55°；
综上可知，∠DOB=125°或55°.
故答案为：125°或55°.
【分析】分两种情况：当OD在AB上方时或OD在AB下方，利用角的和差分别求解即可.
15．如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．将三角尺OCD绕点O按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
【答案】5.5或11.5
【解析】【解答】解：如图，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠CON=∠NGC﹣∠OCD=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为180°﹣∠CON=180°﹣15°=165°，
t=165°÷30°=5.5秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD﹣∠C=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为360°﹣∠AOC=360°﹣15°=345°，
t=345°÷30°=11.5秒，
综上所述，第5.5或11.5秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
故答案为：5.5或11.5．
【分析】分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CON，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋转角，计算即可得解．
16．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为 .
【答案】55°
【解析】【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM＝35°，
∴
∵ON⊥OM，∴
∴
故答案为：
【分析】根据角平分线的定义可以求得∠COM，根据余角的定义即可求得∠CON。
三、综合题
17．某中学在创建绿色和谐校园活动中要在一块三角形花圃里种植两种不同的花草，同时拟从A点修建一条花间小径到边BC。
（1）若要使修建小路所使用的材料最少，请在图中画出小路AD，你的理由是 。
（2）将如图方格中的图形向右平移4格，再向上平移2格，在方格中画出平移后的图形．
【答案】（1）垂线段最短
（2）解：
【解析】【解答】（1）解：垂线段最短
如下图所示：过点A作AD⊥BC于D，由点到直线的线段中垂线段的距离最短可知小路AD是所用材料最少的。
【分析】点到直线距离中垂线段最短，作AD⊥BC于D即可；按照题意平移图形即可.
18．如图，直线AB、CD交于点O，
（1）若∠AOC=90°，则AB CD．
（2）若AB⊥CD，则∠AOC= = = = 度．
【答案】（1）⊥
（2）∠COB；∠BOD；∠AOD；90
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=90°，
∴AB⊥CD；
2）∵AB⊥CD，
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°，
故答案为：⊥；∠COB；∠BOD；∠AOD；90．
【分析】（1）根据垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直可直接得到AB⊥CD；（2）根据垂直的定义可得∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°．
19．如图，直线相交于点，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，
，
，
，
的度数为；
（2）解：，
，
，
，
，
的度数为．
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义即可得到，进而根据题意即可求解；
（2）根据题意即可求出，进而根据“”即可求解。
20．如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°．
（1）线段 的长度表示点M到NE的距离；
（2）比较MN与MO的大小（用“<”号连接）： ，并说明理由： ；
（3）求∠AON的度数．
【答案】（1）MO
（2）；垂线段最短
（3）解：∵∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝25°，
∴∠AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON＝180°﹣25°﹣90°＝65°．
【解析】【解答】解：（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离；
故答案为：MO；
（2）比较MN与MO的大小为：MO＜MN，是因为垂线段最短；
故答案为： MO＜MN；垂线段最短．
【分析】（1）根据点到直线的距离的定义进行解答即可；
（2）根据垂线段最短进行解答即可；
（3） 利用对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝50° ，根据角平分线的定义得出∠BOM＝∠BOD=25°，利用AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON即可求出结论.
21．如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示
沿AB走，两点之间线段最短
（2）解：沿AC走，垂线段最短
（3）解：沿BD走，垂线段最短
【解析】【分析】（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
22．如图，OA⊥OC，OB⊥OD．
（1）∠AOD与∠BOC相等吗？为什么？
（2）已知∠AOB＝140°，求∠COD的度数．
【答案】（1）解：相等，理由如下：
∵AO⊥CO，DO⊥BO
∴∠AOC=∠BOD=90°
∴∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC
∴∠AOD=∠BOC
（2）解：∵∠AOB＝140°，∠BOD=90°
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=50°
∵∠AOC＝90°
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=40°
答：∠COD的度数为40°
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义，可知∠AOC=∠BOD，再利用同角的余角相等，可证得结论。
（2）此题解法不止一种，根据∠AOD=∠AOB-∠BOD，可求出∠AOD的度数，再利用∠COD=∠AOC-∠AOD，从而可求出∠COD的度数；或根据∠COD=∠AOC+∠BOD-∠AOB，即可求解。
23．已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB.
（1）如图1，OP为∠AOD内的一条射线，若∠1＝∠2，求证：OP⊥CD；
（2）如图2，若∠BOC＝2∠AOC，求∠COE的度数；
（3）如图3.在（2）的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，若射线OM平分∠BOD，请直接写出图中与2∠EOF度数相等的角.
【答案】（1）解：∵OE⊥AB
∴∠AOC+∠1=
∵∠1＝∠2
∴∠AOC+∠2=
∴OP⊥CD
（2）解：∵∠AOC+∠BOC= ，且∠BOC＝2∠AOC
∴∠AOC=
∵OE⊥AB
∴∠AOE=
∴∠COE= - =
（3）∠AOD、∠BOC、∠FON、∠EOM
【解析】【解答】解：（3）由（2）知：∠AOC=
∵射线OM平分∠BOD
∴∠BOM=∠DOM=∠AON=∠CON=
∵OE⊥AB，OC⊥OF
∴∠AOE=∠COF=
∴∠AOC=∠EOF=
∴∠AOD=∠BOC=∠FON=∠EOM= =2∠EOF
∴与2∠EOF度数相等的角是：∠AOD、∠BOC、∠FON、∠EOM.
【分析】（1）直接根据等量代换即可证明.（2）先根据平角的定义可得∠AOC= ，再利用垂直的定义可得∠AOE= ，从而得出结论.（3）根据（2）中∠AOC= ，分别计算各角的度数，得其中∠EOF= ，根据各角的度数可得结论.
24．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…
（1）10条直线交于一点，对顶角有多少对？
（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有多少对？
【答案】（1）解：如图①两条直线交于一点，图中共有 =2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有 =6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有 =12对对顶角；
…；
按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有： =90，
故答案为：90
（2）解：由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有： =n（n﹣1）．
故答案为：n（n﹣1）．
【解析】【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论；（2）利用（1）中规律得出答案即可．
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