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1.3平行线 核心知识测评卷
一、选择题
1．下列四边形中，AB不平行于CD的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法：①在同一平面内，过一点能作已知直线的一条垂线；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；④两条直线被第三条直线所截，内错角相等.其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵， ，
∴
B．∵，，
∴
C．∵，，
∴
D．∵，，
∴
4．下列说法错误的个数是（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
7．如图，笔直的公路一旁是电线杆，若其余电线杆都与电线杆①平行，则判断其余电线杆两两平行的根据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
8．如图，过点A画直线L的平行线，能画（ ）
A．两条以上 B．2条 C．1条 D．0条
9．如图，已知直线，被直线所截，下列结论正确的有( )
；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
10．过一点画已知直线的平行线，则( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．不存在或只有一条
二、填空题
11．a，b，c为同一平面内三条不同的直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是 .
12．如图，把网格图中的平行线用符号表示出来：
13．在同一平面内，三条互不重合的直线 a 、 b 、 ，若 a ⊥ b ， a ⊥ ，则 .
14．在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有 个交点．
15．如图， 观察长方体 ， 用符号“∥”或“ ”填空：
（1） ．
（2） EH．
（3） ．
（4） ．
16．如图所示的长方体中，平行于AB的棱有 条，垂直于AB的棱有 条．
三、综合题
17．在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，如图是在书写字母“M"．
（1）请从正面、上面、右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来；
（2）EF与A'B'有何位置关系，CC'与DH有何位置关系？
18．如图所示，在长方体中：
（1）图中和AB平行的线段有哪些？
（2）图中和AB垂直的直线有哪些？
19．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．
（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；
（2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；
（3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？
（4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？
20．设a，b，c为平面内三条不同直线：
（1）若a∥b，c⊥a，则b与c的位置关系是 ；
（2）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是 ．
21．如图，为线段外一点．
（1）求作直线，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据作图，说明你画的直线符合要求的原因．
22．任选一题作答，只计一题的成绩：
（1）如图，在 的正方形网格中，点 ， ， ， ， ， 都在格点上.连接点 ， 得线段 .
Ⅰ.画出过 ， ， ， 中的任意两点的直线；
Ⅱ.互相平行的直线（线段）有▲ ；（请用“ ”表示）
Ⅲ.互相垂直的直线（线段）有▲ .（请用“ ”表示）
（2）如图，直线 和 相交于 ， ， 是 的角平分线， ，求 的度数.
其中一种解题过程如下，请在括号中注明根据，在横线上补全步骤.
解：
▲
▲
是 的角平分线
▲ ▲
▲
▲
▲
▲ ▲
23．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，P是AB的中点，过P点作AD的平行线交DC于Q点．
（1）PQ与BC平行吗？为什么？
（2）测DQ与CQ的长，DQ与CQ是否相等？
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度。
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为 ．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系 .（直接写出结果）
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1.3平行线 核心知识测评卷
一、选择题
1．下列四边形中，AB不平行于CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】因为A、B、C都是特殊的四边形，正确；故选D．
【分析】A是平行四边形，B是梯形，C是正方形．D是一般的四边形，AB不平行于CD的只有D．
2．下列说法：①在同一平面内，过一点能作已知直线的一条垂线；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；④两条直线被第三条直线所截，内错角相等.其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：①平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，说法正确；
②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原说法中没有指明在已知直线外，说法错误；
③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，说法正确；
④两条平行的直线被第三条直线所截，内错角相等.故说法错误，
正确的有2个，
故答案为：B.
【分析】根据平行公理的推论、点到直线的距离定义、垂线的性质，即可解答.
3．若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵， ，
∴
B．∵，，
∴
C．∵，，
∴
D．∵，，
∴
【答案】C
【解析】【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是，而非，故错误；
B、c、d与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误；
C、b、c都和a平行，可推出是，故正确；
D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据平行公理及推论进行判断.
4．下列说法错误的个数是（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①经过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①不符合题意；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②不符合题意；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③不符合题意；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平行公理及其推理、点到直线的距离即可判断出结果．
5．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
【答案】A
【解析】【解答】A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．B、C、D是公理，正确．故选A．
【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【解析】【解答】A．垂线段最短是真命题；
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是真命题；
C．两点确定一条直线是真命题；
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题．
故答案为：D．
【分析】分别根据线段的性质，垂线的性质，直线及平行逐一分析判断，得到假命题即可.
7．如图，笔直的公路一旁是电线杆，若其余电线杆都与电线杆①平行，则判断其余电线杆两两平行的根据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【解析】【解答】因为其余电线杆都与电线杆①平行，故其余电杆全都平行于同一直线，故可判断其根据为：平行于同一条直线的两条直线平行.
故答案为：D
【分析】因为其余电线杆都与电线杆①平行，故其余电杆全都平行于同一直线，故可判断其根据.
8．如图，过点A画直线L的平行线，能画（ ）
A．两条以上 B．2条 C．1条 D．0条
【答案】C
【解析】【解答】解：因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
所以如图，过点A画直线L的平行线，能画1条．
故选：C．
【分析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
9．如图，已知直线，被直线所截，下列结论正确的有( )
；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】【解答】解：∵对顶角相等，
∴∠1=∠2，①正确；
∵直线a、b被直线c所截，而a与b不平行，
∴②③④错误；
∴正确的个数为1个，
故答案为：A
【分析】根据对顶角相等结合题意即可判断。
10．过一点画已知直线的平行线，则( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．不存在或只有一条
【答案】D
【解析】【解答】这一点与直线的位置关系不明确，因此可能在直线上或在直线外，故答案为：D。
【分析】平行公理的条件要记牢：过直线外一点。当这一点在直线上时，不能做平行线。
二、填空题
11．a，b，c为同一平面内三条不同的直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是 .
【答案】a∥c
【解析】【解答】解：∵a，b，c为同一平面内三条不同的直线， a⊥b，c⊥b，
∴a∥c.（根据平行公理的推论：在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.）
故答案为：a∥c.
【分析】根据平行公理的推论：在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行即可得出结论.
12．如图，把网格图中的平行线用符号表示出来：
【答案】
【解析】【解答】解：如图可得
故答案为.
【分析】根据平行的定义：在同一平面内永不相交的两条直线，即可得到答案.
13．在同一平面内，三条互不重合的直线 a 、 b 、 ，若 a ⊥ b ， a ⊥ ，则 .
【答案】 ∥
【解析】【解答】解：∵a⊥b，a⊥c
∴b∥c
【分析】垂直于同一直线的两条直线平行，即可得到答案。
14．在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有 个交点．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵在同一平面内有三条直线，如果其中有两条且只有两条相互平行，
∴第三条直线与另两平行直线相交，
∴它们共有2个交点．
故答案为2．
【分析】根据同一平面内直线的位置关系得到第三条直线与另两平行直线相交，再根据直线平行和直线相交的定义即可得到交点的个数．
15．如图， 观察长方体 ， 用符号“∥”或“ ”填空：
（1） ．
（2） EH．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）∥
（2）∥
（3）∥
（4）⊥
【解析】【解答】解：由长方形的特点和平行、垂直的定义可得AB∥EF，BC∥EH，BF∥CG，BC⊥CD
故答案为：∥；∥；∥；⊥.
【分析】根据长方形的特征和平行、垂直的定义逐一判断即可.
16．如图所示的长方体中，平行于AB的棱有 条，垂直于AB的棱有 条．
【答案】3；8
【解析】【解答】解：平行于AB的棱有：A1B1，CD，C1D1，共3条；
垂直于AB的棱有：AA1，AD．A1D1，DD1，BB1，BC，B1C1，CC1，共8条．
故答案为：3，8．
【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．结合长方体直接判断即可．
三、综合题
17．在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，如图是在书写字母“M"．
（1）请从正面、上面、右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来；
（2）EF与A'B'有何位置关系，CC'与DH有何位置关系？
【答案】（1）解：正面：AB∥EF． 上面：A'B'∥AB．右侧：DD'∥HR． (答案不唯一)
（2）解：EF∥A'B'，CC'⊥DH
【解析】【分析】（1）观察图形，利用长方形和长方体的性质，分别写出正面、上面、右侧三个不同方向上各找出一组平行线段.
（2）观察图形可知EF与A'B'，CC'与DH的位置关系.
18．如图所示，在长方体中：
（1）图中和AB平行的线段有哪些？
（2）图中和AB垂直的直线有哪些？
【答案】（1）解：AB∥A1B1∥C1D1∥CD，即和AB平行的线段有A1B1、C1D1、CD．
（2）解：AB⊥BB1，AB⊥BC，AB⊥AA1，AB⊥AD，AB⊥C1C，AB⊥B1C1，AB⊥A1D1，AB⊥D1D，
即和AB垂直的直线有BB1、BC、AA1、AD、C1C、B1C1、A1D1、D1D．
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定结合图形得出AB∥A1B1∥C1D1∥CD，即可得出答案；
（2）根据垂直定义和平行线性质结合图形推出AB⊥BB1，AB⊥BC，AB⊥AA1，AB⊥AD，AB⊥C1C，AB⊥B1C1，AB⊥A1D1，AB⊥D1D，即可得出答案．
19．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．
（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；
（2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；
（3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？
（4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？
【答案】（1）解：如图1所示；交点共有6个，
（2）解：如图2，3．
（3）解：当n=6时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4，
当n=21时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5，
当n=15时，如图6，
（4）解：当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：
①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这是交点最少，
②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多，
③设交点个数为n，则0≤n≤21，
【解析】【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出．
从画出的图形中归纳规律即可得到答案．
20．设a，b，c为平面内三条不同直线：
（1）若a∥b，c⊥a，则b与c的位置关系是 ；
（2）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是 ．
【答案】（1）c⊥b
（2）a∥c
【解析】【解答】(1)∵a∥b，c⊥a，∴c⊥b;(2) ∵a∥b，b∥c，∴a∥c。
【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出c⊥b ；
（2）根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出a∥c 。
21．如图，为线段外一点．
（1）求作直线，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据作图，说明你画的直线符合要求的原因．
【答案】（1）解：先过点B作射线BE，且BE过点C，然后作，
如图，直线即为所求的平行线；
（2）解：由作图可知，，
所以，
所以所画直线符合要求．
【解析】【分析】 （1）根据平行线的判定定理：先过点B作射线BE，且BE过点C，然后作
即可；
（2）根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行可得。
22．任选一题作答，只计一题的成绩：
（1）如图，在 的正方形网格中，点 ， ， ， ， ， 都在格点上.连接点 ， 得线段 .
Ⅰ.画出过 ， ， ， 中的任意两点的直线；
Ⅱ.互相平行的直线（线段）有▲ ；（请用“ ”表示）
Ⅲ.互相垂直的直线（线段）有▲ .（请用“ ”表示）
（2）如图，直线 和 相交于 ， ， 是 的角平分线， ，求 的度数.
其中一种解题过程如下，请在括号中注明根据，在横线上补全步骤.
解：
▲
▲
是 的角平分线
▲ ▲
▲
▲
▲
▲ ▲
【答案】（1）解：Ⅰ.如图，
Ⅱ.AB∥DE
Ⅲ.CD⊥CF，DF⊥DE，DF⊥AB
（2）解：
已知
∴ ；
是 的角平分线
∴ ；角平分线定义
∴ ；
∵ ；
平角定义
∴ ；同角的余角相等；
【解析】【分析】（1）Ⅰ、根据直线的概念及两点确定一条直线即可画出图形；
Ⅱ、Ⅲ，根据平行与垂直的概念进行解答即可；
（2）由垂直的概念可得∠EOF的度数，然后根据角平分线的概念可得∠AOF的度数，进而根据角的和差求出∠AOC的度数，然后根据同角的余角相等进行解答即可.
23．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，P是AB的中点，过P点作AD的平行线交DC于Q点．
（1）PQ与BC平行吗？为什么？
（2）测DQ与CQ的长，DQ与CQ是否相等？
【答案】（1）平行．
∵PQ∥AD，AD∥BC，
∴PQ∥BC．
（2）DQ=CQ．
【解析】【分析】第（2）问考查了学生的准确作图能力和观察分析能力。虽然不能运用当前所学知识解决，但只要准确作图，通过观察可以解决.
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度。
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为 ．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系 .（直接写出结果）
【答案】（1）100°
（2）解：∠APC=α+β，
理由是：如下图，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）∠APC=α-β；∠APC=β-α
【解析】【解答】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=125°，∠PCD=135°，
∴∠APE=55°，∠CPE=45°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=55°+45°=100°.
（ 3 ）解：如下图所示，当P在BD延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD
∴∠APC=∠1-∠PCD，
∴∠APC=α-β，
如下图所示，当P在DB延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠EPC=∠PCD=β，∠EPA=∠PAB=α
又∵∠EPC=∠EPA+∠APC，
∴∠APC=β-α.
【分析】（1） 过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC
（2） 过P作PE∥AB，交AC于E， 推出 AB∥PE∥CD ，根据平行线的性质得出 ∠APE=α，∠CPE=β
，即可得出答案。
（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β ，即可得出答案。
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