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1.5平行线的性质 基础复习达标卷
一、选择题
1．如图，在弯形管道 ABCD中，若 AB∥CD，拐角∠ABC=122°，则∠BCD的度数为（ ）
A．58° B．68° C．78° D．122°
2．如图，已知 AB∥CD，下列结论中，正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
3．如果两条直线被第三条直线所截，下列判断正确的是（ ）
A．同位角相等 B．同旁内角互补
C．内错角相等 D．不能判断
4． 如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，，当为（ ）度时，AM与CB平行
A．55 B．60 C．70 D．75
6．如图，已知，，则（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
7． 下列命题中：①若，则；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，真命题的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．如图，DH∥EG∥BC，DC∥EF，那么与∠DCB相等（除∠DCB外）的角的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．已知题目：“直线a∥b，直线l⊥b，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．若∠BDE＝30°，求∠ACD的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出∠ACD＝60°，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且∠ACD的另一个值是120°
B．淇淇说的不对，∠ACD就得60°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ACD应得50°
D．两人都不对，∠ACD应有3个不同值
10．如图，已知，若按图中规律继续划分下去，则等于（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在作业本两行线上．如果，那么的度数是 ．
12．如图，，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若，则∠EPD的大小是 ．
13．如图， 直尺的一边 与量角器的零刻度线 平行， 若量角器的一条刻度线 的读数为 与 相交于点 ， 则 °
14．如图，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角 ，第二次拐的角 ，则第三次拐的角 时，道路 才能恰好与 平行.
15．如图，已知AB∥CD，BE、DE分别平分∠ABF、∠CDF，∠F＝40°，则∠E＝ ．
16．如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论 .（填写序号）
三、综合题
17．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F.
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）
CD与EF平行吗？为什么？
（3）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数.
18．如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2=180°.
（1）试说明：DF∥AC；
（2）若∠1=110°，DF平分∠BDE，求∠C的度数.
19．如图，政府规划由西向东修一条公路.从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E.
（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；
（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系.
20．
（1）如图，利用尺规作图：过点B作BM∥AD（要求：不写作法保留作图痕迹）；
（2）若直线DE∥AB，设DE与M交于点C，试说明：∠A＝∠BCD
21．如图，点D，E，G分别在，，上，连接，点F在上，连接，，已知．
（1）试判断与的关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
22．如图1，已知AB∥CD，∠ACD的平分线交AB交于点E．
（1）求证：∠ACE＝∠AEC；
（2）如图2，当点F在线段CE上时，连接FA．过点F作FM∥AE交AC于点M，当∠ACD＝130°，且∠FAB＝25°时，求∠AFC的度数；
（3）如图1，若点F为射线CE上一点．连接FA，探究∠FCD、∠FAB和∠AFC之间的数量关系，并证明你的结论．
23．先阅读下面的解题过程，再解答问题：
如图①，已知ABCD，∠B＝40°，∠D＝30°，求∠BED的度数．
解：过点E作EFAB，则ABCDEF．
因为EFAB，所以∠1＝∠B＝40°
又因为CDEF，所以∠2＝∠D＝30°
所以∠BED＝∠1+∠2＝40°+30°＝70°．
如图②是小军设计的智力拼图玩具的一部分，现在小军遇到两个问题，请你帮他解决：
（1）如图②∠B＝45°，∠BED＝75°，为了保证ABCD，∠D必须是多少度？请写出理由．
（2）如图②，当∠G、∠GFP、∠P满足什么关系时，GHPQ，请写出满足关系的式子，并说明理由．
24．如图，平分，交于点，点在线段上（不与点，点重合），连接，已知.
（1）试判断与是否平行，并说明理由；
（2）探索，，三者之间的等量关系，并说明理由；
（3）若，且（，为常数，且为正数），求的值.
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1.5平行线的性质 基础复习达标卷
一、选择题
1．如图，在弯形管道 ABCD中，若 AB∥CD，拐角∠ABC=122°，则∠BCD的度数为（ ）
A．58° B．68° C．78° D．122°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=122°，
∴∠BCD=180°-ABC=58°.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质"两直线平行，同旁内角互补"即可解决问题.
2．如图，已知 AB∥CD，下列结论中，正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠4.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质"两直线平行，内错角相等"即可得到结论.
3．如果两条直线被第三条直线所截，下列判断正确的是（ ）
A．同位角相等 B．同旁内角互补
C．内错角相等 D．不能判断
【答案】D
【解析】【解答】解：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，由于这两条直线不一定平行，同位角不一定相等，内错角不一定相等，同旁内角不一定互补，故A、B、C三个选项都错误，不符合题意，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】两条直线被第三条直线所截，只有当两条被截的直线平行的时候，同位角才相等，内错角才相等，同旁内角才互补，据此即可判断得出答案.
4． 如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】
∵CE平分∠DCF，
∴∠DCF=2∠DCE。
∵∠1=∠ABF，
∴∠ABF=3∠1，∠EBF=2∠ABE=2∠1.
∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠F+∠DCF=360°，∠E=∠ABE+∠DCE=∠1+∠DCE。
∴∠ABE+∠EBF+∠F+∠ECF+∠DCE=360°，
∴∠1+2∠1+∠3+2∠DCE=360°。
∴∠1+∠3+2（∠1+∠DCE）=360°，
∴∠1+∠3+2∠2=360°.
故答案选：A.
【分析】通过AB∥CD，可以得到：∠ABF+∠F+∠DCF=360°，∠E=∠ABE+∠DCE。由CE平分∠DCF，可以得到：∠DCF=2∠DCE。由∠1=∠ABF，可以得到∠ABF=3∠1，∠EBF=2∠ABE=2∠1.所以∠ABF+∠F+∠DCF=360°，转化为∠ABE+2∠ABE+∠F+2∠DCE=360°，再由∠ABE=∠1，∠E=∠2，∠F=∠3，逐步转化即可得到结论：∠1+2∠2+∠3=360°.
5．如图，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，，当为（ ）度时，AM与CB平行
A．55 B．60 C．70 D．75
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∴∠ACD=180°-∠BAC=130°，
∴∠ACB=130°-∠BCD=130°-60°=70°，
∵AM∥BC，
∴∠MAC=∠ACB=70°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质先求出∠ACD=130°，从而得出∠ACB=70°，再根据AM∥BC，得出∠MAC=∠ACB=70°，即可得出答案.
6．如图，已知，，则（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图：
，
∵，，
∴，
∴.
故答案为：B
【分析】根据对顶角相等，得出，再结合平行线的性质，得出，代入数值进行计算，即可得解．
7． 下列命题中：①若，则；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，真命题的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】【解答】解：① 若，则，故原命题为真命题；
②两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题为真命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题为假命题.
综上可得，真命题有①③两个.
故答案为：B.
【分析】根据立方根的性质可判断①；根据平行线的性质可判断②；根据平行公理及推论可判断③和④.
8．如图，DH∥EG∥BC，DC∥EF，那么与∠DCB相等（除∠DCB外）的角的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵DC∥EF，
∴∠DCB=∠EFB，∠FEM=∠DME，
∵DH∥EG∥BC，
∴∠HDM=∠DME=∠FEM，∠GEF=∠EFB=∠DCB，
∴∠DCB=∠GEF=∠EFB=∠HDM=∠DME=∠FEM.
与∠DCB相等的角有5个.
故答案为：C.
【分析】由DC∥EF，可知∠DCB=∠EFB，∠FEM=∠DME，再由DH∥EG∥BC，可证得∠HDM=∠DME=∠FEM，∠GEF=∠EFB=∠DCB，由此可得到与∠DCB相等的角的个数。
9．已知题目：“直线a∥b，直线l⊥b，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．若∠BDE＝30°，求∠ACD的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出∠ACD＝60°，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且∠ACD的另一个值是120°
B．淇淇说的不对，∠ACD就得60°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ACD应得50°
D．两人都不对，∠ACD应有3个不同值
【答案】A
【解析】【解答】解：题目中没有D、C的相对位置，若D在直线l的右侧，则∠ACD也等于60°；但若D在C点左侧，则∠ACD=120°. 因此只有A选项正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查平行的性质以及考虑问题的角度.
10．如图，已知，若按图中规律继续划分下去，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】（1）∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）过点E、F作EM、FN平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°；
∴∠1+∠2+3+∠4=540°；
（4）中，根据上述规律，显然作（n-1）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）．
故答案为：C．
【分析】由图1可得∠1+∠2=180°，图2可得∠1+∠2+∠3=360°=180°×2，图3可得∠1+∠2+3+∠4=540°······，从而得出= 180°×（n-1）.
二、填空题
11．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在作业本两行线上．如果，那么的度数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
∵作业本上两直线平行线，
∴∠3=，
由三角板的内角知∠2+∠3=60°，
∴∠2=．
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质可得∠3=，再利用角的运算可得∠2=。
12．如图，，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若，则∠EPD的大小是 ．
【答案】或64度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴，
∴．
故答案为：64°．
【分析】根据平行线的性质可得，利用角平分线的定义求出，最后利用平角的性质求出∠EPD的度数即可。
13．如图， 直尺的一边 与量角器的零刻度线 平行， 若量角器的一条刻度线 的读数为 与 相交于点 ， 则 °
【答案】70
【解析】【解答】解：根据题意可得：∠COF=70°，AB//CD，
∴∠AEF=∠COF=70°，
故答案为：70°.
【分析】先结合量角器求出∠COF=70°，再利用两直线平行，同位角相等的性质可得∠AEF=∠COF=70°.
14．如图，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角 ，第二次拐的角 ，则第三次拐的角 时，道路 才能恰好与 平行.
【答案】
【解析】【解答】解：过B点作BF∥AD.
∵AD∥BF，
∴∠A=110°=∠ABF.
∴∠FBC=∠B-∠ABF=145°-110°=35°.
若要BF∥CE，则要∠FBC+∠C=180°.
∴∠C=180°-∠FBC=180°-35°=145°.
故答案为：.
【分析】通过平行于AD的辅助线BF，先通过“两直线平行，内错角相等”证明∠A=∠ABF，然后计算出∠FBC，再通过“同旁内角互补，两直线平行”计算出∠C.
15．如图，已知AB∥CD，BE、DE分别平分∠ABF、∠CDF，∠F＝40°，则∠E＝ ．
【答案】20°
【解析】【解答】如图，延长EB交CD于点G，
∵BE、DE分别平分∠ABF、∠CDF，
∴∠ABE=∠EBF=∠ABF，∠CDE=∠EDF=∠CDF，
∵∠CGE是△DGE的一个外角，
∴∠CGE=∠E+∠CDE，
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠AGE=∠ABF，
∴∠CDE=∠ABF-∠E，
∴∠EDF=∠ABF-∠E，
∵∠BME=180°-∠E-∠EBF=180°-∠E-∠ABF，
∴∠DMF=180°-∠E-∠ABF，
∵∠F+∠MDF+∠DMF=180°，
∴40°+∠ABF-∠E+180°-∠E-∠ABF=180°，
解得：∠E=20°，
故答案为：20°。
【分析】延长EB交CD于点G，根据角平分线的定义可得∠ABE=∠EBF=∠ABF，∠CDE=∠EDF=∠CDF，再结合∠F+∠MDF+∠DMF=180°，可得40°+∠ABF-∠E+180°-∠E-∠ABF=180°，再求出∠E=20°即可。
16．如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论 .（填写序号）
【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴（1），
∵，
∴（2），
∴（1）-（2）得，，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误.
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴（3），
∵（1），
（3）-（1）得，，故④正确；
综上，正确的结论有：①②④.
故答案为：①②④.
【分析】由角平分线的定义可得，由，，可得AB∥EF，，即得（1），由垂直的定义可得（2），根据（1）-（2）得，据此判断①②；由平行线的性质可得，由垂直的定义可得，从而得出，继而得出，据此判断③；由平行线的性质及角平分线的定义可得（3），结合（1），由（3）-（1）得，据此判断④.
三、综合题
17．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F.
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）
CD与EF平行吗？为什么？
（3）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数.
【答案】（1）解：CD与EF平行.理由如下：
CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB＝∠EFB＝90°
∴EF∥CD
（2）解：CD与EF平行.理由如下：
CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB＝∠EFB＝90°
∴EF∥CD
（3）解：如图：
EF∥CD，
∴∠2＝∠BCD
又 ∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD
∴DG∥BC，
∴∠ACB＝∠3＝115°.
【解析】【分析】(1)先根据垂直的定义得到∠CDB＝∠EFB＝90°，然后根据同位角相等，两直线平行可判断EF∥CD；(2)由EF∥CD，根据平行线的性质得∠2＝∠BCD，而∠1＝∠2，所以∠1＝∠BCD，根据内错角相等，两直线平行得到DG∥BC，所以∠ACB＝∠3=115°.
18．如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2=180°.
（1）试说明：DF∥AC；
（2）若∠1=110°，DF平分∠BDE，求∠C的度数.
【答案】（1）解：∵DE∥AB，∴∠A=∠2，
∵∠1+∠2=180°，∴∠A+∠1=180°，∴DF∥AC
（2）解：∵∠1=110°，
∴∠2=70°，
∵AC∥DF，∴∠FDE=∠2=70°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDF=70°，∴∠C=∠BDF=70°.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换即可证明；（2）先求出∠EDF=∠2=70°，再根据角平分线和平行线的性质即可得出∠C的度数.
19．如图，政府规划由西向东修一条公路.从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E.
（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；
（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系.
【答案】（1）解：补全施工路线如图1所示.过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，
则l∥m，
根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°，
又∠HDE=90°，
∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°.
（2）解：如图所示，
设∠DMN=x，∠CDM=y，
由于DE∥FN，
∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x，
又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°，
则x-y=45°，
即∠DMN-∠CDM=45°.
【解析】【分析】（1）过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，利用平行线的性质可求出∠BCG的度数及∠CDH的度数；再根据∠CDE=∠CDH+∠HDE，代入计算可求解.
（2）设∠DMN=x，∠CDM=y，利用平行线的性质分别表示出∠EDM和∠CDM的度数，从而可得到x-y=45°，即可求出∠CDM与∠DMN的数量关系.
20．
（1）如图，利用尺规作图：过点B作BM∥AD（要求：不写作法保留作图痕迹）；
（2）若直线DE∥AB，设DE与M交于点C，试说明：∠A＝∠BCD
【答案】（1）解：如图，BM即为所求；
（2）解：由（1）知∠A＝∠CBN，
∵DE∥AB，
∴∠BCD＝∠CBN，
∴∠A＝∠BCD．
【解析】【分析】（1）根据平行线的作法进行作图；
（2）由（1）知∠A＝∠CBN，根据平行线的性质可得∠BCD＝∠CBN，据此证明.
21．如图，点D，E，G分别在，，上，连接，点F在上，连接，，已知．
（1）试判断与的关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解： ，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
又 ，
，
∵ ，
．
【解析】【分析】（1）猜想∠AED=∠C，先依据平行线的判定，证明BD∥EF，再依据平行线的性质证明∠3=∠5，结合已知条件得出∠5=∠B，进而依据平行线的判定证明DE∥BC，最后得出猜想成立。
（2）先依据∠1和∠4互补，计算出∠4的度数；再结合已知条件，得出∠2的度数，进而依据∠5+∠2+∠EDG=180°，计算出∠EDG的度数；再依据平行线的性质，求出∠DGB的度数。
22．如图1，已知AB∥CD，∠ACD的平分线交AB交于点E．
（1）求证：∠ACE＝∠AEC；
（2）如图2，当点F在线段CE上时，连接FA．过点F作FM∥AE交AC于点M，当∠ACD＝130°，且∠FAB＝25°时，求∠AFC的度数；
（3）如图1，若点F为射线CE上一点．连接FA，探究∠FCD、∠FAB和∠AFC之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠DCE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠AEC
（2）解：∵AB∥CD，FM∥AE，
∴∠CFM＝∠DCF，∠AFM＝∠FAB＝25°，
∵∠ACD＝130°，CE平分∠ACD
∴∠DCF＝65°，
∴∠CFM＝65°，
∴∠AFC＝∠CFM+∠AFM＝90°
（3）解：当点F在线段CE上时，过点F作FM∥AB，交AC于点M，连接AF，
∴FM∥CD，
∴∠FCD＝∠MFC，
∵FM∥AB，
∴∠FAB＝∠MFA，
∴∠FCD+∠FAB＝∠MFC+∠MFA，
∴∠AFC＝∠FCD+∠FAB．
当点F在线段CE的延长线上时，过点F作MF∥AB，连接AF，
∴FM∥CD，
∴∠FCD＝∠MFC，
∵FM∥AB，
∴∠FAB＝∠MFA，
∵∠MFC＝∠MFA+∠AFC，
∴∠FCD＝∠FAB+∠AFC．
综上，∠AFC＝∠FCD+∠FAB或∠FCD＝∠FAB+∠AFC．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠AEC＝∠DCE，利用角平分线的定义可得到∠ACE＝∠DCE，据此可证得结论.
（2）利用平行线的性质可证得∠CFM＝∠DCF，∠AFM＝∠FAB＝25°，再利用角平分线的定义可求出∠DCF的度数，然后根据∠AFC＝∠CFM+∠AFM，代入计算求出∠AFC的度数.
（3）分情况讨论：当点F在线段CE上时，过点F作FM∥AB，交AC于点M，连接AF，利用平行线的性质可证得∠FCD＝∠MFC，∠FAB＝∠MFA，将等式两边相加，可得到∠FCD、∠FAB和∠AFC之间的数量关系；当点F在线段CE的延长线上时，过点F作MF∥AB，连接AF，利用平行线的性质可证得∠FCD＝∠MFC，∠FAB＝∠MFA，再根据∠MFC＝∠MFA+∠AFC，可得到∠FCD、∠FAB和∠AFC之间的数量关系.
23．先阅读下面的解题过程，再解答问题：
如图①，已知ABCD，∠B＝40°，∠D＝30°，求∠BED的度数．
解：过点E作EFAB，则ABCDEF．
因为EFAB，所以∠1＝∠B＝40°
又因为CDEF，所以∠2＝∠D＝30°
所以∠BED＝∠1+∠2＝40°+30°＝70°．
如图②是小军设计的智力拼图玩具的一部分，现在小军遇到两个问题，请你帮他解决：
（1）如图②∠B＝45°，∠BED＝75°，为了保证ABCD，∠D必须是多少度？请写出理由．
（2）如图②，当∠G、∠GFP、∠P满足什么关系时，GHPQ，请写出满足关系的式子，并说明理由．
【答案】（1）解：∠D=30°，理由如下：
过E作EMAB，如图1，则∠B=∠2=45°，
∴∠1=∠BED-∠2=30°，
∴∠1=∠D，
∴EMCD，
又∵EMAB，
∴ABCD；
（2）解：当∠G+∠GFP+∠P=360°时，GHPQ，理由如下：
过F作FNGH，如图2，则∠G+∠4=180°，
又∵∠G+∠GFP+∠P=360°
∴∠3+∠P=180°，
∴FNPQ，
∴GHPQ．
【解析】【分析】（1） 过E作EMAB，如图1，可得∠B=∠2=45°， 从而得出∠1=∠BED-∠2=30°， 若AB∥CD，可证EM∥CD，利用平行线的性质可得∠1=∠D=30°，据此即得结论；
（2） 当∠G+∠GFP+∠P=360°时，GHPQ，理由：过F作FNGH， 可得∠G+∠4=180°， 若GH∥PQ，则TN∥PQ，利用平行线的性质可得∠3+∠P=180°， 即得∠G+∠GFP+∠P=360°，据此即得结论.
24．如图，平分，交于点，点在线段上（不与点，点重合），连接，已知.
（1）试判断与是否平行，并说明理由；
（2）探索，，三者之间的等量关系，并说明理由；
（3）若，且（，为常数，且为正数），求的值.
【答案】（1）解：因为是的角平分线，
所以，
又因为，
所以，
所以
（2）解：过点作，
因为，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
.
（3）解：由（2）可知：，
由题意得：，
可得：，
所以，
因为，所以，
又因为，
所以，
所以，即，所以
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义和 求出，则可判断AC∥DF；
(2)过点作，得出和，两者结合得出，即可解答；
(3)利用(2)的结论，根据平行线的性质和角的和差关系推出和，比较两式左边的系数得出，再化简变形，从而得出结果.
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