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培优专题04 平行线中的四大常见模型
方法归纳：平行线中辅助线方法总结：过拐点作已知直线的平行线，简单说成：逢“拐点”作平行.一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线.
知识梳理
题型过关
1．已知如图，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可．
【详解】解：过点作平行线，
，
．
故选C．
2．如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（ ）.
A．30° B．40° C．50° D．65°
【答案】B
【分析】由题意过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作直线，
∵直线m//n，，
∴，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠2=130°，
∴∠3=50°，
∵∠B=90°，
∴∠4=90°-50°=40°，
∵，
∴∠1=∠4=40°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．
3．如图，如果，那么 ．
【答案】540
【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答，构造辅助线，是解答本题的关键．
【详解】过点E作，过点F作，如图，
∵，，，
∴，，
∴，，，
∵，，
∴，
故答案为：540．
4．如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝ 度；
【答案】270
【详解】解：过点B作BFAE，
∵CDAE，
∴CDBFAE，
∴∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°，
∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°，
即∠BAE+∠ABC+∠BCD=360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∴∠ABC+∠BCD=270°．
故答案为：270．
【点睛】本题考查了平行线的性质．作出辅助线是解此题的关键．
5．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）．
【答案】 360 540 720 180n
【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍；
（1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍；
（2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍；
（3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度．
【详解】过作（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴，
又∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∴，
又∵，
∴；
（）分别过、分别作的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得；
（）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得；
（）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度．
故答案为：；；；．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
6．综合与探究：
（1）问题情境：如图1，．求的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作，∴．
∴．
∵．∴．
…………
请你帮助小明完成剩余的解答．
（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1）110°；（2），理由见解析
【分析】（1）过P作PE//AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
（2）过P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】解：（1）过P作，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
（2），
如图3，过P作PE//AD交CD于E，
∵AD//BC，
∴AD//PE//BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
知识梳理
题型过关
1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．35° D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
2．如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ）
A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°
【答案】B
【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．
【详解】如图，过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，
∵∠BCD＝70°，
∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，
∴∠α+∠β＝70°．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.
3．如图，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，则∠3= 度．
【答案】63
【分析】如图，易知∠3＝∠2－∠1，计算即可.
【详解】如图所示，
根据平行线的性质易知∠3＝∠2－∠1＝113°－50°＝63°.
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.
4．如图，，，则，和的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由，即可求解．
【详解】解：如图，分别过点C，D作，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
由①-②得：，
∵，
∴．
故答案为：．
5．在图中，若，又得到什么结论？
【答案】
【分析】根据图①可得，根据图②可得，即可根据规律得出题目的结论．
【详解】解：①如图：过点E作，
，,
，
，
；
②如图，过E点作，过F点作
过G点作，
，
，
，
，
即;
③如图：
，
根据以上规律可得：
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，根据题意将复杂的图形转化为基本图形是解题的关键．
6．在图中，，与又有何关系？
【答案】
【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质进行推导．
【详解】分别过，，作的平行线，
则，，，，
，
即，．
【点睛】此类题主要注意构造辅助线：平行线，解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明．
7．已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）
【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；
②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．
【详解】解：（1）如图1，过点作，
则有，
，
，
，
；
（2）①如图2，过点作，
有．
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为；
②如图3，过点作，
有．
，
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
知识梳理
题型过关
1．如图，直线，， ，则 ．
【答案】/30度
【分析】根据平行线的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
2．如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ．
【答案】57°
【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．
【详解】解：设AE、CD交于点F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，
∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，
∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠EAB=180°，
∴∠EAB=180°-123°=57°，
故答案为：57°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．
3．已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
【答案】见解析
【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．
【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BOD，
∵EF∥CD（辅助线），
∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）；
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换），
∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．
4．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；
（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．
【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；
（2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；
（3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．
【详解】解：（1）过E作EMAB，
∵ABCD，
∴CDEMAB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF，
∵∠DCF＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠CEM＝60°，
又∵∠CEB＝20°，
∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，
∴∠ABE＝40°；
（2）过E作EMAB，过F作FNAB，
∵∠EBF＝2∠ABF，
∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，
∵CF平分∠DCE，
∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，
∵ABCD，
∴EMABCD，
∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，
∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，
同理∠CFB＝y﹣x，
∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，
∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，
∴x＝10°，
∴∠ABE＝3x＝30°；
（3）过P作PLAB，
∵GM平分∠DGP，
∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，
∵PQ平分∠BPG，
∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，
∵PQGN，
∴∠PGN＝∠GPQ＝x，
∵ABCD，
∴PLABCD，
∴∠GPL＝∠DGP＝2y，
∠BPL＝∠ABP＝30°，
∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，
∴30°＝2y﹣2x，
∴y﹣x＝15°，
∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，
∴∠MGN＝15°．
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．
知识梳理
题型过关
1．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：．
【详解】解：如下图所示，过点作，
，，
，
，
又，
．
故选：D．
2．如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为
【答案】180°
【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解．
【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：
，
∠1=∠EFD，
∠2+∠EFC=∠3，
，
，
；
故答案为180°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键．
3．如图，已知AB∥CD．若∠ABE＝75°，∠CDE＝60°，求∠E的度数．
【答案】∠E＝15°．
【分析】延长AB交DE于F，利用平行线的性质可得∠EFA＝∠D＝60°，再利用三角形外角的性质可得∠E的度数．
【详解】延长AB交DE于F，
∵AB∥CD，
∴∠EFA＝∠D＝60°，
∵∠ABE＝75°，
∴∠E＝75°﹣60°＝15°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
4．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A ∠C，证明详见解析；（3）55°．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A ∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB ∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG ∠GEH即可得出答案．
【详解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A ∠C，证明如下：
如图2所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ ∠CPQ，
∴∠APC＝∠A ∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB ∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG ∠GEH
＝∠FEG ∠BEG
＝∠BEF
＝55°．
【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.中小学教育资源及组卷应用平台
培优专题04 平行线中的四大常见模型
方法归纳：平行线中辅助线方法总结：过拐点作已知直线的平行线，简单说成：逢“拐点”作平行.一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线.
知识梳理
题型过关
1．已知如图，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（ ）.
A．30° B．40° C．50° D．65°
3．如图，如果，那么 ．
4．如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝ 度；
5．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）．
6．综合与探究：
（1）问题情境：如图1，．求的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作，∴．
∴．
∵．∴．
…………
请你帮助小明完成剩余的解答．
（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由．
知识梳理
题型过关
1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．35° D．5°
2．如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ）
A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°
3．如图，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，则∠3= 度．
4．如图，，，则，和的数量关系是 ．
5．在图中，若，又得到什么结论？
6．在图中，，与又有何关系？
7．已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
知识梳理
题型过关
1．如图，直线，， ，则 ．
2．如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ．
3．已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
4．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；
（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
知识梳理
题型过关
1．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为
3．如图，已知AB∥CD．若∠ABE＝75°，∠CDE＝60°，求∠E的度数．
4．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
