(共22张PPT)
第一章 直角三角形
4.3.1用乘法公式分解因式
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
1. 掌握平方差公式分解因式；
2．会综合运用提公因式与平方差公式解题．
02
新知导入
在日常生活中如上网等都需要密码.
有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.
例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码, 当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗
知识探究
本节课一起来研究 破解密钥a2-b2=？
03
新知探究
平方差公式：
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差.
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
类比：
03
新知讲解
a
b
a
b
a-b
你能用图形解释吗？
03
新知讲解
运用a2-b2=(a+ b)(a- b)有哪些特点？
公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项.
“a2-b2”的形式 与平方差公式中a对应的项 与平方差公式中b对应的项
9a2-1
-t2+0.01s2
(a+b)2-(a-b)2
提炼概念
新课探究
例
E
例1：把下列各式分解因式：
（1）16a2-1 (2)-m2n2+4p2
(3) x2 - y2 (4)(x+z)2-(y+z)2
03
新知讲解
例：
(1)16a2-1
=(4a)2-12
=(4a+1)(4a-1)
a2-b2=(a + b)(a - b)
03
新知讲解
（2）原式=（2p)2-(mn)2= (2p+mn)(2p-mn)
（4）原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)- (y+z)]
=(x+z+y+z)(x+z- y-z)
=(x+y+2z)(x-y)
（3）原式 =( x)2 –( y)2=( x+ y)( x- y)
03
新知讲解
例2 分解因式. 4x3y-9xy3
4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2)
(2)提取公因式后,多项式还能继续分解因式吗
4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y)
[注意]: 1.一般地,因式分解时有公因式先提公因式
2.因式分解时要分解彻底。
(1)能分解因式吗 用什么方法
03
新知讲解
知识解密
在日常生活中如上网等都需要密码.
有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.
例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码, 当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗
x4–y4=(x2+y2)(x2–y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y )
把x=9,y=9代入可得出密码.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由。
（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2
(5) a2-4 (6) a2+3
（1）不能 （2）能 （3）不能 (4)能 （5）能 （6）不能
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2.因式分解：
(1)m3－4m＝_________________；
(2)x3－xy2＝_______________．
【解析】 (1)m3－4m＝m(m2－4)＝m(m＋2)(m－2)．
(2)x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
05
课堂小结
注意点：若要分解多项式，先看有无公因式，其次查对各公式，彻底分解多项式。
一个知识点：平方差公式分解因式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
一种数学思想：类比思想。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是( )
A.-a2-b2 B.-a2+81
C.p2-(-q2) D.a2-b3
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
2.小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么 (写出一个即可)
解：4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y)
把x=10,y=10代入 可得出一种密码为103010
06
作业布置
【综合拓展类作业】
3.如图，在一块长为 的正方形纸片的四角，各减去一个边长为 的正方形，求剩余部分面积是多少？若 ，，求剩余部分面积.
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 4.3.1用乘法公式分解因式
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级下册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.掌握平方差公式分解因式； 2．会综合运用提公因式与平方差公式解题．
课前学习任务
复习引入 【思考】 在日常生活中如上网等都需要密码. 有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译. 例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码, 当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗 本节课一起来研究 破解密钥a2-b2=？ 请用语言描述下公式的结构特点. （１）公式左边：是一个将要被分解因式的多项式 ★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。 (2)公式右边:（是分解因式的结果） ★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
课上学习任务
【学习任务一】 平方差公式： 两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 你能用图形解释吗？ 【学习任务二】 运用a2-b2=(a+ b)(a- b)有哪些特点？ 公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项. “a2-b2”的形式 与平方差公式中a对应的项 与平方差公式中b对应的项 9a2-1-t2+0.01s2(a+b)2-(a-b)2
【学习任务三】 例1：把下列各式分解因式： （1）16a2-1 (2)-m2n2+4p2 (3) x2 - y2 (4)(x+z)2-(y+z)2 能分解因式吗 用什么方法 4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2) 提取公因式后,多项式还能继续分解因式吗 4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y) [注意]: 1.一般地,因式分解时有公因式先提公因式 2.因式分解时要分解彻底。 知识解密 在日常生活中如上网等都需要密码. 有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译. 例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码, 当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗 x4–y4=(x2+y2)(x2–y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y ) 把x=9,y=9代入可得出密码. 【习任务四】课堂练习 必做题： 1.下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由. 选做题： 2.因式分解： (1)m3－4m＝_________________； (2)x3－xy2＝_______________． 【综合拓展类作业】 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是( ) A.-a2-b2 B.-a2+81 C.p2-(-q2) D.a2-b3 选做题： 2.小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么 (写出一个即可) 【综合拓展类作业】 3.如图，在一块长为 a 的正方形纸片的四角，各减去一个边长为 b 的正方形，求剩余部分面积是多少？若 a=1.86，b=0.34，求剩余部分面积.
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分课时教学设计
第3课时《4.3.1用乘法公式分解因式》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 掌握若多项式各项有公因式，先提取公因式，在用平方差公式因式分解．
学习者分析 掌握运用平方差公式，首先判断是不是符合平方差公式特点.分解因式的步骤是首先提取公因式，然后考虑用公式.
教学目标 1.掌握平方差公式分解因式； 2．会综合运用提公因式与平方差公式解题．
教学重点 掌握平方差公式分解因式．
教学难点 会综合运用提公因式与平方差公式解题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课 在日常生活中如上网等都需要密码. 有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译. 例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码, 当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗 本节课一起来研究 破解密钥a2-b2=？ 请用语言描述下公式的结构特点. （１）公式左边：是一个将要被分解因式的多项式 ★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。 (2)公式右边:（是分解因式的结果） ★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题. ? 带着问题参与新课. 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，理解学生思考，进行探索.理解运用平方差公式，首先判断是不是符合平方差公式特点． 环节二：新知探究 平方差公式： 两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 你能用图形解释吗？ 运用a2-b2=(a+ b)(a- b)有哪些特点？ 公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项. “a2-b2”的形式 与平方差公式中a对应的项 与平方差公式中b对应的项 9a2-1-t2+0.01s2(a+b)2-(a-b)2
学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生自主解答，教师适时的进行提示 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，让学生在小组内共同合作．掌握若多项式各项有公因式，先提取公因式，在用平方差公式因式分解． 环节三：典例精析 例1：把下列各式分解因式： （1）16a2-1 (2)-m2n2+4p2 (3) x2 - y2 (4)(x+z)2-(y+z)2 (1)16a2-1=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1) 原式=（2p)2-(mn)2= (2p+mn)(2p-mn) 原式 =( x)2 –( y)2=( x+ y)( x- y) （4）原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)- (y+z)] =(x+z+y+z)(x+z- y-z) =(x+y+2z)(x-y) 例2 分解因式. 4x3y-9xy3 能分解因式吗 用什么方法 4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2) 提取公因式后,多项式还能继续分解因式吗 4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y) [注意]: 1.一般地,因式分解时有公因式先提公因式 2.因式分解时要分解彻底。 知识解密 在日常生活中如上网等都需要密码. 有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译. 例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码, 当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗 x4–y4=(x2+y2)(x2–y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y ) 把x=9,y=9代入可得出密码. 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，会综合运用提公因式与平方差公式解题.
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由. 选做题： 2.因式分解： (1)m3－4m＝_________________； (2)x3－xy2＝_______________． 【综合拓展类作业】
课堂总结 分解因式的步骤是首先提取公因式，然后考虑用公式；(2)分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止． 注意： (1)公式中的字母a，b可以表示任何数或单项式和多项式； (2)若给出的多项式不具备明显平方差关系，需要转化成a2－b2的形式．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题 1.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是( ) A.-a2-b2 B.-a2+81 C.p2-(-q2) D.a2-b3 选做题： 2.小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么 (写出一个即可) 【综合拓展类作业】 3.如图，在一块长为 a 的正方形纸片的四角，各减去一个边长为 b 的正方形，求剩余部分面积是多少？若 a=1.86，b=0.34，求剩余部分面积.
教学反思
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学 科 数学 年 级 七下 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第四章
课标要求 1.理解因式分解的意义，明确其与整式乘法的互逆关系. 2. 掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），并能灵活选择方法分解多项式. 3.了解简单的分组分解法（如两项分组后提公因式）.
内容分析 因式分解是初中数学中的重要内容，它不仅是代数学习的基础，也是解决实际问题的重要工具。在浙教版数学七年级下册中，因式分解单元的教学目标是让学生掌握因式分解的基本概念、方法和技巧，能够熟练地进行因式分解，并运用因式分解解决实际问题.
学情分析 七年级学生已经具备了一定的数学基础，强调从“运算思维”向“分解思维”的转变，培养学生的逆向思考能力和结构化分析能力.通过数形结合（如用几何图形解释因式分解）增强直观理解.
单元目标 教学目标1.理解因式分解的概念和意义；2.掌握提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等基本的因式分解方法； 3.能够熟练地进行多项式的因式分解；4.运用因式分解解决一些实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：因式分解的概念和意义；提取公因式法、公式法等基本的因式分解方法.多项式除以单项式的运算技巧，以及整式乘除在实际问题中的应用.教学难点：如何灵活运用不同的因式分解方法解决复杂问题；如何将因式分解与实际问题相结合.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 教材特点：1. 知识脉络与编排特点 引入方式：通过实际情境（如面积计算、代数式简化）引出因式分解的必要性。 方法分层教学： 提公因式法：从单项式公因式到多项式公因式，强调“全提取”（如提取负号）。 公式法： 平方差公式：强调“两数平方差”的结构特征（如 \(9x^2 - 16y^2 = (3x)^2 - (4y)^2\)）。 完全平方公式：注重中间项的符号与系数关系（如 \(x^2 + 6x + 9\) 与 \(x^2 - 4x + 4\)）。 综合应用：结合先提公因式再用公式的“分步分解”策略。 拓展内容：简单分组分解法的渗透（如 \(ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y)\)）。2. 例题与习题设计 情境化：结合几何图形（如用面积相等解释因式分解）、实际问题（如优化计算步骤）。 层次分明： 基础题：直接应用单一方法（如分解 \(2a^2b - 4ab^2\)）。 变式题：需调整符号或变形后分解（如 \(-m^2 + 4n^2\)）。 综合题：多步分解（如 \(3x^3 - 12x\) 先提公因式，再用平方差）。 易错点强化： 分解不彻底（如 \(x^4 - 1\) 需连续使用平方差）。 忽略公因式中的负号（如 \(-a^2b + ab^2 = -ab(a - b)\)）。 数形结合：利用拼图、面积模型直观解释因式分解（如用正方形和长方形拼图说明公式法）。 实际应用导向：设计贴近生活的例题（如利用因式分解简化工程问题中的代数式）。 思维渐进性：从单项式到多项式公因式，从单一方法到综合应用，逐步提升复杂度.（三）教学设计思路建议：1.强化概念理解 类比引入：通过与小学数学中因数分解的概念类比，帮助学生初步理解因式分解的概念。结合实例：在讲解因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和结果，逐步加深学生对因式分解概念的理解。2.突出重点与突破难点教学重点：重点讲解因式分解的概念，让学生明确因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式。突破难点：通过对比分析，让学生理解因式分解与整式乘法的互逆关系，并能灵活运用这种关系寻求因式分解的方法。3.采用多样化的教学方法情境导入：设计一些有趣的数学问题或实际应用问题，激发学生的学习兴趣。例如，通过抢答的方式引入因式分解的实际应用，增强学生的竞争意识和探究欲望。探究式教学：引导学生自行探求解题途径，培养他们的观察、分析、判断能力和创新能力。多媒体辅助：利用多媒体课件展示因式分解的过程和方法，使抽象的概念更加直观易懂。4.注重方法的系统性与层次性系统讲解：按照从简单到复杂的顺序，依次讲解提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等因式分解方法。层次训练：设计不同层次的练习题，从基础题到综合题，逐步提高学生对因式分解方法的掌握程度。5.强调因式分解的完整性彻底分解：在教学过程中，强调因式分解要分解到不能再分解为止。检查习惯：培养学生在完成因式分解后检查是否可以继续分解的习惯。6.培养学生的逆向思维逆向应用：通过因式分解与整式乘法的互逆关系，引导学生逆向思考，培养他们的逆向思维能力。综合运用：设计一些需要综合运用多种因式分解方法的题目，提高学生的综合运用能力。7.联系实际应用 实际问题：结合实际问题讲解因式分解的应用，如简便运算、多项式的除法、解方程等，让学生感受到因式分解的实际价值。拓展应用：适当引入一些拓展性的应用问题，如利用因式分解解决几何问题或实际生活中的优化问题，拓宽学生的思维。8.重视情感态度与价值观的培养 培养精神：通过因式分解的学习，培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。合作学习：鼓励学生在小组合作中交流解题思路，培养团队合作精神。对比教学：将因式分解与整式乘法对比，强化互逆关系（如设计“互逆配对”练习）。 错例分析：收集学生典型错误（如分解不彻底、符号错误），通过纠错活动深化理解。 探究活动： 分组讨论“如何分解 \(x^2 + (a+b)x + ab\)”，引出十字相乘法（虽未正式学，可作拓展）。 设计“因式分解接力赛”，培养合作与快速决策能力。 技术融合：利用动态几何软件（如GeoGebra）演示因式分解的几何意义，增强直观性。浙教版七下因式分解单元以“实际问题—方法探究—综合应用”为主线，注重数形结合与思维进阶，教学中需强化结构分析、符号处理与策略选择，为学生后续代数学习奠定坚实基础。
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1因式分解的意义14.2提取公因式法1 4.3.1用乘法公式分解因式（1）14.3.2 4.3用乘法公式分解因式（2）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1因式分解的意义1. 理解因式分解的概念；2．理解因式分解与整式乘法的关系．1.理解因式分解的概念. 2.理解因式分解与整式乘法的关系.任务一：因式分解是恒等变形，它与乘法运算互为逆运算.任务二：例题精讲，掌握因式分解与整式乘法的关系.4.2提取公因式法1.掌握用提取公因式法分解因式；2．掌握添括号法则．1.掌握用提取公因式法分解因式.2.理解公因式可以是一个数，也可以是字母、单项式或多项式添括号时．所添括号前面是负号，括到括号里各项都要改变符号是易错点.任务一： 理解公因式可以是一个数，也可以是字母、单项式或多项式.任务二：探究新知，理解提公因式时，如果第一项的系数是负数，应先提负号转化，然后再提公因式.任务3：例题精讲，掌握用提取公因式法分解因式.4.3用乘法公式分解因式（1）1.掌握平方差公式分解因式；2．会综合运用提公因式与平方差公式解题.1.掌握平方差公式分解因式．2.会综合运用提公因式与平方差公式解题.任务1：掌握若多项式各项有公因式，先提取公因式，在用平方差公式因式分解.任务2：让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况.4.3用乘法公式分解因式（2）1.掌握完全平方公式分解因式；2．会综合运用提公因式与完全平方公式解题．?1.掌握完全平方公式分解因式.2.会综合运用提公因式与完全平方公式解题.任务1：运用完全平方公式，首先判断是不是符合完全平方公式特点.任务2：例题精讲，会综合运用提公因式与完全平方公式解题.
第4章《 因式分解》单元教学设计
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