(共22张PPT)
第一章 直角三角形
4.3.2用乘法公式分解因式
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
1. 掌握完全平方公式分解因式；
2．会综合运用提公因式与完全平方公式解题．
02
新知导入
比一比,看谁快!
a2+2ab+b2=？
a2+2ab+b2=(a+b)2是什么运算？
当a，b取下列值时，计算a2+2ab+b2的值.其中，a=99，b=1.
03
新知探究
请用语言描述下公式的结构特点。
说一说：
a2+2ab+b2
(a+b)2
=
＿
＿
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有三项，其中两项为平方项且它们同号（两数的平方和），另一项为中间项（这两数积的2倍）.
(2)公式右边:（是分解因式的结果）★分解的结果是两个平方项底数和(差)的平方.
形如 的多项式称为完全平方式.
03
新知讲解
首2±2首尾+尾2 首代表什么 尾代表什么 （首±尾）2
x2+2 x 3+(3)2
(-m)2+2(-m) n+n2
a2-2a 2b+(2b)2
运用首2±2×首×尾＋尾2＝（首±尾）2有哪些特点？
03
新知讲解
首2±2首尾+尾2 首代表什么 尾代表什么 （首±尾）2
x2+2 x 3+(3)2 x 3 (x+3)2
(-m)2+2(-m) n+n2 -m n
(-m+n)2
a2-2a 2b+(2b)2 a 2b (a-2b)2
运用首2±2×首×尾＋尾2＝（首±尾）2有哪些特点？
03
新知讲解
如图，用一张正方形纸片甲、两张长方形纸片乙、一张正方形纸片丙拼成一个大正方形丁.
（1）用一个多项式表示图形丁的面积；
（2）用整式积表示图丁的面积；
（3）根据(1)(2)所得到的结果，写一个表示因式分解的等式.
a
a
b
b
甲
乙
乙
丙
丁
03
新知讲解
公式法
定义：利用公式a2－b2＝(a－b)(a＋b)，或a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法．
特征：公式中的a，b可以是数，也可以是整式．
提炼概念
03
新知讲解
用完全平方公式分解因式的关键是：判断这个多项式是不是一个完全平方式.
填写下表（若某一栏不适用，请填入“不适用”）
a，b各表示什么
表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式
是否是完全平方式
多项式
03
新知讲解
a，b各表示什么
表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式
是否是完全平方式
多项式
是
a表示2y,b表示1
不是
不适用
不适用
不适用
不适用
不是
是
a表示1,b表示
是
a表示2y,b表示3x
a表示x,b表示3
是
新课探究
例
例3 把下列各式分解因式:
(1)原式=(2a)2+2×2a 3b+(3b)2=(2a+3b)2
(2)原式=-(x2-4xy+4y2=-(x-2y)2
(3)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2
03
新知讲解
例4 分解因式:
解:
＝(2x＋y)2－2· (2x＋y) ·3 ＋32
把2x＋y看做
a2－2ab＋b2
中的字母“a”
即设a＝ 2x＋y ，
这种数学思想称
为换元思想.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
1.B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2.分解因式：
(1)16x2＋24x＋9；
(2)－3x2－12＋12x；
(3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.
解：(1)原式＝(4x)2＋2×4x×3＋32
＝(4x＋3)2.
(2)原式＝－3(x2－4x＋4)
＝－3(x－2)2.
(3)原式＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62
＝(a＋b－6)2.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
3.选择合适的方法因式分解：
(1)8a3－2a(a＋1)2；
(2)(x2＋y2)2－4x2y2.
解：(1)原式＝2a[4a2－(a＋1)2]
＝2a[2a＋(a＋1)][2a－(a＋1)]
＝2a(3a＋1)(a－1)．
(2)原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)
＝(x＋y)2(x－y)2.
05
课堂小结
1.公式法
定义：利用公式a2－b2＝(a－b)(a＋b)，或a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法．
2.特征：公式中的a，b可以是数，也可以是整式．因式分解的步骤是“一提”、“二套”，即先看有没有公因式可提，有公因式就先提取公因式，然后再套用公式，用公式法来分解因式．
3.注意：(1)作为首项的二次项系数为负数时，一般应先提取－1或整个系数；(2)如果各项有公因式，应先提取公因式.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列因式分解对吗？说明理由
=
2=
少中间项
属于平方差公式
平方项符号要一致
符号处理
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解：原式＝(a2－4＋3)2＝(a2－1)2＝(a＋1)2(a－1)2.
解：原式＝(x2＋16y2)2－(8xy)2
＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)
＝(x＋4y)2(x－4y)2.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
3.若ab＝，a＋b＝，求多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
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学 科 数学 年 级 七下 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第四章
课标要求 1.理解因式分解的意义，明确其与整式乘法的互逆关系. 2. 掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），并能灵活选择方法分解多项式. 3.了解简单的分组分解法（如两项分组后提公因式）.
内容分析 因式分解是初中数学中的重要内容，它不仅是代数学习的基础，也是解决实际问题的重要工具。在浙教版数学七年级下册中，因式分解单元的教学目标是让学生掌握因式分解的基本概念、方法和技巧，能够熟练地进行因式分解，并运用因式分解解决实际问题.
学情分析 七年级学生已经具备了一定的数学基础，强调从“运算思维”向“分解思维”的转变，培养学生的逆向思考能力和结构化分析能力.通过数形结合（如用几何图形解释因式分解）增强直观理解.
单元目标 教学目标1.理解因式分解的概念和意义；2.掌握提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等基本的因式分解方法； 3.能够熟练地进行多项式的因式分解；4.运用因式分解解决一些实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：因式分解的概念和意义；提取公因式法、公式法等基本的因式分解方法.多项式除以单项式的运算技巧，以及整式乘除在实际问题中的应用.教学难点：如何灵活运用不同的因式分解方法解决复杂问题；如何将因式分解与实际问题相结合.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 教材特点：1. 知识脉络与编排特点 引入方式：通过实际情境（如面积计算、代数式简化）引出因式分解的必要性。 方法分层教学： 提公因式法：从单项式公因式到多项式公因式，强调“全提取”（如提取负号）。 公式法： 平方差公式：强调“两数平方差”的结构特征（如 \(9x^2 - 16y^2 = (3x)^2 - (4y)^2\)）。 完全平方公式：注重中间项的符号与系数关系（如 \(x^2 + 6x + 9\) 与 \(x^2 - 4x + 4\)）。 综合应用：结合先提公因式再用公式的“分步分解”策略。 拓展内容：简单分组分解法的渗透（如 \(ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y)\)）。2. 例题与习题设计 情境化：结合几何图形（如用面积相等解释因式分解）、实际问题（如优化计算步骤）。 层次分明： 基础题：直接应用单一方法（如分解 \(2a^2b - 4ab^2\)）。 变式题：需调整符号或变形后分解（如 \(-m^2 + 4n^2\)）。 综合题：多步分解（如 \(3x^3 - 12x\) 先提公因式，再用平方差）。 易错点强化： 分解不彻底（如 \(x^4 - 1\) 需连续使用平方差）。 忽略公因式中的负号（如 \(-a^2b + ab^2 = -ab(a - b)\)）。 数形结合：利用拼图、面积模型直观解释因式分解（如用正方形和长方形拼图说明公式法）。 实际应用导向：设计贴近生活的例题（如利用因式分解简化工程问题中的代数式）。 思维渐进性：从单项式到多项式公因式，从单一方法到综合应用，逐步提升复杂度.（三）教学设计思路建议：1.强化概念理解 类比引入：通过与小学数学中因数分解的概念类比，帮助学生初步理解因式分解的概念。结合实例：在讲解因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和结果，逐步加深学生对因式分解概念的理解。2.突出重点与突破难点教学重点：重点讲解因式分解的概念，让学生明确因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式。突破难点：通过对比分析，让学生理解因式分解与整式乘法的互逆关系，并能灵活运用这种关系寻求因式分解的方法。3.采用多样化的教学方法情境导入：设计一些有趣的数学问题或实际应用问题，激发学生的学习兴趣。例如，通过抢答的方式引入因式分解的实际应用，增强学生的竞争意识和探究欲望。探究式教学：引导学生自行探求解题途径，培养他们的观察、分析、判断能力和创新能力。多媒体辅助：利用多媒体课件展示因式分解的过程和方法，使抽象的概念更加直观易懂。4.注重方法的系统性与层次性系统讲解：按照从简单到复杂的顺序，依次讲解提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等因式分解方法。层次训练：设计不同层次的练习题，从基础题到综合题，逐步提高学生对因式分解方法的掌握程度。5.强调因式分解的完整性彻底分解：在教学过程中，强调因式分解要分解到不能再分解为止。检查习惯：培养学生在完成因式分解后检查是否可以继续分解的习惯。6.培养学生的逆向思维逆向应用：通过因式分解与整式乘法的互逆关系，引导学生逆向思考，培养他们的逆向思维能力。综合运用：设计一些需要综合运用多种因式分解方法的题目，提高学生的综合运用能力。7.联系实际应用 实际问题：结合实际问题讲解因式分解的应用，如简便运算、多项式的除法、解方程等，让学生感受到因式分解的实际价值。拓展应用：适当引入一些拓展性的应用问题，如利用因式分解解决几何问题或实际生活中的优化问题，拓宽学生的思维。8.重视情感态度与价值观的培养 培养精神：通过因式分解的学习，培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。合作学习：鼓励学生在小组合作中交流解题思路，培养团队合作精神。对比教学：将因式分解与整式乘法对比，强化互逆关系（如设计“互逆配对”练习）。 错例分析：收集学生典型错误（如分解不彻底、符号错误），通过纠错活动深化理解。 探究活动： 分组讨论“如何分解 \(x^2 + (a+b)x + ab\)”，引出十字相乘法（虽未正式学，可作拓展）。 设计“因式分解接力赛”，培养合作与快速决策能力。 技术融合：利用动态几何软件（如GeoGebra）演示因式分解的几何意义，增强直观性。浙教版七下因式分解单元以“实际问题—方法探究—综合应用”为主线，注重数形结合与思维进阶，教学中需强化结构分析、符号处理与策略选择，为学生后续代数学习奠定坚实基础。
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1因式分解的意义14.2提取公因式法1 4.3.1用乘法公式分解因式（1）14.3.2 4.3用乘法公式分解因式（2）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1因式分解的意义1. 理解因式分解的概念；2．理解因式分解与整式乘法的关系．1.理解因式分解的概念. 2.理解因式分解与整式乘法的关系.任务一：因式分解是恒等变形，它与乘法运算互为逆运算.任务二：例题精讲，掌握因式分解与整式乘法的关系.4.2提取公因式法1.掌握用提取公因式法分解因式；2．掌握添括号法则．1.掌握用提取公因式法分解因式.2.理解公因式可以是一个数，也可以是字母、单项式或多项式添括号时．所添括号前面是负号，括到括号里各项都要改变符号是易错点.任务一： 理解公因式可以是一个数，也可以是字母、单项式或多项式.任务二：探究新知，理解提公因式时，如果第一项的系数是负数，应先提负号转化，然后再提公因式.任务3：例题精讲，掌握用提取公因式法分解因式.4.3用乘法公式分解因式（1）1.掌握平方差公式分解因式；2．会综合运用提公因式与平方差公式解题.1.掌握平方差公式分解因式．2.会综合运用提公因式与平方差公式解题.任务1：掌握若多项式各项有公因式，先提取公因式，在用平方差公式因式分解.任务2：让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况.4.3用乘法公式分解因式（2）1.掌握完全平方公式分解因式；2．会综合运用提公因式与完全平方公式解题．?1.掌握完全平方公式分解因式.2.会综合运用提公因式与完全平方公式解题.任务1：运用完全平方公式，首先判断是不是符合完全平方公式特点.任务2：例题精讲，会综合运用提公因式与完全平方公式解题.
第4章《 因式分解》单元教学设计
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分课时教学设计
第3课时《4.3.2用乘法公式分解因式》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 运用完全平方公式，首先判断是不是符合完全平方公式特点．若多项式各项有公因式，先提取公因式，再用完全平方差公式因式分解．
学习者分析 因式分解的步骤是“一提”、“二套”，即先看有没有公因式可提，有公因式就先提取公因式，然后再套用公式，用公式法来分解因式.
教学目标 1.掌握完全平方公式分解因式； 2．会综合运用提公因式与完全平方公式解题．
教学重点 掌握完全平方公式分解因式．
教学难点 会综合运用提公因式与完全平方公式解题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课 当a，b取下列值时，计算a2+2ab+b2的值.其中，a=99，b=1. a2+2ab+b2=？ a2+2ab+b2=(a+b)2是什么运算？ 请用语言描述下公式的结构特点。 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 （１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式） ★被分解的多项式含有三项，其中两项为平方项且它们同号（两数的平方和），另一项为中间项（这两数积的2倍）.(2)公式右边:（是分解因式的结果）★分解的结果是两个平方项底数和(差)的平方. 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题. ? 带着问题参与新课. 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，理解学生思考，进行探索.运用完全平方公式，首先判断是不是符合完全平方公式特点． 环节二：新知探究 运用首2±2×首×尾＋尾2＝（首±尾）2有哪些特点？ 首2±2首尾+尾2 首代表什么 尾代表什么 （首±尾）2x2+2 x 3+(3)2 x3(x+3)2 (-m)2+2(-m) n+n2 -mn(-m+n)2a2-2a 2b+(2b)2 a2b(a-2b)2
如图，用一张正方形纸片甲、两张长方形纸片乙、一张正方形纸片丙拼成一个大正方形丁. （1）用一个多项式表示图形丁的面积； （2）用整式积表示图丁的面积； （3）根据(1)(2)所得到的结果，写一个表示因式分解的等式. 公式法 定义：利用公式a2－b2＝(a－b)(a＋b)，或a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法． 特征：公式中的a，b可以是数，也可以是整式． 用完全平方公式分解因式的关键是：判断这个多项式是不是一个完全平方式. 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生自主解答，教师适时的进行提示 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，让学生在小组内共同合作．因式分解的步骤是“一提”、“二套”，即先看有没有公因式可提，有公因式就先提取公因式，然后再套用公式，用公式法来分解因式． 环节三：典例精析 例3 把下列各式分解因式: (1)原式=(2a)2+2×2a 3b+(3b)2=(2a+3b)2 (2)原式=-(x2-4xy+4y2=-(x-2y)2 (3)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2 例4 分解因式: 解: ＝(2x＋y)2－2· (2x＋y) ·3 ＋32 把2x＋y看做 a2－2ab＋b2 中的字母“a” 即设a＝ 2x＋y ， 这种数学思想称 为换元思想. 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，会综合运用提公因式与完全平方公式解题.
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ） A、6 B、±6 C、3 D、±3 选做题： 2.分解因式： (1)16x2＋24x＋9； (2)－3x2－12＋12x； (3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36. 【综合拓展类作业】 3.选择合适的方法因式分解： (1)8a3－2a(a＋1)2； (2)(x2＋y2)2－4x2y2.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题 1.下列因式分解对吗？说明理由 （1）m2+n2=(m+n)2 （2）m2 n2=((m n)2 （3）a2+2ab b2=(a b)2 （4） a2 2ab b2= (a b) 选做题： 2.把下列各式分解因式：(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9； (2) (x2＋16y2)2－64x2y2 【综合拓展类作业】 3.若ab＝3/8，a＋b＝5/4，求多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
教学反思
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 4.3.2用乘法公式分解因式
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级下册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.掌握完全平方公式分解因式； 2．会综合运用提公因式与完全平方公式解题．
课前学习任务
复习引入 【思考】 当a，b取下列值时，计算a2+2ab+b2的值.其中，a=99，b=1. a2+2ab+b2=？ a2+2ab+b2=(a+b)2是什么运算？ 请用语言描述下公式的结构特点。 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 （１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式） ★被分解的多项式含有三项，其中两项为平方项且它们同号（两数的平方和），另一项为中间项（这两数积的2倍）.(2)公式右边:（是分解因式的结果）★分解的结果是两个平方项底数和(差)的平方.
课上学习任务
【学习任务一】 运用首2±2×首×尾＋尾2＝（首±尾）2有哪些特点？ 首2±2首尾+尾2 首代表什么 尾代表什么 （首±尾）2x2+2 x 3+(3)2 x3(x+3)2 (-m)2+2(-m) n+n2 -mn(-m+n)2a2-2a 2b+(2b)2 a2b(a-2b)2
如图，用一张正方形纸片甲、两张长方形纸片乙、一张正方形纸片丙拼成一个大正方形丁.（1）用一个多项式表示图形丁的面积； （2）用整式积表示图丁的面积； （3）根据(1)(2)所得到的结果，写一个表示因式分解的等式. 【学习任务二】 公式法 定义：利用公式a2－b2＝(a－b)(a＋b)，或a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法． 特征：公式中的a，b可以是数，也可以是整式． 用完全平方公式分解因式的关键是：判断这个多项式是不是一个完全平方式. 【学习任务三】 例3 把下列各式分解因式: 例4 分解因式: 【习任务四】课堂练习 必做题： 1、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ） A、6 B、±6 C、3 D、±3 选做题： 2.分解因式： (1)16x2＋24x＋9； (2)－3x2－12＋12x； (3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36. 【综合拓展类作业】 3.选择合适的方法因式分解： (1)8a3－2a(a＋1)2； (2)(x2＋y2)2－4x2y2. 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列因式分解对吗？说明理由 （1）m2+n2=(m+n)2 （2）m2 n2=((m n)2 （3）a2+2ab b2=(a b)2 （4） a2 2ab b2= (a b) 选做题： 2.把下列各式分解因式：(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9； (2) (x2＋16y2)2－64x2y2 【综合拓展类作业】 3.若ab＝3/8，a＋b＝5/4，求多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
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