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第1章 相交线与平行线单元提升卷
【浙教版2024】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24七年级·山东菏泽·期末）如图，直线，相交于点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2024·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（23-24七年级·江苏镇江·期末）如图所示，下列说法错误的是( )
A．∠A与∠1是同位角
B．∠3与∠1是同位角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠A与∠C是同旁内角
4．（3分）（23-24七年级·辽宁丹东·期末）如图，下列条件：①；②；③；④中，能判断直线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）（23-24七年级·云南曲靖·期末）如图，已知，直线分别与直线、交于点，，平分，交于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图所示，下列说法不正确的是
A．线段BD是点B到AD的垂线段 B．线段AD是点D到BC的垂线段
C．点C到AB的垂线段是线段AC D．点B到AC的垂线段是线段AB
7．（3分）（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（23-24七年级·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（23-24七年级·山西大同·阶段练习）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为（ ）时，与平行．（ ）
A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒
10．（3分）（23-24七年级·安徽铜陵·期末）如图， 平分，下列结论：
①；②；③；④；⑤若，则，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）如图，直线和交于O点，平分于点，则 ．
12．（3分）（23-24七年级·湖南永州·期末）在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ．
13．（3分）（23-24七年级·安徽安庆·期末）在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为 ．
14．（3分）（23-24七年级·河北邢台·期末）小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直角三角板，并将边延长至点，第二步将另一块三角板的直角顶点与三角板的直角顶点重合，摆放成如图所示，延长至点，与就是一组对顶角，若，则 ，若重叠所成的，则的度数 ．
15．（3分）（23-24七年级·辽宁铁岭·期末）如图，直线与相交于点，在的平分线上有一点，，当时，的度数是 ．
16．（3分）（23-24七年级·浙江·期中）如图，，BC平分，设为，点E是射线BC上的一个动点，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分．
(1)求的度数．
(2)若，求的度数．
18．（6分）（23-24七年级·全国·课后作业）已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置跳到终点位置有两种不同路径，路径1：；路径2：.
试一试：（1）写出从起始位置跳到终点位置的一种路径；（2）从起始位置依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置？
19．（8分）（23-24七年级·广东广州·期末）完成下面的证明：
如图，平分，平分，且．
求证：．
证明：∵平分（已知），
∴（ ）．
又∵平分（ ），
∴______（ ）．
（ ）．
又∵（已知），
（______）（ ）．
∴（ ）．
20．（8分）（23-24七年级·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
21．（8分）（23-24七年级·广东广州·期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数．
22．（8分）（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数．
23．（8分）（23-24七年级·河南商丘·期末）已知∶ 平分
(1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，当时，求的度数；
(3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，．
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第1章 相交线与平行线单元提升卷
【浙教版2024】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24七年级·山东菏泽·期末）如图，直线，相交于点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的性质和邻补角的性质，根据对顶角相等求出的度数，根据，求出，再由邻补角的性质求出的度数即可，掌握对顶角相等，邻补角之和等于是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
2．（3分）（2024·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题．
【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
C中能用垂线段最短进行解释，符合题意；
D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）（23-24七年级·江苏镇江·期末）如图所示，下列说法错误的是( )
A．∠A与∠1是同位角
B．∠3与∠1是同位角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠A与∠C是同旁内角
【答案】B
【详解】分析：根据同位角、内错角、同旁内角的定义，可得答案．
【解答】解：A、∠A与∠1是同位角，故A正确；
B、∠1与∠3是同旁内角，故B错误；
C、∠2与∠3是内错角，故C正确；
D、∠3与∠B是同旁内角，故D正确；
故选B．
点睛：本题考查了同位角、内错角、同旁内角，根据定义解题是解题关键．
4．（3分）（23-24七年级·辽宁丹东·期末）如图，下列条件：①；②；③；④中，能判断直线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次判断即可，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键
【详解】解：∵，∴根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意；
不能证得，故②不符合题意；
∵，∴根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意；
∵，∴根据同旁内角互补两直线平行可得，故④符合题意；
故选：C
5．（3分）（23-24七年级·云南曲靖·期末）如图，已知，直线分别与直线、交于点，，平分，交于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂线的定义、与角平分线有关的计算、平行线的性质，由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出，由垂线的定义得出，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．（3分）（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图所示，下列说法不正确的是
A．线段BD是点B到AD的垂线段 B．线段AD是点D到BC的垂线段
C．点C到AB的垂线段是线段AC D．点B到AC的垂线段是线段AB
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离的意义对各个选项一一判断即可得出答案．
【详解】解：A、线段BD是点B到AD的垂线段，故A正确；
B、线段AD是点A到BC的垂线段，故B错误；
C、点C到AB的垂线段是线段AC，故C正确；
D、点B到AC的垂线段是线段AB，故D正确；
故选B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的意义是解题关键．
7．（3分）（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线间距问题，三角形的面积等，根据平行线间间距处处相等结合三角形面积公式证明是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
故选：．
8．（3分）（23-24七年级·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∵沿，折叠，使点和点都落在点处，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴．
故选：C．
9．（3分）（23-24七年级·山西大同·阶段练习）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为（ ）时，与平行．（ ）
A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒
【答案】D
【分析】分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
∵，，
∴，，
要使，则，
即，
解得；
此时，
∴；
②旋转到与都在的右侧时，
∵，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
∴；
③旋转到与都在的左侧时，
∴，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
而，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
10．（3分）（23-24七年级·安徽铜陵·期末）如图， 平分，下列结论：
①；②；③；④；⑤若，则，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．
由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，即，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误；
∵，，，，
∴
，
∵，
∴，
即，故④正确；
∵
，
∴为定值，故④正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）如图，直线和交于O点，平分于点，则 ．
【答案】/120度
【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．
根据对顶角性质可得．根据平分，可得，根据，得出，利用两角和得出即可．
【详解】解：∵、相交于点，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．（3分）（23-24七年级·湖南永州·期末）在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ．
【答案】（或垂直）
【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可．
【详解】解：∵，，，，……，
∴，，，，，，，，……，
∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环，
∵，
∴，
故答案为：（或垂直）．
【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．
13．（3分）（23-24七年级·安徽安庆·期末）在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题时注意：如果 一个角的两边分别和另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补．
根据平行线性质得出①，②，再根据，分两种情况分别求出两个角的度数即可．
【详解】解：与的两边分别平行，，．
分三种情况：
（1）如图1，与的两边都不相交，
延长交于，，
，
，
，
；
（2）如图2，与的一条边相交，
，
，
，
，
；
（3）如图3，与的两条边都相交，
，
，
，
，
．
综上可得①或②，
比的3倍少，
③，把③代入①得：，
解得，；
把③代入②得：，
解得，
故答案为：或．
14．（3分）（23-24七年级·河北邢台·期末）小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直角三角板，并将边延长至点，第二步将另一块三角板的直角顶点与三角板的直角顶点重合，摆放成如图所示，延长至点，与就是一组对顶角，若，则 ，若重叠所成的，则的度数 ．
【答案】 30° 180°－n°
【分析】（1）根据对顶角相等，可得答案；
（2）根据角的和差，可得答案．
【详解】解：（1）若∠ACF=30°，则∠PCD=30°，理由是对顶角相等．
（2）由角的和差，得∠ACD+∠BCE=∠ACB+∠BCD+∠BCE=∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠ACD=180°-∠BCE=180°-n°．
故答案为：30°，180°－n°．
【点睛】本题考查了对顶角的性质、角的和差，由图形得到各角之间的数量关系是解答本题的关键．
15．（3分）（23-24七年级·辽宁铁岭·期末）如图，直线与相交于点，在的平分线上有一点，，当时，的度数是 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查平行线的性质，邻补角定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，先利用邻补角求得，进而根据角平分线定义得，进而根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．（3分）（23-24七年级·浙江·期中）如图，，BC平分，设为，点E是射线BC上的一个动点，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）．
【答案】或
【分析】根据题意可分两种情况，①若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，，列出等量关系求解即可得出结论；②若点运动到下方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，列出等量关系求解即可得出结论．
【详解】解：如图，若点E运动到l1上方，
，
，
平分，
，
，
又，
，
，
解得；
如图，若点E运动到l1下方，
，
，
平分，
，
，
又，
，
，
解得．
综上的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分．
(1)求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，对顶角相等，角平分线的定义，采用数形结合的思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
（1）由角平分线定义得到，，即可得到答案；
（2）由平角定义得到，由对顶角的性质得到，由角平分线的定义可得，即可求解．
【详解】（1）解： 平分，平分，
，，
，
；
（2）解： ，，
，
，
平分，
，
．
18．（6分）（23-24七年级·全国·课后作业）已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置跳到终点位置有两种不同路径，路径1：；路径2：.
试一试：（1）写出从起始位置跳到终点位置的一种路径；
（2）从起始位置依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置？
【答案】（1）（答案不唯一）；（2）能跳到终点位置.其路径为
（答案不唯一）
【分析】（1）根据同旁内角、内错角和同位角的定义进行选择路径即可；
（2）先判断能够到达终点位置，在根据定义给出具体路径即可.
【详解】（1）可以是这样的路径：.（答案不唯一）
（2）从起始位置依次按同位角内错角同旁内角的顺序跳，能跳到终点位置.其路径为
（答案不唯一）.
【点睛】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的定义，熟知这些角的特征是解题的关键.
19．（8分）（23-24七年级·广东广州·期末）完成下面的证明：
如图，平分，平分，且．
求证：．
证明：∵平分（已知），
∴（ ）．
又∵平分（ ），
∴______（ ）．
（ ）．
又∵（已知），
（______）（ ）．
∴（ ）．
【答案】角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可．
【详解】证明：∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
20．（8分）（23-24七年级·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先由得到，然后等量代换得到，然后根据平行线的判定定理求解即可；
（2）首先根据垂直的定义得到，然后根据平行线的性质得到，然后求出，然后就平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴．
21．（8分）（23-24七年级·广东广州·期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数．
【答案】(1)70°
(2)24°或120°
(3)175°或170°或140°
【分析】（1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果；
（2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，利用角的和差进行计算即可；
（3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用角的和差进行计算即可．
【详解】（1）解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC＝70°；
（2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE，
∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC，
∴∠COE＋∠COE＝40°，
∴∠COE＝24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，
∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
∴∠COE﹣∠COE＝40°，
∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°；
（3）解：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，
作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，
设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°，
∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°，
∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°，
∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°，
∴x°＝5°，
∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°；
②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝80°，
∵∠COB＝40°，
∵80°＞40°，
∴x°＝80°不符合题意舍去；
③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，
∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝10°，
∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°；
④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°，
解得x°＝40°，
∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°，
综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°．
【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论．
22．（8分）（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：
（1）过点O作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可；
（2）根据同位角相等证明，根据内错角相等证明即可；
（3）作，根据平行线的判定和性质，结合角的比值求解即可．
【详解】（1）证明：过点O作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
作，
∴，，
∴．
23．（8分）（23-24七年级·河南商丘·期末）已知∶ 平分
(1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，当时，求的度数；
(3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据推出，进而得出，再根据角的和差关系、角平分线的定义推出，可证；
（2）仿照（1）求出，再根据，推出，根据即可求解；
（3）根据推出，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：当时，，理由如下：
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
当时，，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的定义、角的和差关系是解题的关键．
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