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专题1.5 平行线的判定与性质中常用思想方法
【浙教版2024】
【题型1 整体思想求角】
1．（23-24七年级·江苏苏州·期中）如图，，与的角平分线交于点G，且，已知，若，，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级·上海·期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角．如若，，则为的6系补周角．
(1)若，则的4系补周角的度数为______
(2)在平面内，点E是平面内一点，连接．
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，（其中n为常数且），点P是角平分线上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
3．（23-24七年级·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
4．（23-24七年级·广西河池·阶段练习）（1）如图1，已知，点E在两平行线的内侧，连接，．若，，求的度数；
（2）如图2，已知，点E在两平行线的外侧，连接，，若，．
①求的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作的平分线交于点G，连接，平分（如图3）．若，，分别求出α，β的度数．
5．（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图1，点在直线、之间，且．
（1）求证：；
（2）若点是直线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数；
（3）如图3，点是直线、外一点，且满足，，与交于点．已知，且，则的度数为______（请直接写出答案，用含的式子表示）．
6．（23-24七年级·广东清远·期中）如图，已知，，点P是射线M上一动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
(1)_________
(2)_________
(3)当点P运动到某处时，，则此时_________
(4)在点P运动的过程中，与的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．
7.（23-24七年级·河北保定·期末）如图，，点P为平面内一点．
(1)如图①，当点P在与之间时，若，，则 ；
(2)如图②，当点P在点B右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明；
(3)如图③，平分，平分，若，则 ．
【题型2 方程思想求角】
8．（23-24七年级·江苏扬州·期中）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
(1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论．
(2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）
9．（23-24七年级·全国·单元测试）如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且．
(1)求证：；
(2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为．
①若，求的度数；
②当k为何值时，为定值，并求此定值．
10．（23-24七年级·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图1，若，则的度数为 ；
②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数；
(2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．
11．（24-25七年级·重庆·开学考试）如图，，点，，，不在同一条直线上．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，直线，交于点，且，，
①试探究与的数量关系；
②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）．
12．（23-24七年级·全国·单元测试）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、
(1)如图，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图，平分，平分，当时，求出的度数；
(3)如图，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，请求出的度数．
【题型3 分类讨论思想求角】
13．（24-25七年级·广东佛山·阶段练习）已知，直线与交于点C，与交于点D，点C，D均不与点O重合，平分，平分,
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，延长与交于点F，过E作射线与交于点G，且满足．求证：；
(3)如图3，过点C作，是的外角平分线所在直线，与射线交于点N，与交于点M．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数．
14．（24-25七年级·全国·阶段练习）如图1，已知，P是直线，外的一点，于点F，交于点E，满足．
(1)求的度数；
(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当到达时立刻返回至，然后继续按上述方式旋转；射线从出发，以每秒的速度绕E点按顺时针方向旋转至后停止运动，此时射线也停止运动．若射线、射线同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线平分时，求的度数；
②当直线与直线平行时，求t的值．
15．（24-25七年级·广东广州·期中）如图，为的外角，射线分别三等分，且 ，，点在边上，过点作线段，分别与交于点，射线三等分，且，与相交于点．
(1)若，，则 ， ；
(2)若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的两倍，请求出所有符合条件的的度数．
16．（24-25七年级·安徽蚌埠·期中）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E．平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与的延长线相交于点Q．
(1)若，则_____°，_____°；
(2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化求出的度数（用的代数式表示）；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则所有符合条件的的度数为_____．
17．（23-24七年级·湖南永州·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a、b，且，直角三角尺中，，．
(1)【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则__________；
(2)【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线a所夹锐角的度数．
18．（23-24七年级·四川泸州·阶段练习）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点．
(1)如图1，当点在点左侧时，若，求的度数；
(2)若，平分，交直线于点．
①如图2，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由；
②与之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由．
19．（23-24七年级·吉林白城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知、、，且a、b满足．平移线段得到线段，使点A与点C对应，点B与点D对应，连接，．
(1)求a、b的值，并直接写出点D的坐标；
(2)已知点P是射线上的点（不与点A、B重合），连接、．
①是否存在点P，使三角形的面积是三角形的面积的2倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②设，，．请直接写出、、之间满足的关系式．
20．（23-24七年级·江苏泰州·周测）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，在
中，，可知，所以为2倍角三角形．
(1)在中，，则为 倍角三角形．
(2)已知：在图中直线被直线EF所截交点分别为E、F，，与的平分线交于点G，若
是6倍角三角形，求．
(3)如图，顶点在直线上的O处，P为上方一点， ，若，则是几倍三角形？并说明理由．
(4)在中，，若既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，求∠A的度数．
21．（23-24七年级·北京·期中）已知AB∥CD，直线与、分别交于点E、F，点G为落在直线和直线之间的一个动点．
(1)如图1，点G恰为和的角平分线的交点，则____________；
(2)若点G恰为和的三等分线的交点，有如下结论：①一定为钝角；②可能为；③若为直角，则．其中正确结论的序号为____________；
(3)进一步探索，若，且点G不在线段上，记，为最接近的n等分线，是最接近的n等分线（其中）．直线交于点，是否存在某一正整数n，使得？说明理由．
22．（23-24七年级·河南信阳·期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．
①则当旋转时间t＝ 秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求的值．
23．（24-25七年级·上海·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中．
(1)填空：与的数量关系_______；理由是_______；
(2)直接写出与的数量关系_______；
(3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题：
①当时，画出图形，并求出的度数；
②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形．
24．（23-24七年级·贵州黔东南·期中）【问题情境】将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当且点在直线的上方时，解决下列问题（提示：，，）：
【问题解决】
(1)①若，则的度数为______度；
②若，则的度数为______度；
(2)请猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)随着的度数的变化，三角板的一边是否能与三角板的一边平行？若存在，请直接写出的度数的所有值；若不存在，请说明理由．
25．（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，将一个含的直角三角板放置在直尺上，使直尺与三角板的边BC重合，再将一个含的直角三角板放置在直尺上，使得三角板的最长边在所在直线l上．其中，，．
(1)如图1，当点E与点B重合时，与直尺上沿交于点H，求的度数；
(2)如图2，与直尺上沿交于点G，连接，在三角板沿直线l运动的过程中，是否存在某个位置，使得与三角板的一条边平行，若存在，请求出此时的度数；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，小明将直角三角板换成一般三角形卡片，其中．在三角形卡片沿直线l运动的过程中，请直接写出当与满足怎样的数量关系时，与三角板的一条边平行．
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专题1.5 平行线的判定与性质中常用思想方法
【浙教版2024】
【题型1 整体思想求角】
1．（23-24七年级·江苏苏州·期中）如图，，与的角平分线交于点G，且，已知，若，，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过D作，连接并延长到H，连接，根据平行线的性质得到，利用三角形的内角和定理和平行线的性质得到，再根据角平分线的定义证得；再利用三角形的外角性质得到，进而可求解．
【详解】解：过D作，连接并延长到H，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，
∴，，
∴，
∴，即；
∵，，
∴，
则，
∴，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理和外角性质、角平分线的定义，添加辅助线，利用平行线的性质探索角之间的数量关系是解答的关键．
2．（24-25七年级·上海·期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角．如若，，则为的6系补周角．
(1)若，则的4系补周角的度数为______
(2)在平面内，点E是平面内一点，连接．
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，（其中n为常数且），点P是角平分线上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①②
【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解即可；
（2）①过作，得，再由已知，是的3系补周角，列出的方程，求得的度数；
②根据系补周角的定义先确定点的位置，再结合，求解与的关系即可求解．
本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义．
【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得：
，
解得，
的4系补周角的度数为，
故答案为：70；
（2）解：①过作，如图1，
，
，
，
∵，
，
，
即，
是的3系补周角，
，
，
；
②如图2，当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角，
过点作，过点作，如图2，
，
，，
，，，，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
∵ ，（其中n为常数且），
，
，
，
，
是的系补周角，
此时，．
3．（23-24七年级·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可得；
（2）先证明，得到，则，再证明，得到，则，可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（23-24七年级·广西河池·阶段练习）（1）如图1，已知，点E在两平行线的内侧，连接，．若，，求的度数；
（2）如图2，已知，点E在两平行线的外侧，连接，，若，．
①求的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作的平分线交于点G，连接，平分（如图3）．若，，分别求出α，β的度数．
【答案】（1）；（2）①；②，
【分析】（1）如图1，过点E作．根据两直线平行，内错角相等即可作答．
（2）①如图2，根据平行线的性质，由，得．根据三角形外角的性质，即可作答．②如图3，根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠1＝∠2．根据角平分线的定义，得∠EAB＝∠1＝ ，∠2＝∠3，那么∠3＝∠EAB＝．根据三角形内角和定理，得∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°，进而求得α＝25°，β＝55°．
【详解】解：（1）如图1，过点E作．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
（2）①∵，
∴．
又∵，，
∴．
②如图3，
∵，
∴．
又∵平分，
∴．
∴．
∵平分于，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理是解决本题的关键．
5．（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图1，点在直线、之间，且．
（1）求证：；
（2）若点是直线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数；
（3）如图3，点是直线、外一点，且满足，，与交于点．已知，且，则的度数为______（请直接写出答案，用含的式子表示）．
【答案】（1）见解析；（2）10°；（3）
【分析】（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出结合已知条件，得出即可证明；
（2）过点E作HE∥CD，设 由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，由平行线的性质，得出再由平分，得出则，则可列出关于x和y的方程，即可求得x，即的度数；
（3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，根据和，得出根据CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出 即根据NP∥AB，得出再由，得出由AB∥QM,得出因为，代入的式子即可求出．
【详解】（1）过点E作EF∥CD，如图，
∵EF∥CD,
∴
∴
∵,
∴
∴EF∥AB，
∴CD∥AB；
（2）过点E作HE∥CD，如图，
设
由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，
∴
∴
又∵平分，
∴
∴
即
解得：即；
（3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，如图，
由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，
∵NP∥CD，CD∥QM，
∴,
又∵，
∴
∵,
∴
∴
又∵PN∥AB，
∴
∵,
∴
又∵AB∥QM，
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．
6．（23-24七年级·广东清远·期中）如图，已知，，点P是射线M上一动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
(1)_________
(2)_________
(3)当点P运动到某处时，，则此时_________
(4)在点P运动的过程中，与的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补求解即可；
（2）由（1）知，再根据角平分线的定义知、，可得，即；
（3）由得，进而可证，由（2）可知：，，从而可求的值；
（4）由平行线的性质得，，由角平分线的定义得，进而可求．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴、，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
由（2）可知：，，
∴，
∴；
故答案为：；
（4）不变，．
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质，以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7.（23-24七年级·河北保定·期末）如图，，点P为平面内一点．
(1)如图①，当点P在与之间时，若，，则 ；
(2)如图②，当点P在点B右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明；
(3)如图③，平分，平分，若，则 ．
【答案】(1)
(2)；理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质等；
（1）过点P作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解；
（2）过点P作，同理可得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解；
（3）延长交于点H，过点G，作，同理可得：，由平行线的性质得，，，由角的和差得 ，由三角形内角和及邻补角的定义得，即可求解；
掌握平行线的判定及性质，解决这类问题的典型做法：作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：过点P作，
，
，
又，，
，
，
；
故答案：；
（2）解：；
理由如下：
过点P作，
同理可得：，
，
，
，
；
（3）解：延长交于点H，过点G，作，
同理可得：，
，
，
，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【题型2 方程思想求角】
8．（23-24七年级·江苏扬州·期中）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
(1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论．
(2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)等于
【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键．
（1）如图，过作．得，故，，因此．
（2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可．
（3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可．
【详解】（1）证明：如图，过作．
，
，
，，
．
（2）解：、、三者之间的数量关系：．
理由如下：
如图：过作．
由（1）①．
，
，
②，
①②得，
即，
，
，
．
答：、、三者之间的数量关系：．
（3）证明：、分别平分和，
，，
由（1）结论得：，
，
．
，
，
，
由三角形内角和得：
．
答：等于．
9．（23-24七年级·全国·单元测试）如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且．
(1)求证：；
(2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为．
①若，求的度数；
②当k为何值时，为定值，并求此定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②当时，为定值，此时定值为．
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
（1）利用平行线的性质解答即可；
（2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解；
②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论．
【详解】（1）证明：如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）设，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
由（1）可得：
，，，
∴，
∴，，
①∵，
∴，
∴，，
∴；
②，定值为，理由如下：
当时，，
∴当时，为定值，此时定值为．
10．（23-24七年级·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图1，若，则的度数为 ；
②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数；
(2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；
（2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到．
【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作，
，
，
∴
，
，
同理可得: ，
∵，
∴，
∵平分平分；
，
∴．
故答案为：．
②如图，过点Q作，
∵平分平分，
，，
设，
∵，，
，
∵，
，
，
，
，
由（1）可知，
∴．
（2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分，
设H为线段的延长线上一点，则，，
设，,，
如图，过点O作，则，
，，
，
，
由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴．
11．（24-25七年级·重庆·开学考试）如图，，点，，，不在同一条直线上．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，直线，交于点，且，，
①试探究与的数量关系；
②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角的计算，
（1）如图1，过作，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）①设，，，，由（1）知：，如图2，过作，根据平行线的性质即可得到结论；
②如图3，过作，根据平行线的性质即可得到结论；
熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图1，过作，
∵，
∴，
∴，，∴，
∴
∴，
即；
（2）解：①∵，，
∴设，，，，
由（1）可知：，
∴，
如图2，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴与的数量关系为；
②如图3，
∵，，
∴，
∵，
∴，
由①知：，
过作，
∴，，
∴，
∴的度数为．
12．（23-24七年级·全国·单元测试）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、
(1)如图，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图，平分，平分，当时，求出的度数；
(3)如图，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，请求出的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．
（1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论；
（2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论；
（3）如图，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论．
【详解】（1）解：，
理由如下：
如图，过点作，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，
同理（1）可得，，
，，
，
平分，平分，
，，
，
作，同理（1）可得，；
（3）解： 如图，过点作，
设，
，
平分，
，
，
，，
，
，
平分，
，
作，同理可得，．
【题型3 分类讨论思想求角】
13．（24-25七年级·广东佛山·阶段练习）已知，直线与交于点C，与交于点D，点C，D均不与点O重合，平分，平分,
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，延长与交于点F，过E作射线与交于点G，且满足．求证：；
(3)如图3，过点C作，是的外角平分线所在直线，与射线交于点N，与交于点M．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理，平行线的判定，三角形外角的性质，准确识别各角之间的关系是解题的关键．
（1）先求出，再根据角平分线定义求出和，然后利用三角形内角和定理计算即可；
（2）根据角平分线定义求出，利用三角形外角的性质可得，结合已知证明，再根据平行线的判定得出结论；
（3）由题意可知，分两种情况：①当时，②当时，先分别求出，再利用三角形外角的性质求出，然后根据角平分线定义计算即可．
【详解】（1） ,，
，
平分，平分,
，，
，
（2）证明： 平分，平分,
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）分情况讨论：①当时，
∵，即，
∴，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分,
；
②当时，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
综上，的度数为或．
14．（24-25七年级·全国·阶段练习）如图1，已知，P是直线，外的一点，于点F，交于点E，满足．
(1)求的度数；
(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当到达时立刻返回至，然后继续按上述方式旋转；射线从出发，以每秒的速度绕E点按顺时针方向旋转至后停止运动，此时射线也停止运动．若射线、射线同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线平分时，求的度数；
②当直线与直线平行时，求t的值．
【答案】(1)；
(2)①或或；②．
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质．
（1）根据平行线的性质及三角形外角可得答案；
（2）①由角平分线的定义得，据此求出运动时间，即可求出的度数；
②由平行可得，再根据动点表示出和，然后列方程求解即可，注意分类讨论即可．
【详解】（1）解：如图1，
∵，
，
∵，
，
，
；
（2）解：∵射线从出发，以每秒的速度绕E点按顺时针方向旋转至后停止运动，此时射线也停止运动．
∴，
∵射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当到达时立刻返回至，然后继续按上述方式旋转；
∴当时，第一次到达，当时，第一次返回到，时射线停止运动；
①当平分时，时，，
当时，未到达之前，，运动时间（秒），
∴；
当时，继续运动至时，立刻返回至，此时，运动时间（秒），
∴；
当时，继续运动至后，立刻返回至，此时，运动时间（秒），
∴；
综上，的度数为或或；
②当直线与直线平行时，，
∵，
∴，
当时，此时，
∴，解得，不合题意；
当时，此时，
∴，解得，不符合题意；
当时，此时，，
∴，解得，，故符合题意；
故答案为：．
15．（24-25七年级·广东广州·期中）如图，为的外角，射线分别三等分，且 ，，点在边上，过点作线段，分别与交于点，射线三等分，且，与相交于点．
(1)若，，则 ， ；
(2)若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的两倍，请求出所有符合条件的的度数．
【答案】(1)，；
(2)不变，，理由见解析；
(3)的度数为或．
【分析】（）根据角度和差、倍分，三角形的内角和定理，三角形的外角性质即可求解；
（）根据角度和差、倍分，三角形的内角和定理，三角形的外角性质即可求解；
（）设，分当；当；当，当分析即可；
本题考查了角度和差，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，∴，
∴ ，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：不变，，理由：
∵，
∴，，
∵ ，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴；
（3）设，由（）得：，，，∴当，解得：，不符合题意，舍去；
当，无解；
当，解得：，符合题意；
当，解得：，符合题意；
综上可知：的度数为或．
16．（24-25七年级·安徽蚌埠·期中）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E．平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与的延长线相交于点Q．
(1)若，则_____°，_____°；
(2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化求出的度数（用的代数式表示）；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则所有符合条件的的度数为_____．
【答案】(1)115，25；
(2)不变化， ， ；
(3)或或．
【分析】（1）先求出，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可得出的度数；根据角平分线的定义及邻补角的定义得，进而可得出的度数；
（2）根据角平分线的定义及平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，则，进而可得出的度数；然后根据可得出的度数；
（3）由（1）（2）可知，，，根据当若中存在一个内角等于另一个内角的2倍，有以下4中情况：①当时，②当时，③当时，④当时，根据每一种情况求出的值即可得出的度数．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键．
【详解】（1）解： 在中，，，
，
平分，
，
，
，，
平分，
，
在中，；
，
平分，平分，
，，
，
，
在中，，
故答案为：；；
（2）解：、均不发生变化，，，理由如下：
，
，，
平分，平分，
，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
由（1）可知：，
在中，；
（3）解：由（1）（2）可知：在△中，，，，
当若中存在一个内角等于另一个内角的2倍时，有以下4中情况：
①当时，则，
解得：；
②当时，则，
解得：；
③当时，则，
解得：；
④当时，则，
解得：，
综上所述：若中存在一个内角等于另一个内角的2倍时，的度数为或或，
故答案为：或或．
17．（23-24七年级·湖南永州·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a、b，且，直角三角尺中，，．
(1)【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则__________；
(2)【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线a所夹锐角的度数．
【答案】(1)35
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数；
（2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系；
（3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；②当在直线的下方时，同理得，设，则，进而得，由平角的定义得，即，由此解出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；综上所述可得射线与直线所夹锐角的度数．
此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
【详解】（1）解：过点作，如图1所示：
直线，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：35．
（2）解：与间的数量关系是：，理由如下：
如图2所示：
，，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
即，
（3）解：依题意有以下两种情况：
①当在直线的上方时，如图3所示：
，，
，
设，
则，
点在直线上且保持不动，，
，
解得：，
，
直线，
，
，
②当在直线的下方时，如图4所示：
同理得：，
设，
则，
，
点在直线上且保持不动，
，
，
解得：，
，
直线，
，
，
综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或．
18．（23-24七年级·四川泸州·阶段练习）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点．
(1)如图1，当点在点左侧时，若，求的度数；
(2)若，平分，交直线于点．
①如图2，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由；
②与之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由．
【答案】(1)
(2)①点在点左侧运动时，的度数不会发生变化，，理由见解析；②与之间的关系为或
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）延长到，由平行线的性质可得，求出，由角平分线的定义得出，最后再由平行线的性质可得答案；
（2）①延长到，设，由角平分线的定义得出，，由平行线的性质得出，从而得出，求出，由角平分线的定义得出，再由计算即可得出答案；②分两种情况：当点在点的左侧时，延长至；当点在点的右侧时，延长至，分别利用平行线的性质并结合角平分线的定义计算即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，延长到，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①点在点左侧运动时，的度数不会发生变化，，理由如下：
如图，延长到，
设，
∵平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
②与之间的关系为或，
当点在点的左侧时，延长至，如图，
设，
∵平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
当点在点的右侧时，延长至，如图，
设，
∵平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
综上所述，与之间的关系为或．
19．（23-24七年级·吉林白城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知、、，且a、b满足．平移线段得到线段，使点A与点C对应，点B与点D对应，连接，．
(1)求a、b的值，并直接写出点D的坐标；
(2)已知点P是射线上的点（不与点A、B重合），连接、．
①是否存在点P，使三角形的面积是三角形的面积的2倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②设，，．请直接写出、、之间满足的关系式．
【答案】(1)，，点D的坐标为
(2)①存在．点P的坐标为或；②当点P在线段AB上时，、、满足的关系式为；当点P在线段AB的延长线上时，、、满足的关系式为
【分析】（1）由a、b满足的关系式，利用二次根式的双重非负性和任何数的平方都大于等于0求出a、b，再根据题意即可求出点D的坐标；
（2）根据题意设出点坐标，结合点和点坐标求出，利用三角形面积公式建立方程求解即可；根据题意得；，，过点作，结合平行线的性质即可得出结论．
【详解】（1）解： ，
，，
，，
又线段平移得到线段，且点A与点C对应，点B与点D对应，
平移到，，，
变化过程是向右平移2个单位，再向上平移4个单位，
平移到点，，，
．
（2）①存在．设点，则， ，，
，即，或1．
存在点P，使三角形PCD的面积是三角形的面积的2倍，
此时点P的坐标为或．
②当点在上时，如图，过点作，
，
，，
又，
，
，，，
；
当点在的延长线时，如图，过点作
，
，，
又，
，
，，，
．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系与几何图形的综合运用，平行线的性质运用，掌握平面直角坐标系中平移的性质是解题的关键，学会构造合适的辅助线使解答更容易．
20．（23-24七年级·江苏泰州·周测）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，在
中，，可知，所以为2倍角三角形．
(1)在中，，则为 倍角三角形．
(2)已知：在图中直线被直线EF所截交点分别为E、F，，与的平分线交于点G，若
是6倍角三角形，求．
(3)如图，顶点在直线上的O处，P为上方一点， ，若，则是几倍三角形？并说明理由．
(4)在中，，若既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，求∠A的度数．
【答案】(1)3
(2)或或或
(3)既是2倍角三角形，也是8倍角三角形，理由见解析
(4)或或
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案；
（2）先根据平行线的性质和角平分线的定义求出，则，然后分四种情况讨论求解即可；
（3）根据 ，求出，从而得到，再由三角形内角和定理可得，由此即可得到结论；
（4）分当时， 当时，当时，三种情况利用三角形内角和定理讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
∴，
∴为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解：∵，
∴，
∵分别是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
∴；
当时，则，
∴；
当，则，
∴；
当，则，
∴；
综上所述，的度数为或或或；
（3）解：既是3倍角三角形，也是8倍角三角形，理由如下：
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴既是3倍角三角形，也是8倍角三角形；
（4）解：∵在中，，若既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，
∴当时，∵，
∴，
∴；
当时，同理可求得；
当时，同理可求得；
综上所述，的度数为或或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键．
21．（23-24七年级·北京·期中）已知AB∥CD，直线与、分别交于点E、F，点G为落在直线和直线之间的一个动点．
(1)如图1，点G恰为和的角平分线的交点，则____________；
(2)若点G恰为和的三等分线的交点，有如下结论：①一定为钝角；②可能为；③若为直角，则．其中正确结论的序号为____________；
(3)进一步探索，若，且点G不在线段上，记，为最接近的n等分线，是最接近的n等分线（其中）．直线交于点，是否存在某一正整数n，使得？说明理由．
【答案】(1)
(2)②③
(3)不存在某一正整数n，使得，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BEF+∠DFE=180°，再根据角平分线的定义可得∠EBF+∠DFE=90°，即可求解；
（2）当∠FEG=，∠EFG=时，可得∠FEG+∠EFG=，从而得到∠EGF=60°，故①错误；②正确；若为直角，则∠FEG+∠EFG=90°，分两种情况：或，可得③正确，即可求解；
（3）根据题意可得．然后分两种情况讨论：当G在左侧，此时必在左侧；当G在右侧，此时，即可求解．
【详解】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵点G恰为和的角平分线的交点，
∴∠EBF=2∠FEG，∠DFE=2∠EFG，
∴∠EBF+∠DFE=90°，
∴EGF=90°；
故答案为：90°
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
当∠FEG=，∠EFG=时，
∠FEG+∠EFG=，
∴∠EGF=60°，
∴不一定为钝角；可能为；
故①错误；②正确；
若为直角，则∠FEG+∠EFG=90°，
∴或，
当时，
∴，即，
∴∠DFE=270°-2∠BEF，
∵∠BEF+∠DFE=180°，
∴∠BEF=90°，即EF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
当时，
同理得∠DFE=90°，即EF⊥CD，
∴若为直角，则．故③正确；
故答案为：②③
（3）解：不存在某一正整数n，使得．
理由如下：∵为最接近的n等分线，是最接近的n等分线，
∴．
当G在左侧，此时必在左侧，如图1所示，
过作，
∵AB∥CD，
∴．
∴
即．
当G在右侧，此时，
若，则在左侧，如图2所示，
同理可得，此时．
若，则与F重合，不存在，舍去．
若，则在右侧，如图3所示，
过作，
∵AB∥CD，
∴
∴
∵，
∴，
即．
综上所述，不存在某一正整数n，使得．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质，有关角平分线的计算，三角形的内角和定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
22．（23-24七年级·河南信阳·期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．
①则当旋转时间t＝ 秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求的值．
【答案】（1）∠BOC＝∠BOE，见解析；（2）①7或25；②存在，t的值为2，8，32；③的值为50°
【分析】（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据角平分线的定义得出∠AOD＝∠AOC，即可得答案；
（2）①由∠COE＝140°知∠COD＝40°，分AB在直线DE上方和下方两种情况，根据平行线的性质分别求得∠AOD度数，从而求得t的值；
②当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD平分∠AOC时∠AOD＝∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；
③由、即可得出的结果．
【详解】解：（1）∠BOC＝∠BOE；
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE；
（2）①∵∠COE＝140°，
∴∠COD＝40°，
如图1，当AB在直线DE上方时，
∵AB∥OC，
∴∠AOC＝∠A＝30°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝70°，
即（秒）；
如图2，当AB在直线DE下方时，
∵AB∥OC，
∴∠COB＝∠B＝60°，
∴，
则∠AOD＝90°+20°＝110°，
∴t＝（秒），
故答案为：7或25；
②由题可知
当OA平分∠COD时，
即10t＝20，解得t＝2；
当OC平分∠AOD时，，
即，解得t＝8；
当OD平分∠AOC时，，
即360﹣10t＝40，解得：t＝32；
综上，t的值为2、8、32；
③∵，
，
∴，
∴的值为50°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，同角（或等角）的余角相等以及角的计算，根据题意全面分析，分类讨论是解题关键．
23．（24-25七年级·上海·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中．
(1)填空：与的数量关系_______；理由是_______；
(2)直接写出与的数量关系_______；
(3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题：
①当时，画出图形，并求出的度数；
②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形．
【答案】(1)，同角的余角相等
(2)
(3)①图见解析，；②存在，图见解析，的度数为或或或
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键．
（1）由题意知，，则，然后作答即可；
（2）由题意知，，，则，然后作答即可；
（3）①当时，如图1，作，则，，，根据，求解作答即可；②由题意知，分，，，四种情况求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴，
故答案为：，同角的余角相等；
（2）解：由题意知，，，
∴，
故答案为：；
（3）①解：当时，如图1，作，
∴，
∴，，
∴，
∴的度数为；
②解：由题意知，分，，，四种情况求解；
当时，如图2，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，
∴；
当时，如图4，
∴，
∴；
当时，如图5，
∴，
∴；
综上所述，存在，的度数为或或或．
24．（23-24七年级·贵州黔东南·期中）【问题情境】将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当且点在直线的上方时，解决下列问题（提示：，，）：
【问题解决】
(1)①若，则的度数为______度；
②若，则的度数为______度；
(2)请猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)随着的度数的变化，三角板的一边是否能与三角板的一边平行？若存在，请直接写出的度数的所有值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，理由见详解
(3)存在，的度数为：或，理由见详解
【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，平行线的判定和性质，掌握角度的计算，分类讨论，图形结合分析是解题的关键．
（1）根据三角板的性质，①先计算出的度数，再根据即可求解；②先计算出的度数，由此即可求解；
（2）根据三角板各角的数量关系，同角的余角相等即可求解；
（3）根据平行线的性质，分类讨论，图形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，中，，中，，，
①若时，，
∴，
故答案为：；
②若时，即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：存在，的度数为：或，理由如下，
如图所示，当时，
∵，
∴；
如图所示，当时，
∵，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当时，
∴，
∴，
∵，
∴不符合题意；
如图所示，点在直线的下方，均不符合题意；
综上所述， 的度数的变化，存在三角板的一边是否能与三角板的一边平行，的度数为：或．
25．（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，将一个含的直角三角板放置在直尺上，使直尺与三角板的边BC重合，再将一个含的直角三角板放置在直尺上，使得三角板的最长边在所在直线l上．其中，，．
(1)如图1，当点E与点B重合时，与直尺上沿交于点H，求的度数；
(2)如图2，与直尺上沿交于点G，连接，在三角板沿直线l运动的过程中，是否存在某个位置，使得与三角板的一条边平行，若存在，请求出此时的度数；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，小明将直角三角板换成一般三角形卡片，其中．在三角形卡片沿直线l运动的过程中，请直接写出当与满足怎样的数量关系时，与三角板的一条边平行．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查与三角板有关的计算，平行线的判定和性质：
（1）利用角的和差关系结合平行线的性质进行求解即可；
（2）分和两种情况进行讨论求解即可；
（3）同法（2）进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）①当时，如图，过点作，
则：，
∴，，
∴，
∴；
②当时，如图：过点作，
则：，
∴，，
∴，
∴；
综上：或；
（3）①当时，如图，过点作，
则：，
∴，，
∴，
∴；
②当时，如图：过点作，
则：，
∴，，
∴，
∴；
综上：或．
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