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专题1.6 平行线中的常见四大模型
【浙教版2024】
【模型1 “猪蹄”模型】
讲解一：模型特征
条件 AB//CD，O是平行线间的一点，连接OB,0C,且两条线段凹进去
图示
结论 BOC=B+C(已知角之间的数量关系，则平行也成立)
讲解二：结论证明
(方法1)如图,过点O作 OE//AB，∴B=1.
∵AB//CD，OE//AB，∴OE//CD，∴C=2,
∴1+2=B+C，即BOC=B+C
(方法 2)如图，延长 BO 交 DC 于点E.
∵AB//CD，∴B=BEC.
∵BOC=C+BEC，∴BOC=B+C
也可以延长 CO,方法同证法2.
讲解三：模型拓展
拓展方向 研究拐点较多时的情况
拐点个数 2个 n个
图示
结论 ∠O +∠O =180°+(∠B+∠C) ∠O +∠O +∠O +…+∠0n= (n-1) · 180°+(∠B+∠C)
1．（23-24七年级·甘肃张掖·期末）如图，直线，，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一个外角定于与它不相邻的两个内角之和”，“两直线平行，同旁内角互补”．根据三角形的外角定理可得，，再根据平行线的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意可得：
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
2．（23-24七年级·江苏无锡·期中）如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作，根据平行线的判定和性质可得，结合，两式相加即可求出．
【详解】解：如图，作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，求出是解题的关键．
3．（23-24七年级·北京昌平·期末）如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 ( )
A．30° B．150° C．100° D．120°
【答案】C
【分析】过C作CQAB，得出ABDECQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项．
【详解】解：过C作CQAB，
∵ABDE，
∴ABDECQ，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，
∵∠ACE=110°，
∴∠ECQ=110°-30°=80°，
∴∠E=180°-80°=100°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
4．（23-24七年级·江苏无锡·期中）如图，，，则，和的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由，即可求解．
【详解】解：如图，分别过点C，D作，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
由①-②得：，
∵，
∴．
故答案为：．
5．（23-24七年级·江苏镇江·期中）如图，，，，则 °．
【答案】25
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过的顶点作，则，由平行线的性质得到，，进而得到，再结合已知条件即可求出答案．
【详解】解：如图，过点A作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
6．（23-24七年级·辽宁鞍山·期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示）
【答案】
【分析】首先过点E作，由平行线的传递性得，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，由角平分线的定义得出，，再由两直线平行，内错角相等得出 ，由即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作，则，
，
∴，，
又∵平分，平分，
∴，
，
∵，
∴ ，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义．
7．（23-24七年级·江苏盐城·期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
【答案】
【分析】过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数．
【详解】解：过点O作，
∵直线a向下平移得到直线b，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．
8．（23-24七年级·江苏·周测）如图，，，求的度数．
【答案】
【分析】过点作，根据，，进而根据平行线的性质即可求的度数．
【详解】解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线及灵活应用平行线的判定与性质解决问题．
9．（23-24七年级·北京西城·阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．
【详解】（1）作，，如图，且
∴
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
∵平分，平分，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
10．（23-24七年级·江苏常州·期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若，，试猜想______°；
(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)；证明见详解
(3)
【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
【详解】（1）解：如图过点作，
∵，
∴．
∴，
．
∵，，
∴
∴．
∵，
∴∠P=80°．
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图过点作，
∵，
∴．
∴，
．
∴
∵，
．
（3）如图分别过点、点作、
∵，
∴．
∴，
，
．
∴
∵，
，
，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
【模型2 “铅笔头”模型】
讲解一：模型特征
条件 AB//CD,点0在平行线之间，连接OB,0C,且两条线段凸出来
图示
结论 ∠BOC+∠B+∠C=360°
讲解二：结论证明
(方法1:过拐点作平行线)
如图，过点0作OE//AB.
∵AB//CD，∴OE//AB//CD.
【链知识】平行于同一条直线的两条直线互相平行.
∴B+1=180C+2=180，
∴B+1+2+C=360，∴B+BOC+C=360
(方法2:作延长线)
如图，延长AB，CO，使其相交于点E.
∵AB//CD，∴E+C=180
∵ABO+EBO=180
∴.E+C+ABO+EBO=360°
∵E+EBO=BOC，
∴C+ABO+BOC=360°
也可以延长 BO，DC，方法同证法2.
讲解三：模型拓展
拓展方向 研究拐点较多时的情况
拐点个数 2个 n个
图示
结论 ∠O +∠O +(∠B+∠C)= 3×180 ∠O +∠O +∠O +…+∠0n+ (∠B+∠C)=(n+1) · 180°
1．（23-24七年级·广东茂名·期中）如图，，=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过C点作直线，根据平行线的性质可得，，然后再计算即可.
【详解】
如图，过C点作直线，
，
，
，，
，
即.
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
2．（2024七年级·江苏·专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（ ）
A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α
【答案】B
【分析】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可．
【详解】解：如图，作CF//ED，
∵AB//ED，
∴∠A+∠E=180°= α ，
∵ED//CF，
∴∠D+∠DCF=180°，
∵AB//ED，ED//CF，
∴AB//CF，
∴∠B+∠BCF=180°，
∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°
即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ，
∴ β＝2α ．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键．
3．（23-24七年级·浙江杭州·期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，
∴=∠BCD+∠DCM=，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
4．（23-24七年级·全国·课后作业）如图，如果，那么 ．
【答案】540
【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答，构造辅助线，是解答本题的关键．
【详解】过点E作，过点F作，如图，
∵，，，
∴，，
∴，，，
∵，，
∴，
故答案为：540．
5．（23-24七年级·陕西西安·期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ．
【答案】/80度
【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得．
【详解】解：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
6．（23-24七年级·江苏常州·期中）如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝ 度；
【答案】270
【详解】解：过点B作BFAE，
∵CDAE，
∴CDBFAE，
∴∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°，
∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°，
即∠BAE+∠ABC+∠BCD=360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∴∠ABC+∠BCD=270°．
故答案为：270．
【点睛】本题考查了平行线的性质．作出辅助线是解此题的关键．
7．（23-24七年级·江苏盐城·期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
【答案】
【分析】过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数．
【详解】解：过点O作，
∵直线a向下平移得到直线b，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．
8．（23-24七年级·内蒙古·期中）综合与探究：
（1）问题情境：如图1，．求的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作，∴．
∴．
∵．∴．
…………
请你帮助小明完成剩余的解答．
（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1）110°；（2），理由见解析
【分析】（1）过P作PE//AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
（2）过P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】解：（1）过P作，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
（2），
如图3，过P作PE//AD交CD于E，
∵AD//BC，
∴AD//PE//BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
9．（23-24七年级·广东东莞·期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+ +∠n＝ ．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
10．（23-24七年级·广东汕头·期中）探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系．
发现：在图1中，；如图5
小明是这样证明的：过点Р作
∴___________
∵，．
∴__________
∴
∴
即
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）理解：
①在图2中，与、的数量关系为_____________________；
②在图3中，若，，则的度数为_________________；
（3）拓展：
在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①；②40°；（3），理由见解析．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（2）①过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
②根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出即可；
（3）根据平行线的性质得出，求出，根据得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：过点作，
∴（两直线平行，内错角相等）
，．
（平行于同一直线的两直线平行）
即
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；
2）①
解：过点作，
所以，
，．
，
，
，，
即，
故答案为：；
②
解：，，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：．
理由是：如图4，过点作，
，
，
，，
（平行于同一直线的两直线平行）
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．
【模型3 “锯齿”模型】
讲解一：模型特征
条件 AB//CD,点E,F在平行线的内部，连接BE,EF,FC,且图形中至 少有两个拐点
图示
结论 ∠B+∠F=∠E+∠C
讲解二：结论证明
如图，过点E作MN//AB，过点F作 PQ//AB.
∵ AB//CD，∴ AB//MN//PQ//CD.
∴B=BEN，EFP=FEN，PFC=C，
∴B+EFP+PFC=BEN+FEN+C，
∴B+EFC=BEF+C.
讲解三：模型拓展
拓展方向 研究拐点较多时的情况
图示
拆分思路 拆分成“猪蹄”模型和内错角 拆分成2个“猪蹄”模型
1．（23-24七年级·新疆克拉玛依·期末）（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果）
（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果）
（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果）
（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果）
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 °
【分析】（1）过点A2作A2B∥l1，根据平行线的性质，即可求解；
（2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1，根据平行线的性质，即可求解；
（3）根据平行线的性质，即可求解；
（4）根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：（1）过点A2作A2B∥l1，
∵l1∥l2，
∴A2B∥l1∥l2，
∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A3+∠A3A2B=180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝∠A1+∠A1A2B+∠A3+∠A3A2B=180°+180°=360°，
故答案是：360°；
（2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1，
∵l1∥l2，
∴A3C∥A2B∥l1∥l2，
∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A4+∠A4A3B=180°，∠BA2A3+∠CA3A2=180°，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+∠A4＝∠A1+∠A1A2B+∠A4+∠A4A3B+∠BA2A3+∠CA3A2
=180°+180°+180°=540°，
故答案是：540°；
（3）同理可得：∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°+180°+180°+180°=720°，
故答案是：720°；
（4）同理可得：∠A1+∠A2+…+∠An＝（n-1）180 °，
故答案是：（n-1）180 °．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键．
2．（23-24七年级·辽宁铁岭·期末）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、．
(1)如图1，直接写出之间的数量关系；
(2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数；
(3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．
（1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论；
（2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论；
（3）如图，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，过点作，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，
同理可得，，
，，
，
平分，平分，
，，
，
作，同理可得，；
（3）解：如图，过点作，
设，
，
平分，
，
，
，，
，
，
平分，
，
作，同理可得，．
3．（23-24七年级·重庆九龙坡·期中）如图1，直线，直线分别交、于、点，，点在线段上（不在端点处），点在直线上，点在直线上，连接、．
(1)如图1，点在线段上，若，，则的度数为________；
(2)如图2，点在线段上，点为直线与之间区域的一点，点在线段上（不与端点重合），连、．若，，，求的度数；
(3)如图3，于点，，点在射线上运动不与重合），与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线交于点，直接写出、与的数量关系．
【答案】(1)
(2)的度数为；
(3)当C在线段上时：；当C在射线上时：．
【分析】本题主要考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角性质等知识，熟练掌握平行线的性质和垂线的性质是解得关键．
（1）设延长线交于点，根据平行线的性质得出，再根据余角得出的度数即可；
（2）过点作交于点，设，，根据平行线的性质得出，根据四边形内角和为求出的值即可；
（3）分两种情况评论，过点作交于点，根据角平分线的定义和平行线的性质得出角的关系即可．
【详解】（1）解：设延长线交于点，
，，
，
，
是直角三角形，
，
故答案为：；
（2）解：过点作交于点，
，，
设，，
，，，
，，
，，
，
即，
的度数为；
（3）解：当C在线段上时，过点作交于点，
在四边形中，，
与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线交于点，
，，
，
，
在四边形中，，
，
即，
，
即；
当C在射线上时，过点作交于点，
，
与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线交于点，
，，
，
，
在和中，，
，
即，
，
即．
4．（23-24七年级·湖北黄冈·开学考试）如图，．
(1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知．
①如图2，若，求的度数；
②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)．理由见解析
(2)①；②
【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可．
（2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可．
②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可．
本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：．
理由如下：
过点作，
，
，
，，
，
即：．
（2）解：①过点作，
，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
即：，
，，
．
②解：与的数量关系是：．
理由如下：
为的平分线，为的平分线，
，，
过作，而，
，
则
设，
则，
故，
故．
5．（23-24七年级·四川宜宾·期末）已知，过内一点作交于点，作交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，射线，射线分别平分和，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段上，连接，，，与交于点，反向延长交于点，如果，平分，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键．
（1）由平行线的性质得出，，即可得出结论；
（2）过点作平分，由角平分线定义得出，，，证出，得出，，即可得出结论；
（3）设，则，，得出，，由平行线的性质得出，求出，过点作，过点作，由平行线的性质得出，，，，求出，，即可得出答案．
【详解】（1）证明：，，
，，
；
（2）证明：过点作平分，如图2所示：
则，
射线，射线分别平分和，
，，
，
，
，，
；
（3）解：平分，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
过点作，过点作，如图3所示：
，
，，
，，，，
，，
．
6．（23-24七年级·山东济南·期末）如图，已知．
(1)感知与探究：
如图1，已知请求出的度数；
(2)问题迁移：
如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)联想拓展：
在（2）的条件下，若，则的度数是_____________．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键
（1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解．
（2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得．
（3）利用（2）中的结论求解即可．
【详解】（1）如图，过点C作，
则，
∴，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
如图，过点F作，过点C作，
则，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由①②可得，即．
（3）由（2）知，，
∵，
∴．
故答案为：．
7．（23-24七年级·湖北武汉·期中）已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、．
(1)如图①，求证：
(2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数．
(3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线性质，应用（1）所得结论解决（2）和（3）中问题，计算繁琐，难度较大，易出错．
（1）过点作，得，得，两式相减便可得出结论；
（2）由（1）中结论可得，设，因为平分平分，所以，即得，即可得解；
（3）过H作，得出，，结合分别平分，得出，过P作，同理可得，根据 ，即可求出．
【详解】（1）证明：过点作，如图，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图：
设，
∵平分平分，
∴，
由（1）中结论可得，
．
，
，
即，
∴；
（3）解：过H作，
，
，
，
，
分别平分，
，
，
过P作，
，
，
，
，
，
∴．
8．（23-24七年级·山东滨州·期末）感知发现：（）在学习平行线中，“启智”兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程；
探索思考：（）那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是“启智”兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：．请你写出证明过程；
综合与实线：（）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．“启智”兴趣小组的同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图．已知两直线且，在直角中，，，．“启智”兴趣小组的同学们发现，说明理由；
实践探究：（）如图，当时，是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）证明见解析；（），证明见解析．
【分析】（）过点作，由平行公理的推论得，即得，，据此即可求证；
（）过点作，由平行线的性质可得，进而可得，得到，再根据平行线的判定可得；
（）由（）可得，再把代入即可求证；
（）过点作，过点作，同理（）可得，根据平行线的性质和角平分线的定义推导即可求解；
本题考查了平行线的性质和判定，平行公理的推论，邻补角的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（）证明：过点作，
，，
∴，
，，
，
（）证明：过点作，
，，
，，
，
，
∵，
∴；
（）证明：如图，由（）可得，，
∵，
，
；
（）解：，理由如下：
如图所示，过点作，过点作，
同（）可得，
，，，，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
9．（23-24七年级·山东烟台·期中）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，你能求出身体与水平线的夹角的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出的度数．
【答案】60°
【分析】方法1：延长交于点，根据，即有，，进而有，则有；方法2：过点做，过点做，依据两直线平行内错角相等即可求解．
【详解】解：方法1：延长交于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
方法2：
过点做，过点做，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行内错角相等、同位角相等，熟练运用平行的性质是解答本题的关键．
10．（23-24七年级·山东德州·期末）已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，．
(1)如图1，当时，________°；
(2)点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点．
①如图，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系；
②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键．
（1）由平行线的性质得，由平角的定义得再由角平分线的定义求解即可；
（2）①过点P作，则，根据平行线的性质和等量代换即可求解；②由题意知，分当时，当时，两种情况求解；当时，如图2，则，由平分，可得，由，可得；当时，如图3，作，则，同理可得，，，，由，可得，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：；
（2）①解：过点P作，如图1，则，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
②解：由题意知，分当时，当时，两种情况求解；
当时，如图2，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
当时，如图3，作，则，
同理可得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
【模型4 “三角尺”模型】
讲解一：模型特征
类 型 1： 单一三角尺
类型2 ：常见角度的拼接
讲解二：模型拓展
拓展方向：常见的直尺与三角尺的拼接
1．（2024·云南·模拟预测）如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解题的关键是作出辅助线，构造一组平行线．
过点作，先利用平行线的性质求出 ，进而利用三角板的特征求出，最后利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，
，，
，
，
故选：B．
2．（2024·广东·模拟预测）将一副三角尺在平行四边形按如图所示的方式摆放，设，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．如图所示，过点G作，由平行线的性质得到，，然后求出的度数即可求出∠2的度数．
【详解】解：如图所示，过点G作，
由题意得，，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
3．（2024·山西大同·模拟预测）一副三角尺按如图摆放，若，交于点M，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用．先根据平行线的性质，得到的度数，再根据三角形外角性质，求得的度数，利用邻补角即可得到的度数．
【详解】解：∵，
，
又，
，
故选：C．
4．（23-24七年级·全国·单元测试）将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，，，，．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若将三角形绕点转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为 ．
【答案】 或/或
【分析】（）设交于点，由，则，证明，然后根据平行线的性质即可求解；
（）根据题意，分两种情况：当三角形在线段左侧时，当三角形在线段右侧时进行分析即可；
本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（）如图，设交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（）根据题意，分两种情况：当三角形在线段左侧时，如图①，过点作，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴；
当三角形在线段右侧时，如图②，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
5．（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，点A，B， D在同一条直线上，EF∥AD，∠E＝60°，则∠BFD的度数为 度
【答案】
【分析】根据平行线的性质以及三角板本身的度数即可求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角板中角度的计算，熟知平行线的性质以及三角板的度数是解题的关键．
6．（23-24七年级·山东济南·期末）将一副三角尺按照如图方式摆放，其中有一个角为的直角三角形的长直角边与等腰直角三角形的斜边平行，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】首先根据题意得出，，，，然后由平行线的性质得，进而得，最后再利用三角形的内角和定理可求出的度数．
【详解】解：依题意得：，，，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行同位角相等，三角形的内角和等于．
7．（23-24七年级·山东临沂·期末）如图，．将两块直角三角尺（一块含，一块含）按如下方式进行摆放，恰好满足．
(1)若，求的度数；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
（1）先求得，再根据两直线平行、同旁内角互补求得即可求解；
（2）先根据平行线的性质，进而得到，则，根据同旁内角互补，两直线平行可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：．
理由：∵，
∴．
∵，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
8．（23-24七年级·浙江台州·期末）数学课上，老师要求同学们利用三角尺画两条平行线．
(1)如图1，小颖用两个含30°的三角尺画出平行线a，b．那么小颖得到的直接依据是______．
(2)同桌小亮用一个含45°的三角尺和两个含30°的三角尺按如图2方式摆放，并画出平行线a，b．
请帮助小亮完成下面的证明：
由题意得∠ABC＝90°，∠1＝30°，∠2＝60°，过点B作，
又∵∠2＝60°（已知），∴______＝∠2＝60°（______）．
∵∠ABC＝90°（已知），∴∠CBD＝______°．
又∵∠1＝30°（已知），∴∠CBD＝∠1（等量代换），
∴____________（内错角相等，两直线平行）．
∵，∴（______）．
【答案】(1)同位角相等，两直线平行
(2)∠ABD；两直线平行，内错角相等；30； ；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【分析】（1）由图形即可得到答案；
（2）过点B作，再证明 ，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1所示，
∵∠CAB＝∠CDE＝30°，
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：同位角相等，两直线平行
（2）过点B作，
又∵∠2＝60°（已知），
∴∠ABD＝∠2＝60°（两直线平行，内错角相等）．
∵∠ABC＝90°（已知），
∴∠CBD＝30°．
又∵∠1＝30°（已知），
∴∠CBD＝∠1（等量代换），
∴ （内错角相等，两直线平行），
∵，∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：∠ABD；两直线平行，内错角相等；30； ；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
9．（23-24七年级·湖北襄阳·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，将三角尺的边与边重合，然后绕点O按顺时针方向以10°/秒的速度转动．（设边再次与OA边重合时停止，转动时间为t秒）
(1)如图（1），若，则______秒，______．
(2)如图（2），在转动过程中“”与“”会不会同时成立？请说明理由．
(3)将三角尺的边与边重合，绕点O按顺时针方向以/秒的速度与同时转动，在30秒后这两块三角尺的斜边互相平行，求m的值．
【答案】(1)4；
(2)不会，理由见解析
(3)4.5或10.5
【分析】（1）先求出，再根据旋转时间=旋转角度÷旋转速度即可求出t，然后根据求解；
（2）在如图中，当时，证明，说明与不平行；在如图中，当时，证明，说明与不平行，即可得出结论；
（3）分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴(秒)，
∴；
（2）解：在转动过程中“”与“”不会同时成立，
理由：如图中，
当时，
又∵ ，
∴
∴与不平行；
如图中，
当时，
又∵ ，
∴
∴与不平行；
综上，在转动过程中“”与“”不会同时成立；
（3）解：由图可知：，
当时，如图，延长交于E，
由题意，得，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：；
当时，如图，
同理：，
∴，
解得：；
综上，在30秒后这两块三角尺的斜边互相平行，m的值为4.5或10.5．
【点睛】本题平行线的判定和性质，角的计算．熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
10．（23-24七年级·四川遂宁·阶段练习）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．
(1)若与都是锐角，如图甲，写出与之间的数量关系并说明原因；
(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；
(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求的值．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）过C作，则，依据平行线的性质，即可得出；
（2）根据（1）中的结论可得，，再根据对顶角相等即可得出结论；
（3）设，得到，再根据（1）中的结论可得，再根据对顶角相等即可得出，据此可得结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图所示，过C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可知：，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
由（1）可得，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，以及三角板中角度的计算，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．
11．（23-24七年级·河南郑州·开学考试）课题学行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．
解：过点A作，
∵，
∴
又∵，
∴．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能．
方法运用：
如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求的度数．
【答案】．
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点G做的平行线，则，由平行线的性质得到，，进而得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点G做的平行线
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵．
∴．
12．（23-24七年级·全国·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，；．
(1)①时，的度数为_______；②时，的度数为_______；
【探究】
(2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由．
【应用】
(3)现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存在一组边互相平行，若＜且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②；
(2)，理由见解析；
(3)存在，．
【分析】（1）①首先计算出的度数，再用即可；②首先计算出的度数，再计算出即可；
（2）根据（1）中的计算结果可得，再根据图中的角的和差关系进行推理；
（3）分五种情况进行讨论：当 时，当 时，当 时，当 时，当 时，分别求得的度数．
【详解】（1）解：①，，
，
，
故答案为：；
②，，
，
，
故答案为：45°；
（2）解：，
，
；
即；
（3）解：存在，、、、、．
理由：当 时，如图1所示：
，
；
当 时，如图2所示：
；
当 时，如图3所示：
，
；
当 时，如图4所示：
，
；
当 时，延长交于，如图5所示：
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，几何图形中的角度计算，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的性质，数形结合是解题的关键．
13．（23-24七年级·四川成都·期中）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α(0°＜α＜180°)．
(1)当α为 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
(2)在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
(3)当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时，直接写出时间t的所有值．
【答案】（1）15，作图见解析；（2）在旋转过程中，与之间的关系为或；（3）所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒．
【分析】（1）先根据平行线的性质可求出，再根据角的和差即可得出的度数，然后画图即可；
（2）分、和三种情况，分别画出图形，根据角的和差即可得出结论；
（3）分五种情况，分别利用平行线的性质、角的和差求出旋转角的度数，从而可求出时间t的值．
【详解】（1）若
则
故答案为：15；
画图结果如下所示：
（2）依题意，分以下三种情况：
如图①，当时
则
如图②，当时
则
如图③，当时
则
综上，在旋转过程中，与之间的关系为或；
（3）依题意，分以下五种情况：
①当时
由（1）知，
则（秒）
②当时，此时，AD与AC重合
则，（秒）
③当时，此时，
则，（秒）
④当时，此时，AD与AB重合
则，（秒）
⑤当时
则，
（秒）
综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒．
【点睛】本题考查了图形的旋转、平行线的性质、角的和差等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．
14．（23-24七年级·四川资阳·期末）将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转，其中，，设旋转角为，
当时如图，求的值；
当时如图与CE相交于点F，求的值；
当时，连结如图，直线AB与DE相交于点F，试探究的大小是否改变？若不改变，请求出此定值，若改变，请说明理由．
【答案】(1)60°;(2)105°;(3)不改变，105°.
【分析】由可得，则可求；
由可得，根据三角形内角和可求即可求，由此即可求得；
根据三角形内角和和外角等于不相邻的两个内角和，列出，，关系式可求的值
【详解】，
，
又，
，即
，
，
∵，
∴，
∴，
，即；
大小不变，其值为．
，，，
，
又，
.
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质是解决问题的关键．
15．（23-24七年级·福建龙岩·阶段练习）如图，，直线与，分别相交于点G，H，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，．
(1) ____（填“”“ ”或“=”）．
(2)如图2，的平分线交直线于点O．
①当时，求α的度数．
②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）过点P作，交于点Q，利用平行线的判定和性质，解答即可．
（2）①利用平行线的性质，角的平分线的定义，等量代换思想解答即可．
②根据平移性质，平行线的性质，分类思想解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，三角板的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如答图1，过点P作，交于点Q，
则.
答图1
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：=.
（2）解：①∵，
∴
又∵的平分线交直线于点O．
∴
又∵，
∴.
又∵，
∴.
②当点N在点G的右侧时．
∵，
∴，
∴.
又∵，
∴.
又∵平分，
∴
又∵，
∴；
当点N在点G的左侧时，如答图2.
答图2
∵，
∴，
∴.
又∵，
∴
又∵平分，
∴，
∴.
综上所述，的度数为或.
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专题1.6 平行线中的常见四大模型
【浙教版2024】
【模型1 “猪蹄”模型】
讲解一：模型特征
条件 AB//CD，O是平行线间的一点，连接OB,0C,且两条线段凹进去
图示
结论 BOC=B+C(已知角之间的数量关系，则平行也成立)
讲解二：结论证明
(方法1)如图,过点O作 OE//AB，∴B=1.
∵AB//CD，OE//AB，∴OE//CD，∴C=2,
∴1+2=B+C，即BOC=B+C
(方法 2)如图，延长 BO 交 DC 于点E.
∵AB//CD，∴B=BEC.
∵BOC=C+BEC，∴BOC=B+C
也可以延长 CO,方法同证法2.
讲解三：模型拓展
拓展方向 研究拐点较多时的情况
拐点个数 2个 n个
图示
结论 ∠O +∠O =180°+(∠B+∠C) ∠O +∠O +∠O +…+∠0n= (n-1) · 180°+(∠B+∠C)
1．（23-24七年级·甘肃张掖·期末）如图，直线，，则 ( )
A． B． C． D．
2．（23-24七年级·江苏无锡·期中）如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级·北京昌平·期末）如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 ( )
A．30° B．150° C．100° D．120°
4．（23-24七年级·江苏无锡·期中）如图，，，则，和的数量关系是 ．
5．（23-24七年级·江苏镇江·期中）如图，，，，则 °．
6．（23-24七年级·辽宁鞍山·期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示）
7．（23-24七年级·江苏盐城·期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
8．（23-24七年级·江苏·周测）如图，，，求的度数．
9．（23-24七年级·北京西城·阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
10．（23-24七年级·江苏常州·期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若，，试猜想______°；
(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．
【模型2 “铅笔头”模型】
讲解一：模型特征
条件 AB//CD,点0在平行线之间，连接OB,0C,且两条线段凸出来
图示
结论 ∠BOC+∠B+∠C=360°
讲解二：结论证明
(方法1:过拐点作平行线)
如图，过点0作OE//AB.
∵AB//CD，∴OE//AB//CD.
【链知识】平行于同一条直线的两条直线互相平行.
∴B+1=180C+2=180，
∴B+1+2+C=360，∴B+BOC+C=360
(方法2:作延长线)
如图，延长AB，CO，使其相交于点E.
∵AB//CD，∴E+C=180
∵ABO+EBO=180
∴.E+C+ABO+EBO=360°
∵E+EBO=BOC，
∴C+ABO+BOC=360°
也可以延长 BO，DC，方法同证法2.
讲解三：模型拓展
拓展方向 研究拐点较多时的情况
拐点个数 2个 n个
图示
结论 ∠O +∠O +(∠B+∠C)= 3×180 ∠O +∠O +∠O +…+∠0n+ (∠B+∠C)=(n+1) · 180°
1．（23-24七年级·广东茂名·期中）如图，，=（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七年级·江苏·专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（ ）
A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α
3．（23-24七年级·浙江杭州·期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级·全国·课后作业）如图，如果，那么 ．
5．（23-24七年级·陕西西安·期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ．
6．（23-24七年级·江苏常州·期中）如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝ 度；
7．（23-24七年级·江苏盐城·期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
8．（23-24七年级·内蒙古·期中）综合与探究：
（1）问题情境：如图1，．求的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作，∴．
∴．
∵．∴．
…………
请你帮助小明完成剩余的解答．
（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由．
9．（23-24七年级·广东东莞·期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+ +∠n＝ ．
10．（23-24七年级·广东汕头·期中）探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系．
发现：在图1中，；如图5
小明是这样证明的：过点Р作
∴___________
∵，．
∴__________
∴
∴
即
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）理解：
①在图2中，与、的数量关系为_____________________；
②在图3中，若，，则的度数为_________________；
（3）拓展：
在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由．
【模型3 “锯齿”模型】
讲解一：模型特征
条件 AB//CD,点E,F在平行线的内部，连接BE,EF,FC,且图形中至 少有两个拐点
图示
结论 ∠B+∠F=∠E+∠C
讲解二：结论证明
如图，过点E作MN//AB，过点F作 PQ//AB.
∵ AB//CD，∴ AB//MN//PQ//CD.
∴B=BEN，EFP=FEN，PFC=C，
∴B+EFP+PFC=BEN+FEN+C，
∴B+EFC=BEF+C.
讲解三：模型拓展
拓展方向 研究拐点较多时的情况
图示
拆分思路 拆分成“猪蹄”模型和内错角 拆分成2个“猪蹄”模型
1．（23-24七年级·新疆克拉玛依·期末）（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果）
（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果）
（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果）
（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果）
2．（23-24七年级·辽宁铁岭·期末）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、．
(1)如图1，直接写出之间的数量关系；
(2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数；
(3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数．
3．（23-24七年级·重庆九龙坡·期中）如图1，直线，直线分别交、于、点，，点在线段上（不在端点处），点在直线上，点在直线上，连接、．
(1)如图1，点在线段上，若，，则的度数为________；
(2)如图2，点在线段上，点为直线与之间区域的一点，点在线段上（不与端点重合），连、．若，，，求的度数；
(3)如图3，于点，，点在射线上运动不与重合），与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线交于点，直接写出、与的数量关系．
4．（23-24七年级·湖北黄冈·开学考试）如图，．
(1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知．
①如图2，若，求的度数；
②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
5．（23-24七年级·四川宜宾·期末）已知，过内一点作交于点，作交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，射线，射线分别平分和，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段上，连接，，，与交于点，反向延长交于点，如果，平分，，求的度数．
6．（23-24七年级·山东济南·期末）如图，已知．
(1)感知与探究：
如图1，已知请求出的度数；
(2)问题迁移：
如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)联想拓展：
在（2）的条件下，若，则的度数是_____________．
7．（23-24七年级·湖北武汉·期中）已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、．
(1)如图①，求证：
(2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数．
(3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___．
8．（23-24七年级·山东滨州·期末）感知发现：（）在学习平行线中，“启智”兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程；
探索思考：（）那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是“启智”兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：．请你写出证明过程；
综合与实线：（）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．“启智”兴趣小组的同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图．已知两直线且，在直角中，，，．“启智”兴趣小组的同学们发现，说明理由；
实践探究：（）如图，当时，是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论．
9．（23-24七年级·山东烟台·期中）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，你能求出身体与水平线的夹角的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出的度数．
10．（23-24七年级·山东德州·期末）已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，．
(1)如图1，当时，________°；
(2)点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点．
①如图，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系；
②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）．
【模型4 “三角尺”模型】
讲解一：模型特征
类 型 1： 单一三角尺
类型2 ：常见角度的拼接
讲解二：模型拓展
拓展方向：常见的直尺与三角尺的拼接
1．（2024·云南·模拟预测）如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东·模拟预测）将一副三角尺在平行四边形按如图所示的方式摆放，设，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西大同·模拟预测）一副三角尺按如图摆放，若，交于点M，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级·全国·单元测试）将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，，，，．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若将三角形绕点转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为 ．
5．（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，点A，B， D在同一条直线上，EF∥AD，∠E＝60°，则∠BFD的度数为 度
6．（23-24七年级·山东济南·期末）将一副三角尺按照如图方式摆放，其中有一个角为的直角三角形的长直角边与等腰直角三角形的斜边平行，则的度数为 ．
7．（23-24七年级·山东临沂·期末）如图，．将两块直角三角尺（一块含，一块含）按如下方式进行摆放，恰好满足．
(1)若，求的度数；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
8．（23-24七年级·浙江台州·期末）数学课上，老师要求同学们利用三角尺画两条平行线．
(1)如图1，小颖用两个含30°的三角尺画出平行线a，b．那么小颖得到的直接依据是______．
(2)同桌小亮用一个含45°的三角尺和两个含30°的三角尺按如图2方式摆放，并画出平行线a，b．
请帮助小亮完成下面的证明：
由题意得∠ABC＝90°，∠1＝30°，∠2＝60°，过点B作，
又∵∠2＝60°（已知），∴______＝∠2＝60°（______）．
∵∠ABC＝90°（已知），∴∠CBD＝______°．
又∵∠1＝30°（已知），∴∠CBD＝∠1（等量代换），
∴____________（内错角相等，两直线平行）．
∵，∴（______）．
9．（23-24七年级·湖北襄阳·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，将三角尺的边与边重合，然后绕点O按顺时针方向以10°/秒的速度转动．（设边再次与OA边重合时停止，转动时间为t秒）
(1)如图（1），若，则______秒，______．
(2)如图（2），在转动过程中“”与“”会不会同时成立？请说明理由．
(3)将三角尺的边与边重合，绕点O按顺时针方向以/秒的速度与同时转动，在30秒后这两块三角尺的斜边互相平行，求m的值．
10．（23-24七年级·四川遂宁·阶段练习）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．
(1)若与都是锐角，如图甲，写出与之间的数量关系并说明原因；
(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；
(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求的值．
11．（23-24七年级·河南郑州·开学考试）课题学行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．
解：过点A作，
∵，
∴
又∵，
∴．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能．
方法运用：
如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求的度数．
12．（23-24七年级·全国·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，；．
(1)①时，的度数为_______；②时，的度数为_______；
【探究】
(2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由．
【应用】
(3)现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存在一组边互相平行，若＜且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
13．（23-24七年级·四川成都·期中）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α(0°＜α＜180°)．
(1)当α为 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
(2)在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
(3)当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时，直接写出时间t的所有值．
14．（23-24七年级·四川资阳·期末）将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转，其中，，设旋转角为，
当时如图，求的值；
当时如图与CE相交于点F，求的值；
当时，连结如图，直线AB与DE相交于点F，试探究的大小是否改变？若不改变，请求出此定值，若改变，请说明理由．
15．（23-24七年级·福建龙岩·阶段练习）如图，，直线与，分别相交于点G，H，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，．
(1) ____（填“”“ ”或“=”）．
(2)如图2，的平分线交直线于点O．
①当时，求α的度数．
②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）．
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