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专题1.3 平行线的性质【十大题型】
【浙教版2024】
【题型1 利用平行线的性质导角】 1
【题型2 利用平行线的性质证明】 6
【题型3 平行线的性质的应用】 9
【题型4 平行线间的距离】 13
【题型5 阅读理解填理由】 16
【题型6 阅读理解和运用】 20
【题型7 利用同（等）角的余（补）角相等导角证平行】 27
【题型8 利用等式的性质导角证平行】 31
【题型9 利用平行线的判定与性质导角证平行】 36
【题型10 动角旋转平行问题】 39
知识点1：平行线的性质
1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型1 利用平行线的性质导角】
【例1】（2024七年级·北京·专题练习）如图，在中，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质．根据三角形内角和定理对①进行判断；根据角平分线定义和三角形内角和定理得到，则可对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；先根据角平分线的性质得到，然后根据平行线的性质对④进行判断．
【详解】∵，
∴，所以①正确；
∵的平分线相交于F，，
∴
∴，所以②错误；
∵，
∴，所以③正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，所以④错误．
答案：C．
【变式1-1】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°．给出以下结论：①∠2=∠EAB；②CA平分∠DAB；③∠1+∠2=90°；④BC∥AE．其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③/③①
【分析】先由∠BAC=30°、∠C=90°得到∠ABC=60°，从而得到∠ABE+∠2=120°，再利用平行线的性质得到∠2=∠EAB；再结合∠BAC=30°、∠DAE=120°得到∠EAB+∠1=90°，进而得到∠1+∠2=90°；由∠1+∠EAB=90°得到∠1=90°-∠EAB，然后由∠EAB的度数不固定得到∠1不一定等于30°，即∠1=∠BAC不一定成立，进而得到CA不一定平分∠DAB；同理可知∠2=60°不一定成立．【详解】解：∵∠BAC=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABE+∠2=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∵AD∥BE，
∴∠ABE=∠BAD，
∵∠DAE=120°，
∴∠BAD+∠EAB=120°，即∠ABE+∠EAB=120°，
∴∠2=∠EAB，故①正确，符合题意；
∵∠BAC=30°，∠DAE=120°，
∴∠EAB+∠1=90°，
∵∠EAB=∠2，
∴∠1+∠2=90°，故③正确，符合题意；
∵∠1+∠EAB=90°，
∴∠1=90°-∠EAB，
∴∠1的大小随∠EAB的大小变化而变化，
∵∠EAB的度数不固定，
∴∠1=30°不一定成立，即∠1=∠BAC不一定成立，
∴AC不一定平分∠DAB，故②错误，不符合题意；
同理可知，∠2=60°不一定成立，
∴BC∥AE不一定成立，故④错误，不符合题意．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质．
【变式1-2】（23-24七年级·河北沧州·期中）如图，已知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，根据得到，判断①正确；根据，，得到③正确；根据， 证明，进行角的代换证明，得到④正确；证明，判断②不正确．
【详解】解：
，
，，
故①正确；
∵
∴
∵
∴
，
③正确；
，
，
，
，
，
④正确；
，
，不能判断平分；
②不正确；
故正确的是①③④
故选：A．
【变式1-3】（23-24七年级·福建福州·阶段练习）如图，已知平分交于B，，点E在上，且，那么，下列判断中①平分；②；③；④，正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】利用，，可以推出；利用平行线性质和角平分线的定义，可以推出，可证；利用三角形内角和定理和可证；现有条件无法推出．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
平分，，①正确；
平分，
，
，
，
，
，②正确；
，
，③正确；
根据已知条件无法推出，④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识点，根据已知条件综合运用上述知识进行推理是解题的关键．
【题型2 利用平行线的性质证明】
【例2】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，射线平分，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明；
（2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，射线平分，
∴，
∵，
∴．
【变式2-1】（23-24七年级·贵州遵义·阶段练习）如图，已知，
(1)求证：；
(2)求．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是关键；
（1）及，得，由平行线的判定即可证明；
（2）由及已知得，即可得，从而有，由已知即可求解．
【详解】（1）证明：，
．
；
（2）解：，
，
，
．
．
．
，
．
【变式2-2】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键．
（1）要证明，可通过与互补求得，利用平行线的性质说明可得结论；
（2）要求的度数，可通过平角和求得，利用（）的结论及角平分线的性质求出及的度数即可．
【详解】（1）证明：∵，
，
．
∵，
．
∴；
（2）解：，
，
平分，，
．
∵，，
，
．
．
【变式2-3】（24-25七年级·安徽合肥·期中）如图，已知直线，点A在直线a上，点B、C在直线b上，点D在线段上，平分，平分，．
(1)求证：；
(2)已知，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，由推出，根据同位角相等，两直线平行即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到，进而求出，再根据（1）中，得到，最后结合，利用三角形内角和定理即可求出，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵直线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型3 平行线的性质的应用】
【例3】（2024下·福建厦门·七年级校考期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐，第二次向右拐
B．第一次向右拐，第二次向左拐
C．第一次向右拐，第二次向右拐
D．第一次向左拐，第二次向左拐
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的判定，难度不大，熟练掌握平行线的判定是解题关键．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用．
【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示：
行驶方向与原方向相同，故本选项正确，符合题意；
B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示，
行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意；
C、第一次向右拐，第二次向右拐，如图所示：
行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意；
D、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示：
行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
【变式3-1】（23-24七年级·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，．则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形的外角的性质；直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形的外角得出答案；
【详解】如图所示：延长交于点，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式3-2】（23-24七年级·江苏苏州·期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．
【答案】/30度
【分析】过点作．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论．
【详解】解：过点作．
，
．
．
，
．
，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键．
【变式3-3】（23-24七年级·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到．
【详解】解：如图：延长到点C，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【题型4 平行线间的距离】
【例4】（23-24七年级·上海普陀·期末）如图，已知，，那么与的面积一定相等的三角形是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】该题主要考查了两平行线间距离处处相等，以及三角形的面积，解题的关键是掌握两平行线间距离处处相等．
【详解】解：如图，作中上的高，中上的高，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式4-1】（2024七年级·全国·专题练习）已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线之间距离的关系，掌握平行线的性质，图形结合分析是解题的关键．根据题意，图形结合，分类讨论，结合平行线之间距离的计算方法即可求解．
【详解】解：如图①，a与c之间的距离为；
如图②，a与c之间的距离为．
∴a与c之间的距离为或．
故选：C．
【变式4-2】（23-24七年级·福建厦门·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点在边上，，，垂足分别为、，则平行线与之间的距离是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】B
【分析】本题考查了两条平行线之间的距离的定义，掌握定义是解题的关键．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此判断即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴的长为平行线与之间的距离．
故选：B．
【变式4-3】（24-25七年级·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积平行四边形的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形，
设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，，
则图中阴影部分的面积，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
∵厘米，
∴图中阴影部分的面积（平方厘米），
故选：．
【题型5 阅读理解填理由】
【例5】（24-25七年级·全国·课后作业）补全下列解题过程．
如图，在中，点E、F分别在上，点M、N均在上，连接交于点O，已知，试说明．
解：，
（①___________），
（②___________），
（③___________），
（④___________）．
，
，
（⑤___________）．
【答案】①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定与性质及三角形的外角性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据对顶角相等结合题意推出，即可判定；根据平行线的性质等量代换得出，据此即可判定．
【详解】解：，
（①对顶角相等），
（②等量代换），
（③同旁内角互补，两直线平行），
（④两直线平行，同位角相等；）．
，
，
（⑤内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行．
【变式5-1】（24-25七年级·吉林长春·阶段练习）在下列解答中，填空并填写理由
如图，已知 ， ，试说明：．
证明：∵ （已知）
∴（ ）
又∵（已知）
∴ （ ）
∴（ ）
【答案】同位角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理，结合已知证明过程逐步推导即可．
【详解】解：补全的证明过程如下：
证明：∵ （已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
又∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）
【变式5-2】（24-25七年级·山东青岛·期中）如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程：
解：，理由如下：因为，
所以（ ① ）
所以，
所以（ ② ）
所以（ ③ ）
又因为（已知）所以 ④ （等量代换）
所以（ ⑤ ）
【答案】垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了垂直的意义，平行线的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握平行线的判定方法．根据垂直的定义，平行线的判定方法判断出，再利用平行线的性质找到相等的角，最后等量代换利用平行线的判定方法证明即可．
【详解】解：，理由如下：因为，
所以（垂直定义）
所以，
所以（同旁内角互补，两直线平行）
所以（两直线平行，同位角相等）
又因为（已知）
所以（等量代换）
所以（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行．
【变式5-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：．
证明：连接
∵，
∴，（________）
∴
∴________//________（________）
∴________（________）
又∵
∴
即
∴（________）
【答案】垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查利用平行线的判定与性质证明．掌握相关定理内容是解题关键．根据垂线的定义，平行线的判定与性质即可求证．
【详解】证明：连接
∵，
∴，（垂线定义）
∴
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵
∴
即
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．
【题型6 阅读理解和运用】
【例6】（23-24七年级·河南南阳·期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明∶老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图，，E为之间一点，连接得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下：
证明：过点E作
则
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，，若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图所示，过点E作，过点F作， 则，由平行线的性质得到，进而推出，由此即可得到答案；
（2）如图所示，过点P作，则，由平行线的性质得到，，推出，再由即可得到．
【详解】（1）解：如图所示，过点E作，过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点P作，
∵，
∴，∴，
又∵，
∴，
∵，
∵
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式6-1】（23-24七年级·广西河池·阶段练习）阅读下列材料，并完成相应任务．
三角形的内角和
小学我们就知道三角形内角和是，学行线之后，可以证明三角形内角和是，证明方法如下：
如图1，已知：三角形．求证：．
证法一：如图2，过点A作直线，
∵，
∴（ ）
∵
∴，即三角形内角和是．
证法二：如图3，延长至M，过点C作…．
(1)证法一的思路是先用平行线的性质得到，此处，括号内应填写的理由是（ ），再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是，这种方法主要体现的数学思想是 （单选，将正确选项填入空格处）
A．数形结合思想 B．分类思想 C．转化思想
(2)将证法二补充完整．
【答案】(1)两直线平行，内错角相等；C
(2)证明见解析
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可；
（2）延长至M，过点C作，根据平行线的性质可得，再由，即可求证．
【详解】（1）证法一：如图2，过点A作直线，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴，即三角形内角和是．
这种方法主要体现的数学思想是转化思想；
故答案为：两直线平行，内错角相等；C
（2）证明：延长至M，过点C作，
∴，
∵
∴，即三角形内角和是．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，通过作适当的辅助线把三角形的三个内角和转化为一个平角是解题的关键．
【变式6-2】（23-24七年级·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务．
台球中的数学
如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，已知长方形桌面中，，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角等于反弹线与桌边的夹角，同理．
任务一：如图2，求证：；
任务二：如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，若，请你判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】任务一：见解析，任务二：，理由见解析
【分析】任务一：由，可得∠2=∠3，再利用平角的定义可得，则；
任务二：由任务一同理可说明结论．
【详解】任务一：证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
任务二：由题意可知，，
∵，
∴，
∵，，
∴
，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，生活中的轴对称现象等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【变式6-3】（23-24七年级·山东青岛·期中）【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数．
解：过点M作MN∥AB
∵AB∥CD
∴MN∥CD
∴∠EMN＝∠AEM＝45°
∠FMN＝∠CFM＝25°
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN
＝45°+25°＝70°
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB．
（1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系．
【应用拓展】
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：
在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数．
【答案】（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由见解析；（2）∠OPQ=∠ORQ；【应用拓展】85°
【分析】方法运用：（1）过点P作PEOA，则PEBQ，利用平行线的性质及各角之间的关系即可得出结果；
（2）同（1）方法类似，结合图形找出各角之间的关系求解即可；
应用拓展：过点P作PMAB：过点Q作QNAB，利用平行线的性质找出各角之间的关系求解即可．
【详解】方法运用，解：（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由如下，
如图所示，过点P作PEOA，则PEBQ.
∴∠AOP=∠OPE，∠BQP=∠QPE.
∵∠OPQ=∠OPE+∠QPE
∴∠OPQ=∠AOP+∠BQP；
（2）解：∠OPQ=∠ORQ，
理由如下，由（1）得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ，
同理可得，∠DOR+∠CQR=∠ORQ，
∵入射角等于反射角：
∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR，
∴∠OPQ=∠ORQ；
【应用拓展】如图，过点P作PMAB：过点Q作QNAB，
则ABPMQNCD.
∴∠ABP+∠BPM=180，∠MPQ=∠PQN，∠DCQ+∠CQN=180°
∵∠B=125°，∠C=145°，
∴∠BPM=180°-125°=55°，∠CQN=180°-145°=35°，
∵∠PQC=65°，
∴∠PQN=∠PQC-∠CQN=65°-35°=30°，
∴∠QPM=∠PQN=30°，
∴∠BPQ=∠BPM+∠QPM=30°+55°=85°．
【点睛】题目主要考查平行性质的性质及辅助线的作法，解决本是的关键是理解题意，作出相应的辅助线．
【题型7 利用同（等）角的余（补）角相等导角证平行】
【例7】（23-24七年级·贵州遵义·期中）如图，，垂足为D，，垂足为E，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（1）根据，，可得，得，进而得，可得结论；
（2）根据，可以设，根据，可得，由得到，根据，求出x的值，进而可得的度数．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解： ，
设，
，
，
，
，
，
，即
．
【变式7-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，是的角平分线，若，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等．
由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出，根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小．
【详解】解：，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
．
【变式7-2】（23-24七年级·广东汕头·期末）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质，灵活运用平行线的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
（1）由已知条件结合对顶角相等可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论；
（2）先证明，再结合可得，进而证得，由平行线的性质可得，即，再结合求解即可解答．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴①，
又∵②，
∴①②联立可得，
∴．
【变式7-3】（24-25七年级·山东德州·阶段练习）如图，四边形中，，，分别是，的平分线．
(1)与有什么关系，为什么？
(2)与有什么关系？请说明理由．
【答案】(1)；理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，多边形的内角和，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握四边形内角和为、同位角相等，两直线平行．
（1）由角平分线的定义得，，根据四边形的内角和可得，进而可求出结论；
（2）由互余的性质可得，根据平行线的判定即可得出．
【详解】（1）解：，理由：
∵，分别是，的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型8 利用等式的性质导角证平行】
【例8】（24-25七年级·全国·期末）如图，直线，相交于点O，点A，B在上，点 D，E 在上，，．
(1)求证∶．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键．
（1）延长交于点，延长交于点，利用得出，然后根据三角形内角和定理得出，最后利用同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据三角形外角的性质得出，再利用即可得出答案．
【详解】（1）解：延长交于点，延长交于点，∵，
∴，
∴；
（2），
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【变式8-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）请把下列证明过程补充完整．
已知：如图，、、三点在同一直线上，、、三点在同一直线上，，．求证：．
证明： ，（已知）
________________（________），
________（________）
（已知）
________（等量代换）．
（已知）
，
即________ ________
________（等量代换），
（________）．
【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．先证明，得到，进而得到，再根据，得到，从而得出，即可证明结论．熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．
【详解】证明： ，（已知）
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知）
（等量代换）．
（已知）
，
即，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行．
【变式8-2】（2024七年级·全国·专题练习）如图，已知．
如
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的判定和性质．
（1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立；
（2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数．
∵，
∴，
∵，
∴，
【详解】（1）解：证明：，
，
．
（2），
．
又，
，
，
．
【变式8-3】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）如图，，，．
(1)试说明：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理；
（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【详解】（1）∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【题型9 利用平行线的判定与性质导角证平行】
【例9】（2024下·陕西西安·七年级校考期末）如图，平分交于点D，点F在的延长线上，点E在线段上，与相交于点G，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)若点H在的延长线上，且，且，求．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）求出，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据角平分线定义得出，推出，根据平行线的性质得出，，推出即可．
【详解】（1）解：．理由如下：
∵，，，
∴，
∴．
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【变式9-1】（2024下·福建厦门·七年级校考期中）如图，已知，则直线a，b，c的位置关系如何 请说明理由．
【答案】．理由见解析
【详解】．理由如下：
因为，所以，所以，
因为，
所以，
所以，所以．
【变式9-2】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）如图，已知，，，，请说明的理由．
【答案】见解析
【分析】根据同位角相等，两直线平行，得到，同旁内角互补，两直线平行，得到，即可得证．
【详解】解：因为，，
所以，
所以（同位角相等，两直线平行）．
因为，，
所以，
所以（同旁内角互补，两直线平行）．
所以（平行于同一条直线的两条直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定和平行公理的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，以及平行于同一条直线的两条直线平行．
【变式9-3】（23-24七年级·湖南湘西·期末）问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象的几何图形，其中．点在同一直线上，点在同一直线上，且．
(1)与平行吗？理由是什么？
(2)求证： （提示：延长交于点）
【答案】(1)平行；理由见详解
(2)证明见详解
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键，
（1）根据平行线的判定即可证明；
（2）根据平行线的性质即可证明．
【详解】（1）答：平行；
，
，
，
，
；
（2）延长交于点，
，
，
，
，
，
，
．
【题型10 动角旋转平行问题】
【例10】（23-24七年级·全国·单元测试）如图，已知直线，点A在直线上，点B、C在直线上，射线是的三等分线，即，平分，．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，在上有一点F，满足，且平分交于点G，试探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若，绕点A顺时针旋转，速度为每秒，记旋转中的为，的三等分线为，即，同时绕点B逆时针旋转至，速度始终为每秒，当与射线重合时，立即以原来速度的一半逆时针旋转，当运动到与射线重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，请直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)t的值为或
【分析】（1）利用角平分线定义求出，进而求出，结合，则可求，，然后根据平行线的性质求解即可；
（2）设，则，，，，由平行线的性质求出，，，，根据角平分线的定义求出，则，即可得出结论；
（3）当与射线重合时，，返回时，当与重合，，当与射线重合时，，当在的延长线时，，分；；；讨论，根据平行线的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：
理由：如图，
设，则
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
当与射线重合时，，返回时，当与重合，，当与射线重合时，，当在的延长线时，，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
当时，
则
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（舍去）；
当时，
则
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（舍去）；
当时，
则
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（舍去）；
综上，t的值为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，一元一次方程方程的应用，角平分线的定义，平行线的性质等知识，明确题意，能用含t的代数式表示旋转角的度数是解题的关键．
【变式10-1】（23-24七年级·全国·单元测试）将一副三角尺按如图1所示的方式摆放，直线，现将三角尺绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，易知，．若，边与边平行，求满足条件的t的值．
【答案】30
【分析】本题主要考查平行线的性质，当时，延长交于点，分两种情况讨论：①在上方时；②在下方时，列式求解即可
【详解】解：由题意，得，
如图，延长交于点P.
当在上方时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
当在下方时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得 （不合题意，舍去）．
综上所述，满足条件的t的值为30.
【变式10-2】（23-24七年级·吉林长春·期末）如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图①，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)求、、的度数；
(2)在旋转过程中，如图②，当 时，求的度数；
(3)如图③，当点在内部时，边、分别交、的延长线于、两点．
①的取值范围是______；
②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)①；②．
【分析】（1）根据三角形内角和是，再按比例分配进行计算即可；
（2）根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算即可；由垂直的定义以及三角形的内角和进行计算即可；
（3）①根据“端值”检测计算，即当与重合时最小值，当与重合时最大值；②连接，根据三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质以及垂直的定义，掌握三角形内角和是，平行线的性质是正确解答的前提．
【详解】（1）解：在中，，，的度数之比为，
，
，
；（2）解：，
，
，．
，
；
（3）解：①当与重合时，为最小值，
，
；
当与重合时，为最大值，此时，
，
故答案为：；
②，理由如下：
如图，连接，
，
，
在中，
，
．
【变式10-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法．
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）过点作，先利用，设，，结合平行线的性质求出，利用，结合平行线的判定与性质求出，利用，，结合平行线的判定与性质求出，即可求出，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，过点作，
，
，，
，，，，
，
平分，
，
平分，
，
；
（3）解：如图，过点作，
∵，
∴设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
由（2）得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点逆时针以每秒的速度进行旋转，
∴，
综上，时，第一次与平行，此时．
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专题1.3 平行线的性质【十大题型】
【浙教版2024】
【题型1 利用平行线的性质导角】 1
【题型2 利用平行线的性质证明】 2
【题型3 平行线的性质的应用】 3
【题型4 平行线间的距离】 4
【题型5 阅读理解填理由】 5
【题型6 阅读理解和运用】 8
【题型7 利用同（等）角的余（补）角相等导角证平行】 11
【题型8 利用等式的性质导角证平行】 12
【题型9 利用平行线的判定与性质导角证平行】 14
【题型10 动角旋转平行问题】 15
知识点1：平行线的性质
1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型1 利用平行线的性质导角】
【例1】（2024七年级·北京·专题练习）如图，在中，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③
【变式1-1】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°．给出以下结论：①∠2=∠EAB；②CA平分∠DAB；③∠1+∠2=90°；④BC∥AE．其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式1-2】（23-24七年级·河北沧州·期中）如图，已知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
【变式1-3】（23-24七年级·福建福州·阶段练习）如图，已知平分交于B，，点E在上，且，那么，下列判断中①平分；②；③；④，正确的是 ．
【题型2 利用平行线的性质证明】
【例2】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，射线平分，求的度数．
【变式2-1】（23-24七年级·贵州遵义·阶段练习）如图，已知，
(1)求证：；
(2)求．
【变式2-2】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的度数．
【变式2-3】（24-25七年级·安徽合肥·期中）如图，已知直线，点A在直线a上，点B、C在直线b上，点D在线段上，平分，平分，．
(1)求证：；
(2)已知，求的度数．
【题型3 平行线的性质的应用】
【例3】（2024下·福建厦门·七年级校考期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐，第二次向右拐
B．第一次向右拐，第二次向左拐
C．第一次向右拐，第二次向右拐
D．第一次向左拐，第二次向左拐
【变式3-1】（23-24七年级·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，．则的度数为 ．
【变式3-2】（23-24七年级·江苏苏州·期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．
【变式3-3】（23-24七年级·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．
【题型4 平行线间的距离】
【例4】（23-24七年级·上海普陀·期末）如图，已知，，那么与的面积一定相等的三角形是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式4-1】（2024七年级·全国·专题练习）已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
【变式4-2】（23-24七年级·福建厦门·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点在边上，，，垂足分别为、，则平行线与之间的距离是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【变式4-3】（24-25七年级·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
A． B． C． D．
【题型5 阅读理解填理由】
【例5】（24-25七年级·全国·课后作业）补全下列解题过程．
如图，在中，点E、F分别在上，点M、N均在上，连接交于点O，已知，试说明．
解：，
（①___________），
（②___________），
（③___________），
（④___________）．
，
，
（⑤___________）．
【变式5-1】（24-25七年级·吉林长春·阶段练习）在下列解答中，填空并填写理由
如图，已知 ， ，试说明：．
证明：∵ （已知）
∴（ ）
又∵（已知）
∴ （ ）
∴（ ）
【变式5-2】（24-25七年级·山东青岛·期中）如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程：
解：，理由如下：因为，
所以（ ① ）
所以，
所以（ ② ）
所以（ ③ ）
又因为（已知）所以 ④ （等量代换）
所以（ ⑤ ）
【变式5-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：．
证明：连接
∵，
∴，（________）
∴
∴________//________（________）
∴________（________）
又∵
∴
即
∴（________）
【题型6 阅读理解和运用】
【例6】（23-24七年级·河南南阳·期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明∶老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图，，E为之间一点，连接得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下：
证明：过点E作
则
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，，若，求的度数．
【变式6-1】（23-24七年级·广西河池·阶段练习）阅读下列材料，并完成相应任务．
三角形的内角和
小学我们就知道三角形内角和是，学行线之后，可以证明三角形内角和是，证明方法如下：
如图1，已知：三角形．求证：．
证法一：如图2，过点A作直线，
∵，
∴（ ）
∵
∴，即三角形内角和是．
证法二：如图3，延长至M，过点C作…．
(1)证法一的思路是先用平行线的性质得到，此处，括号内应填写的理由是（ ），再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是，这种方法主要体现的数学思想是 （单选，将正确选项填入空格处）
A．数形结合思想 B．分类思想 C．转化思想
(2)将证法二补充完整．
【变式6-2】（23-24七年级·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务．
台球中的数学
如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，已知长方形桌面中，，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角等于反弹线与桌边的夹角，同理．
任务一：如图2，求证：；
任务二：如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，若，请你判断与的位置关系，并说明理由．
【变式6-3】（23-24七年级·山东青岛·期中）【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数．
解：过点M作MN∥AB
∵AB∥CD
∴MN∥CD
∴∠EMN＝∠AEM＝45°
∠FMN＝∠CFM＝25°
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN
＝45°+25°＝70°
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB．
（1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系．
【应用拓展】
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：
在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数．
【题型7 利用同（等）角的余（补）角相等导角证平行】
【例7】（23-24七年级·贵州遵义·期中）如图，，垂足为D，，垂足为E，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式7-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，是的角平分线，若，，，求的度数．
【变式7-2】（23-24七年级·广东汕头·期末）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，且，求的度数．
【变式7-3】（24-25七年级·山东德州·阶段练习）如图，四边形中，，，分别是，的平分线．
(1)与有什么关系，为什么？
(2)与有什么关系？请说明理由．
【题型8 利用等式的性质导角证平行】
【例8】（24-25七年级·全国·期末）如图，直线，相交于点O，点A，B在上，点 D，E 在上，，．
(1)求证∶．
(2)若，，求的度数．
【变式8-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）请把下列证明过程补充完整．
已知：如图，、、三点在同一直线上，、、三点在同一直线上，，．求证：．
证明： ，（已知）
________________（________），
________（________）
（已知）
________（等量代换）．
（已知）
，
即________ ________
________（等量代换），
（________）．
【变式8-2】（2024七年级·全国·专题练习）如图，已知．
如
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式8-3】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）如图，，，．
(1)试说明：；
(2)若，，求的度数．
【题型9 利用平行线的判定与性质导角证平行】
【例9】（2024下·陕西西安·七年级校考期末）如图，平分交于点D，点F在的延长线上，点E在线段上，与相交于点G，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)若点H在的延长线上，且，且，求．
【变式9-1】（2024下·福建厦门·七年级校考期中）如图，已知，则直线a，b，c的位置关系如何 请说明理由．
【变式9-2】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）如图，已知，，，，请说明的理由．
【变式9-3】（23-24七年级·湖南湘西·期末）问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象的几何图形，其中．点在同一直线上，点在同一直线上，且．
(1)与平行吗？理由是什么？
(2)求证： （提示：延长交于点）
【题型10 动角旋转平行问题】
【例10】（23-24七年级·全国·单元测试）如图，已知直线，点A在直线上，点B、C在直线上，射线是的三等分线，即，平分，．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，在上有一点F，满足，且平分交于点G，试探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若，绕点A顺时针旋转，速度为每秒，记旋转中的为，的三等分线为，即，同时绕点B逆时针旋转至，速度始终为每秒，当与射线重合时，立即以原来速度的一半逆时针旋转，当运动到与射线重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，请直接写出t的值．
【变式10-1】（23-24七年级·全国·单元测试）将一副三角尺按如图1所示的方式摆放，直线，现将三角尺绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，易知，．若，边与边平行，求满足条件的t的值．
【变式10-2】（23-24七年级·吉林长春·期末）如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图①，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)求、、的度数；
(2)在旋转过程中，如图②，当 时，求的度数；
(3)如图③，当点在内部时，边、分别交、的延长线于、两点．
①的取值范围是______；
②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系．
【变式10-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数．
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