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专题1.4 平行线的性质与判定中的常用辅助线
【浙教版2024】
【题型1 过拐点作平行线】
1．（24-25七年级·安徽合肥·期末）如图，已知，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作，则，由平行线的性质可得，，代入数据计算即可得解．
【详解】解：如答图，过点E作，
∵，
∴，
∴，．
∵，，
∴，，
．
（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查方向角，平行线的性质，理解方向角的意义以及平行线的性质是正确解答的前提．
（1）根据方向角和平行线的性质，求出即可；
（2）根据平行线的性质可得．
【详解】（1）解：由题意可知，，，，
∵，
，
，
；
（2）解：过点作，
∵，
∴，
，，
．
3．（23-24七年级·重庆·阶段练习）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质探究角的关系以及平行线的性质与判定的综合，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）先由平行线的性质，得出，再进行角的等量代换，得，即可作答．
（2）过点F作直线，得，结合角平分线的定义，得，，再通过角的差运算，即可作答．
【详解】（1）解：如图：
∵
∴
∵
∴
∴；
（2）解：如图：过点F作直线，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．（23-24七年级·全国·期末）探究：如图①，，试问、、有什么关系．下面给出了这道题的解题过程，请你完成下列填空：
解：如图①，过点C作，
∴（ ）．
又∵，，
∴ （ ），
∴（ ），
∴，
即 ；
应用：如图②，直线，，垂足为O，与相交于点E，若，求的度数；
拓展：如图③，，于点C，，，则 ．
【答案】探究：两直线平行，内错角相等；；同平行于一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等； 应用： 拓展：
【分析】本题考查平行线的性质，，熟练掌握平行线的性质是关键．
探究：过点C作，可以得到，然后得到，即可解题；
应用：根据垂直的定义得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用探究结论解题；
拓展：过点作，过点作，得到，，，然后根据角的和差解题即可．
【详解】探究：解：如图①，过点C作，
∴（两直线平行，内错角相等）．
又∵，，
∴（同平行于一条直线的两条直线互相平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
即；
应用：∵，
∴，
又∵，
∴，
根据探究结论可得：；
拓展：如图，过点作，过点作，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若平分，平分交于点F，直接写出和之间的数量关系________；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，在上取一点K，连接交于点H，，若，．求．
【答案】(1)130度
(2)
(3)30度
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（1）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，求得，，即可得到的度数；
（2）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，得出，，则可得出，同理可得，然后结合角平分线定义即可得出结论；
（3）由（2）可求， ，设，，，，则，在中，根据三角形内角和定理可得出，由（2）知：，则，根据三角形外角的性质可得出，则可求出，根据三角形内角和定理并结合可得出，进而求出，代入，可求出，，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作，则，
，，
，，
，，
；
（2）解：如图，过点作，则，
，，
，
同理，
平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解： ，
，
由（2）知： ，
又，
，
，
设，，，，则，
在中，，
，
，
由（2）知：，
，
如图，
，
，
，
，
，即，
，
把代入，得，
，
．
6．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和）
(1)如图1， 求证：；
(2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：；
(3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，等量代换得出，根据内错角相等、两直线平行，可得结论；
（2）过点F作，则，由平行线的性质得出，，等量代换可得结论；
（3）作，，由平行线的性质推出，设，则，进而得出，结合（2）中结论得出，将代入，可得，进而可得．
【详解】（1）证明： 平分，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点F作，
，，
，
，
，
，
又 ，
，
即；
（3）解：如图，作，，
由（1）知，
，
平分，平分，
，，
，
又 ，
，
，
；
，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
；
由（2）知，
，
即，
又 ，
，
整理得，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差关系，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质熟练进行等量代换．
7．（24-25七年级·上海·期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角．如若，，则为的6系补周角．
(1)若，则的4系补周角的度数为______
(2)在平面内，点E是平面内一点，连接．
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，（其中n为常数且），点P是角平分线上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①②
【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解即可；
（2）①过作，得，再由已知，是的3系补周角，列出的方程，求得的度数；
②根据系补周角的定义先确定点的位置，再结合，求解与的关系即可求解．
本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义．
【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得：
，
解得，
的4系补周角的度数为，
故答案为：70；
（2）解：①过作，如图1，
，
，
，
∵，
，
，
即，
是的3系补周角，
，
，
；
②如图2，当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角，
过点作，过点作，如图2，
，
，，
，，，，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
∵ ，（其中n为常数且），
，
，
，
，
是的系补周角，
此时，．
8．（24-25七年级·全国·期末）如图，已知，，，点E、F为、之间的两点．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由；
(3)如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．
【答案】(1)；
(2)的度数是定值；
(3)．
【分析】（1）如图，过作，过作，证明，证明，，从而可得答案；
（2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再利用角的和差运算可得结论；
（3）如图，∵平分，平分，可得，，由三角形的内角和定理可得 ，结合（2）得：，从而可得．
【详解】（1）解：如图，过作，过作，
∵，
∴，而，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，是定值，理由如下：
如图，过作，过作，
∵，
∴，而，，
∴，，，
∴；
（3）解：如图，∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵由（2）得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键．
9．（23-24七年级·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接．
【感知】如图1，若，则 ；
【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由：
【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数．
【答案】感知：；探究：，理由见解析；应用：
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义：
感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可；
探究：仿照感知方法求解即可；
应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明
证明，再根据，可得结论．
【详解】解：感知：如图所示，过点E作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
探究：，理由如下：
如图所示，过点E作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
应用：由平移的性质可得，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
10．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法．
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）过点作，先利用，设，，结合平行线的性质求出，利用，结合平行线的判定与性质求出，利用，，结合平行线的判定与性质求出，即可求出，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，过点作，
，
，，
，，，，
，
平分，
，
平分，
，
；
（3）解：如图，过点作，
∵，
∴设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
由（2）得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点逆时针以每秒的速度进行旋转，
∴，
综上，时，第一次与平行，此时．
11．（23-24七年级·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．
（1）过点P向右，则，得出，进而求出结论；
（2）过点P向右，则，得出，进而求出结论；
（3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论．
【详解】（1）解：过点P向右，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点P向右，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）过点P向左作，过N向左作，
∵，
∴，
与（2）同理，得，
依题意，设，
则 ．
∴，
∴ ．
12．（23-24七年级·全国·单元测试）如图1，，．
(1)①如果，求的度数；
②设，，直接写出、之间的数量关系： ；
(2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数．
【答案】(1)①°；②
(2)不发生变化；，理由见详解
(3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题；
过点作，则有，，再根据直角得到结论；
（2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用（1）的推导过程得到结论；
（3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题．
【详解】（1）解：过点作，
，
，
，，
又，
，
；
过点作，
，
，
，，
又，
，
，
故答案为：；
（2）解：不发生变化；，理由为：
由可得，，
、的角平分线交于点，
，，
，
过作，，
；
（3）由（2）得，，，
，
，
过点作，
，
，
，，
，
当点在点的左侧时，如图，
则，
，
；
当点在点的右侧时，如图，
则，
，
．
综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，．
13．（23-24七年级·河南郑州·期中）如图1，，，，求的度数．
（1）下面是小明同学的解答过程，请你补充完整；
解：过点P作，
∵，，
∴．（_________）
∴，
又∵，（已知），
∴_________，_________，
∴_________．
【问题迁移】
（2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、C两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由．
【问题应用】
（3）在（2）的条件下，如果点P在C、B两点外侧运动时（点P与点C、B、O三点不重合），请你直接写出与、之间有何数量关系．
【答案】（1）平行于同一条直线的两直线平行，，，；（2），理由见解析；（3）当P在延长线上时，；当P在延长线上时，．
【分析】本题是几何综合题，主要考查了平行线的性质和判定的应用，三角形外角的性质，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）如图，过作交于，根据平行线的判定和性质即可得到结论；
（3）如图所示，当在延长线上时，当在延长线上时，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论．
【详解】解：（1）下面是小明同学的思考过程，请你补充完整；
，，
（平行于同一条直线的两直线平行），
，
（两直线平行，同旁内角互补），
又，（已知），
，，
．
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行，，，；
（2），
理由：如图，过作交于，
，
，
，，
，，
；
（3）如图所示，当在延长线上时，过作，
，
，
，，
，，
；
如图所示，当在延长线上时，过作，
，
，
，，
，，
；
综上所述，与、的关系为或．
14．（2024七年级·河南郑州·专题练习）[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能．
（1）[阅读理解]：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．
阅读并补充下面推理过程．
解：过点作，所以 ，
又因为
所以
（2）[方法运用]：
如图2，已知，求的度数．
（3）[深化拓展]：
已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．
①如图3，若，则 °
②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示）
【答案】（1）；；（2）的度数为；（3）①65；②
【分析】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等，即可解答；
（2）过点作，从而利用平行线的性质可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，再根据周角定义可得，最后利用等量代换可得，即可解答；
（3）①过点作，先根据猪脚模型可得，然后根据角平分线的定义可得，，从而进行计算即可解答；
②过点作，先根据角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得然后根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）解：过点作，如图所示：
，，
又，
，
故答案为：；；
（2）过点作，如图所示：
，
，
，
，
，
，
的度数为；
（3）①过点作，如图所示：
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
故答案为：65；
②过点作，如图所示：
平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
15．（2024七年级·浙江·专题练习）综合与实践．
活动主题 设计一款日常的多功能椅子
素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应和，椅腿可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行．注：三角形内角和为．
素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行．
素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．
素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档．椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角．
问题解决
任务1 根据素材1，回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得∠ECB=150°，∠OBA=70°，延长GF，与地面BA的夹角为，求
任务2 根据素材1，2，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长GF交AB于点I，探究∠FIB与∠PCE的数量关系
任务3 根据素材3，4，回答问题： 从舒适档调整为工作档时，椅腿FB于地面AB的夹角始终为 ①请用表示舒适档时靠背GF与椅腿BF的夹角∠GFB= ②求从舒适档调整为工作档过程中，靠背GF需要装过多少度？
【答案】任务1：；任务2：；任务3：①；②25度
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，理解题意，看懂角度前后的变化是解答的关键．任务1：利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解即可；
任务2：过F作，则，根据平行线的性质得到，，进而可由推导出；
任务3：①根据平行线的性质得到，再根据三角形的内角和定理求解即可；
②求出工作档时的，进而作差即可得答案．
【详解】解：任务1：
∵，，
∴，
∵，，
∴；
任务2：由题意，，，
如图，过F作，则，
∴，，
∴，
∴；
任务3：①如图，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②工作档时如图，已知，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背需要转过25度．
【题型2 连接两点或延长线段使相交】
16．（24-25七年级·全国·期末）如图，直线，相交于点O，点A，B在上，点 D，E 在上，，．
(1)求证∶．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键．
（1）延长交于点，延长交于点，利用得出，然后根据三角形内角和定理得出，最后利用同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据三角形外角的性质得出，再利用即可得出答案．
【详解】（1）解：延长交于点，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
17．（24-25七年级·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，，点在、内部，，则 ；
(2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为 ；
(3)如图3，直接写出之间的数量关系为 ，并证明．
【答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析
【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做出辅助线是解题的关键．
（1）延长交于点，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解；
（2）根据，得，再由三角形外角的性质即可求证；
（3）连接，由，，即可求解．
【详解】（1）解：延长交于点，
，，
，
，
，
故答案为；；
（2）解： ，
，
，
；
（3）证明：，证明：
连接并延长，
，，
，
．
18．（2024七年级·全国·专题练习）已知．
(1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若，求的度数．
【答案】(1)．理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据内错角相等两直线平行可求解；
（2）延长线段交于点H，由平行线的性质可求解．
【详解】（1）解：．理由如下：
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，延长线段交于点H，
，
．
，
．
，
，
．
19．（23-24七年级·广东肇庆·期中）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点，且B，G，C在一条直线上，若，，．
(1)求的度数．
(2)计算的度数是______．
(3)连接，当与满足怎样数量关系时，．并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】此题考查平行线的判定和性质，三角形外角的性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
（1）根据平行线的判定和性质解答即可；
（2）延长交于，由平行线的性质得到，进而利用三角形外角的性质解答即可；
（3）根据平行线的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解：∵，
，
；
（2）解：延长交于，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：当时，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
20．（23-24七年级·浙江宁波·阶段练习）如图1，，．
(1)①如果，求的度数；
②设，，直接写出、之间的数量关系：________；
(2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化 如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数．
【答案】(1)①；②
(2)不发生变化，的度数为
(3)或
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题；
②过点作，则有，，再根据直角得到结论；
（2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论；
（3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题．
【详解】（1）解：①过点作，
，
，
，，
又，
，
；
②过点C作，
，
，
，，
又，
，
，
故答案为：；
（2）不发生变化，，理由为：
由②可得，，
、的角平分线交于点，
，
过点作，则，
，，
；
（3）由（2）得，，，
，
，
过点作，
，
，
，，
，
当点在点的左侧时，如图，
则，
，
，
当点在点的右侧时，如图，
则，
，
．
的度数为或．
21．（23-24七年级·江苏南通·期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中，都有，．设镜子与的夹角．
(1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数．（可用含有的代数式表示）
【答案】(1)，理由见详解
(2)，理由见详解
(3)或
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，外角定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
（1）在中，，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得；
（2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，，在中，，可得与的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得．②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形外角定义，可得，由，且由（1）的结论可得，．
【详解】（1）证明：，理由如下：
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
在中，，
，
，，
，
，
同理可得，，
在中，，
；
（3）解：或．
理由如下：①当时，如图所示：过点G作，
，
，
，
，
，，
∴，
∴，，
，
则，
则，
由内角和，得．
②当时，如果在边反射后与平行，则，
与题意不符；
则只能在边反射后与平行，
如图所示：
根据三角形外角定义，得
，
由，且由（1）的结论可得，
，
则．
综上所述：的度数为或．
22．（23-24七年级·山西吕梁·期中）综合与探究
如图1，已知，是其内部一点，过点作，，分别交，于点，，平分，平分．
图1 图2
(1)①写出所有等于的角：______．
②试猜想与的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，点在射线上，连接，，且，平分，交于点，延长交于点，若，求的度数．
【答案】(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）①由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可得答案；②延长交于H，由平行线的性质可得，则；
（2）设交于K，由角平分线的定义得到，设，则，，由平行线的性质得到，则，进而得到，可得，再求出，得到，由平行线的性质得到，则．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
故答案为：；
②，理由如下：
如图所示，延长交于H，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，设交于K，
∵平分，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（23-24七年级·辽宁大连·阶段练习）已知：如图，．
(1)如图1所示：点为上一点，，直接写出与的数量关系；
(2)如图2，平分，的反向延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数；
(3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键．
（1）延长交于点F，根据平行线的性质推出；
（2）过点E作，过点H作，根据，推出，再根据，推出，最后根据比大得出的度数；
（3）过点E作，则，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．
【详解】（1）解：延长交于点F．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：过点E作，过点H作，如图所示：
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵比大，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点E作，
根据（2）得，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）已知直线，点在直线、之间，点M、N分别在直线、上．
(1)如图1，直线过点，分别与直线、交于点、，，求证：；
(2)如图2，点F在直线上，、分别平分、，若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，平分．直线与交于点，平分，．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）先证明，再利用平行线的性质、邻补角的定义即可证明结论；
（2）设，，推出，由已知得到，利用平角的定义得到，据此求解即可；
（3）设，，推出，由平行线的性质推出，，在中，得到，据此通过计算即可证明．
【详解】（1）证明：延长交于点Q，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过E作，如图．
∵平分，平分，
∴设，．
∵，．
∴，
∵．
∴．
∵．
∴．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过E作，，过H作，如图．
∵平分，平分，
设，，
由（2）方法可得，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，正确的识别图形，找到角与角之间的关系是解题的关键．
25．（23-24七年级·江苏无锡·阶段练习）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，．
(1)将图1中的三角尺沿的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，与相交于点E，求的度数；
(2)将图1中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点E，求的度数；
(3)将图1中的三角尺绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边恰好与边平行；在第______秒时，直线恰好与直线垂直．（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)150°
(3)5或17；11或23
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，代入数据计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义求出，利用内错角相等两直线平行求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（3）①分在上方时，，设与相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据三角形的内角和定理列式求出，即可得解；在的下方时，，设直线与相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得°，然后利用三角形的内角和定理求出，再求出旋转角即可；②分在的右边时，设与相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再求出旋转角即可，在的左边时，设与相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后求出旋转角，计算即可得解．
【详解】（1）解：在中，，
∴
；
（2）解：∵，
∴，
平分，
，
，
，
；
（3）解：如图1，在上方时，设与相交于，
，
，
在中，，
，
，
旋转角为，
秒；
在的下方时，设直线与相交于，
，
，
在中，，
旋转角为，
秒；
综上所述，第5或17秒时，边恰好与边平行；
如图2，在的右边时，设与相交于，
，
，
，
旋转角为，
秒，
在的左边时，设与相交于，
，
，
，
旋转角为，
秒，
综上所述，第11或23秒时，直线恰好与直线垂直．
故答案为：5或17；11或23．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．
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专题1.4 平行线的性质与判定中的常用辅助线
【浙教版2024】
【题型1 过拐点作平行线】
1．（24-25七年级·安徽合肥·期末）如图，已知，，，求的度数．
2．（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
3．（23-24七年级·重庆·阶段练习）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数．
4．（23-24七年级·全国·期末）探究：如图①，，试问、、有什么关系．下面给出了这道题的解题过程，请你完成下列填空：
解：如图①，过点C作，∴（ ）．
又∵，，
∴ （ ），
∴（ ），
∴，
即 ；
应用：如图②，直线，，垂足为O，与相交于点E，若，求的度数；
拓展：如图③，，于点C，，，则 ．
5．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若平分，平分交于点F，直接写出和之间的数量关系________；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，在上取一点K，连接交于点H，，若，．求．
6．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和）
(1)如图1， 求证：；
(2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：；
(3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数．
7．（24-25七年级·上海·期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角．如若，，则为的6系补周角．
(1)若，则的4系补周角的度数为______
(2)在平面内，点E是平面内一点，连接．
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，（其中n为常数且），点P是角平分线上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
8．（24-25七年级·全国·期末）如图，已知，，，点E、F为、之间的两点．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由；
(3)如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．
9．（23-24七年级·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接．
【感知】如图1，若，则 ；
【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由：
【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数．
10．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数．
11．（23-24七年级·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值．
12．（23-24七年级·全国·单元测试）如图1，，．
(1)①如果，求的度数；
②设，，直接写出、之间的数量关系： ；
(2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数．
13．（23-24七年级·河南郑州·期中）如图1，，，，求的度数．
（1）下面是小明同学的解答过程，请你补充完整；
解：过点P作，
∵，，
∴．（_________）
∴，
又∵，（已知），
∴_________，_________，
∴_________．
【问题迁移】
（2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、C两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由．
【问题应用】
（3）在（2）的条件下，如果点P在C、B两点外侧运动时（点P与点C、B、O三点不重合），请你直接写出与、之间有何数量关系．
14．（2024七年级·河南郑州·专题练习）[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能．
（1）[阅读理解]：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．
阅读并补充下面推理过程．
解：过点作，所以 ，
又因为
所以
（2）[方法运用]：
如图2，已知，求的度数．
（3）[深化拓展]：
已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．
①如图3，若，则 °
②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示）
15．（2024七年级·浙江·专题练习）综合与实践．
活动主题 设计一款日常的多功能椅子
素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应和，椅腿可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行．注：三角形内角和为．
素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行．
素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．
素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档．椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角．
问题解决
任务1 根据素材1，回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得∠ECB=150°，∠OBA=70°，延长GF，与地面BA的夹角为，求
任务2 根据素材1，2，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长GF交AB于点I，探究∠FIB与∠PCE的数量关系
任务3 根据素材3，4，回答问题： 从舒适档调整为工作档时，椅腿FB于地面AB的夹角始终为 ①请用表示舒适档时靠背GF与椅腿BF的夹角∠GFB= ②求从舒适档调整为工作档过程中，靠背GF需要装过多少度？
【题型2 连接两点或延长线段使相交】
16．（24-25七年级·全国·期末）如图，直线，相交于点O，点A，B在上，点 D，E 在上，，．
(1)求证∶．
(2)若，，求的度数．
17．（24-25七年级·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，，点在、内部，，则 ；
(2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为 ；
(3)如图3，直接写出之间的数量关系为 ，并证明．
18．（2024七年级·全国·专题练习）已知．
(1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若，求的度数．
19．（23-24七年级·广东肇庆·期中）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点，且B，G，C在一条直线上，若，，．
(1)求的度数．
(2)计算的度数是______．
(3)连接，当与满足怎样数量关系时，．并说明理由．
20．（23-24七年级·浙江宁波·阶段练习）如图1，，．
(1)①如果，求的度数；
②设，，直接写出、之间的数量关系：________；
(2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化 如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数．
21．（23-24七年级·江苏南通·期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中，都有，．设镜子与的夹角．
(1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数．（可用含有的代数式表示）
22．（23-24七年级·山西吕梁·期中）综合与探究
如图1，已知，是其内部一点，过点作，，分别交，于点，，平分，平分．
图1 图2
(1)①写出所有等于的角：______．
②试猜想与的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，点在射线上，连接，，且，平分，交于点，延长交于点，若，求的度数．
23．（23-24七年级·辽宁大连·阶段练习）已知：如图，．
(1)如图1所示：点为上一点，，直接写出与的数量关系；
(2)如图2，平分，的反向延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数；
(3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，求的度数．
24．（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）已知直线，点在直线、之间，点M、N分别在直线、上．
(1)如图1，直线过点，分别与直线、交于点、，，求证：；
(2)如图2，点F在直线上，、分别平分、，若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，平分．直线与交于点，平分，．求证：．
25．（23-24七年级·江苏无锡·阶段练习）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，．
(1)将图1中的三角尺沿的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，与相交于点E，求的度数；
(2)将图1中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点E，求的度数；
(3)将图1中的三角尺绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边恰好与边平行；在第______秒时，直线恰好与直线垂直．（直接写出结果）
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