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专题1.2 平行线的判定【八大题型】
【浙教版2024】
【题型1 平行线】 1
【题型2 平行公理及其推论】 2
【题型3 添加条件使两直线平行】 3
【题型4 补充过程使两直线平行】 4
【题型5 直接证明两直线平行】 6
【题型6 旋转使两直线平行】 7
【题型7 平行线的判定的应用】 9
【题型8 作辅助线证平行】 10
知识点1：平行线
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”
【题型1 平行线】
【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线
B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线
C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D．不相交的两条直线是平行线
【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，找出互相平行的线段，并用符号表示出来为 ．
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过三角形的边的中点画平行于的直线，这样的直线能画 条．
【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，另一片叶子 （填“能”或“不能”）与地面平行．其判断的依据是 ．
知识点2：平行公理及其推论
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线平行于第三条直线,那么这两条直线也平行
【题型2 平行公理及其推论】
【方法技巧】（1）平行公理体现了平行线的存在性和唯一性,平行公理的推论体现了平行线的传递性,它们都可以作为以后推理的依据.（2）平行公理中强调“经过直线外一点”,而垂线性质中只要求“经过一点”,不限定点是否在直线上.
【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么，这个推理的依据是（ ）
A．等量代换
B．两直线平行，同位角相等
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（ ）
A．马路的斑马线是平行线 B．跑道的跑道线是平行线
C．若直线，则 D．若直线，则
【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ．
【变式2-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）工人师傅在铺设电缆时，为了检查三条电缆是否平行，只检查了其中两条电缆是否与第三条平行．你认为这种做法对吗？请给出合理解释．
知识点3：平行线的判定
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型3 添加条件使两直线平行】
【例3】（23-24七年级·山东威海·期末）如图，已知，下列条件：①；②；③；④．其中能判断的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点是延长线上一点，请添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）．
【变式3-2】（23-24七年级·四川阿坝·期末）如图，下列条件中，能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（23-24七年级·河北廊坊·期末）如图，下列条件．①；②；③；④中，能判断直线 的有 ．（填序号即可）
【题型4 补充过程使两直线平行】
【例4】（23-24七年级·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，，，平分，试说明：．
解：因为平分，
所以 （ ）
又因为（ 已 知 ） ，
所以（等量代换） ．
所以 （ ），
所以（ ）．
又因为（ 已 知 ） ，
所以 （ ），
所以（ ）
【变式4-1】（23-24七年级·四川泸州·期末）已知：如图，，和互余，于点．求证：
请将下面的推理过程补充完整．
证明：∵（已知），
∴（ ），
∴ ，
又∵和互余（已知），
∴ ，
∴ （ ），
∵（已知），
∴，
∴（ ，两直线平行）．
【变式4-2】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）．
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）．
∴∠4＝60°（ ）．又∵∠1＝60°（ ），
∴∠1＝∠4（ ）．
∴（ ）．
【变式4-3】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）如图，，平分，平分，．
求证：．
证明：平分，平分（已知）
__________，__________．（ ）
又，（已知）
____________________．（等量代换）
又，（已知）
____________________．（等量代换）
∴．（__________）
【题型5 直接证明两直线平行】
【方法技巧】（1）已知角相等导角证平行.（2）通过角的数量关系证平行.（3）通过同角(等角)的余角相等,对顶角相等,角平分线得等角,再证平行.
【例5】（23-24七年级·陕西延安·期末）如图，已知，交于点D，平分，，求证：．
【变式5-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由．
【变式5-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）已知：如图，，求证：．
【变式5-3】（23-24七年级·甘肃武威·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若与互余，求证：．
【题型6 旋转使两直线平行】
【例6】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．
【变式6-1】（23-24七年级·山西运城·期末）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（ ）．
A．10° B．20° C．30° D．40°
【变式6-2】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，直线，a与c交于点P．若，则 ．将直线a能点P逆时针旋转 °（旋转角度小于）后可使直线．
【变式6-3】（23-24七年级·安徽六安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【题型7 平行线的判定的应用】
【例7】（2024七年级·全国·专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【变式7-1】（23-24七年级·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？
【变式7-2】（23-24七年级·福建三明·期末）如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．下列条件中能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24七年级·山西太原·期中）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【题型8 作辅助线证平行】
【方法技巧】有些平行线的证明,无法直接导出相等角,此时考虑连线或作平行线转化角.
【例8】（23-24七年级·湖北武汉·期中）如图、已知，，且线段的延长线平分的邻补角．
(1)求证：；
(2)若射线绕点D以每秒的速度逆时针方向旋转得，同时，射线绕点B以每秒的速度逆时针方向旋转得，和交于点G，设旋转时间为t秒．
①当，且时，求t的值；
②当，，则t的值是___________．
【变式8-1】（23-24七年级·重庆北碚·期中）如图，在四边形中，点在上，平分，，．
(1)求证：；
(2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数．
【变式8-2】（23-24七年级·浙江温州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点,
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ．
【变式8-3】（23-24七年级·广东韶关·期中）如图直线与直线分别交于E，F，且与互补，O为线段上一点．
(1)求证：．
(2)如图1，已知平分，平分，求的大小．
(3)将图1中的射线绕O点顺时针转一个角度α（）至与交于，其它图线保持不变，如图2所示，作的平分线与的平分线交于，求的大小（用含α的代数式表示）．
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专题1.2 平行线的判定【八大题型】
【浙教版2024】
【题型1 平行线】 1
【题型2 平行公理及其推论】 3
【题型3 添加条件使两直线平行】 6
【题型4 补充过程使两直线平行】 8
【题型5 直接证明两直线平行】 12
【题型6 旋转使两直线平行】 14
【题型7 平行线的判定的应用】 17
【题型8 作辅助线证平行】 20
知识点1：平行线
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”
【题型1 平行线】
【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线
B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线
C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D．不相交的两条直线是平行线
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键．
根据平行线的定义判断求解即可．
【详解】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意；
同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意；
同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意；
同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，找出互相平行的线段，并用符号表示出来为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的定义，根据同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线即可求解．
【详解】解：由图可得，，
故答案为：．
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过三角形的边的中点画平行于的直线，这样的直线能画 条．
【答案】1
【分析】本题考查了平行公理的知识点，解题的关键是理解并运用平行公理．
根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，据此确定过中点作平行于的直线的条数．
【详解】解：设的中点为，因为点在直线外，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以过点画平行于的直线，这样的直线能画1条．
故答案为：1．
【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，另一片叶子 （填“能”或“不能”）与地面平行．其判断的依据是 ．
【答案】 不能 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】本题考查了平行公理，解题的关键是理解并运用平行公理来判断直线与直线的平行关系．
根据平行公理判断叶子与地面是否平行．
【详解】解：平行公理为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
在本题中，把地面看作一条直线，风车的轴心可看作直线外一点，当叶子旋转到与地面平行时，因为经过风车轴心（直线外一点），有且只有一条直线与地面平行，此时已与平行，所以另一片叶子不能与地面平行．
故答案为：不能；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
知识点2：平行公理及其推论
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线平行于第三条直线,那么这两条直线也平行
【题型2 平行公理及其推论】
【方法技巧】（1）平行公理体现了平行线的存在性和唯一性,平行公理的推论体现了平行线的传递性,它们都可以作为以后推理的依据.（2）平行公理中强调“经过直线外一点”,而垂线性质中只要求“经过一点”,不限定点是否在直线上.
【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么，这个推理的依据是（ ）
A．等量代换
B．两直线平行，同位角相等
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理解答即可．
本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】解：如果，那么，根据是平行于同一条直线的两条直线平行．
故选：D．
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（ ）
A．马路的斑马线是平行线 B．跑道的跑道线是平行线
C．若直线，则 D．若直线，则
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线概念和平行公理及推论，根据平行线定义“同一平面内不相交的两条直线互相平行”知A，B均正确，根据平行公理及推论，可得C错误，D正确．
【详解】解：A、由平行线的定义可知，斑马线是平行线，A正确，不符合题意；
B、由平行线的定义可知，跑道的跑道线是平行线，B正确， 不符合题意；
C、根据平行于同一条直线的两直线平行可知，C错误，符合题意；
D、根据平行于同一条直线的两直线平行可知，D正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ．
【答案】 相交 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．
根据不平行于，来判定与的关系．
【详解】解：∵不平行于，，
∴不平行于（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）
即所在的直线与地面相交．
故答案为：相交；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
【变式2-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）工人师傅在铺设电缆时，为了检查三条电缆是否平行，只检查了其中两条电缆是否与第三条平行．你认为这种做法对吗？请给出合理解释．
【答案】这种做法是对的．理由如下：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解答此题的关键．根据平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：这种做法是对的．理由如下：
∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，
∴为了检验三条电线是否互相平行只检查了其中两条是否与第三条平行即可．
故答案为：这种做法是对的．理由如下：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
知识点3：平行线的判定
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）
【题型3 添加条件使两直线平行】
【例3】（23-24七年级·山东威海·期末）如图，已知，下列条件：①；②；③；④．其中能判断的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，根据平行线的判定方法逐项分析即可．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
【详解】解：∵，
∴，
①∵，则，
∴，故符合题意；
②，无法判断，故不符合题意；
③∵，，
∴，
∴，故符合题意；
④，无法判断，故不符合题意；
综上，①③都能判定，
故选：B．
【变式3-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点是延长线上一点，请添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，根据内错角相等，两直线平行，即可求解．
【详解】解：∵，∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式3-2】（23-24七年级·四川阿坝·期末）如图，下列条件中，能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次分析并判断．
【详解】解：∵，∴，故A选项不符合题意；
∵，∴，故B选项符合题意；
由，不能证明哪两条直线平行，故C选项不符合题意；
由不能证明哪两条直线平行，故D选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-3】（23-24七年级·河北廊坊·期末）如图，下列条件．①；②；③；④中，能判断直线 的有 ．（填序号即可）
【答案】①③④
【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定进行判断即可．
【详解】①∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
②不能判断；
③∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
④∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：①③④
【题型4 补充过程使两直线平行】
【例4】（23-24七年级·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，，，平分，试说明：．
解：因为平分，
所以 （ ）
又因为（ 已 知 ） ，
所以（等量代换） ．
所以 （ ），
所以（ ）．
又因为（ 已 知 ） ，
所以 （ ），
所以（ ）
【答案】，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可．
【详解】解：因为平分，
所以∠1=∠2（角平分线的定义），
又因为（ 已 知 ） ，
所以（等量代换） ．
所以（内错角相等，两直线平行），
所以（ 两直线平行，同旁内角互补）．
又因为（ 已 知 ） ，
所以（同角的补角相等），
所以（ 同位角相等，两直线平行），
故答案为：，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行．
【变式4-1】（23-24七年级·四川泸州·期末）已知：如图，，和互余，于点．求证：
请将下面的推理过程补充完整．
证明：∵（已知），
∴（ ），
∴ ，
又∵和互余（已知），
∴ ，
∴ （ ），
∵（已知），
∴，
∴（ ，两直线平行）．
【答案】垂直的定义；；；；同角的余角相等；内错角相等
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．由，和互余，利用垂直的定义和同角的余角相等得到，再由，可得，利用内错角相等两直线平行即可得证．
【详解】证明：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴，
又∵和互余（已知），
∴，
∴（同角的余角相等），
∵（已知），
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；；；；同角的余角相等；内错角相等．
【变式4-2】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）．
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）．
∴∠4＝60°（ ）．
又∵∠1＝60°（ ），
∴∠1＝∠4（ ）．
∴（ ）．
【答案】已知；垂直定义；已知；60°；对顶角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【分析】要证AB∥CD，只需证∠1＝∠4，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得∠4＝60°，故本题得证．
【详解】解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直定义）．又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝60°．
∴∠4＝60°（对顶角相等）．
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝∠4（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
【变式4-3】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）如图，，平分，平分，．
求证：．
证明：平分，平分（已知）
__________，__________．（ ）
又，（已知）
____________________．（等量代换）
又，（已知）
____________________．（等量代换）
∴．（__________）
【答案】；；角平分线的定义；；；；；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了角平分线的定义及平行线的判定，根据角平分线的定义得，，进而可证，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】证明：平分，平分，
，（角平分线的定义），
又∵，（等量代换），
又，
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为： ；；角平分线的定义；；；；；同位角相等，两直线平行．
【题型5 直接证明两直线平行】
【方法技巧】（1）已知角相等导角证平行.（2）通过角的数量关系证平行.（3）通过同角(等角)的余角相等,对顶角相等,角平分线得等角,再证平行.
【例5】（23-24七年级·陕西延安·期末）如图，已知，交于点D，平分，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由平角的定义得到，则可由同位角相等，两直线平行证明．
【详解】证明：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式5-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查垂直的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．先通过垂直和已知条件得到，即可判定得出两直线平行．
【详解】解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
【变式5-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）已知：如图，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据已知得，从而利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得，即可解答．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式5-3】（23-24七年级·甘肃武威·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若与互余，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定：
（1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证；
（2）根据同角的余角相等，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【题型6 旋转使两直线平行】
【例6】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．
【答案】或或或
【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．
设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案
【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得：
当秒时，，解得：；
当秒时，，解得：；
当秒时，木棒a停止运动，
当时，，解得：，不符合题意；
当时，，解得：；
，解得：，
当时，木棒b停止运动，
综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行，
故答案为：或或或．
【变式6-1】（23-24七年级·山西运城·期末）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（ ）．
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，即∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°即可．
【详解】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟知相关定理是解题基础．
【变式6-2】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，直线，a与c交于点P．若，则 ．将直线a能点P逆时针旋转 °（旋转角度小于）后可使直线．
【答案】 90
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义；根据两直线平行，同位角相等可得的度数，再根据垂直的定义即可解决问题．
【详解】解：∵
∴；
∵
∴直线a能点P逆时针旋转后可使直线
故答案为：，90．
【变式6-3】（23-24七年级·安徽六安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【答案】或
【分析】分和两种情况求解．
【详解】当时，∵，
∴，
∵，
；
当时，
∵，
；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板中的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【题型7 平行线的判定的应用】
【例7】（2024七年级·全国·专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】根据等角的补角相等求出与的补角相等，再根据，结合内错角相等，两直线平行即可判定．
【详解】解：平行，理由如下：
如图，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
【变式7-1】（23-24七年级·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？
【答案】或或；理由见解析
【分析】因为是直角，只要找出与互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为是直角，和是同位角，如果度量出，根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行．类似地，和是内错角，和是同旁内角，如果度量出它们是直角，也可以判断两条直轨平行．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，根据定理内容解题是关键．
【变式7-2】（23-24七年级·福建三明·期末）如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．下列条件中能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟知：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；是解本题的关键．根据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、，和邻补角，不能证明；
B、，和是同旁内角，同旁内角相等不能证明；
C、，根据同旁内角互补，能证明；
D、，与邻补角，不能证明．
故选：C．
【变式7-3】（23-24七年级·山西太原·期中）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等或内错角相等或同旁内角互补等方式，都能判定两直线平行，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵，且与不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，∴不能说明，故该选项是错误的；
B、∵，，∴（同旁内角互补，两直线平行），说明，故该选项是正确的；
C、∵，，且与是内错角，但不相等，∴不能说明，故该选项是错误的；
D、∵，，且与是同旁内角，但不互补，∴不能说明，故该选项是错误的；
故选：B．
【题型8 作辅助线证平行】
【方法技巧】有些平行线的证明,无法直接导出相等角,此时考虑连线或作平行线转化角.
【例8】（23-24七年级·湖北武汉·期中）如图、已知，，且线段的延长线平分的邻补角．
(1)求证：；
(2)若射线绕点D以每秒的速度逆时针方向旋转得，同时，射线绕点B以每秒的速度逆时针方向旋转得，和交于点G，设旋转时间为t秒．
①当，且时，求t的值；
②当，，则t的值是___________．
【答案】(1)见解析
(2)①；②32或50
【分析】（1）先求出，再由角平分线的定义得到，则，由此即可证明；
（2）①如图所示，过点G作，则，由平行线的性质得到，，则，再由
， 得到，解方程即可；②分图2-1和图2-2，过点G作，则，利用平行线的性质求出，的度数，然后根据建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的邻补角，，
∴，
又∵平分．
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵
∴，
如图所示，过点G作，又∵
∴，
∴，，
∴
又∵，
∴，
∴；
②如图2-1所示，当时，过点G作，
又∵
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得；
如图2-2所示，
由（2）①，
∴，
∵，∴
解得；
综上所述，t的值为或50．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，利用分类讨论的思想是解题的关键．
【变式8-1】（23-24七年级·重庆北碚·期中）如图，在四边形中，点在上，平分，，．
(1)求证：；
(2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）由，可得，由平分，可得，则，，进而可证；
（2）由（1）知，则，由平分，可得，由，，可得，，如图，过作，则，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
如图，过作，
∴，，
∴，
∴的度数为．
【变式8-2】（23-24七年级·浙江温州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点,
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识．
（1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出；
（2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
（3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点N作，
∴，
∴，
设，
∵分别平分，
∴，
又∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）解：，
∵，即
∴
∴，
∴，
又∵和是角平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴．故答案为：．
【变式8-3】（23-24七年级·广东韶关·期中）如图直线与直线分别交于E，F，且与互补，O为线段上一点．
(1)求证：．
(2)如图1，已知平分，平分，求的大小．
(3)将图1中的射线绕O点顺时针转一个角度α（）至与交于，其它图线保持不变，如图2所示，作的平分线与的平分线交于，求的大小（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）与互补，则，而，可得，进而判定．
（2）由得，由平分，平分得，，由三角形内角和定理可得结果．
（3）过点O作，过点作，得到，，又由平分，平分，得到，从而得到结果．
【详解】（1）∵与互补，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）由（1）得，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（3）如图，过点O作，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，余角和补角，正确添加平行线，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
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