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专题1.1 相交线【八大题型】
【浙教版2024】
【题型1 对顶角、邻补角的定义】 1
【题型2 对顶角相等】 2
【题型3 垂线的定义及画法】 3
【题型4 垂线段最短】 4
【题型5 点到直线的距离】 5
【题型6 垂直的实际应用】 6
【题型7 垂直的计算】 7
【题型8 同位角、内错角、同旁内角】 9
知识点1：对顶角及其性质
两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角.
两直线相交，对顶角相等
【题型1 对顶角、邻补角的定义】
【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，和是对顶角的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ．
【变式1-3】四条直线两两相交，则图形中共有 对对顶角（平角除外）；有 对邻补角．
【题型2 对顶角相等】
【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线与相交于点F，一束光线沿斜射入水面，在点F处发生折射，沿射入水中．如果，那么光的传播方向改变了（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，三条直线相交于同一点．如果，那么的度数为 ．
【变式2-3】（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，直线，相交于点，平分，．若，求的度数．
知识点2：垂线
如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直.
【题型3 垂线的定义及画法】
【例3】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（23-24七年级·全国·单元测试）如图，已知，，所以与重合，这个推理的根据是（ ）
A．过一点只能作一条垂线
B．过两点只能作一条垂线
C．垂线段最短
D．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【变式3-2】（23-24七年级·陕西宝鸡·期中）如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图：
(1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为；
(2)过点画的垂线，垂足记为；
(3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据．
【变式3-3】（23-24七年级·河北邯郸·阶段练习）利用三角尺或量角器判断，图中的两点所成的直线能与直线l垂直的是（ ）
A．点M和点N B．点P和点Q C．点M和点Q D．点N和点P
知识点3：垂线段最短
过直线l外一点P作l的重线，垂足为O，线段PO叫作点P到直线的垂线段.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
【题型4 垂线段最短】
【例4】（23-24七年级·山东济宁·阶段练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．4.4 B．5 C．4.8 D．4
【变式4-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ．
【变式4-2】（23-24七年级·山东烟台·期末）请列举一个应用“垂线段最短”的实际例子： ．
【变式4-3】（24-25七年级·广西南宁·开学考试）点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的距离为，则 ．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”)
知识点4：点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.
【题型5 点到直线的距离】
【例5】（23-24七年级·山东济宁·阶段练习）如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（ ）
A．线段的长是点P到直线的距离 B．三条线段中，最短
C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离
【变式5-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图所示，能表示点到直线（线段）的距离的线段有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【变式5-2】（23-24七年级·浙江台州·期末）对于平面上的点和一条线，点与线上各点的连线中，最短的线段的长度叫做点到线的距离，记为，以边长为6的正方形各边组成的折线为，若 ，则满足这样条件的所有点组成的图形 (实线图) 是 ( ).
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，，交于点，于，连接．
（1）若，则 ；
（2）若．，，那么点到直线的距离是 cm．
【题型6 垂直的实际应用】
【例6】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角）．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（24-25七年级·全国·课后作业）当光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多．某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使此时接收的太阳光能最多，那么太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为 ．
【变式6-2】（23-24七年级·福建龙岩·期末）一束光线沿射向平静透明的水面，这束光线有一部分经过水面反射（平静的水面可以看成平面镜）形成光线，还有一部分光线折射到水中形成光线．当入射角和折射角满足时，，此时入射光线与水面的夹角的度数为 ．
【变式6-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关科技的重要文献，书中记载了我国古代学者在科技领域做过的一些探索及成就．如图1中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，在如图2所示的井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）
A． B． C． D．
【题型7 垂直的计算】
【例7】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）如图，直线、相交于点O，平分，于O，若，则 ．
【变式7-2】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且．
(1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数．
(2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由．
(3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案）
【变式7-3】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，已知锐角，画射线，射线，并直接写出与的关系．
知识点5：同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角.
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角.
两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.
【题型8 同位角、内错角、同旁内角】
【方法技巧】（1）两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角.（2）同位角形如字母“F”(或倒置、反置);内错角形如字母“Z”(或反置);同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置).（3）三种角讲的都是位置关系,而不是大小关系,通常情况下,其大小是不确定的.
【例8】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．近些年来，我国的航空事业不断发展，在如左图所示的飞机中抽象出右图的数学图形，在右图中，与 构成同旁内角的是( )
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24七年级·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是内错角
【变式8-2】（23-24七年级·全国·假期作业）分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．
【变式8-3】（23-24七年级·广东潮州·期末）英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），下列字母中含同旁内角最多的是（ ）
A． B． C． D．
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专题1.1 相交线【八大题型】
【浙教版2024】
【题型1 对顶角、邻补角的定义】 1
【题型2 对顶角相等】 3
【题型3 垂线的定义及画法】 6
【题型4 垂线段最短】 9
【题型5 点到直线的距离】 11
【题型6 垂直的实际应用】 13
【题型7 垂直的计算】 16
【题型8 同位角、内错角、同旁内角】 21
知识点1：对顶角及其性质
两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角.
两直线相交，对顶角相等
【题型1 对顶角、邻补角的定义】
【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，和是对顶角的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查对顶角，根据对顶角的意义结合具体图形进行判断即可．
【详解】解：根据对顶角的意义，一个角的两条边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角，只有图③中的和是对顶角，
故选：A．
【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了对顶角的知识，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据此定义进行判断即可．
【详解】解：A、和不是对顶角，故选项不符合题意；
B、和不是对顶角，故选项不符合题意；
C、和不是对顶角，故选项不符合题意；
D、和是对顶角，故选项符合题意．
故选：D．
【变式1-2】如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ．
【答案】 / 或 /度 /度
【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，的对顶角是，的邻补角是或；
∵，
∴，；
故答案为：；或；；．
【变式1-3】四条直线两两相交，则图形中共有 对对顶角（平角除外）；有 对邻补角．
【答案】 12 24
【分析】根据对顶角、邻补角的定义得到4×3＝12对对项角，6×4＝24对邻补角．
【详解】解：∠AOC与∠BOD互为对顶角，∠AOH与∠BOG互为对顶角，∠AOF与∠BOE互为对顶角；
∠COH与∠DOG互为对顶角，∠COF与∠DOE互为对顶角，∠COB与∠DOA互为对顶角；
∠HOF与∠GOE互为对顶角，∠HOB与∠GOA互为对顶角，∠HOD与∠GOC互为对顶角；
∠FOB与∠EOA互为对顶角，∠FOD与∠EOC互为对顶角，∠FOG与∠EOH互为对顶角，
∴对顶角共有12对；
∠AOC与∠BOC互为邻补角，∠AOH与∠BOH互为邻补角，∠AOF与∠BOF互为邻补角，∠AOE与∠BOE互为邻补角，∠AOG与∠BOG互为邻补角，∠AOD与∠BOD互为邻补角；
∠COH与∠DOH互为邻补角，∠COF与∠DOF互为邻补角，∠COB与∠DOB互为邻补角，∠COA与∠DOA互为邻补角，∠COE与∠DOE互为邻补角，∠COG与∠DOG互为邻补角；
∠GOE与∠HOE互为邻补角，∠GOA与∠HOA互为邻补角，∠GOC与∠HOC互为邻补角，∠GOD与∠HOD互为邻补角，∠GOB与∠HOB互为邻补角，∠GOF与∠HOF互为邻补角；
∠EOA与∠FOA互为邻补角，∠EOC与∠FOC互为邻补角，∠EOH与∠FOH互为邻补角，∠EOG与∠FOG互为邻补角，∠EOD与∠FOD互为邻补角，∠EOB与∠FOB互为邻补角，
∴邻补角共有24对，
故答案为：12；24．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义；仔细观察图形弄清各个角之间的对顶角关系和邻补角关系是解题的关键．
【题型2 对顶角相等】
【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题是考查关于角度运算问题．熟练掌握角的和差关系，平角性质，对顶角性质，是解题的关键．
运用平角求出的度数；即可得到的度数．
【详解】解: ∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线与相交于点F，一束光线沿斜射入水面，在点F处发生折射，沿射入水中．如果，那么光的传播方向改变了（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角相等得出，再求出的度数即可得解．
【详解】解：∵，与是对顶角，
∴．
∵，
∴，
∴光的传播方向改变了．
故选：C．
【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，三条直线相交于同一点．如果，那么的度数为 ．
【答案】/90度
【分析】此题主要考查了对顶角，平角，关键是掌握对顶角相等，平角．首先设，则，进而得到方程，再解方程可得的值，即可算出，再根据对顶角相等可得答案．
【详解】解：设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2-3】（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，直线，相交于点，平分，．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角平分线定义得出，根据，得出，然后求出，最后求出结果即可．
【详解】解：平分，
∴，
∵，
，
，
又，
．
知识点2：垂线
如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直.
【题型3 垂线的定义及画法】
【例3】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【详解】解：A、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意；
B、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意；
C、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意；
D、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式3-1】（23-24七年级·全国·单元测试）如图，已知，，所以与重合，这个推理的根据是（ ）
A．过一点只能作一条垂线
B．过两点只能作一条垂线
C．垂线段最短
D．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【答案】D
【分析】本题考查的是在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，理解在同一平面内是解本题的关键．根据过O点作l的垂线，有且只有一条，可得M，N，O三点共线．
【详解】解：∵，，
∴M，N，O三点共线，（在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线）
故选：D．
【变式3-2】（23-24七年级·陕西宝鸡·期中）如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图：
(1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为；
(2)过点画的垂线，垂足记为；
(3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，依据见解析
【分析】本题考查了格点作图，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是数形结合．
（1）利用网格的特点作图即可；
（2）利用网格的特点作图即可；
（3）根据垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3），
判断的依据：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段最短．
【变式3-3】（23-24七年级·河北邯郸·阶段练习）利用三角尺或量角器判断，图中的两点所成的直线能与直线l垂直的是（ ）
A．点M和点N B．点P和点Q C．点M和点Q D．点N和点P
【答案】C
【分析】此题主要考查了垂直的定义，三角尺和量角器的使用方法，理解垂直的定义，三角尺和量角器的使用方法是解决问题的关键．作直线交于，交于，交于，交于，根据垂直的定义，利用三角尺或量角器即可得出答案．
【详解】解：作直线交于，交于，交于，交于，如下图所示：
利用三角尺可得出直线（或利用量角器量出，，，的度数即可得出直线）．
故选：C．
知识点3：垂线段最短
过直线l外一点P作l的重线，垂足为O，线段PO叫作点P到直线的垂线段.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
【题型4 垂线段最短】
【例4】（23-24七年级·山东济宁·阶段练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．4.4 B．5 C．4.8 D．4
【答案】C
【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。
【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴当时，的值最小，
在中，
∵，，，，
∴，即：，
∴，
故选：C．【变式4-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案．
【详解】解：解：已知在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短
【变式4-2】（23-24七年级·山东烟台·期末）请列举一个应用“垂线段最短”的实际例子： ．
【答案】测量跳远运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直（答案不唯一）．
【分析】本题考查生活中的数学知识，垂线段最短，注意一些物体或地方可看作一个点，体现了数学在实际生活中的应用．
利用垂线段的性质，即可解答．
【详解】解：测量跳远运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直（答案不唯一）．
故答案为：测量跳远运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直（答案不唯一）．
【变式4-3】（24-25七年级·广西南宁·开学考试）点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的距离为，则 ．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”)
【答案】不小于
【分析】据点到直线距离的定义进行解答即可．本题考查了点到直线的距离．解题的关键是明确垂线段最短，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
【详解】解：为直线外一点，是直线上一点，点到的距离为，
当时，；当不与直线垂直时，．
．
故答案为：不小于．
知识点4：点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.
【题型5 点到直线的距离】
【例5】（23-24七年级·山东济宁·阶段练习）如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（ ）
A．线段的长是点P到直线的距离 B．三条线段中，最短
C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离
【答案】C
【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，垂线段最短，点到一直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，据此可判断A、C、D，根据垂线段最短可判断B．
【详解】解：A、∵，
∴线段的长是点P到直线的距离，原说法正确，不符合题意；
B、∵，
∴由垂线段最短可知，三条线段中，最短，原说法正确，不符合题意；
C、∵，
∴线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，符合题意；
D、∵，
∴线段的长是点C到直线的距离，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
【变式5-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图所示，能表示点到直线（线段）的距离的线段有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【分析】本题考查了点到直线距离的定义，根据点到直线的距离是指点到这条直线的垂线段的长度作答．
【详解】解：图中表示点到直线（线段）的距离的线段有：
表示点到的距离的线段是；
表示点到的距离的线段是；
表示点到的距离的线段是；
表示点到的距离的线段是；
共4条，
故选：C．
【变式5-2】（23-24七年级·浙江台州·期末）对于平面上的点和一条线，点与线上各点的连线中，最短的线段的长度叫做点到线的距离，记为，以边长为6的正方形各边组成的折线为，若 ，则满足这样条件的所有点组成的图形 (实线图) 是 ( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】竖线根据题目信息，可以确定正方形内外都有满足条件的点，可排除A选项，再比较BCD选项的不同点进行分析即可．
【详解】解：根据题目信息，此正方形内外均有满足的点，因此可排除选项A，
其次，正方形内部满足的点应该是一个小正方形，可排除选项D，
最后，正方形外部满足的点4个角落应是圆弧形，可排除B选项，
故选：C
【点睛】本题可用排除法，对比个选项的差异进行分析，即可选出满足题目条件的答案．
【变式5-3】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，，交于点，于，连接．
（1）若，则 ；
（2）若．，，那么点到直线的距离是 cm．
【答案】 /65度
【分析】本题考查了点到直线的距离，对顶角以及邻补角，掌握对顶角以及邻补角的性质是解题的关键．
（1）根据对顶角的性质得出，再由垂直的定义答案即可；
（2）根据点到直线的距离即可得出答案．
【详解】解：（1），
，
，
，
；
（2），，
点到直线的距离是，
故答案为：，．
【题型6 垂直的实际应用】
【例6】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角）．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，根据题意可得，则，再根据已知条件得到，则．
【详解】解：由光的反射定律可知法线与反射面垂直，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式6-1】（24-25七年级·全国·课后作业）当光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多．某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使此时接收的太阳光能最多，那么太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂直的定义，余角的计算．根据太阳光板于太阳光垂直时，接收的太阳光能最多，得出旋转的最小角度即可．
【详解】解：由题意，可知太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为，
故答案为：．
【变式6-2】（23-24七年级·福建龙岩·期末）一束光线沿射向平静透明的水面，这束光线有一部分经过水面反射（平静的水面可以看成平面镜）形成光线，还有一部分光线折射到水中形成光线．当入射角和折射角满足时，，此时入射光线与水面的夹角的度数为 ．
【答案】/36度
【分析】本题考查了垂直的定义、余角的定义、角的和差，先根据反射角等于入射角得出，，再根据垂直的定义得出，然后根据周角为，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
，
即
故答案为：．
【变式6-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关科技的重要文献，书中记载了我国古代学者在科技领域做过的一些探索及成就．如图1中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，在如图2所示的井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解本题的关键．
根据，得，所以，再根据，得，即可得．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【题型7 垂直的计算】
【例7】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了对顶角相等、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
根据垂直的定义可得，进而可得，然后根据对顶角相等即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【变式7-1】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）如图，直线、相交于点O，平分，于O，若，则 ．
【答案】/50度
【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先根据对顶角相等求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，根据垂线的定义得出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：∵和是对顶角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式7-2】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且．
(1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数．
(2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由．
(3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)射线平分，理由见解析
(3)6或15
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义：
（1）先由平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，据此根据角的和差关系可得答案；
（2）由平角的定义得到，则可得，据此可得射线平分；
（3）当旋转到图3中和时都满足题意，求出对应的旋转角度即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：射线平分，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴射线平分；
（3）解：由（1）（2）可知当开始旋转使得到第一次到达图3中的位置时，此时直线恰好平分，
∴旋转角度为，
∴；
当继续旋转到到图3中的位置时，此时直线恰好平分，
∴此时旋转的角度为，
∴；
综上所述，t的值为6或15．
【变式7-3】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，已知锐角，画射线，射线，并直接写出与的关系．
【答案】画图见解析；或
【分析】本题考查了垂线的定义，角的计算，同角的余角相等的性质，难点在于分情况讨论．
分在边的同侧和异侧分别作出图形，然后分别进行计算即可得解．
【详解】解：画图如图．或．
理由如下：如图1，
∵，
∴，，
∴；
如图2，∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
如图3，；
如图4，∵，
∴，
∴；
综上所述，或．
知识点5：同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角.
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角.
两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.
【题型8 同位角、内错角、同旁内角】
【方法技巧】（1）两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角.（2）同位角形如字母“F”(或倒置、反置);内错角形如字母“Z”(或反置);同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置).（3）三种角讲的都是位置关系,而不是大小关系,通常情况下,其大小是不确定的.
【例8】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．近些年来，我国的航空事业不断发展，在如左图所示的飞机中抽象出右图的数学图形，在右图中，与 构成同旁内角的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查同旁内角，根据同旁内角的定义即可作答．
【详解】解：根据同旁内角的定义可知，
与是一对同旁内角．
故选：C．
【变式8-1】（23-24七年级·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是内错角
【答案】B
【分析】本题考查三线八角，涉及三线八角定义及图形，根据定义及图形逐项验证即可得到答案，熟记三线八角定义、识别图形是解决问题的关键．
【详解】解：A、与是同位角，说法正确，不符合题意；
B、与是同位角，说法错误，符合题意；
C、与是内错角，说法正确，不符合题意；
D、与是内错角，说法正确，不符合题意；
故选：B．
【变式8-2】（23-24七年级·全国·假期作业）分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．
【答案】图1中同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；内错角有：∠3与∠6，∠4与∠5；同旁内角有：∠3与∠5，∠4与∠6.；图2中同位角有：∠1与∠3，∠2与∠4；同旁内角有：∠3与∠2．
【分析】根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角．
【详解】解：如图1，
同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；
内错角有：∠3与∠6，∠4与∠5；
同旁内角有：∠3与∠5，∠4与∠6．
如图2，
同位角有：∠1与∠3，∠2与∠4；
同旁内角有：∠3与∠2．
【点睛】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
【变式8-3】（23-24七年级·广东潮州·期末）英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），下列字母中含同旁内角最多的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．根据同旁内角的定义进行选择即可．
【详解】解：A．字母A中含有4对同旁内角；
B．字母F中含有1对同旁内角；
C．字母M中含有0对同旁内角；
D．字母Z中含有0对同旁内角；
故选：A.
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