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【50道综合题·专项集训】浙教版七年级下册第1章 相交线与平行线
1．如图，在三角形中，是上一点，，交于点，是上一点，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
2．已知：，、是上的点，、是上的点，．
（1）如图，求证：；
（2）如图，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求证：；
（3）如图，在(2)的条件下，作的角平分线交于点，若，直接写出的值．
3．如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）若平分交于点，，请说明与的位置关系．
4．如图，直线相交于点，．
（1）已知，求的度数；
（2）如果是的平分线，那么是的平分线吗？请说明理由．
5．已知，E是两直线内一点，F、G分别为AB、CD上的点．
（1）如图1，连EF、EG，直接写出∠FEG与∠AFE和∠CGE之间的数量关系
（2）如图2，∠AFE与∠CGE的平分线交于H点，探究∠FEG与∠FHG之间的数量，写出这个数量关系，并说明理由；
（3）若H为AB、CD间的一点，且满足，，则直接写出∠FEG与∠FHG之间的数量关系
6．如图，直线，且直线被直线所截．
（1）求证：；
（2）若，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
7．点E在射线AD上，点F、G为射线BC上两个动点，满足，，AG平分∠BAD．
（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：；
（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BA延长线上一点，AM平分∠BAG，交BC于点M，AN平分∠PAM，交EF于点N，连接NG，若∠ANG与∠GAN互余，，求∠B的度数．
8．已知：如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．
（1）在图中画出．
（2）写出，的坐标．
（3）在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
9．如图点、在线段上，点、分别在线段和上，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若是的平分线，，且：：10，试说明与有怎样的位置关系？
10．如图，已知∠1＋∠2＝180°，且∠3＝∠B．
（1）求证：∠AFE＝∠ACB；
（2）若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．
11．已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF=180°．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点Ｍ在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠GMH=∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N=∠AGM，，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是 （直接写答案）
12．如图，已知∠3＝∠B，且∠AEF＝∠ABC.
（1）求证：∠1+∠2＝180°；
（2）若∠1＝60°，∠AEF＝2∠FEC，求∠ECB的度数.
13．如图，△ABC中，点D在BC边上.
（1）在AC边求作点E，使得DE∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝40°，∠ACB＝2∠CDE，求∠ACB的度数.
14．如图，已知AB∥CD．
（1）判断∠FAB与∠C的大小关系，请说明理由；
（2）若∠C＝35°，AB是∠FAD的平分线．
①求∠FAD的度数；
②若∠ADB＝110°，求∠BDE的度数．
15．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线.
（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO.
（2）如果将折一次改为折二次，如图-2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论.
16．已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°．
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数．
17．如图，已知AM//BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线 AM于点 C，D．
（1）∠ABN的度数是
；
（2）求∠CBD的度数；
（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化 若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由．若变化，请写出变化规律；
（4）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．
18．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°，∠AOD＝30°，OF平分∠BOD．
（1）求∠EOC度数；
（2）求∠EOF的度数．
19．如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且∠ADE=90°，∠DEF=90°，点P是FC上一点，直线DP交直线EF于点G，试探究∠BDP与∠EGP之间的数量关系．
（1）请你完成这道思考题；
（2）若将题中的条件“∠ADE=90°，∠DEF=90°，点P是FC上一点”改为“∠AED=∠C，∠B=∠DEF，点P是线段BC上一点（点P不与点F重合）”，其他条件均不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请在备用图上画出图形，并说明理由．
20．如图，点P是 内部一点， 交 于点C．请你画出射线 ，并且 ， 或 的反向延长线交 于点D．
（1）补全图形；
（2）判断 与 的数量关系，并证明．
21．如图，直线a∥b，直线AB与直线a，b分别相交于点A、B，AC交直线b于点C．
（1）若AC⊥AB，∠1=54°49′．求∠2的度数：
（2）请说明∠ABC+∠BCA+∠CAB=180 ．
22．如图，已知∠A+∠3=180°，∠1=∠2，∠D=80°，∠CBD=70°.
（1）试说明AB//CD；
（2）求∠CBA的度数.
23．如图，已知 AB∥CD，BE∥FG.
（1）如果∠1=53°，求∠2和∠3的度数；
（2）本题隐含着一个规律，请你根据(1)的结果进行归纳，如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角 ；
（3）利用(2)的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的 2倍小 30°，求这两个角的度数.
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD（1）指出平移的方向和平移的距离；
（2）试说明AD+BC=BF.
25．如图所示，已知∠1=135 ，∠2=135
（1）求证：AB∥CD．
（2）已知∠3=140 ，求∠4的度数
26．如图，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D，点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）.
（1）如果点P在A、B两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由；
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系（只须写出结论）.
27．如图，已知AF分别与BD、CE交于点G、H，∠1=50°，∠2=130°.
（1）BD与CE平行吗？为什么？
（2）若∠A=∠F，探索∠C与∠D的数量关系，并说明理由.
28．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．
（1）求证：AB∥DE；
（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．
29．如图，AC，BD相交于点O，AC平分∠DCB，CD⊥AD，∠ACD＝45°，∠BAC＝60°.
（1）证明：AD∥BC；
（2）求∠EAD的度数；
（3）求证：∠AOB＝∠DAC +∠CBD
30．图中的四个长方形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b，且a>b>1.在图1中将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(阴影部分).在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到折线B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(阴影部分).
（1）在图3中，请类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并在这个图形内涂上阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形去掉阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，S2= ，S3= ；
（3）联想与操作：如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路的任何地方水平宽度都是1个单位)请你猜想，空白部分表示的草地面积是多少？并说明理由.
31．如图
（1）如图（1），已知任意三角形ABC，过点C作DE∥AB，求证：∠DCA=∠A；
（2）如图（1），求证：三角形ABC的三个内角（即∠A、∠B、∠ACB）之和等于180°；
（3）如图（2），求证：∠AGF=∠AEF+∠F；
（4）如图（3），AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=150°，求∠F．
32．如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
（1）求证：∠AOE=∠ODG；
（2）若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
33．作图并回答问题：
（1）上图中的网格是边长为1个单位长度的正方形构成的，画出网格内四边形ABCD向右平移8个单位长度后的四边形．
（2）若∠DCB=95°，∠=65°，则∠= ，∠BAD= ；
（3）若AD=3.2，=5.2，则= ，AB= ；
（4）线段、、、之间的关系是 ．
34．如图，直线相交于点O，，垂足为O．
（1）图中的补角是 ，的对顶角是 ；
（2）若，求的度数．
35．如图，，顶点在直线上，一边与直线交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若平分且，计算的度数．
36．探索发现：
（1）如图1，，小明同学通过过点E作AB的平行线，利用平行线的性质，得出了∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系，请你猜测∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系；
（2） 变式迁移： 如图2，，试探究∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系；
（3）如图3，，DE平分∠CDF，，若，，求∠BFD的度数．
37．如图，．
（1）试判断AF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
38．如图，，，．
（1）求∠B的度数：
（2）若射线BM，CN分别为，的角平分线，则等式成立吗？请说明理由．
39．如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，．
（1）求证：；
（2）若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系；
（3）若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明．
40．一副三角板如图1摆放，∠C＝∠DFE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒10°的速度顺时针旋转（当线段DF再次经过点A时，停止旋转；旋转时间为t秒）.
（1）当t＝3秒时，∠DFB= ；
（2）如图2，当DE∥AF时，求t的值；
（3）当t＝ 时，DF⊥AB；
（4）在三角板DFE整个旋转过程中，令线段DF与线段AF的夹角为α，令线段DF与线段BF的夹角为β（ 0° ≤ α、β ≤ 180°），当α ≤ β ≤ 2α时，直接写出t的取值范围.
41．已知直线，直线分别交，于点，，．
（1）如图①，直线，与线段交于点，平分，交于点，求的度数；
（2）如图②，点在直线上（不与点，点，点重合），过点作直线，交于点．补全正确的图形，并求的度数．
42．（问题情境）：如图 // ， ， ，求 的度数.
小明的思路是：过 作 // ，通过平行线性质来求 .
（1）按小明的思路，求 的度数；
（2）（问题迁移）：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）：在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
43．已知：两直线ABCD，E是平面内任一点（不在AB、CD上）.
（1）如图1所示，E在射线AB与CD之间时，请说明∠AEC=∠A+∠C的理由.
（2）如图2所示，点E在AB与CD的上方时，请探索∠A，∠C，∠AEC三者的数量关系，并说明理由.
44．
（1）请你根据图1回答下列问题：
①若，可以得到哪两条线段平行？
②在①的结论下，如果，又能得到哪两条线段平行？
（2）请你在图2中按下面的要求画图（画图工具和方法不限）：过点A画于D，过点D画交于E，在线段上任取一点F，以F为顶点，为一边画，使，的另一边与线段交于点G．
（3）请你根据（2）中画图时给出的条件，猜想与的位置关系，并给予证明．
45．如图，直线AB与CD，AE与FD均被直线BC所截，已知∠1＝∠2，问：
（1）AE与DF平行吗？请说明理由.
（2）若∠A＝∠D，∠B＝30°，求∠C的度数.
46．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线相交于点P，直线EP与直线CD交于点G，过点G做EG的垂线，交直线MN于点H．求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，且∠PHK=∠HPK，作∠EPK的平分线交直线MN于点Q．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出∠HPQ的度数；若变化，请说明理由．
47．如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点(点P与点A不重合)，BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN．
（1）求∠ABN的度数；
（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．
48．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A=20°，∠APC=70°时，求∠C的度数；
（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；
（3）如图③，当点P在线段EF的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．
49．直线ABCD，点P在两平行线之间，点E，F分别在AB、CD上，连接PE，PF．尝试探究并解答：
（1）若图1中∠1=36°，∠2=60°，则∠3= ；
（2）探究图1中∠1，∠2与∠3之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2所示，∠1与∠3的平分线交于点 ，若∠2=α，试求∠的度数（用含α的代数式表示）．
50．已知直线ABCD，点E在直线AB、CD之间，点M、N分别在直线AB、CD上．
（1）如图1，直线GH过点E，分别与直线AB、CD交于点G、H，∠AME=∠GND，求证：∠NGH+∠MEH=180°；
（2）如图2，点F在直线CD上，ME、NE分别平分∠AMF、∠MNF，若∠FMN=2∠MEN，求∠MEN的度数；
（3）如图3，MQ平分∠AME，MH平分∠BME，GN平分∠ENC．直线GN与MH交于点H，NK平分∠END，NFMQ．求证：∠MHG=∠KNF．
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【50道综合题·专项集训】浙教版七年级下册第1章 相交线与平行线
1．如图，在三角形中，是上一点，，交于点，是上一点，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：与平行，
理由如下：
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠AFE=∠B，由已知条件可知∠AFE=∠CDE，则∠B=∠CDE，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）由（1）知∠CDE=∠B=130°，根据平行线的性质可得∠DEF=∠CDE，据此解答.
2．已知：，、是上的点，、是上的点，．
（1）如图，求证：；
（2）如图，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求证：；
（3）如图，在(2)的条件下，作的角平分线交于点，若，直接写出的值．
【答案】（1）证明：证明：，
，
又，
，
；
（2）证明：如图，过点作，
，，
设，，
、分别平分、，
，，
又，
，
又，
，
，
，
，
（3）解：.
【解析】【解答】解：（3），
，即，
，
，，
又和是角平分线，
，
，
又，
，
故答案为．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠2=∠3，由已知条件可知∠1=∠2，则∠1=∠3，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）过N作NK∥CD，由平行线的性质可得∠KNE=∠4，∠6=∠7，设∠4=x，∠7=y，由角平分线的概念可得∠ENK=∠5=∠4=x，∠6=∠7=∠8=y，由平行线的性质可得∠EFD=180°-2x，然后根据∠EFM=90°可得x-y=45°，再根据∠ENF=∠ENK-∠6求出∠ENF的度数，据此证明；
（3）由已知条件可得x=y，则x-y=y-y=45°，求出x、y的度数，易得GQ⊥EN，则∠GQH=∠EGQ=18°，据此求解.
3．如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）若平分交于点，，请说明与的位置关系．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴的度数为．
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，的度数为，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）直接根据AD∥BC可得同旁内角∠B+∠BAD=100°，求得∠BAD即可；
（2）由（1）知∠BAD=100°，根据角平线的定义可得∠EAD=50°，再根据AD∥BC，得出内错角∠AEB=∠EAD=50°，再结合∠BCD=50°，可得∠AEB=∠BCD，从而根据同位角相等，可判定AE∥CD。
4．如图，直线相交于点，．
（1）已知，求的度数；
（2）如果是的平分线，那么是的平分线吗？请说明理由．
【答案】（1）解：相交于点，
（对顶角相等），
（已知），
，
（已知），
（垂直的定义），
即，
；
（2）解：平分，
（角平分线定义），
（已证），
即，
（平角定义），
（等式性质），
（等角的余角相等），
是的角平分线（角平分线定义）．
【解析】【分析】（1）由对顶角相等可得∠AOC=∠BOD=42°，由垂直的定义可得∠COG=90°，利用∠AOG+∠AOC=90°即可求解；
（2） 由角平分线定义可得∠AOC=∠COE，根据平角的定义求出，利用等角的余角相等 ，可得∠AOG=∠GOF，根据角平分线定义即得结论.
5．已知，E是两直线内一点，F、G分别为AB、CD上的点．
（1）如图1，连EF、EG，直接写出∠FEG与∠AFE和∠CGE之间的数量关系
（2）如图2，∠AFE与∠CGE的平分线交于H点，探究∠FEG与∠FHG之间的数量，写出这个数量关系，并说明理由；
（3）若H为AB、CD间的一点，且满足，，则直接写出∠FEG与∠FHG之间的数量关系
【答案】（1）
（2）解：，理由如下，
分别过H、E点作AB的平行线HP、EQ，如图，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵∠AFE与∠CGE的平分线交于H点，
∴，，
∴．
（3）
【解析】【解答】解：（1）过点E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，
∴∠AFE=∠FEH，∠HEG=∠EGC，
∴∠FEG=∠FEH+∠HEG=∠AFE+∠EGC.
故答案为：∠FEG=∠AFE+∠EGC.
（3）由（1）可知∠FEG=∠AFE+∠EGC，∠FHG=∠AFH+∠CGH，
∵∠HFE=∠AFE，∠HGE=∠CGE，
∴∠AFH+∠CGH=(∠AFE+∠CGE)，
∴∠FHG=∠FEG.
【分析】（1）过点E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AFE=∠FEH，∠HEG=∠EGC，然后根据角的和差关系进行解答；
（2）分别过H、E点作AB的平行线HP、EQ，由平行线的性质可得∠AFH=∠FHP，∠AFE=∠FEQ，∠PHG=∠CGH，∠QEG=∠EGC，则∩FHG=∠AFH+∠CGH，∠FEG=∠AFE+∠CGE，由角平分线的概念可得∠AFH=∠AFE，∠CGH=∠CGE，据此解答；
（3）由（1）可知∠FEG=∠AFE+∠EGC，∠FHG=∠AFH+∠CGH，结合已知条件可得∠AFH+∠CGH=(∠AFE+∠CGE)，据此解答.
6．如图，直线，且直线被直线所截．
（1）求证：；
（2）若，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1），
（两直线平行，同位角相等）
；
（2）结论：直线
理由：
（同位角相等，两直线平行）
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠1=∠4，由对顶角的性质可得∠2=∠4，据此证明；
（2）由已知条件可知∠1+∠3=180°，根据邻补角的性质可得∠3+∠5=180°，则∠1=∠5，结合∠1=∠2可得∠2=∠5，然后根据平行线的判定定理进行证明.
7．点E在射线AD上，点F、G为射线BC上两个动点，满足，，AG平分∠BAD．
（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：；
（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BA延长线上一点，AM平分∠BAG，交BC于点M，AN平分∠PAM，交EF于点N，连接NG，若∠ANG与∠GAN互余，，求∠B的度数．
【答案】（1）证明：∵AG平分∠BAD，∴
又∵，∴
∴，∴
∵，∴
∴．
∴
（2）证明：过点G作，交AD于点H，如图
∵，∴
∴，．
∵，∴．
（3）证明：∵AM平分∠BAG，∴设
∵AG平分∠BAD，∴∴，
∵AN平分∠PAM，
∴
∴
∴
∵，∴
∵
∴
∴
∵∠ANG与∠GAN互余，∴
∴，∴
∴，∴
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠BAG=∠DAG，由已知条件可知∠BAG=∠BGA，则∠DAG=∠BGA，推出AD∥BC，由平行线的性质可得∠AEF=∠EFG，结合∠B=∠AEF可得∠DBF=∠EFG，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）过点G作GH∥AB，交AD于点H，由平行线的性质可得∠BAG=∠AGH，∠GEF=∠HGE，然后根据∠AGE=∠AGH+∠HGE进行证明；
（3）由角平分线的概念可设∠BAM=∠GAM=x°，则∠DAG=∠BAG=2x°，∠PAD=180°-4x°，∠PAM=180°-x°，∠MAN=∠PAN=90°-0.5x°，∠GAN=90°-1.5x°，∠EAN=3.5x°-90°，由平行线的性质可得∠B=∠PAD，根据∠B-∠ANG=∠EAN可得∠ANG，由∠ANG与∠GAN互余可得∠ANG+∠GAN=90°，代入求解可得x，进而可求出∠B的度数.
8．已知：如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．
（1）在图中画出．
（2）写出，的坐标．
（3）在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：从图中读出，的坐标为：，；
（3）解：存在，理由如下：设，∵与面积相等∴解得或∴或．
【解析】【分析】（1）根据平移的性质分别确定点A、B、C向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的对应点A'、B'、C' 的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据A'、B'的位置直接写出坐标即可；
（3）设，由与面积相等建立关于t的方程，解之并检验即可.
9．如图点、在线段上，点、分别在线段和上，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若是的平分线，，且：：10，试说明与有怎样的位置关系？
【答案】（1）解：DG∥BC，理由如下：
∵CD∥EF，
∴∠2＝∠DCB，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCB，
∴DG∥BC.
（2）解：CD⊥AB，理由如下：
由（1）得：DG∥BC，
∵∠3＝85°，
∴∠BCG＝180°-85°＝95°，
∵∠DCE：∠DCG＝9：10，
∴∠DCE＝95°×＝45°，
∴∠1＝∠DCB=∠DCE＝45°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠1＝90°，
∴CD⊥AB．
【解析】【分析】（1）由CD∥EF得出∠2＝∠DCB，又∠1＝∠2，等量代换得∠1＝∠DCB，从而得∠1＝∠DCB，进而得出DG∥BC；
（2）由（1）得DG∥BC，利用平行线性质求得∠BCG的度数，再由∠DCE：∠DCG＝9：10得出∠DCE的度数，即得到∠1＝45°，再由DG是∠ADC的平分线可得出∠ADC＝2∠1＝90°，由此得出结论．
10．如图，已知∠1＋∠2＝180°，且∠3＝∠B．
（1）求证：∠AFE＝∠ACB；
（2）若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠FDE＝180°，∴∠FDE＝∠2，∵∠3＋∠FEC＋∠FDE＝180°，∠2＋∠B＋∠ECB＝180°，∠B＝∠3，∴∠FEC＝∠ECB，∴EF BC，∴∠AFE＝∠ACB；
（2）解：∵∠3＝∠B，∠3＝50°，∴∠B＝50°，∵∠2＋∠B＋∠ECB＝180°，∠2＝110°，∴∠ECB＝20°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ECB＝40°．
【解析】【分析】（1）先求出 FDE＝∠2 ，再求出 ∠FEC＝∠ECB， 最后证明即可；
（2）先求出 ∠B＝50°， 再求出 ∠ECB＝20°， 最后求解即可。
11．已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF=180°．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点Ｍ在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠GMH=∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N=∠AGM，，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是 （直接写答案）
【答案】（1）证明：∵∠AGE+∠CHF=180°，∠AGE+∠AGF=180°，
∴∠CHF=∠AGF，
∴；
（2）证明：如图，过点M作，
∵，
∴，
∴∠AGM=∠GMK，∠CHM=∠HMK，
∴∠GMH =∠GMK+∠HMK=∠AGM+∠CHM；
（3）
【解析】【解答】（3）设∠AGM=2x，∠CHM=y，则∠N=2x，∠M=2x+y，
∵射线GF是∠BGM的平分线，
∴∠FGM=∠BGM=（180°-∠AGM）=90°-x，
∴∠AGH=∠AGM+∠FGM=2x+90°-x=90°+x，
∵∠GMH=∠N+∠FGN，
∴2x+y=2x+∠FGN，
∴∠FGN=2y，
∴∠M=2x+y=∠N+∠FGN，
故。
【分析】（1）利用角的运算求出∠CHF=∠AGF，可证出；
（2）过点M作，先证出，可得∠AGM=∠GMK，∠CHM=∠HMK，再利用角的运算和等量代换可得∠GMH =∠GMK+∠HMK=∠AGM+∠CHM；
（3）设∠AGM=2x，∠CHM=y，则∠N=2x，∠M=2x+y，根据∠GMH=∠N+∠FGN，可得2x+y=2x+∠FGN，再求出∠M=2x+y=∠N+∠FGN，即可得到。
12．如图，已知∠3＝∠B，且∠AEF＝∠ABC.
（1）求证：∠1+∠2＝180°；
（2）若∠1＝60°，∠AEF＝2∠FEC，求∠ECB的度数.
【答案】（1）证明：∵∠3＝∠B，∠AEF＝∠ABC，
∴∠3＝∠AEF，
∴ABFD，
∴∠2＝∠FDE，
∵∠1+∠FDE＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝60°，
∴∠2＝180°-60°＝120°，
∵∠AEF＝2∠FEC，∠AEF+∠FEC+∠2＝180°，
∴3∠FEC+120°＝180°，
∴∠FEC＝20°，
∵∠AEF＝∠ABC，
∴EFBC，
∴∠CEF＝∠ECB，
∴∠ECB＝20°.
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠3＝∠B，∠AEF＝∠ABC，则∠3＝∠AEF，推出AB∥FD，由平行线的性质可得∠2＝∠FDE，根据邻补角的性质可得∠1+∠FDE＝180°，据此证明；
（2）根据（1）的结论可得∠1+∠2＝180°，结合∠1的度数求出∠2的度数，由∠AEF＝2∠FEC结合平角的概念可得∠FEC的度数，推出EF∥BC，由平行线的性质可得∠CEF＝∠ECB，据此求解.
13．如图，△ABC中，点D在BC边上.
（1）在AC边求作点E，使得DE∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝40°，∠ACB＝2∠CDE，求∠ACB的度数.
【答案】（1）解：如图，点E即为所求.
（2）解：由作图可知，DE//AB，∠ABC＝40°，
∴∠CDE＝∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝2∠CDE＝80°.
【解析】【分析】（1）利用尺规作图，作∠EDC=∠B即可；
（2）利用平行线的性质可求出∠CDE的度数，结合已知求出∠ACB的度数.
14．如图，已知AB∥CD．
（1）判断∠FAB与∠C的大小关系，请说明理由；
（2）若∠C＝35°，AB是∠FAD的平分线．
①求∠FAD的度数；
②若∠ADB＝110°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）解：∠FAB与∠C的大小关系是相等，
理由是：∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠C．
（2）解：①∵∠FAB=∠C=35°，
∵AB是∠FAD的平分线，
∴∠FAD=2∠FAB=2×35°=70°，
答：∠FAD的度数是70°．
②∵∠ADB=110°，∠FAD=70°，
∴∠ADB+∠FAD=110°+70°=180°，
∴CF∥BD，
∴∠BDE=∠C=35°，
答：∠BDE的度数是35°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠FAB=∠C；
（2）①根据平行线的性质可得角平分线的性质可得∠FAD=2∠FAB=2×35°=70°；
②先证明CF∥BD，再利用平行线的性质可得∠BDE=∠C=35°。
15．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线.
（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO.
（2）如果将折一次改为折二次，如图-2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论.
【答案】（1）证明：过O作OM∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥OM∥CD，∴∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，∴∠BEO+∠DFO=∠EOM+∠FOM，即∠EOF=∠BEO+∠DFO．
（2）解：∠BEO+∠P=∠O+∠PFC．证明如下：
过O作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，
∴∠EOP﹣∠OPF=（∠EOM+∠MOP）﹣（∠OPN+∠NPF）=∠EOM﹣∠NPF，
∠BEO﹣∠PFC=∠EOM﹣∠NPF，∴∠BEO﹣∠PFC=∠EOP﹣∠OPF，∴∠BEO+∠OPF=∠EOP+∠PFC．
【解析】【分析】（1） 过O作OM∥AB， 可得AB∥OM∥CD，根据平行线的性质可得∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，从而得出∠EOF=∠EOM+∠FOM=∠BEO+∠DFO；
（2）∠BEO+∠P=∠O+∠PFC．证明：过O作OM∥AB，PN∥AB， 可得AB∥OM∥PN∥CD，根据平行线的性质可得∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO， 根据角的和差即可求解.
16．已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°．
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数．
【答案】（1）解：∵∠AOC=36°，∠COE=90°，
∴∠BOE=180°﹣∠AOC﹣∠COE=54°
（2）解：∵∠BOD：∠BOC=1：5，
∴∠BOD=180°× =30°，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOE=30°+90°=120°
（3）解：如图1，∠EOF=120°﹣90°=30°，
或如图2，∠EOF=360°﹣120°﹣90°=150°．
故∠EOF的度数是30°或150°．
【解析】【分析】（1）根据平角的定义求解即可；（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数；（3）先过点O作OF⊥AB，再分两种情况根据角的和差关系可求∠EOF的度数．
17．如图，已知AM//BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线 AM于点 C，D．
（1）∠ABN的度数是
；
（2）求∠CBD的度数；
（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化 若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由．若变化，请写出变化规律；
（4）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．
【答案】（1）120°
（2）解：∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°
（3）解：不变，∠APB=2∠ADB．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1，
∴∠APB=2∠ADB
（4）解：∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°，
故答案为：30°．
【解析】【解答】解：（1）∵AM∥BN，∠A＝60°，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝120°；
故答案为：120°；
【分析】（1）先求出∠A+∠ABN＝180°，再计算求解即可；
（2）先求出 ∠ABP+∠PBN＝120°， 再求出 2∠CBP+2∠DBP＝120°， 最后计算求解即可；
（3）先求出 ∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， 再求出 ∠PBN＝2∠DBN， 最后求解即可；
（4）先求出 ∠ACB＝∠CBN， 再求出 ∠ABC＝∠DBN， 最后求解即可。
18．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°，∠AOD＝30°，OF平分∠BOD．
（1）求∠EOC度数；
（2）求∠EOF的度数．
【答案】（1）解：因为 ，
所以
（2）解：因为
所以
因为 平分
所以
所以
【解析】【分析】（1）利用对顶角相等求出∠BOC的度数，再根据∠COE=∠BOE-∠BOC，代入计算可求出结果.
（2）利用邻补角的定义求出∠BOD的度数；再利用角平分线的定义求出∠BOF的度数，然后根据∠EOF=∠BOE+∠BOF，代入计算可求解.
19．如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且∠ADE=90°，∠DEF=90°，点P是FC上一点，直线DP交直线EF于点G，试探究∠BDP与∠EGP之间的数量关系．
（1）请你完成这道思考题；
（2）若将题中的条件“∠ADE=90°，∠DEF=90°，点P是FC上一点”改为“∠AED=∠C，∠B=∠DEF，点P是线段BC上一点（点P不与点F重合）”，其他条件均不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请在备用图上画出图形，并说明理由．
【答案】（1）结论：∠BDP+∠EGP=180°．
理由：∵∠ADE=∠DEF=90°，
∴AB∥EF，
∴∠BDP=∠DGE，
∵∠DGE+∠EGP=180°，
∴∠BDP+∠EGP=180°．
（2）解：结论不变．
画出的图形如图所示，
∵∠AED=∠C，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠B=∠DEF，
∴∠ADE=∠DEF，
∴AB∥EF，
∴∠BDG=∠DGE，
∵∠DGE+∠EGP=180°，
∴∠BDP+∠EGP=180°．
【解析】【分析】（1）结论：∠BDP+∠EGP=180°．证明AB//EF即可；
（2）结论不变，证明AB//EF即可。
20．如图，点P是 内部一点， 交 于点C．请你画出射线 ，并且 ， 或 的反向延长线交 于点D．
（1）补全图形；
（2）判断 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：
（2）解：∠AOB与∠MPN相等或互补．
证明：如图1，∵PM∥OA，
∴∠AOB＝∠PCB，
∵PN∥OB，
∴∠MPN＝∠PCB，
∴∠AOB＝∠MPN；
如图2，∵PM∥OA，
∴∠AOB＝∠PCB，
∵PN∥OB，
∴∠MPN+∠PCB＝180°，
∴∠AOB+∠MPN＝180°．
综上所述，∠AOB与∠MPN相等或互补．
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出 ∠AOB＝∠PCB， 再求出 ∠AOB＝∠MPN或∠AOB+∠MPN＝180° 即可。
21．如图，直线a∥b，直线AB与直线a，b分别相交于点A、B，AC交直线b于点C．
（1）若AC⊥AB，∠1=54°49′．求∠2的度数：
（2）请说明∠ABC+∠BCA+∠CAB=180 ．
【答案】（1）解：
∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=54°49′，
又∵AC⊥AB，
∴∠2=90°-∠3=35°11′；
（2）解：∵a∥b，
∴∠4=∠ABC，∠3=∠BCA，
而∠BAC+∠4+∠3=180°，
∴∠ABC+∠BCA+∠BAC=180 .
【解析】【分析】（1）根据直线a//b，AC⊥AB，即可得到∠2=90°-∠3=35°11′；
（2）利用平行线的性质定理可得结论。
22．如图，已知∠A+∠3=180°，∠1=∠2，∠D=80°，∠CBD=70°.
（1）试说明AB//CD；
（2）求∠CBA的度数.
【答案】（1）解：∵∠A+∠3=180°，
∴AE//GF，
∴∠2=∠A
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠A，
∴AB//CD
（2）解：∵AB//CD，
∴∠D+∠ABD= 180°，
∴∠D+∠CBD+∠CBA=180°.
∵∠D=80° ，∠CBD=70°，
∴∠CBA =180°-∠D-∠CBD
=180°- 80°- 70°
=30°.
【解析】【分析】（1）利用“同旁内角互补两直线平行”证得AE//GF，利用“二直线平行，同位角相等”得出 ∠2=∠A ，进而利用等量代换得出 ∠1=∠A， 最后由“内错角相等两直线平行”证得AB//CD；
（2）利用“两直线平行，同旁内角互补”得出 ∠D+∠ABD= 180°， 即 ∠D+∠CBD+∠CBA=180° ，进而根据三角形内角和定理求得∠CBA的度数.
23．如图，已知 AB∥CD，BE∥FG.
（1）如果∠1=53°，求∠2和∠3的度数；
（2）本题隐含着一个规律，请你根据(1)的结果进行归纳，如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角 ；
（3）利用(2)的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的 2倍小 30°，求这两个角的度数.
【答案】（1）解：∵AB//CD，∠1=53°，
∴∠4=∠1=53°，
∵BE//FG，
∴∠2=∠4=53°，
∴∠3=180°-53°=127°，
（2）相等或互补
（3）解：设一个角的度数为x，则x+(2x-30°)=180°或x=2x-30，
解得：x=70°或30°，
∴这两个角的度数分别是70°，110°或30°，30°.
【解析】【解答】解：(2)由(1)中的规律可知，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
故答案为相等或互补
【分析】（1）先根据平行线的性质求出∠4的度数，再由BE∥FG即可得出∠2的度数，根据补角的定义即可得出结论；（2）根据（1）中的规律即可得出结论；（3）设一个角的度数为x，则x+（2x-30°）=180°或x=2x-30，求出x的值即可.
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD（1）指出平移的方向和平移的距离；
（2）试说明AD+BC=BF.
【答案】（1）解：平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度
（2）解：∵△ABC平移到△DEF的位置，
∴CF＝AD，
∵CF＋BC＝BF，
∴AD＋BC＝BF
【解析】【分析】（1）找到一对对应点，那么从△ABC的对应点到△DEF对应点即为平移的方向，对应点的连线即为平移的距离；（2）根据平移的性质易得AD＝CF，根据BF由BC和EC组成可得AD＋BC＝BF．
25．如图所示，已知∠1=135 ，∠2=135
（1）求证：AB∥CD．
（2）已知∠3=140 ，求∠4的度数
【答案】（1）证明：如图，
∵∠2=∠6，
又∵∠1=135 ，∠2=135 ，
∴∠1=∠6，
∴AB∥CD.
（2）证明：∵AB∥CD，∠3=140
∴∠3=∠5=140°，
∵∠5+∠4=180 ，
∴∠4=180°-∠5=180°-140°=40°
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等可得∠2=∠6，结合已知可得∠1=∠6，根据同位角相等两直线平行即可结论；（2）根据（1）可知AB∥CD，根据平行线的性质推出∠3=∠5，即可求出∠4．
26．如图，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D，点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）.
（1）如果点P在A、B两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由；
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系（只须写出结论）.
【答案】（1）解：如图，过点P做AC的平行线PO，
∵AC∥PO，
∴∠β=∠CPO，
又∵AC∥BD，
∴PO∥BD，
∴∠α=∠DPO，
∴∠α+∠β=∠γ
（2）解：①P在A点左边时，∠α ∠β=∠γ；
②P在B点右边时，∠β ∠α=∠γ.
(提示：两小题都过P作AC的平行线)
【解析】【分析】（1） 如图，过点P做AC的平行线PO，由平行于同一条直线的两条直线平行可得PO∥BD， 根据两直线平行内错角相等可得∠β=∠CPO， ∠α=∠DPO， 再根据等量代换即可得出结论.（2）由题意分两种情况：①P在A点左边时；过点P做AC的平行线PO交ME于点O，由平行于同一条直线的两条直线平行可得PO∥BD， 根据两直线平行内错角相等可得∠β=∠CPO， ∠α=∠DPO， 再根据等量代换即可得出结论. ②P在B点右边时；过点P做AC的平行线PO交ME于点O，由平行于同一条直线的两条直线平行可得PO∥BD， 根据两直线平行内错角相等可得∠β=∠CPO， ∠α=∠DPO， 再根据等量代换即可得出结论.
27．如图，已知AF分别与BD、CE交于点G、H，∠1=50°，∠2=130°.
（1）BD与CE平行吗？为什么？
（2）若∠A=∠F，探索∠C与∠D的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：BD∥CE，
∵∠1=∠DGF=50°，∠2=130°，
∴∠2+∠DGF=130°+50°=180°，
∴BD∥CE
（2）解：∠C=∠D，
理由是：∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠D+∠DBC=180°.
又∵BD∥CE，
∴∠C+∠DBC=180°，
∴∠C=∠D
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出∠DGH的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论；（2）先根据BD∥CE得出∠D=∠CEF，再由∠A=∠F得出AC∥DF，据此可得出结论.
28．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．
（1）求证：AB∥DE；
（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．
【答案】（1）证明：如图1，∵BC⊥AF于点C，
∴∠A+∠B=90°，
又∵∠A+∠1=90°，
∴∠B=∠1，
∴AB∥DE
（2）解：如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，
∴∠BPE=∠BPG+∠EPG=∠ABP+∠DEP；
如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，
∴∠BPE=∠BPG﹣∠EPG=∠ABP﹣∠DEP；
如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，
∴∠BPE=∠EPG﹣∠BPG=∠DEP﹣∠ABP
【解析】【分析】（1）由BC⊥AF知
∠A+∠B=90° ，因为
∠A+∠1＝90° 由同角的余角相等可得
∠B=∠1 ，从而得到
AB∥DE （同位角相等，两直线平行）；
（2）当点P在A、D之间时，作 PG∥AB ，根据两直线平行内错角相等得到 ∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE ，从而得到 ∠BPE=∠ABP+∠DEP ；当点P在D、C之间时，同样根据两直线平行内错角相等得到 ∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE ，从而得到 ∠BPE=∠ABP-∠DEP ；当点P在C、F之间时，两直线平行内错角相等得到 ∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE ，从而得到 ∠BPE=∠DEP-∠ABP ；
29．如图，AC，BD相交于点O，AC平分∠DCB，CD⊥AD，∠ACD＝45°，∠BAC＝60°.
（1）证明：AD∥BC；
（2）求∠EAD的度数；
（3）求证：∠AOB＝∠DAC +∠CBD
【答案】（1）证明：∵AC平分∠DCB， ∴∠BCD＝2∠ACD＝2×45°＝90°. ∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝90°，
∴∠BCD+∠ADC＝90°+90°＝180°，
∴AD∥BC
（2）解：∵AC平分∠DCB，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝45°，
∴∠EAD＝180°－∠DAC－∠BAC
＝180°－45°－60°
＝75°
（3）解：过点O作OF∥AD，
∵AD∥BC，
∴OF∥BC，
∴∠AOF＝∠DAC，∠FOB＝∠CBD，
∴∠AOB＝∠AOF+∠FOB＝∠DAC+∠CBD.
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义，可得
∠BCD＝2∠ACD＝90°.根据同旁内角互补，两直线平行，可得AD∥BC.
（2）
根据角平分线定义，可得
∠ACB＝∠ACD＝45°.由两直线平行，内错角相等，可得
∠DAC＝∠ACB＝45° ，根据平角定义可求出∠EAD的度数.
（3）过点O作OF∥AD， 根据平行线的传递性，可得OF∥BC，利用两直线平行，内错角相等，可得 ∠AOF＝∠DAC，∠FOB＝∠CBD，从而可得∠AOB＝∠DAC +∠CBD .
30．图中的四个长方形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b，且a>b>1.在图1中将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1(阴影部分).在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到折线B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(阴影部分).
（1）在图3中，请类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并在这个图形内涂上阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形去掉阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，S2= ，S3= ；
（3）联想与操作：如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路的任何地方水平宽度都是1个单位)请你猜想，空白部分表示的草地面积是多少？并说明理由.
【答案】（1）解：
（2）ab－b；ab－b；ab－b
（3）解：猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab－b
（方案：1．将“小路”沿在左右两个边界“剪去”；2．将左侧的草地向右平移一个单位；3．得到一个新的矩形（如下图））
理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b，
其水平方向的长变成了a－1，
所以草地面积就是b（a－1）＝ab－b．（注：只要大致能说明清楚即给分）
【解析】【分析】(1)根据平移的特征作图；
（2）（3）利用平移的特征，将矩形的面积减去一个平行四边形的面积即可；
31．如图
（1）如图（1），已知任意三角形ABC，过点C作DE∥AB，求证：∠DCA=∠A；
（2）如图（1），求证：三角形ABC的三个内角（即∠A、∠B、∠ACB）之和等于180°；
（3）如图（2），求证：∠AGF=∠AEF+∠F；
（4）如图（3），AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=150°，求∠F．
【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴∠DCA=∠A
（2）证明：如图1所示，
在△ABC中，∵DE∥BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2（内错角相等）．
∵∠1+∠BAC+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°．
即三角形的内角和为180°
（3）证明：∵∠AGF+∠FGE=180°，
由（2）知，∠GEF+∠EG+∠FGE=180°，
∴∠AGF=∠AEF+∠F
（4）证明：∵AB∥CD，∠CDE=911°，
∴∠DEB=119°，∠AED=61°，
∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，
∴∠DEF=59.5°，
∴∠AEF=120.5°，
∵∠AGF=150°，
∵∠AGF=∠AEF+∠F，
∴∠F=150°﹣120.5°=29.5°．
【解析】【分析】(1)两直线平行，内错角相等；
(2)利用平行线将△ABC的三个内角放在同一条直线上，且顶点相同，即可知；
(3)利用平角的特征，即可得出三角形外角的性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；
(4)因为两直线平行，同旁内角互补，可知∠AED的度数，又因为DE是角平分线，可知∠AEF的度数，再利用外角的性质可知∠F的值.
32．如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
（1）求证：∠AOE=∠ODG；
（2）若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CDOE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CDOE．
【解析】【分析】（1）根据 ∠AOE+∠DOG=90°，∠ODG+∠DOG=90°， 可得∠AOE=∠ODG；
（2）根据平行线的性质可得∠AOE=∠ODG，利用角平分线的定义及等量代换可得∠EOC=∠C， 即可得到CD//OE.
33．作图并回答问题：
（1）上图中的网格是边长为1个单位长度的正方形构成的，画出网格内四边形ABCD向右平移8个单位长度后的四边形．
（2）若∠DCB=95°，∠=65°，则∠= ，∠BAD= ；
（3）若AD=3.2，=5.2，则= ，AB= ；
（4）线段、、、之间的关系是 ．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；
；
（2）95°；65°
（3）3.2；5.2
（4）===；
【解析】【解答】（1）如图，四边形即为所求；
（2）若∠DCB＝95°，∠B'A'D'＝65°，
则∠D'C'B'＝95°，∠BAD＝65°，
故答案为：95°，65°；
（3）若AD＝3.2，A'B'＝5.2，
则A'D'＝3.2，AB＝5.2，
故答案为：3.2，5.2；
（4）线段、、、之间的关系是：＝＝＝；∥∥∥
故答案为：＝＝＝；∥∥∥
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A'，B'，C'，D'即可；
（2）利用平移变换的性质知对应角相等即可求解；
（3）利用平移变换的性质知对应边相等即可求解；
（4）根据平移变换的性质即可求解．
34．如图，直线相交于点O，，垂足为O．
（1）图中的补角是 ，的对顶角是 ；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）和；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）观察所给的图形，可知∠AOC的补角是∠BOC和∠AOD，∠AOC的对顶角是∠BOD，
故答案为：∠BOC和∠AOD；∠BOD.
【分析】（1）根据补角和对顶角的定义，结合图形求解即可；
（2）根据题意先求出∠AOC=40°，再求出∠AOE=90°，最后计算求解即可。
35．如图，，顶点在直线上，一边与直线交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若平分且，计算的度数．
【答案】（1）解：a∥b，理由如下：
，
，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
平分，
，
，
，
解得：，
的度数为．
【解析】【分析】（1）a∥b，理由如下：由同角的余角相等可得∠1=∠APC，由同位角相等，两直线平行，得a∥b；
（2）由平行线的性质得∠DAP+∠APC=180°，∠DAC=∠ACP，由角平分线的性质及已知可得∠DAP=6∠2，由角的和差得∠APC=90°-∠2，从而代入可算出∠2的度数.
36．探索发现：
（1）如图1，，小明同学通过过点E作AB的平行线，利用平行线的性质，得出了∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系，请你猜测∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系；
（2） 变式迁移： 如图2，，试探究∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系；
（3）如图3，，DE平分∠CDF，，若，，求∠BFD的度数．
【答案】（1）猜测，如图，过点作，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，
；
（3）解：，，，
，
平分，
，
，，
，
由（2）得：．
【解析】【分析】（1）构造平行线，根据两直线平行内错角相等即可。
（2）构造平行线，根据两直线平行内错角相等及角度加减求解即可。
（3）根据角平分线性质及（2）中结论运用求解。
37．如图，．
（1）试判断AF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：AF与DE的位置关系为平行．理由如下：
，
，
．
，
，
．
（2）解：由（1）知，
．
，
，
．
，，
，
．
【解析】【分析】（1）先证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到AF//DE；
（2）先求出，再结合，，求出，最后利用角的运算求出即可。
38．如图，，，．
（1）求∠B的度数：
（2）若射线BM，CN分别为，的角平分线，则等式成立吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵，∴，∴，又∵，∴；
（2）解：等式成立，理由：如图，射线BM，CN分别为，的角平分线，
∴，，∴．
【解析】【分析】（1）结合图形，利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据角平分线的定义计算求解即可。
39．如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，．
（1）求证：；
（2）若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系；
（3）若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明．
【答案】（1）证明：如图，过点作，
∴，∵，∴，∴，∴．
（2）解：，证明如下：过点作，过点作，
由（1）知：，∴，∴，，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∵平分，平分，∴，，∴，∴
（3）解：如图，（2）中的结论不成立，正确的结论是，证明如下：过点作，过点作，
由（2）得：，，∵，，∴，，∴，∴
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）结合图形，利用平行线的判定与性质求解即可；
（3）先求出 ， 再求解即可。
40．一副三角板如图1摆放，∠C＝∠DFE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒10°的速度顺时针旋转（当线段DF再次经过点A时，停止旋转；旋转时间为t秒）.
（1）当t＝3秒时，∠DFB= ；
（2）如图2，当DE∥AF时，求t的值；
（3）当t＝ 时，DF⊥AB；
（4）在三角板DFE整个旋转过程中，令线段DF与线段AF的夹角为α，令线段DF与线段BF的夹角为β（ 0° ≤ α、β ≤ 180°），当α ≤ β ≤ 2α时，直接写出t的取值范围.
【答案】（1）90°
（2）解：根据题意得：∠D=45°，∠AFD=10°×t，
∵AF∥DE，
∴∠AFD=∠D=45°，
∴10°×t=45°，解得：t=4.5；
（3）6
（4）解：t的取值范围为 或 .
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：∠BAC=60°，∠C=90°，
当t＝3秒时，∠AFD=30°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF=30°，
∴∠AFC=60°，
∴∠AFB=120°，
∴∠DFB=∠AFB-∠AFD=90°；
故答案为：90°
（3）：如图，设DF交AB于点P，
∵DF⊥AB，
∴∠APF=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF=30°，
∴∠AFD=90°-∠BAF=60°，
∴10°×t=60°，解得：t=6，
即当t=6时，DF⊥AB；
故答案为：6
（4）根据题意得：∠AFD=10°×t， ， ，
∴ ，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF=30°，
∴∠AFC=60°，
当DF在∠AFB的内部时，∠AFD+∠BFD=180°-∠AFC=120°，
∴ ，
∵α ≤ β ≤ 2α，
∴ ，
解得： ；
当DF在∠AFB的外部时，∠AFD-∠BFD=∠AFB=120°，
∴ ，
∵α ≤ β ≤ 2α，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∵当线段DF再次经过点A时，停止旋转，
∴ ，
∴ ；
综上所述，当α ≤ β ≤ 2α时， t的取值范围为 或 .
【分析】（1）根据题意得∠BAC=60°，∠C=90°，当t＝3秒时，∠AFD=30°，根据角平分线的概念可得∠CAF=∠BAF=30°，则∠AFC=60°，∠AFB=120°，然后根据∠DFB=∠AFB-∠AFD进行计算；
（2）根据题意得：∠D=45°，∠AFD=10°×t，根据平行线的性质可得∠AFD=∠D=45°，据此求解；
（3）设DF交AB于点P，根据垂直的概念可得∠APF=90°，根据角平分线的概念可得∠CAF=∠BAF=30°，则∠AFD=60°，即10°×t=60°，求解即可；
（4）根据题意得∠AFD=10°×t，∠AFD=α，∠BFD=β，则α=10°×t，根据角平分线的概念可得∠CAF=∠BAF=30°，则∠AFC=60°，当DF在∠AFB的内部时，∠AFD+∠BFD=120°，则∠BFD=β=120°-10°×t，根据α ≤ β ≤ 2α可得t的范围；当DF在∠AFB的外部时，∠AFD-∠BFD=∠AFB=120°，即α-β=120°，根据α ≤ β ≤ 2α求出α-β的范围，进而可得t的范围；当线段DF再次经过点A时，停止旋转，据此不难求出t的范围.
41．已知直线，直线分别交，于点，，．
（1）如图①，直线，与线段交于点，平分，交于点，求的度数；
（2）如图②，点在直线上（不与点，点，点重合），过点作直线，交于点．补全正确的图形，并求的度数．
【答案】（1）解： ，
平分，
（2）解：如图，当在的右边时，
如图，当在的左边时，
．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质及判定和角的运算求解即可；
（2）分两种情况，分别画出图形并求解即可。
42．（问题情境）：如图 // ， ， ，求 的度数.
小明的思路是：过 作 // ，通过平行线性质来求 .
（1）按小明的思路，求 的度数；
（2）（问题迁移）：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）：在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
【答案】（1）解：过P点作PE//AB，因为AB//CD，所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ；
（2）解：过P点作PE//AB，
因为AB//CD，
所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以∠APE=∠PAB= ，
又因为PE//CD，
所以 ，
所以∠APC=∠APE+∠CPE=α＋β；
（3）解：当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PAB= ，
∴ β-α；
当P点在射线DM上运动时，设AP与CD交于点F，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PCD＝β，
∴ α-β，
当P点在线段OB上运动时， β-α.
当P点在射线DM上运动时， α-β.
【解析】【分析】（1）过P点作PE//AB，则PE//CD，由平行线的性质可得∠BAP+∠APE=180°，∠EPC+∠PCD=180°，结合已知条件可得∠APE、∠EPC的度数，最后根据角的和差关系进行求解；
（2）过P点作PE//AB，由平行线的性质可得∠APE=∠PAB=α ，∠CPE=∠PCD=β，最后根据角的和差关系进行求解；
（3）当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，由平行线的性质可得∠BNP=∠PCD=β，由三角形外角的性质可得∠BNP=∠PAB+∠APC=β可推出∠APC=β-α，同理可求出当P点在射线DM上运动时∠APC与α、β的关系.
43．已知：两直线ABCD，E是平面内任一点（不在AB、CD上）.
（1）如图1所示，E在射线AB与CD之间时，请说明∠AEC=∠A+∠C的理由.
（2）如图2所示，点E在AB与CD的上方时，请探索∠A，∠C，∠AEC三者的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：如图，过点E作EFAB，
∴∠A=∠AEF（两直线平行，内错角相等），
∵ABCD（已知），
∴EFCD（平行的传递性），
∴∠FEC=∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，
∴∠AEC=∠A+∠C（等量代换）；
（2）解：∠A+∠C-∠AEC=180°，
理由如下：如图b，过点E作EFAB，
∴∠AEF+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ABCD（已知），
∴EFCD（平行的传递性），
∴∠FEC=∠2（两直线平行，内错角相等），
即∠CEA+∠AEF=∠2，
∴∠AEF=∠2-∠CEA（等式性质），
∴∠2-∠CEA+∠1=180°（等量代换），
即∠1+∠2-∠AEC=180°，
即∠A+∠C-∠AEC=180°.
【解析】【分析】（1）过点E作EF∥AB，由同平行于一条直线的两直线平行，得EF∥AB∥CD，由平行线性质得∠A=∠AEF，∠FEC=∠C，然后根据∠AEC=∠AEF+∠FEC，可证得结论；
（2）过点E作EF∥AB，由同平行于一条直线的两直线平行，得EF∥AB∥CD，由平行线性质得 ∠AEF+∠1=180°，∠FEC=∠2，然后根据∠CEA+∠AEF=∠2 ，可证得∠AEF=∠2-∠CEA，然后可得到∠A，∠C，∠AEC三者的数量关系.
44．
（1）请你根据图1回答下列问题：
①若，可以得到哪两条线段平行？
②在①的结论下，如果，又能得到哪两条线段平行？
（2）请你在图2中按下面的要求画图（画图工具和方法不限）：过点A画于D，过点D画交于E，在线段上任取一点F，以F为顶点，为一边画，使，的另一边与线段交于点G．
（3）请你根据（2）中画图时给出的条件，猜想与的位置关系，并给予证明．
【答案】（1）解：①∵，
∴．
②∵，
∴∠1=∠3
∵，
∴∠2=∠3，
∴．
（2）解：如图，
（3）．
证明：∵，
∴∠ADE=∠DAB．
又∵∠DAB=∠BFG，
∴∠DAB=∠BFG，
∴．
∵于D，
∴．
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）①利用同旁内角互补两直线平行判断即可；
②利用同位角相等两直线平行判断即可；
（2）根据要求画出图形即可；
（3）利用平行线的性质证明即可。
45．如图，直线AB与CD，AE与FD均被直线BC所截，已知∠1＝∠2，问：
（1）AE与DF平行吗？请说明理由.
（2）若∠A＝∠D，∠B＝30°，求∠C的度数.
【答案】（1）解：AE∥DF，理由如下：
∵∠1=∠FNM，∠2=∠EMN，
又∵∠1＝∠2，
∴∠FNM=∠EMN，
∴AE∥DF.
（2）解：∵AE∥DF，
∴∠D=∠AEC，
又∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠AEC，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝30°，
∴∠C＝30°.
【解析】【分析】(1)根据对顶角相等，结合∠1=∠2，等量代换得到∠FNM=∠EMN，利用平行线的判定即可求出结论；
(2)由AE∥DF得到∠D=∠AEC，等量代换∠A=∠AEC，推出AB∥CD，最后根据平行线的性质求∠C的度数即可.
46．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线相交于点P，直线EP与直线CD交于点G，过点G做EG的垂线，交直线MN于点H．求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，且∠PHK=∠HPK，作∠EPK的平分线交直线MN于点Q．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出∠HPQ的度数；若变化，请说明理由．
【答案】（1）证明：如图1，
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°．
又∵∠1＝∠BEF，∠2＝∠DFE，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∴AB∥CD
（2）证明：如图2，
由（1）知，AB∥CD，∴∠AEF+∠EFG＝180°．
又∵∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP＝（∠AEF+∠EFG）＝90°，
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH
（3）解：如图3，
∵PF∥GH，
∴∠FPH＝∠PHK，而∠PHK＝∠HPK，
∴∠FPH＝∠KPH（设为α）；
∵PQ平分∠EPK，
∴∠KPQ＝＝45°+α，
∴∠HPQ＝45°+α﹣α＝45°，
即∠HPQ的大小不会发生变化．
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行证出即可.
（2）根据平行线的性质证出AEF+∠EFG＝180°，再根据角平分线的定义和邻补角得到∠EPF＝90°，EG⊥PF，再根据GH⊥EG证出即可.
（3）设∠KPH=α，由PF∥GH可得∠FPH=∠PHK，结合∠PHK=∠HPK可得∠FPH=∠KPH=α，再根据角平分线的性质得到∠KPQ=，从而可得∠HPQ=45°+α﹣α=45°即可.
47．如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点(点P与点A不重合)，BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN．
（1）求∠ABN的度数；
（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．
【答案】（1）解：∵ AM∥BN（已知），
∴∠A + ∠ABN＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A＝60°，
∴ ∠ABN =180°－∠A＝180°－60°＝120°
（2）解：不变化．
∵ BC 平分∠ABP，BD 平分∠PBN（已知），
∴∠CBP ＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN （角平分线的定义），
∴∠CBD＝∠CBP +∠DBP＝(∠ABP+∠PBN)＝×120°＝60°
∴∠CBD 的度数不变化．
（3）解：∵AM∥BN（已知），
∴∠ACB＝∠CBN（两直线平行，内错角相等），
∵∠ACB＝∠ABD ， ∴∠CBN＝∠ABD（等量代换），
∴∠CBN－∠CBD＝∠ABD－∠CBD（等式的性质），即∠DBN ＝∠ABC，
又∵ BC 平分∠ABP， BD 平分∠PBN（已知），
∴∠ABC＝∠PBC，∠PBD ＝∠DBN（角平分线的定义），
∴∠ABC ＝∠PBC＝∠PBD＝∠DBN＝120°÷4＝30°，即∠ABC=30°．
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠ABN的度数.
（2）利用角平分线的定义可得到∠CBP ＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，再根据∠CBD＝∠CBP +∠DBP，代入计算求出∠CBD的度数.
（3）利用平行线的性质可证得∠ACB＝∠CBN，再证明∠DBN ＝∠ABC；利用角平分线的定义可证得∠ABC＝∠PBC，∠PBD ＝∠DBN，然后证明∠ABC ＝∠DBN，由此可求出∠ABC的度数.
48．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A=20°，∠APC=70°时，求∠C的度数；
（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；
（3）如图③，当点P在线段EF的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．
【答案】（1）解：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∵∠A=20°，
∴∠APO=∠A=20°，∠C=∠CPO，
∵∠APC=70°
∴∠C=∠CPO=∠APC ∠APO=70° 20°=50°
（2）解：∠A+∠C=∠APC，
证明：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO，
∴∠APC=∠APO+∠CPO=∠A+∠C；
（3）解：不成立，关系式是：∠A ∠C=∠APC，
理由是：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO，
∴∠A ∠C=∠APO ∠CPO=∠APC，
即∠A ∠C=∠APC．
【解析】【分析】（1）过P作PO∥AB，则AB∥PO∥CD， 利用平行线的性质可得 ∠APO=∠A=20°，∠C=∠CPO，由∠CPO=∠APC ∠APO即可求解；
（2）∠A+∠C=∠APC，证明：过P作PO∥AB，则AB∥PO∥CD，利用平行线的性质可得∠APO=∠A，∠C=∠CPO，根据角的和差及等量代换即可求解；
（3） 不成立，关系式∠A ∠C=∠APC，理由：过P作PO∥AB，则AB∥PO∥CD，利用平行线的性质可得∠APO=∠A，∠C=∠CPO，从而求出∠A ∠C=∠APO ∠CPO=∠APC，即得结论.
49．直线ABCD，点P在两平行线之间，点E，F分别在AB、CD上，连接PE，PF．尝试探究并解答：
（1）若图1中∠1=36°，∠2=60°，则∠3= ；
（2）探究图1中∠1，∠2与∠3之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2所示，∠1与∠3的平分线交于点 ，若∠2=α，试求∠的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】（1）24°
（2）解：结论：∠2=∠1+∠3．
理由：如图1中，作PMAB．
∵ABCD，ABPM，
∴PMCD，
∴∠1=∠MPE，∠3=∠MPF，
∴∠2=∠1+∠3．
（3）解：如图2中，
∵∠BEP+∠DFP=∠2=α，
∴∠=∠+∠=（∠BEP+∠DFP）=α
【解析】【解答】解：（1）过点P作PM∥AB．
∵AB∥CD，AB∥PM，
∴PM∥CD，
∴∠1=∠MPE=36°，∠3=∠MPF，
∴∠3=∠2-∠1=60°-36°=24°．
故答案为：24°.
【分析】（1）作PM∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥PM， 根据平行线的性质可得∠1=∠MPE，∠3=∠MPF，然后根据∠3=∠2-∠1进行计算；
（2）作PM∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥PM， 根据平行线的性质可得∠1=∠MPE，∠3=∠MPF，然后根据∠2=∠1+∠3进行计算；
（3）易得∠BEP+∠DFP=∠2=α，然后根据∠EP′F=∠BEP′+∠DFP′结合角平分线的概念进行计算.
50．已知直线ABCD，点E在直线AB、CD之间，点M、N分别在直线AB、CD上．
（1）如图1，直线GH过点E，分别与直线AB、CD交于点G、H，∠AME=∠GND，求证：∠NGH+∠MEH=180°；
（2）如图2，点F在直线CD上，ME、NE分别平分∠AMF、∠MNF，若∠FMN=2∠MEN，求∠MEN的度数；
（3）如图3，MQ平分∠AME，MH平分∠BME，GN平分∠ENC．直线GN与MH交于点H，NK平分∠END，NFMQ．求证：∠MHG=∠KNF．
【答案】（1）证明：延长ME交CD于点Q，如图，
∵ABCD，
∴∠AME=∠MQD，
∵∠AME=∠GND，
∴∠MQD=∠GND，
∴GNMQ，
∴∠NGH=∠GEM，
∵∠GEM+∠MEH=180°，
∴∠NGH+∠MEH=180°；
（2）解：过E作EQAB，如图．
∵ME平分∠AMF，EN平分∠MNF，
∴设∠AME=∠FME=x°，∠MNE=∠ENF=y°．
∵EQAB，ABCD．
∴EQCD，
∵EQAB．
∴∠MEQ=∠AME=x°．
∵EQCD．
∴∠NEQ=∠ENF=y°．
∴∠MEN=∠MEQ+∠NEQ=（x+y）°．
∵∠FMN=2∠MEN，
∴∠FMN=（2x+2y）°，
∵ABCD，
∴∠BMN=∠MNF=2y°．
∵∠AMF+∠FMN+∠BMN=180°，
∴2x+2（x+y）+2y=180，
∴x+y=45，
∴∠MEN=45°；
（3）证明：过E作EOAB，EJQM，过H作HSCD，如图．
∵MQ平分∠AME，GN平分∠ENC，
设∠AMQ=x°，∠GNC=y°，
由（2）方法可得∠MEN=（2x+2y）°，
∵HSCD，
∴HSABCD，
∴∠GHS=∠GNC=y°，∠MHS=∠BMH=（180° 2x°）=90° x°，
∴∠MHG=∠MHS ∠GHS=90° x° y°，
∵NF平分∠END，
∴∠ENF=∠FNH=∠END=90° y°，
∵ABCD，
∴∠LPN=∠BMH=90° x°，
∵QMNF，
∴∠MLH=∠QMH=∠QME+∠EMH=x°+90° x°=90°，
在△NLP中，∠LNP=180° ∠NLP ∠LPN=180°-90°-（90°-x°）=x°，
∴∠KNF=∠KNP ∠FNP=90° y° x°，
∴∠MHG=∠KNF．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠MQD=∠GND，GNMQ，∠NGH=∠GEM，再利用内角和即可得解；
（2）过E作EQAB，利用角平分线的性质，设∠AME=∠FME=x°，∠MNE=∠ENF=y°，得出EQCD，∠MEQ=∠AME=x°，∠NEQ=∠ENF=y°，得出∠MEN=∠MEQ+∠NEQ=（x+y）°，∠BMN=∠MNF=2y°，根据∠AMF+∠FMN+∠BMN=180°，代入得出x+y的值，即可得解；
（3）过E作EOAB，EJQM，过H作HSCD，MQ平分∠AME，GN平分∠ENC，设∠AMQ=x°，∠GNC=y°， 由（2）方法可得∠MEN=（2x+2y）°，得出HSABCD，∠MHG=∠MHS ∠GHS=90° x° y°，在△NLP中，∠LNP=180° ∠NLP ∠LPN=180°-90°-（90°-x°）=x°，得出∠KNF=∠KNP ∠FNP=90° y° x°，即可得解。
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