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【单元备考——浙教2024版七年级第二学期数学单元检测】
第1章 相交线与平行线
班级：________ 姓名：________ 得分：________
说明：本卷共120分，考试时间为100分钟
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．已知：点M，N都在直线a同侧，于O，于O，所以与重合，理由是（ ）
A．过两点只有一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．垂线段最短 D．过一点只能作一条垂线
2．如图，已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．海豚天性善良、聪明、活泼欢快，是美好的象征．如图是吉祥物“越越”，通过平移可以得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
6．如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点E在CD的延长线上，BE与AD交于点F，下列条件能判断BC//AD的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠A＋∠CDA＝180°
C．∠4＝∠A D．∠2＋∠5＝180°
8．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，与平行．
A．54 B．64 C．74 D．114
9．如图，把一张对边互相平行的纸条沿折叠，若∠EFB＝32°，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知直线 ，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若，，则；
②如图2，点在之间，当，，则；
③如图2，点在之间，当，，则；
④如图3，的角平分线交于，且 ，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）。
11．两个日常生活现象如下图所示．能用“垂线段最短”来解释的是 （填“A”或“B”）．
12．如图，若使得，则可以添加的一个条件是 ．
13．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF＝70°，则∠EGD的度数是 ．
14．如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果那么的度数= °．
15．如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则 ．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则 ．
16．已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止．此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为 秒时，．
三、解答题（本大题有9个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）如图，平面上有A、B、C三点，按要求画图．
(1)画射线，画直线．
(2)连接，并取的中点D．
(3)过点D画线段．于点E．
18．（6分）如图，已知∠EAC＝∠ACD，∠ABD＝∠ACD，求证：AC//BD．
19．（8分）下图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，的顶点均在格点上，将先向上平移个单位，再向右平移个单位，按要求回答问题．
(1)画出平移后的．
(2)在平移过程中，线段扫过的面积为__________．
20．（8分）推理填空：
如图，直线AB，CD被直线EF所截，AD是∠CAB的角平分线，若∠3=∠1，∠2=50°，求∠4的度数．
解：∵直线AB与直线EF相交，
∴∠2=∠CAB=50°．（ ）
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠1=∠5=∠CAB=25°，（ ）
∵∠3=∠1，（已知）
∴∠3=25°，（等量代换）
∴∠3=∠5，（等量代换）
∴_______．（ ）
∵CD//AB，（ ）
∴_______．（两直线平行，同位角相等）
21．（8分）如图，已知，点C在边上，过点C的直线．
(1)求证：．
(2) 平分．若，求（用含的代数式表示）．
22．（8分）如图，已知直线AB//CD，直线MN分别交AB、CD于点O、E，OF⊥OE于O，EF平分∠OED，EF与OF相交于点F；且OE平分∠BOI，OH平分∠AOE．
(1)试说明：OH//FE；
(2)若∠FED=70°，试求∠BOF和∠HOI的度数．
23．（8分）如图，直线交于点，且．
(1)试说明：；
(2)若平分，求的度数．
24．（10分）如图，，点是上一点，连接，平分交于点，．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，连接，若平分，，判断与平行吗？为什么？
25．（10分）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整）
理由：∵（已知），
∴（① ），
∵，（已知），
∴（② ），
∴，即：，
∴（③ ）
(2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°．
(3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由．
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第1章 相交线与平行线
班级：________ 姓名：________ 得分：________
说明：本卷共120分，考试时间为100分钟
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．已知：点M，N都在直线a同侧，于O，于O，所以与重合，理由是（ ）
A．过两点只有一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．垂线段最短 D．过一点只能作一条垂线
【答案】B
【解析】根据题意以及垂线的定义，进行求解即可．
解：由题意可得：于O，于O，则与重合，
依据就是，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，
故选：B
2．如图，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据平行线的判定定理即可得到答案．
解：∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：B．
3．海豚天性善良、聪明、活泼欢快，是美好的象征．如图是吉祥物“越越”，通过平移可以得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查了平移．根据平移的图形全等性，方向一致性，完全重合性等性质判定即可．
解：由平移的性质得：通过平移可以得到的图形是
，
故选∶B．
4．如图，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先结合垂线的定义可求解的度数，再根据平行线的性质可求解．
解：，
，
，
，
．
故选：D．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【解析】根据垂线的性质、平行公理、平行线的性质、垂线段最短逐项判断即可得．
解：A、在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，则此项错误，不符合题意；
B、经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，则此项错误，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，则此项错误，不符合题意；
D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，则此项正确，符合题意；
故选：D．
6．如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数．
解：∵直角三角板的直角顶点在直线上，
∴，
∵，
∴
故选：B．
7．如图，点E在CD的延长线上，BE与AD交于点F，下列条件能判断BC//AD的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠A＋∠CDA＝180°
C．∠4＝∠A D．∠2＋∠5＝180°
【答案】D
【解析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
解：∵∠1＝∠3，
∴AB//CD，
故A不符合题意；
∵∠A+∠CDA＝180°，
∴AB//CD，
故B不符合题意；
∵∠4＝∠A，
∴AB//CD，
故C不符合题意；
∵∠2+∠5＝180°，∠DFE+∠5＝180°，
∴∠DFE＝∠2，
∴BC//AD，
故D符合题意；
故选：D．
8．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，与平行．
A．54 B．64 C．74 D．114
【答案】B
【解析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，．
故选：B．
9．如图，把一张对边互相平行的纸条沿折叠，若∠EFB＝32°，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】翻折会出现角平分线，通过平行线的性质直接求解即可．
解：①∵，
∴，故本小题正确；
②∵，
∴，
又由题意得
∴，故本小题正确；
③∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故本小题正确；
④∵，
∴，
∵，
∴，故本小题正确．
故选：D．
10．已知直线 ，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若，，则；
②如图2，点在之间，当，，则；
③如图2，点在之间，当，，则；
④如图3，的角平分线交于，且 ，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；④过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，，可得，进而可得结论．
解：①过点P作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；①正确；
②点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，②正确；
③过点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，③正确；
④过点P作，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴
过点N作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，④正确．
综上，正确的有4个，
故选：D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）。
11．两个日常生活现象如下图所示．能用“垂线段最短”来解释的是 （填“A”或“B”）．
【答案】A
【解析】根据垂线最短的含义进行分析即可得到答案：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短．
解：A：跳远测量需要测量出脚印到起跳线的最短距离，故符合题意；
B：道路改到是应用的两点直线，线段最短，故不符合题意；
故选：A．
12．如图，若使得，则可以添加的一个条件是 ．
【答案】
【解析】根据平行线的判定定理，内错角相等两直线平行，即可求解．
解：∵
∴，
故答案为：．
13．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF＝70°，则∠EGD的度数是 ．
【答案】145°/145度
【解析】根据∠1＝∠BEF＝70°，判定AB//CD，得到∠BEG+∠EGD＝180°，结合EG平分∠BEF，求得∠BEG＝35°，变形计算即可．
解：∵∠1＝∠BEF＝70°，
∴AB//CD，
∴∠BEG+∠EGD＝180°，
∵EG平分∠BEF，∠BEF=70°，
∴∠BEG=35°，
∴∠EGD＝145°，
故答案为：145°．
14．如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果那么的度数= °．
【答案】14
【解析】根据两直线平行内错角相等和含角的直角三角板的特点即可求解．
解：如图，根据题意可知，
∴，
∴．
故答案为：．
15．如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则 ．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则 ．
【答案】 /80度 /20度
【解析】（1）过点作，过点作交于点，根据平行线的判定和性质，求出的度数，利用角平分线的性质，即可得解；
（2）过点作，过点作，过点作交于点，同法（1），利用平行线的判定和性质，进行求解即可．
解：（1）过点作，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵， ，
∴；
∴，
∵的延长线恰好是的角平分线，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，
过点作，过点作，过点作交于点，
同（1）法可得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止．此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为 秒时，．
【答案】或或或
【解析】分三种情况：①当时，②当时，③当时，当时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间．
解：①当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
②当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
③当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
综上，当射线旋转的时间为秒或秒或秒时，．
故答案为：或或或．
三、解答题（本大题有9个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）如图，平面上有A、B、C三点，按要求画图．
(1)画射线，画直线．
(2)连接，并取的中点D．
(3)过点D画线段．于点E．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【解析】本题考查画射线，直线和线段．
（1）画出射线，直线即可；
（2）连接，取其中点即可；
（3）过点作于点即可．
掌握相关定义，是解题的关键．属于基础题型．
解：（1）如图，射线，直线即为所求；
（2）如图，线段，点即为所求；
（3）如图，即为所求．
18．（6分）如图，已知∠EAC＝∠ACD，∠ABD＝∠ACD，求证：AC//BD．
【答案】见解析
【解析】由等量代换可得∠EAC=∠ABD，然后根据同位角相等，两直线平行可得结论．
解：证明：∵∠EAC＝∠ACD，∠ABD＝∠ACD（已知），
∴∠EAC=∠ABD（等量代换），
∴AC//BD（同位角相等，两直线平行）．
19．（8分）下图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，的顶点均在格点上，将先向上平移个单位，再向右平移个单位，按要求回答问题．
(1)画出平移后的．
(2)在平移过程中，线段扫过的面积为__________．
【答案】(1)见解析；
(2)9．
【解析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）连接，取格点，则线段扫过的面积为，结合三角形面积公式可得答案．
解：（1）如图，即为所求．
（2）∵先向上平移个单位，再向右平移个单位，得，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
连接，取格点，
线段扫过的面积为：
，
故答案为∶．
20．（8分）推理填空：
如图，直线AB，CD被直线EF所截，AD是∠CAB的角平分线，若∠3=∠1，∠2=50°，求∠4的度数．
解：∵直线AB与直线EF相交，
∴∠2=∠CAB=50°．（ ）
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠1=∠5=∠CAB=25°，（ ）
∵∠3=∠1，（已知）
∴∠3=25°，（等量代换）
∴∠3=∠5，（等量代换）
∴_______．（ ）
∵CD//AB，（ ）
∴_______．（两直线平行，同位角相等）
【答案】对顶角相等；角平分线定义；CD//AB；内错角相等，两直线平行；已证；∠4=∠2=50°
【解析】根据平行线的判定及性质求角的过程，一步步把求解的过程补充完整即可．
解：直线AB与直线EF相交，
∴∠2=∠CAB=50°（对顶角相等），
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠1=∠DAB=∠CAB=25°（角平分线的定义），
∵∠3=∠1，（已知）
∴∠3=25°，（等量代换）
∴∠3=∠5，（等量代换）
∴CD//AB．（ 内错角相等，两直线平行）
∵CD//AB，（ 已证）
∴∠4=∠2=50°．（两直线平行，同位角相等）
故答案为：对顶角相等；角平分线定义；CD//AB，内错角相等，两直线平行；已证；∠4=∠2=50°．
21．（8分）如图，已知，点C在边上，过点C的直线．
(1)求证：．
(2) 平分．若，求（用含的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等，即可得到；
（2）根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质即可求解．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵平分，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（8分）如图，已知直线AB//CD，直线MN分别交AB、CD于点O、E，OF⊥OE于O，EF平分∠OED，EF与OF相交于点F；且OE平分∠BOI，OH平分∠AOE．
(1)试说明：OH//FE；
(2)若∠FED=70°，试求∠BOF和∠HOI的度数．
【答案】(1)见解析
(2)，
【解析】（1）由角平分线定义得，，由直线AB//CD，得，推出，利用内错角相等，两直线平行即可判定OH//FE；
（2）由∠FED=70°，EF平分∠OED，推出，由两直线平行，同旁内角互补，推出，结合OF⊥OE，即可求出∠BOF；由两直线平行，同位角相等，推出，由角平分线定义推出，即可求出∠HOI．
证明：（1） OH平分∠AOE，EF平分∠OED，
，．
，
，
，
．
（2）∠FED=70°，EF平分∠OED，
，
，
，
OF⊥OE，
，
，
OE平分∠BOI，
，
，
．
23．（8分）如图，直线交于点，且．
(1)试说明：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见详解；
(2)过程见详解．
【解析】本题考查平行线的判定以及性质，角平分线的定义，余角和补角性质；
（1）根据题意可已知条件并结合图形进行分析，内错角相等，即可得到答案．
（2）根据题意利用平行线的性质角平分线的定义，余角和补角性质，即可得出答案．
证明：（1）因为，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
（2）因为平分，
所以．
因为，
设，则．
因为，
所以，
解得，
所以．
又因为，
所以，
所以．
24．（10分）如图，，点是上一点，连接，平分交于点，．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，连接，若平分，，判断与平行吗？为什么？
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【解析】（1）由AB//CD，∠EDM＝53°得出∠AED的度数，然后由角平分线定义得出∠AEM的度数，再由平行线的性质即可解得；
（2）由∠BEN＝30°，EN⊥EM得出∠AEM的度数，然后由AB//CD，得出∠EMD，再由邻补角定义及角平分线定义得∠AME及∠MED的度数，利用平行线的判定即可证明．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2），
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
25．（10分）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整）
理由：∵（已知），
∴（① ），
∵，（已知），
∴（② ），
∴，即：，
∴（③ ）
(2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°．
(3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由．
【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；
(2)96，90
(3)当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由见解析
【解析】（1）根据两直线平行内错角相等得，根据角之间的关系等量代换得，即可得，根据内错角相等两直线平行即可得；
（2）由题意得，，，即可得，根据得，可得，即可得，根据三角形内角和定理即可得；
（3）由（1）得，，，根据，得，即可得，等量代换得即，根据三角形内角和定理即可得．
解：（1）证明：∵（已知），
∴（①两直线平行，内错角相等 ），
∵，（已知），
∴（②等量代换 ），
∴，即：，
∴（③内错角相等，两直线平行 ）
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；
（2）由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：96，90．
（3）当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由如下：
解：由（1）得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：．
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