(共30张PPT)
（浙教版）七年级
下
2.4二元一次方程组的应用（第2课时）
二元一次方程组
第2章
“二”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.进一步培养学生化实际问题题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力;
2.会根据题意列出二元一次方程组，在抽象二元一次方程组的过程中，进一步体会到方程是描述现实生活中某些问题的有效数学模型，体会代数方法的优越性和多样性。
新知导入
用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：
理解问题 审题,搞清已知和未知,分析数量关系
制订计划 考虑如何根据等量关系设元,列出方程组
执行计划 列出方程组并求解,得到答案
回 顾 检查和反思解题过程,检验答案的正确性以及是否
符合题意
例2 一根金属棒在0℃时的长度是q(m),在一定温度范围内,温度每升高1℃,它就伸长p(m)。当温度为t(℃)时,金属棒的长度l可用公式l=pt+q计算。已测得当t=100 ℃时,l=2.002 m;当t=500℃时,l=2.01 m。
(1) 求p,q的值。
(2)若这根金属棒受热后长度伸长到2.016m,则这时金属棒的温度是
多少
新知讲解
任务：二元一次方程组的应用
新知讲解
解:(1)根据题意,得
②-①,得400p=0.008，
解得p=0.000 02。
把p=0.000 02代入①,得0.002+q=2.002，
解得q=2。
所以
答:p=0.000 02 m,q=2 m。
新知讲解
(2)由(1),得l=0.000 02t+2.
金属棒受热后,长度伸长到2.016m,即当l=2.016时，
2.016=0.000 02t+2。
解这个一元一次方程,得t=800。
答:此时金属棒的温度是800℃。
例3 通过对一份中学生营养快餐的检测,得到以下信息:
①快餐的总质量为300 g;
②快餐的成分:蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质;
③蛋白质和脂肪含量占50%;矿物质的含量是脂肪含量的2倍;蛋白质
和碳水化合物含量占85%。
试分别求出营养快餐中蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质的质量和所占百分比。
新知讲解
新知讲解
分析:本题所求量有四个,如何设未知数是解决问题的关键。根据第③条信息,蛋白质和脂肪的含量与其他未知量均有数量关系,所以可以考虑设它们的含量分别为x(g)和y(g)。
解:设一份营养快餐中含蛋白质x(g),脂肪y(g),则含矿物质2y(g)，
碳水化合物(300×85%-x)(g)。由题意,得
新知讲解
①+②,得3y=45，
解得y=15。
所以x=150-y=150-15=135(g)，
2y=2×15=30(g)，
300×85%-x=255-135=120(g)。
答:营养快餐中蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物的质量和所占百分比如下表。
新知讲解
实际问题
数学问题
(二元一次方程组)
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
消元
检验
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共为880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的现单价共为684元，设甲、乙两种服装的原单价分别是元、 元，则下列方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是( )
A. B. C. D.
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3． 周末，明明帮妈妈去超市购物，回家后与妈妈有一段对话：
根据上面的信息，请你列方程组求明明买了樱桃和西红柿各多少千克.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
解：设明明买了樱桃，西红柿 ，
由题意得解得
答:明明买了樱桃，西红柿 .
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
4.《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架.书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容积为3斛；大容器1个，小容器5个，总容积为2斛.问大、小容器的容积各是多少斛？”该问题中的大容器容积为 斛，小容器容积为 斛.
5.我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若 ， ，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果个，买苦果 个，可列出符合题意的二元一次方程组为
根据已有信息，题中用“ ， ”表示的缺失的条件应为 ( )
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
D
A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
6.甲、乙两地相距 ，途中有上坡、平路和下坡.一辆汽车下午1点从甲地出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地.已知该汽车在上坡路每小时行驶，平路每小时行驶，下坡路每小时行驶 ，求甲地到乙地的途中平路、上坡、下坡分别是多少千米.
【综合拓展类作业】
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂练习
解:从下午1点到下午3点30分共，从下午4点到下午6点48分共 .
设甲地到乙地的途中平路是,上坡路是 ,则下坡路是
,
根据题意得解得
.
答:甲地到乙地的途中平路是，上坡路是，下坡路是 .
课堂总结
实际问题
数学问题
(二元一次方程组)
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
消元
检验
板书设计
二元一次方程组的应用：
课题：2.4二元一次方程组的应用（第2课时）
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为( )
A．19 B．18
C．16 D．15
C
2．某股民用30000元买进甲、乙两种股票，在甲股票下跌10%，乙股票升值8%时全部卖出，赚得1500元（含税），则该股民原来购买的甲、乙两种股票所用钱数的比例为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．1：5 D．5：1
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等.求该商品每件的进价和定价分别是多少元.
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
解：设该商品每件的定价为元，进价为 元,
根据题意得 解得
答：该商品每件的进价是155元，定价是200元.
4.某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为，超过 的部分按每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了 ，付了17元.”乙说：“我乘这种出租车走了 ，付了35元.”那么这种出租车的起步价是 元.
5
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价20%，乙商品提价60%，调整后两种商品的单价和比原来的单价和提高了50%，则购买调价后的3件甲商品和2件乙商品共需
元．
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
310
6.据统计，某市今年五月份外来与外出旅游的总人数为 226 万人，分别比去年同期增长 30% 和 20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多 20 万人.分别求出该市今年五月份外来和外出旅游的人数.
【综合拓展类作业】
作业布置
解：设去年五月份外来旅游的人数为 x 万人，外出旅游的人数为 y 万人.
由题意得
解这个方程组，得
所以(1+30%)x=130，(1+20%)y=96.
答：该市今年五月份外来和外出旅游的人数分别是 130 万人和 96 万人.
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2
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册、第2章
课标要求 【内容要求】1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解的意义。2.掌握消元法，能解二元一次方程组。3.*能解简单的三元一次方程组。4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。【学业要求】能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义;认识方程解的意义，经历估计方程解的过程;能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组;*能解简单的三元一次方程组;能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
内容分析 本章主要内容：（1）二元一次方程；（2）二元一次方程组和它的解；（3）解二元一次方程组；（4）二元一次方程组的应用；（5）三元一次方程组及其解法。本章主要内容是二元一次方程组及其相关概念，利用二元一次方程组分析、解决实际问题，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，以及三元一次方程组的解法。本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴含的建模思想，体会代数方法的优越性，在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元、化归思想。本单元的学习对后期学习不等式组及二次函数内容的学习起到铺垫的作用,二元一次方程组是最简单的多元方程组,通过对它的学习可以了解一般的多元一次方程组的概念和解法的基本思路,体会类比转化思想.利用二元一次方程组解决实际问题,体现模型思想,既是学习二元一次方程组的出发点,又是学习二元一次方程组的落脚点.
学情分析 学生在前面已学习了代数式、方程、一元一次方程,初步积累了一定的数与代数的数学活动经验,具备有关一元一次方程的知识和经验,知道一元一次方程是刻画现实世界的有效数学模型,已积累了一些建构方程模型分析和解决问题的经验.运用类比的数学思想,从研究方程的思路入手看待二元一次方程组和三元一次方程组可降低学生学习的难度.学生已有一定的能力通过自主探究和合作交流,从实际问题建立方程模型,从方程模型中抽象、概括出二元一次方程的概念模型.根据学生的最近发展区创设特定情境,使学生一直处于根据实际问题列方程是刻画现实情景中数量关系的一个重要的数学模型的氛围之中,会使学生更加主动地去探索二元一次方程(组)的特征、解法及运用二元一次方程组解决实际问题,培养学生良好的数学探究意识与应用意识.掌握用消元法解二元一次方程组,强调“消元”的思想和方法.消元法是一种重要的思想和方法,能够简化问题,也是解决问题的一种策略,是贯穿二元一次方程组的一条主线.通过“消元”将二元一次方程组转化为一元一次方程,实现求解的目的,体现化繁为简、以简驭繁的基本策略,对发展学生的运算能力、分析问题和解决问题的能力都具有重要意义.
单元目标 教学目标1.以分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景,认识二元一次方程(组)及其有关概念,发展抽象思维能力、模型观念.2.根据化归思想,抓住“消元”这一基本策略,能灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组,并会解简单的三元一次方程组.3.经历分析和解决问题的过程,体会二元一次方程(组)的教学模型作用,进一步提高运用方程(组)解决实际问题的基本能力,培养应用意识、创新意识.(二)教学重点、难点教学重点:理解二元一次方程(组)的有关概念;掌握二元一次方程组的解法——代入消元法、加减消元法:会用方程组来解决实际问题。教学难点:掌握消元法，能解二元一次方程组:会用方程组来解决实际问题，体会建模思想。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1二元一次方程1课时2.2二元一次方程组和它的解1课时2.3解二元一次方程组2课时2.4二元一次方程组的应用2课时2.5三元一次方程组及其解法1课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1二元一次方程1.了解二元一次方程的概念；2.理解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性；3.会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.1.了解二元一次方程的概念；2.理解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性；3.会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.任务一：设置问题，引出新课任务二：二元一次方程的概念任务三：二元一次方程的解2.2二元一次方程组和它的解1.了解二元一次方程组的概念；2.理解二元一次方程组的解的概念；3.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解.1.了解二元一次方程组的概念；2.理解二元一次方程组的解的概念；3.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解.任务一：设置问题，引出新课任务二：二元一次方程组的概念任务三：二元一次方程组的解2.3解二元一次方程组（第1课时）1.理解并掌握代入消元法；2.会用代入消元法解二元一次方程组；3.了解“消元”思想，初步体会“化未知为已知”的化归思想.1.理解并掌握代入消元法；2.会用代入消元法解二元一次方程组；3.了解“消元”思想，初步体会“化未知为已知”的化归思想.任务一：设置问题，引出新课任务二：代入消元法2.3解二元一次方程组（第2课时）1.掌握用加减法解二元一次方程组.2.对于运用加减消元法,把“二元”转化为“一元”,从而正确求解二元一次方程组的理解．1.掌握用加减法解二元一次方程组.2.会运用加减消元法,把“二元”转化为“一元”,从而正确求解二元一次方程组的理解．任务一：回顾复习，引出新课任务二：加减消元法2.4二元一次方程组的应用（第1课时）1.掌握应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤;2.会列二元一次方程组解决实际问题。1.掌握应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤;2.会列二元一次方程组解决实际问题。任务一：设置问题，引出新课任务二：二元一次方程组的应用2.4二元一次方程组的应用（第2课时）1.进一步培养学生化实际问题题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力;2.会根据题意列出二元一次方程组，在抽象二元一次方程组的过程中，进一步体会到方程是描述现实生活中某些问题的有效数学模型，体会代数方法的优越性和多样性。1.进一步培养化实际问题题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力;2.会根据题意列出二元一次方程组，在抽象二元一次方程组的过程中，进一步体会到方程是描述现实生活中某些问题的有效数学模型，体会代数方法的优越性和多样性。任务一：设置问题，引出新课任务二：二元一次方程组的应用2.5三元一次方程组及其解法1.三元一次方程组的解法及“消元”思想;2.根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元．1.理解三元一次方程（组）的概念2.掌握三元一次方程组的解法及“消元”思想;3.会根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元．任务一：回顾复习，引出新课任务二：三元一次方程及三元一次方程组的概念任务三：三元一次方程组的解
《第2章 》二元一次方程组 单元教学设计
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分课时教学设计
《2.4二元一次方程组的应用（第2课时）》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容是进一步学习利用二元一次方程组解决实际问题。学生已经学习了二元一次方程组的解法和简单应用，今后还要学习一元二次方程及其应用；另外之前学习了数、式的应用，本节课也为之后学习的不等式和函数的应用起到了很强的示范作用。
学习者分析 学生已经学习了一元一次方程的应用，二元一次方程组的解法，初步具备了应用二元一次方程组解决实际问题的经验，但学生缺乏分析较复杂实际问题中数量关系的经验，另外七年级学生的数学抽象思维能力不足，要引导从复杂的实际背景中提取数学信息，抽象数学本质，转化数学语言。
教学目标 1.进一步培养学生化实际问题题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力; 2.会根据题意列出二元一次方程组，在抽象二元一次方程组的过程中，进一步体会到方程是描述现实生活中某些问题的有效数学模型，体会代数方法的优越性和多样性。
教学重点 探究用二元一次方程组解决实际问题的过程．
教学难点 从复杂的实际背景中提取数学信息，寻找等量关系，转化数学语言。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤： 理解问题 审题,搞清已知和未知,分析数量关系 制订计划 考虑如何根据等量关系设元,列出方程组 执行计划 列出方程组并求解,得到答案 回 顾 检查和反思解题过程,检验答案的正 确性以及是否符合题意学生活动1： 学生回顾用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤.活动意图说明： 通过设置问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣，在回忆旧知识的同时，自然切入本节课所要学习的内容.环节二：二元一次方程组的应用教师活动2： 例2 一根金属棒在0℃时的长度是q(m),在一定温度范围内,温度每升高1℃,它就伸长p(m)。当温度为t(℃)时,金属棒的长度l可用公式l=pt+q计算。已测得当t=100 ℃时,l=2.002 m;当t=500℃时,l=2.01 m。 (1) 求p,q的值。 (2)若这根金属棒受热后长度伸长到2.016m,则这时金属棒的温度是多少 解:(1)根据题意,得 ②-①,得400p=0.008， 解得p=0.000 02。 把p=0.000 02代入①,得0.002+q=2.002， 解得q=2。 所以 答:p=0.000 02 m,q=2 m。 (2)由(1),得l=0.000 02t+2. 金属棒受热后,长度伸长到2.016m,即当l=2.016时， 2.016=0.000 02t+2。 解这个一元一次方程,得t=800。 答:此时金属棒的温度是800℃。 例3 通过对一份中学生营养快餐的检测,得到以下 信息: ①快餐的总质量为300 g; ②快餐的成分:蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物 质; ③蛋白质和脂肪含量占50%;矿物质的含量是脂肪 含量的2倍;蛋白质和碳水化合物含量占85%。 试分别求出营养快餐中蛋白质、脂肪、碳水化合物、 矿物质的质量和所占百分比。 分析:本题所求量有四个,如何设未知数是解决问题的关键。根据第③条信息,蛋白质和脂肪的含量与其他未知量均有数量关系,所以可以考虑设它们的含量分别为x(g)和y(g)。 解:设一份营养快餐中含蛋白质x(g),脂肪y(g),则含矿物质2y(g)，碳水化合物(300×85%-x)(g)。由题意,得 ①+②,得3y=45， 解得y=15。 所以x=150-y=150-15=135(g)， 2y=2×15=30(g)， 300×85%-x=255-135=120(g)。 答:营养快餐中蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物的质量和所占百分比如下表。 学生活动2： 学生理解例题，小组合作，回答问题. 活动意图说明： 通过对例题的探究回答，使学生能够探索事物之间的数量关系，利用方程或方程组解决实际问题：通过问题探究，使学生进一步使用代数中的方程来反映现实世界的等量关系，体会代数方法的优越性；进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力，培养严谨缜密的科学习惯，继续渗透转化的数学思想；使学生能够根据实际问题，寻找其中的相等关系，最终转化为数学问题求解.
板书设计 课题：2.4二元一次方程组的应用（第2课时） 二元一次方程组的应用：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共为880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的现单价共为684元，设甲、乙两种服装的原单价分别是元、 元，则下列方程组正确的是( B ) A. B. C. D. 2.如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是( B ) A.10 g B.20 g C.25 g D.30 g 3．周末，明明帮妈妈去超市购物，回家后与妈妈有一段对话： 根据上面的信息，请你列方程组求明明买了樱桃和西红柿各多少千克. 解：设明明买了樱桃，西红柿 ， 由题意得解得 答:明明买了樱桃，西红柿 . 选做题： 4.《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架.书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容积为3斛；大容器1个，小容器5个，总容积为2斛.问大、小容器的容积各是多少斛？”该问题中的大容器容积为 斛，小容器容积为 斛. 5.我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若 ， ，试问买甜果苦果各几个？ 若设买甜果个，买苦果 个，可列出符合题意的二元一次方程组为 根据已有信息，题中用“ ， ”表示的缺失的条件应为 ( D ) A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【综合拓展类作业】 6.甲、乙两地相距74km ，途中有上坡、平路和下坡.一辆汽车下午1点从甲地出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地.已知该汽车在上坡路每小时行驶20km，平路每小时行驶30km，下坡路每小时行驶40km ，求甲地到乙地的途中平路、上坡、下坡分别是多少千米. 解:从下午1点到下午3点30分共，从下午4点到下午6点48分共 . 设甲地到乙地的途中平路是,上坡路是 ,则下坡路是 , 根据题意得解得 . 答:甲地到乙地的途中平路是，上坡路是，下坡路是 .
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为( C ) A．19 B．18 C．16 D．15 2.C 某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等.求该商品每件的进价和定价分别是多少元. 解：设该商品每件的定价为元，进价为 元, 根据题意得 解得 答：该商品每件的进价是155元，定价是200元. 选做题： 4.某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3km，超过3km 的部分按每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了11km ，付了17元.”乙说：“我乘这种出租车走了23km ，付了35元.”那么这种出租车的起步价是 5 元. 5．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价20%，乙商品提价60%，调整后两种商品的单价和比原来的单价和提高了50%，则购买调价后的3件甲商品和2件乙商品共需 310 元． 【综合拓展类作业】 据统计，某市今年五月份外来与外出旅游的总人数为 226 万人，分别比去年同期增长 30% 和 20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多 20 万人.分别求出该市今年五月份外来和外出旅游的人数. 解：设去年五月份外来旅游的人数为 x 万人，外出旅游的人数为 y 万人. 由题意得 解这个方程组，得 所以(1+30%)x=130，(1+20%)y=96. 答：该市今年五月份外来和外出旅游的人数分别是 130 万人和 96 万人.
教学反思 通过对例题的探究，让学生能从复杂的实际背景中提取数学信息，寻找等量关系，转化数学语言；加深对方程模型的理解，增强数学应用意识；在独立思考的基础上，合作交流，经历探索和交流的过程，调动学习的积极性，发展合作精神。
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