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（浙教版）七年级
下
2.5三元一次方程组及其解法
二元一次方程组
第2章
“二”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.三元一次方程组的解法及“消元”思想;
2.根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元．
新知导入
代入消元法
加减消元法
解一元一次方程
二元一次方
程组的解法
“多元”
“一元”
消元
消元思想
化归转化思想
新知讲解
一副扑克牌共54张。老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名学生。甲拿到的牌数是乙的2倍;若把丙拿到的牌分一半给乙,则乙的牌数就比甲多2张。老师分给甲、乙、丙各多少张牌
任务一：三元一次方程及三元一次方程组的概念
新知讲解
我们来讨论这个问题。
(1)这个问题中要求的未知数有几个 你能列出关于这些未知数的几个方程 请试一试。
(2)根据(1)中列出的方程,你能求出问题的解吗 请试一试。
（1）三个。
设甲、乙、丙各x、y、z张牌
x+y+z=54
x=2y
y+=x+2
新知讲解
观察列出的三个方程，你发现了什么？
x+y+z=54
x=2y
y+=x+2
二元一次方程
未知数的项的次数都是 1
未知数的项的次数都是 1
含两个未知数
含三个未知数
三元一次方程
都是整式
都是整式
新知讲解
这个问题的解必须同时满足上面的三个条件，因此，把这三个方程合在一起，写成
新知讲解
三元一次方程、三元一次方程组：
和二元一次方程类似,含有三个未知数,且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作三元一次方程。由三个一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组叫作三元一次方程组。
条件：(1)是整式方程；
(2)含有三个未知数；
(3)是一次方程.
新知讲解
三元一次方程组的解：
同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫作这个三元一次方程组的解。
任务二：三元一次方程组的解
新知讲解
怎样解三元一次方程组呢？
和解二元一次方程组一样,解三元一次方程组的基本思想也是消元。
例1 解三元一次方程组
新知讲解
解：将③分别代入①，②，消去x，得
解这个二元一次方程组，得
将 代入③，得x= -2.
所以原方程组的解是
新知讲解
例2 解方程组
解：①+③，得 5x+5y= 25. ④
①×2 -②，得 5x - y= 19. ⑤
④-⑤，得6y=6，所以y=1.
把y=1代入⑤，得 x=4.
再将x=4 ， y=1代入①，得 z= -1
所以原方程组的解是
新知讲解
由例1、例2可见,
解三元一次方程组的消元方法也是代入法或加减法，通过消元将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而转化为解一元一次方程。
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
新知讲解
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)消元：利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程；
(4)求解：解这个一元一次方程，求出未知数的值；
(5)写解：将求得的三个未知数的值用符号“{”联立在一起.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.下列各方程组中，三元一次方程组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2．若(m+1)x+y|m|+z=4 是关于x，y，z 的三元一次方程，则m 的值为_______.
1
3.已知 |x - 6y| + 2(4y - 1)2 + |3x - 6z| = 0，则 x + y + z = .
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
4.解三元一次方程组
解：②﹣①得：﹣2y＝4，解得：y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①得：x﹣2+z＝4，即x+z＝6④，
把y＝﹣2代入③得：4x﹣4+z＝17，即4x+z＝21⑤，
由④和⑤组成一个二次一次方程组,解得
所以原方程组的解是
5.已知 是三元一次方程组的解，则 的值为( )
A.125 B.119 C.113 D.71
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
C
6.数学活动：
小川、小渝两位同学在学习方程组的过程中发现，三元一次方程组
虽然解不出，， 的具体数值，但可以解出
的值.
【综合拓展类作业】
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂练习
（1）小川的方法：，整理得 _______；
，整理得 ______；
.
小渝的方法： ，得__________________；
.
【综合拓展类作业】
课堂练习
（2）已知求 的值.
解：
，得，整理得 ，
，得，整理得 ，
则 .
课堂总结
1.三元一次方程、三元一次方程组：
和二元一次方程类似,含有三个未知数,且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作三元一次方程。由三个一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组叫作三元一次方程组。
2.三元一次方程组的解:
同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫作这个三元一次方程组的解。
课堂总结
3.解三元一次方程组的一般步骤：
(1)消元：利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程；
(4)求解：解这个一元一次方程，求出未知数的值；
(5)写解：将求得的三个未知数的值用符号“{”联立在一起.
板书设计
1.三元一次方程、三元一次方程组：
2.三元一次方程组的解:
3.解三元一次方程组的一般步骤：
课题：2.5三元一次方程组及其解法
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．解方程组 最简便的消元方法是( )
A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.先消去常数项
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.三元一次方程组 的解为（ ）
A. B. C. D.
D
3．若3x+5y+6z＝5，4x+2y+z＝2，则x+y+z的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能求出
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
4.在一次解题比赛中，小张、小李、小王三人共解出了100道题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，则难题比容易题多 道．
20
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5．如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放 ，要使之保持平衡，则应放 ( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
B
6.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个
衣袖、1个衣身和1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么安排多少名工人缝制衣袖，多少名工人缝制衣身，多少名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套？
【综合拓展类作业】
作业布置
【综合拓展类作业】
作业布置
解：设安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身， 名工人缝制衣领，
依题意，得解得
答：安排120名工人缝制衣袖，40名工人缝制衣身，50名工人缝制衣领，
才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册、第2章
课标要求 【内容要求】1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解的意义。2.掌握消元法，能解二元一次方程组。3.*能解简单的三元一次方程组。4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。【学业要求】能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义;认识方程解的意义，经历估计方程解的过程;能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组;*能解简单的三元一次方程组;能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
内容分析 本章主要内容：（1）二元一次方程；（2）二元一次方程组和它的解；（3）解二元一次方程组；（4）二元一次方程组的应用；（5）三元一次方程组及其解法。本章主要内容是二元一次方程组及其相关概念，利用二元一次方程组分析、解决实际问题，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，以及三元一次方程组的解法。本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴含的建模思想，体会代数方法的优越性，在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元、化归思想。本单元的学习对后期学习不等式组及二次函数内容的学习起到铺垫的作用,二元一次方程组是最简单的多元方程组,通过对它的学习可以了解一般的多元一次方程组的概念和解法的基本思路,体会类比转化思想.利用二元一次方程组解决实际问题,体现模型思想,既是学习二元一次方程组的出发点,又是学习二元一次方程组的落脚点.
学情分析 学生在前面已学习了代数式、方程、一元一次方程,初步积累了一定的数与代数的数学活动经验,具备有关一元一次方程的知识和经验,知道一元一次方程是刻画现实世界的有效数学模型,已积累了一些建构方程模型分析和解决问题的经验.运用类比的数学思想,从研究方程的思路入手看待二元一次方程组和三元一次方程组可降低学生学习的难度.学生已有一定的能力通过自主探究和合作交流,从实际问题建立方程模型,从方程模型中抽象、概括出二元一次方程的概念模型.根据学生的最近发展区创设特定情境,使学生一直处于根据实际问题列方程是刻画现实情景中数量关系的一个重要的数学模型的氛围之中,会使学生更加主动地去探索二元一次方程(组)的特征、解法及运用二元一次方程组解决实际问题,培养学生良好的数学探究意识与应用意识.掌握用消元法解二元一次方程组,强调“消元”的思想和方法.消元法是一种重要的思想和方法,能够简化问题,也是解决问题的一种策略,是贯穿二元一次方程组的一条主线.通过“消元”将二元一次方程组转化为一元一次方程,实现求解的目的,体现化繁为简、以简驭繁的基本策略,对发展学生的运算能力、分析问题和解决问题的能力都具有重要意义.
单元目标 教学目标1.以分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景,认识二元一次方程(组)及其有关概念,发展抽象思维能力、模型观念.2.根据化归思想,抓住“消元”这一基本策略,能灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组,并会解简单的三元一次方程组.3.经历分析和解决问题的过程,体会二元一次方程(组)的教学模型作用,进一步提高运用方程(组)解决实际问题的基本能力,培养应用意识、创新意识.(二)教学重点、难点教学重点:理解二元一次方程(组)的有关概念;掌握二元一次方程组的解法——代入消元法、加减消元法:会用方程组来解决实际问题。教学难点:掌握消元法，能解二元一次方程组:会用方程组来解决实际问题，体会建模思想。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1二元一次方程1课时2.2二元一次方程组和它的解1课时2.3解二元一次方程组2课时2.4二元一次方程组的应用2课时2.5三元一次方程组及其解法1课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1二元一次方程1.了解二元一次方程的概念；2.理解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性；3.会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.1.了解二元一次方程的概念；2.理解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性；3.会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.任务一：设置问题，引出新课任务二：二元一次方程的概念任务三：二元一次方程的解2.2二元一次方程组和它的解1.了解二元一次方程组的概念；2.理解二元一次方程组的解的概念；3.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解.1.了解二元一次方程组的概念；2.理解二元一次方程组的解的概念；3.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解.任务一：设置问题，引出新课任务二：二元一次方程组的概念任务三：二元一次方程组的解2.3解二元一次方程组（第1课时）1.理解并掌握代入消元法；2.会用代入消元法解二元一次方程组；3.了解“消元”思想，初步体会“化未知为已知”的化归思想.1.理解并掌握代入消元法；2.会用代入消元法解二元一次方程组；3.了解“消元”思想，初步体会“化未知为已知”的化归思想.任务一：设置问题，引出新课任务二：代入消元法2.3解二元一次方程组（第2课时）1.掌握用加减法解二元一次方程组.2.对于运用加减消元法,把“二元”转化为“一元”,从而正确求解二元一次方程组的理解．1.掌握用加减法解二元一次方程组.2.会运用加减消元法,把“二元”转化为“一元”,从而正确求解二元一次方程组的理解．任务一：回顾复习，引出新课任务二：加减消元法2.4二元一次方程组的应用（第1课时）1.掌握应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤;2.会列二元一次方程组解决实际问题。1.掌握应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤;2.会列二元一次方程组解决实际问题。任务一：设置问题，引出新课任务二：二元一次方程组的应用2.4二元一次方程组的应用（第2课时）1.进一步培养学生化实际问题题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力;2.会根据题意列出二元一次方程组，在抽象二元一次方程组的过程中，进一步体会到方程是描述现实生活中某些问题的有效数学模型，体会代数方法的优越性和多样性。1.进一步培养化实际问题题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力;2.会根据题意列出二元一次方程组，在抽象二元一次方程组的过程中，进一步体会到方程是描述现实生活中某些问题的有效数学模型，体会代数方法的优越性和多样性。任务一：设置问题，引出新课任务二：二元一次方程组的应用2.5三元一次方程组及其解法1.三元一次方程组的解法及“消元”思想;2.根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元．1.理解三元一次方程（组）的概念2.掌握三元一次方程组的解法及“消元”思想;3.会根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元．任务一：回顾复习，引出新课任务二：三元一次方程及三元一次方程组的概念任务三：三元一次方程组的解
《第2章 》二元一次方程组 单元教学设计
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分课时教学设计
《2.5三元一次方程组及其解法》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容是三元一次方程组及其解法.在此之前，学生已经学习了一元一次方程和二元一次方程组的解法及应用，已经具备了用消元法解方程组的基本技能，这节课主要引导学生通过类比学习，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程去解决问题.
学习者分析 在此之前，学生已学习了一元一次方程和二元一次方程组的解法等有关内容，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能；初中生正处于思维发展的关键时期，他们的逻辑思维能力和抽象思维能力正在逐步发展，独立思考有一定的难度，特别是作为选学内容的三元一次方程组解法对他们来说有一定的挑战性，因此，引导学生主动自信的参与学习是学好这节课的前提，积极调动学生运用已有知识，用二元一次方程的解法，灵活应用代入法、加減法进行消元化归思想。引导学生大胆尝试，在探究中，寻找解决问题的方法。
教学目标 1.三元一次方程组的解法及“消元”思想; 2.根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元．
教学重点 三元一次方程组的概念及其一般解法.
教学难点 根据方程的特征，选择怡当的消元对象和消元方法去解三元一次方程组.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 学生活动1： 学生回顾二元一次方程组的解法。活动意图说明： 通过回顾二元一次方程组的解法，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣，在回忆旧知识的同时，自然切入本节课所要学习的内容.环节二：三元一次方程及三元一次方程组的概念教师活动2： 一副扑克牌共54张。老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名学生。甲拿到的牌数是乙的2倍;若把丙拿到的牌分一半给乙,则乙的牌数就比甲多2张。老师分给甲、乙、丙各多少张牌 我们来讨论这个问题。 (1)这个问题中要求的未知数有几个 你能列出关于这些未知数的几个方程 请试一试。 (2)根据(1)中列出的方程,你能求出问题的解吗 请试一试。 （1）三个。 设甲、乙、丙各x、y、z张牌 x+y+z=54 x=2y y+=x+2 观察列出的三个方程，你发现了什么？ 这个问题的解必须同时满足上面的三个条件，因此，把这三个方程合在一起，写成 三元一次方程、三元一次方程组： 和二元一次方程类似,含有三个未知数,且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作三元一次方程。由三个一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组叫作三元一次方程组。 条件：(1)是整式方程； (2)含有三个未知数； (3)是一次方程.学生活动2： 学生理解问题。 小组合作，回答问题。 学生观察三个方程的，总结其特点。 学生在教师的引导下，总结得出三元一次方程、三元一次方程组的概念。 活动意图说明： 通过思考问题，引导学生观察，总结得出三元一次方程和三元一次方程组的概念，培养学生的观察分析，总结概括的能力。环节三：三元一次方程组的解教师活动3： 三元一次方程组的解： 同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫作这个三元一次方程组的解。 怎样解三元一次方程组呢？ 和解二元一次方程组一样,解三元一次方程组的基本思想也是消元。 例1 解三元一次方程组 解：将③分别代入①，②，消去x，得 解这个二元一次方程组，得 将 代入③，得x= -2. 所以原方程组的解是 例2 解方程组 解：①+③，得 5x+5y= 25. ④ ①×2 -②，得 5x - y= 19. ⑤ ④-⑤，得6y=6，所以y=1. 把y=1代入⑤，得 x=4. 再将x=4 ， y=1代入①，得 z= -1 所以原方程组的解是 由例1、例2可见, 解三元一次方程组的消元方法也是代入法或加减法，通过消元将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而转化为解一元一次方程。 解三元一次方程组的一般步骤： (1)消元：利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； (4)求解：解这个一元一次方程，求出未知数的值； (5)写解：将求得的三个未知数的值用符号“{”联立在一起.学生活动3： 学生理解三元一次方程组的解的概念。 学生掌握三元一次方程组的解法。 学生尝试完成例题并展示答案。 学生总结解三元一次方程组的基本思想和一般步骤。 活动意图说明： 给出三元一次方程组的解的概念，类比二元一次方程组的解法-代入消元法和加减消元法，让学生尝试用消元的思想解三元一次方程组，通过完成例题，让学生体会“消元”思想，以及怎么消元，先消哪个元，以提高学生的解三元一次方程组的能力。
板书设计 课题：2.5三元一次方程组及其解法 1.三元一次方程、三元一次方程组： 2.三元一次方程组的解: 3.解三元一次方程组的一般步骤：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各方程组中，三元一次方程组有( B ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若(m+1)x+y|m|+z=4 是关于x，y，z 的三元一次方程，则m 的值为___1____. 3.已知 |x - 6y| + 2(4y - 1)2 + |3x - 6z| = 0，则 x + y + z = . 选做题： 4.解三元一次方程组 解：②﹣①得：﹣2y＝4，解得：y＝﹣2， 把y＝﹣2代入①得：x﹣2+z＝4，即x+z＝6④， 把y＝﹣2代入③得：4x﹣4+z＝17，即4x+z＝21⑤， 由④和⑤组成一个二次一次方程组,解得 所以原方程组的解是 5.已知 是三元一次方程组的解，则 的值为( C ) A.125 B.119 C.113 D.71 【综合拓展类作业】 6.数学活动： 小川、小渝两位同学在学习方程组的过程中发现，三元一次方程组 虽然解不出，， 的具体数值，但可以解出 的值. （1）小川的方法：②×3 ①×2，整理得y= __3 2z __； ①×3 ②×2，整理得x= __z+1_； ∴x+y+z=4 . 小渝的方法：①+② ，得_5x+5y+5z=20___； ∴x+y+z=4 . （2）已知求 的值. 解： ，得，整理得 ， ，得，整理得 ， 则 .
课堂总结 1.三元一次方程、三元一次方程组： 和二元一次方程类似,含有三个未知数,且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作三元一次方程。由三个一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组叫作三元一次方程组。 2.三元一次方程组的解: 同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫作这个三元一次方程组的解。 3.解三元一次方程组的一般步骤： (1)消元：利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； (4)求解：解这个一元一次方程，求出未知数的值； (5)写解：将求得的三个未知数的值用符号“{”联立在一起.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．解方程组 最简便的消元方法是( B ) A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.先消去常数项 2.三元一次方程组 的解为（ D ） A. B. C. D. 3.若3x+5y+6z＝5，4x+2y+z＝2，则x+y+z的值等于（ B ） A．0 B．1 C．2 D．不能求出 选做题： 4.在一次解题比赛中，小张、小李、小王三人共解出了100道题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，则难题比容易题多 20 道． 5．如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△ ，要使之保持平衡，则应放△ ( B ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【综合拓展类作业】 6.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身和1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么安排多少名工人缝制衣袖，多少名工人缝制衣身，多少名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套？ 解：设安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身， 名工人缝制衣领， 依题意，得解得 ‘ 答：安排120名工人缝制衣袖，40名工人缝制衣身，50名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.
教学反思 本节课通过问题探究，引导学生总结归纳出三元一次方程（组）的概念，培养学生的观察分析概括能力，类比二元一次方程组的学习过程探究三元一次方程组，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯.
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