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专题1.8 相交线与平行线【3大考点15种题型】
【浙教版2024】
【考点1 相交线】 1
【题型1 对顶角的概念与性质的应用】 2
【题型2 利用垂直的定义求角度】 3
【题型3 垂线的画法】 4
【题型4 利用垂线、垂线段的性质解题】 5
【题型5 认识“三线八角”】 6
【题型6 相交线的规律探究问题】 7
【考点2 平行线】 8
【题型7 平行线的画法】 9
【题型8 平行线的三种判定方法】 10
【题型9 平行线性质的应用】 11
【题型10 平行线之间的距离】 12
【题型11 平行线的判定和性质的综合应用】 13
【题型12 平行线间多折点角度问题的探究】 15
【考点3 平移】 16
【题型13 生活中的平移现象】 16
【题型14 平移作图】 17
【题型15 应用平移的性质解决实际问题】 19
【考点1 相交线】
（1）对顶角及其性质
两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角.
两直线相交，对顶角相等
（2）垂线
如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
（3）垂线段最短
过直线l外一点P作l的重线，垂足为O，线段PO叫作点P到直线的垂线段.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直.
（4）点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.
（5）同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角.
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角.
两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.
【题型1 对顶角的概念与性质的应用】
【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点O，，平分，，求的度数．
【变式1-1】（2025七年级下·全国·专题练习）若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分．
(1)若，求和的度数？
(2)若是任意角，求的度数？
(3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？
【变式1-2】（24-25七年级上·云南保山·期末）如图，直线相交于点，把分成两部分．
(1)图中的对顶角为______，的邻补角为______；
(2)若，，求的度数．
【变式1-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数．
【题型2 利用垂直的定义求角度】
【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点O，平分，平分．
(1)、有什么位置关系，请说明理由；
(2)若，求的度数．
【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线与直线交于点，射线在 内部，是的平分线，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【变式2-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点O，平分，于点O．
(1)若，求和的度数；
(2)若，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【变式2-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，过点作．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，将射线沿着直线翻折得到射线，即，求证：平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作，当时，求的度数．
【题型3 垂线的画法】
【例3】（24-25七年级下·天津南开·开学考试）过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（24-25七年级下·天津南开·开学考试）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．点到的垂线段是线段 B．点到的距离是线段的长度
C．线段是点到的垂线段 D．线段是点到的距离
【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过点P分别画出的垂线（保留画图痕迹，不写画法）．
【变式3-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，用三角尺过点P作直线的垂线．
【题型4 利用垂线、垂线段的性质解题】
【例4】（23-24七年级·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．过线段外一点不一定能作出它的垂线
B．过直线外一点和直线上一点可画一条直线与垂直
C．只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直
D．过任意一点均可作一条直线的垂线
【变式4-1】（23-24七年级·贵州六盘水·期中）六盘水市年初中毕业生体育考试实行综合性结构评价，现目标效果测试项目第一类：立定跳远（男、女），分值分．体育课上，老师正在给准备参加体育中考的学生模拟测试立定跳远，成绩的示意图如图，即的长为丽丽同学的跳远成绩，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式4-2】（23-24七年级·广东广州·开学考试）如图是某同学在体育课上立定跳远测试留下的脚印，则她的跳远成绩为 米．
【变式4-3】（23-24七年级·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若 ，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 认识“三线八角”】
【例5】（23-24七年级·广东潮州·期末）英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），下列字母中含同旁内角最多的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24七年级·宁夏银川·期中）如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
(1)请指出的同旁内角与的内错角；
(2)若测得，，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
【变式5-2】（23-24七年级·广东珠海·期末）2024年香洲区举办了第六届风筝节．如图所示的风筝骨架中，与构成同旁内角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24七年级·上海杨浦·期中）如图，和是直线 与直线 被直线 所截得到的 角．的内错角有 个，的同位角有 个．
【题型6 相交线的规律探究问题】
【例6】（23-24七年级·贵州黔东南·期末）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点…按这样的规律若n条直线相交交点最多有28个，则此时n的值为（ ）
A．18 B．10 C．8 D．7
【变式6-1】（23-24七年级·全国·单元测试）同一平面内条直线把平面分成两个部分（或区域）；条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？请分别画出图来．由此可知条直线最多可将平面分成几个部分？
【变式6-2】（23-24七年级·贵州黔东南·阶段练习）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．
(1)图（1）中共有 对对顶角， 对邻补角．
(2)图（2）中共有 对对顶角， 对邻补角．
(3)图（3）中共有 对对顶角， 对邻补角．
(4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角．
(5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？
【变式6-3】（23-24七年级·全国·课后作业）观察下面表格，并阅读相关文字：
示意图 …
相交情况 1条直线与2条直线相交 1条直线与3条直线相交 1条直线与4条直线相交 …
同位角对数 （）对 （）对 （）对 …
内错角对数 （）对 （）对 （）对 …
同旁内角对数 （）对 （）对 （）对 …
则由上述规律可知：
(1)1条直线与6条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角；
(2)1条直线与n条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角；
(3)利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相交（不交于同一点），可构成同位角的对数是（ ）
A．12对 B．8对 C．6对 D．4对
【考点2 平行线】
（1）平行线
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”
（2）平行线的判定
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行）.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行）.
（3）平行线的性质
①两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
②两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
③两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型7 平行线的画法】
【例7】（23-24七年级·北京东城·期末）如图，平面内有两条直线l1，l2点A在直线l1上，按要求画图并填空：
（1）过点A画l2的垂线段AB，垂足为点B；
（2）过点A画直线AC⊥l1，交直线l2于点C；
（3）过点A画直线AD∥l2；
（4）若AB＝12，AC＝13，则点A到直线l2的距离等于 ．
【变式7-1】（23-24七年级·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线 ，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（ ）
①沿直尺下移三角尺； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线．
A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②
【变式7-2】（23-24七年级·江西上饶·期末）如图，平面上有一条直线AB以及AB外一点P，请你只用一块含30°角的三角板经过P点画直线CD使CD∥AB，简单说明你的画法．
【变式7-3】（23-24七年级·河北石家庄·期中）数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：
甲的画法：
①将含角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含角的三角尺的最短边紧贴； ②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则．
乙的画法：
①将含角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线作出一条最短边所在直线； ②再次将含角三角尺最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则．
请你判断两人的作图的正确性（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．两人都正确 D．两人都错误
【题型8 平行线的三种判定方法】
【例8】（23-24七年级·陕西西安·期中）如图所示，与均为直角三角形，其中，，，点D在边上，，请判断两条斜边与的位置关系并证明．
【变式8-1】（23-24七年级·内蒙古包头·期末）如图，在中，，在的右侧作，试说明：．（请用两种方法解答）
【变式8-2】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：．
【变式8-3】（23-24七年级·辽宁铁岭·期中）如图，已知，，，与平行吗？
【题型9 平行线性质的应用】
【例9】（23-24七年级·广西贵港·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（23-24七年级·山西朔州·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ．
【变式9-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（23-24七年级·新疆喀什·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（ ）
A．先右转，再左转 B．先左转，再右转
C．先左转，再右转 D．先右转，再右转
【题型10 平行线之间的距离】
【例10】（23-24七年级·上海杨浦·期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线，点A、B在直线上，点C、D在直线上，与交于点E．与的面积相等吗？为什么？
解：作，垂足为，作，垂足为．
又因为（已知），
所以______（平行线间距离的意义）．
（完成以下说理过程）
【变式10-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（23-24七年级·上海长宁·期末）在梯形中，， 连接、， 已知梯形的面积为16，的面积为12，那么的面积 ．
【变式10-3】（23-24七年级·湖南郴州·期末）如图， ， ， ，图中和面积相等的三角形有以下哪些三角形：
①；
②；
③；
④；
⑤．
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
【题型11 平行线的判定和性质的综合应用】
【例11】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的度数．
【变式11-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知点在上，点G在上，于点A，于点D，若，求的度数．
解：∵（ ），
∴ （ ），
∴ （ ），
∴（（ ），
又∵已知，
∴（ ），
∴ （ ），
∴ （ ），
∵（已知），
∴ ．
【变式11-2】（23-24七年级·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，．
(1)请对说明理由；
(2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数．
【变式11-3】（23-24七年级·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【题型12 平行线间多折点角度问题的探究】
【例12】（23-24七年级·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值．
【变式12-1】（23-24七年级·辽宁铁岭·期末）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、．
(1)如图1，直接写出之间的数量关系；
(2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数；
(3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数．
【变式12-2】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和）
(1)如图1， 求证：；
(2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：；
(3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数．
【变式12-3】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知，，，点E、F为、之间的两点．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由；
(3)如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．
【考点3 平移】
【题型13 生活中的平移现象】
【例13】（23-24七年级·湖南长沙·期末）如图，用一个定滑轮带动重物上升，则重物上升运动过程的现象是 .(填 “平 移”或“旋转”)
【变式13-1】（23-24七年级·浙江温州·期中）下列运动属于平移的是（ ）
A．冷水加热过程中小气泡变成大气泡 B．乘电梯从一楼到十楼
C．随风飘动的树叶在空中的运动 D．钟表上走动的分针
【变式13-2】（23-24七年级·广西河池·期中）现实世界中，平移现象无处不在，中国的方块字中有些也具有平移性，下列汉字是由平移构成的是（ ）
A．朋 B．磊 C．森 D．回
【变式13-3】（23-24七年级·河南焦作·期中）在图示的汽车标志图案中，能用平移变换（不考虑颜色）来分析其形成过程的图案有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型14 平移作图】
【例14】（23-24七年级·山东滨州·期末）如图，图形在方格（小正方形的边长为个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．例如：点按“平移量”（向右平移个单位，向上平移个单位）可平移到点；点按“平移量”可平移到点．
(1)填空：点按“平移量”（________，________）可平移到点；
(2)若把图中三角形依次按“平移量”平移得到三角形．
①请在图中画出三角形（在答题卡上画图并标注）；
②观察三角形的位置，其实三角形也可按“平移量”（________，_______）直接平移得到三角形．
【变式14-1】（23-24七年级·浙江·期末）如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上．
(1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形．
(2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形．
【变式14-2】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）在如图所示的位置．
(1)将向右平移4个单位，向下平移3个单位得，请在网格中直接作出；
(2)若连接，，则这两条线段的位置关系是 ；
(3)的面积为 ．
【变式14-3】（23-24七年级·浙江金华·期末）如图是正在进行的俄罗斯方块游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现出现一“T”形方块向下运动．
(1)若该“T”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（并画上阴影）．
(2)为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？（俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动．）
【题型15 应用平移的性质解决实际问题】
【例15】（23-24七年级·湖南长沙·期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子．
【变式15-1】（23-24七年级·北京·阶段练习）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是 ．
【变式15-2】（23-24七年级·重庆九龙坡·期中）某酒店准备进行装修，把楼梯铺上地毯．已知楼梯的宽度是米，楼梯的总长度为米，总高度为米，其侧面如图所示．已知这种地毯每平方米的售价是元．请你帮老板算下，购买地毯至少需要花费 元．
【变式15-3】（23-24七年级·河南南阳·期末）如图所示，某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路(图中非阴影部分)，小明同学在假期沿着小路的中间行走(图中虚线)，小路宽1米，则小明同学所走的路径长为（ ）
A．98米 B．100米 C．123米 D．75米
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专题1.8 相交线与平行线【3大考点15种题型】
【浙教版2024】
【考点1 相交线】 1
【题型1 对顶角的概念与性质的应用】 2
【题型2 利用垂直的定义求角度】 4
【题型3 垂线的画法】 8
【题型4 利用垂线、垂线段的性质解题】 10
【题型5 认识“三线八角”】 12
【题型6 相交线的规律探究问题】 15
【考点2 平行线】 18
【题型7 平行线的画法】 19
【题型8 平行线的三种判定方法】 22
【题型9 平行线性质的应用】 24
【题型10 平行线之间的距离】 27
【题型11 平行线的判定和性质的综合应用】 30
【题型12 平行线间多折点角度问题的探究】 34
【考点3 平移】 43
【题型13 生活中的平移现象】 43
【题型14 平移作图】 45
【题型15 应用平移的性质解决实际问题】 49
【考点1 相交线】
（1）对顶角及其性质
两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角.
两直线相交，对顶角相等
（2）垂线
如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
（3）垂线段最短
过直线l外一点P作l的重线，垂足为O，线段PO叫作点P到直线的垂线段.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直.
（4）点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.
（5）同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角.
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角.
两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.
【题型1 对顶角的概念与性质的应用】
【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点O，，平分，，求的度数．
【答案】
【分析】利用邻补角互补可得，由角的和差关系可得，再结合，可得，进而可得，由对顶角相等可得，利用邻补角互补可得，由角平分线的定义可得，据此即可求出的度数．
【详解】解：直线，相交于点O，，
，
，，
，
，
，
，
平分，
．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度，对顶角相等等知识点，熟练掌握角平分线及邻补角的定义是解题的关键．
【变式1-1】（2025七年级下·全国·专题练习）若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分．
(1)若，求和的度数？
(2)若是任意角，求的度数？
(3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？
【答案】(1)；
(2)
(3)的度数不变，值为
【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，对顶角，熟练计算角度是解题的关键．
（1）由对顶角的性质，得到，再由角平分线的定义即可求解；
（2）由角平分线的定义，对顶角的性质得到，，，从而求出的度数；
（3）由角平分线的定义推出，即可得到答案．
【详解】（1）解：平分，平分，
，，
，
，
，
，
（2）解：平分，
，
，
，
，
平分，
，
；
（3）解：的度数不变，
平分，平分，
，，
，
．
【变式1-2】（24-25七年级上·云南保山·期末）如图，直线相交于点，把分成两部分．
(1)图中的对顶角为______，的邻补角为______；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，邻补角的定义，几何图中的角度计算．
（1）根据对顶角的定义，邻补角的定义求解即可．
（2）由对顶角的定义得出，再结合已知条件可得出，最后根据邻补角的定义求解即可．
【详解】（1）解：图中的对顶角为，的邻补角为；
（2）解：，
，
且，
．
【变式1-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了对顶角相等的性质，根据已知条件求出是解题的关键．根据对顶角相等求出，再求出，然后根据对顶角相等解答即可．
【详解】解：由对顶角相等可得，
，
，
(对顶角相等)．
【题型2 利用垂直的定义求角度】
【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点O，平分，平分．
(1)、有什么位置关系，请说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、垂直的定义等知识点，熟练掌握角平分线和垂直的定义是解题关键．
（1）由角平分线的定义得到，，再利用平角的定义可得，据此可得结论；
（2）先证明，再由（1）得到，据此求出，再利用平角的定义求解即可．
【详解】（1）解：，
理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线与直线交于点，射线在 内部，是的平分线，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义以及角的计算、解一元一次方程，解决本题的关键是熟练运用这些知识点建立等量关系式．
（1）先求，再求即可求出答案；
（2）设，根据题意列出方程式，再根据补角的定义即可解决问题，
【详解】（1）解：，
，
，
，
是的平分线，
，
，
．
（2）解：设，则，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
【变式2-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点O，平分，于点O．
(1)若，求和的度数；
(2)若，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，进而可得，利用邻补角互补可得，由此即可求出的度数，由垂线的性质可得，由角的和差关系可得，由此即可求出的度数；
（2）由角平分线的定义可得，由垂线的性质可得，由角的和差关系可得，利用邻补角互补可得，由此即可求出的度数．
【详解】（1）解：平分，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度，垂线的性质，列代数式等知识点，熟练掌握角平分线、邻补角及垂线的定义是解题的关键．
【变式2-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，过点作．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，将射线沿着直线翻折得到射线，即，求证：平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作，当时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查垂直的定义，角平分线的定义，角度的和差等内容，解题关键是找到图中角度之间的关系，列出等式．
（1）由垂直的定义及角度的和差计算可得；
（2）证明平分，即证明，通过题目中角度的和差运算可得；
（3）设出的度数，表示出的度数，找到等量关系，列出等式，求出未知数的值，即可．
【详解】（1）解：，相交于点，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
（3）解：，
设，则，
，
，，
，
，
，，三点在一条直线上，
，
解得：，
．
【题型3 垂线的画法】
【例3】（24-25七年级下·天津南开·开学考试）过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键．
根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解．
【详解】解：过直线外一点画的垂线，
只有D选项符合题意，
故选：D ．
【变式3-1】（24-25七年级下·天津南开·开学考试）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．点到的垂线段是线段 B．点到的距离是线段的长度
C．线段是点到的垂线段 D．线段是点到的距离
【答案】D
【分析】此题主要考查了垂线段，点到直线的距离，准确识图，熟练掌握点到直线的距离是解决问题的关键．根据垂线段，点到直线的距离逐项分析即可．
【详解】解：A．点到的垂线段是线段，正确，故选项不符合题意；
B．点到的距离是线段的长度，正确，故选项不符合题意；
C．线段是点到的垂线段，正确，故选项不符合题意；
D．点到的距离是线段的长度，不是线段，不正确，故选项符合题意；
故徐娜：D．
【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过点P分别画出的垂线（保留画图痕迹，不写画法）．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了作垂线，理解垂线的定义是解题关键．分别过图①，图②，图③的点P作的垂线即可．
【详解】解：过点P分别画出的垂线如下：
【变式3-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，用三角尺过点P作直线的垂线．
【答案】见解析
【分析】本题考查了本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线的能力．用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿直角边向画直线即可．
【详解】解∶如图，直线l即为所求．
【题型4 利用垂线、垂线段的性质解题】
【例4】（23-24七年级·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．过线段外一点不一定能作出它的垂线
B．过直线外一点和直线上一点可画一条直线与垂直
C．只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直
D．过任意一点均可作一条直线的垂线
【答案】D
【分析】根据垂线的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、过线段外一点一定能作出它的垂线，原说法错误，不符合题意；
B、过直线外一点和直线上一点不一定能画一条直线与垂直，原说法错误，不符合题意；
C、过任意一点都可以画一条直线和已知直线垂直，原说法错误，不符合题意；
D、过任意一点均可作一条直线的垂线，原说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，熟知过任意一点均可作一条直线的垂线是解题的关键．
【变式4-1】（23-24七年级·贵州六盘水·期中）六盘水市年初中毕业生体育考试实行综合性结构评价，现目标效果测试项目第一类：立定跳远（男、女），分值分．体育课上，老师正在给准备参加体育中考的学生模拟测试立定跳远，成绩的示意图如图，即的长为丽丽同学的跳远成绩，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．
根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．
【详解】解：的长为丽丽同学的跳远成绩，其依据是根据垂线段最短．
故选：C．
【变式4-2】（23-24七年级·广东广州·开学考试）如图是某同学在体育课上立定跳远测试留下的脚印，则她的跳远成绩为 米．
【答案】
【分析】本题考查的是点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则做出分析和判断．
【详解】解：根据题意以及生活常识可知，跳远的成绩为离起跳线较近的那只脚的后脚跟到起条线的距离．
∵点到直线的最短距离为垂线段．
∴跳远成绩为起跳线的垂线段米．
故答案为：
【变式4-3】（23-24七年级·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若 ，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质．
【详解】如图所示：
∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，，
∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为，
故选：A．
【题型5 认识“三线八角”】
【例5】（23-24七年级·广东潮州·期末）英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），下列字母中含同旁内角最多的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．根据同旁内角的定义进行选择即可．
【详解】解：A．字母A中含有4对同旁内角；
B．字母F中含有1对同旁内角；
C．字母M中含有0对同旁内角；
D．字母Z中含有0对同旁内角；
故选：A
【变式5-1】（23-24七年级·宁夏银川·期中）如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
(1)请指出的同旁内角与的内错角；
(2)若测得，，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
【答案】(1)的同旁内角是，，；的内错角是，；
(2)水下部分向上折弯了30度，理由见解析
【分析】本题考查同旁内角，内错角，角的计算，关键是掌握同旁内角，内错角的定义，邻补角的性质．
（1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案；
（2）由邻补角的性质求出的度数，由，即可得到答案．
【详解】（1）解：的同旁内角是，，；
的内错角是，；
（2）解：，
，
，
水下部分向上折弯了30度．
【变式5-2】（23-24七年级·广东珠海·期末）2024年香洲区举办了第六届风筝节．如图所示的风筝骨架中，与构成同旁内角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是同旁内角的定义，关键是知道哪两条直线被第三条直线所截．根据同旁内角的定义解答即可，即两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角．
【详解】解：与构成同旁内角的是．
故选：A．
【变式5-3】（23-24七年级·上海杨浦·期中）如图，和是直线 与直线 被直线 所截得到的 角．的内错角有 个，的同位角有 个．
【答案】a；c；d；内错；2；4
【分析】根据同位角，内错角的定义，依次判断，即可求解，
本题考查了，同位角，内错角，解题的额关键是：熟练掌握同位角，内错角的特征．
【详解】解：如图：设直线a与直线d相交于点A，直线b与直线c相交于点B，
和是直线a与直线c被直线d所截得到的内错角．的内错角是和，的同位角是，，，，共有3个，
故答案为：a；c；d；内错；2；4．
【题型6 相交线的规律探究问题】
【例6】（23-24七年级·贵州黔东南·期末）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点…按这样的规律若n条直线相交交点最多有28个，则此时n的值为（ ）
A．18 B．10 C．8 D．7
【答案】C
【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2＝3个交点、4条直线相交时最多有1+2+3＝6个交点，…；可知n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n﹣1＝ ，再将28代入计算即可．
【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；
3条直线相交时，最多有1+2＝3个交点；
4条直线相交时，最多有1+2+3＝6个交点；
…
n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n﹣1＝，
因为＝28时，故若有8条直线相交，最多有28个交点；
故选C．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n﹣1个是解题的关键．
【变式6-1】（23-24七年级·全国·单元测试）同一平面内条直线把平面分成两个部分（或区域）；条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？请分别画出图来．由此可知条直线最多可将平面分成几个部分？
【答案】条直线最多可将平面分成个部分；条直线最多可将平面分成个部分；条直线最多可将平面分成个部分；分别画出图见解析．由此可知条直线最多可将平面分成个部分
【分析】根据题意，画图分类讨论，由此即可求解．
【详解】解：条直线最多可将平面分成个部分，如图：
；条直线最多可将平面分成个部分，如图：
；条直线最多可将平面分成个部分，如图：
，
∴条直线最多分成可将平面分成个部分．
【点睛】本题主要考查平面内直线的位置关系的规律，掌握画图分类讨论，直线的位置关系的规律是解题的关键．
【变式6-2】（23-24七年级·贵州黔东南·阶段练习）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．
(1)图（1）中共有 对对顶角， 对邻补角．
(2)图（2）中共有 对对顶角， 对邻补角．
(3)图（3）中共有 对对顶角， 对邻补角．
(4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角．
(5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？
【答案】(1)2，4
(2)6，12
(3)12，24
(4)
(5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角
【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解．
（1）根据图形直接得出答案即可；
（2）根据图形直接得出答案即可；
（3）根据图形直接得出答案即可；
（4）由特殊情况总结出一般规律；
（5）再由（4）得出的规律进行解答即可．
【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角，
故答案为：2，4；
（2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角，
故答案为：6，12；
（3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角，
故答案为：12，24；
（4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角，
故答案为：，；
（5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角．
【变式6-3】（23-24七年级·全国·课后作业）观察下面表格，并阅读相关文字：
示意图 …
相交情况 1条直线与2条直线相交 1条直线与3条直线相交 1条直线与4条直线相交 …
同位角对数 （）对 （）对 （）对 …
内错角对数 （）对 （）对 （）对 …
同旁内角对数 （）对 （）对 （）对 …
则由上述规律可知：
(1)1条直线与6条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角；
(2)1条直线与n条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角；
(3)利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相交（不交于同一点），可构成同位角的对数是（ ）
A．12对 B．8对 C．6对 D．4对
【答案】(1)；
(2)
(3)A．
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角问题中的规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力．
（1）根据表格数据即可求解；
（2）根据表格数据即可确定一般规律；
（3）当条直线两两相交时，产生对同位角，据此即可求解．
【详解】（1）解：从表中的规律可知1条直线与6条直线产生：
对同位角，对内错角；
故答案为：；
（2）解： 1条直线与n条直线相交产生：
对同位角，对内错角；
故答案为：
（3）解：根据第（2）问的结论可知，
当条直线两两相交时，产生对同位角，
故当时，即：，产生对同位角．
故选：A．
【考点2 平行线】
（1）平行线
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”
（2）平行线的判定
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.
②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行）.
③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行）.
（3）平行线的性质
①两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
②两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
③两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型7 平行线的画法】
【例7】（23-24七年级·北京东城·期末）如图，平面内有两条直线l1，l2点A在直线l1上，按要求画图并填空：
（1）过点A画l2的垂线段AB，垂足为点B；
（2）过点A画直线AC⊥l1，交直线l2于点C；
（3）过点A画直线AD∥l2；
（4）若AB＝12，AC＝13，则点A到直线l2的距离等于 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）12．
【分析】（1）根据垂线段的定义画出即可；
（2）根据垂线的定义画出即可；
（3）根据平行线的定义画出即可；
（4）根据点到直线间的距离求解即可得到答案．
【详解】解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示；
（4）点到直线间的距离，即垂线段的长度，
所以，点A到直线l2的距离等于12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂线，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式7-1】（23-24七年级·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线 ，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（ ）
①沿直尺下移三角尺； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线．
A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②
【答案】B
【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可．
【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①，
故选：B．
【变式7-2】（23-24七年级·江西上饶·期末）如图，平面上有一条直线AB以及AB外一点P，请你只用一块含30°角的三角板经过P点画直线CD使CD∥AB，简单说明你的画法．
【答案】见解析
【分析】将三角板30°角的一边与直线AB重合，另一边过点P，沿着这边作直线EF，平移三角板，当30°角的顶点与点P重合时，沿着30°角的另一边画直线CD即可．
【详解】解：如下图所示，将三角板30°角的一边与直线AB重合，另一边过点P，沿着这边作直线EF，平移三角板，当30°角的顶点与点P重合时，沿着30°角的另一边画直线CD，根据同位角相等，两直线平行可得CD∥AB，
∴直线CD即为所求．
【点睛】此题考查的是作已知直线的平行线，掌握同位角相等，两直线平行是解决此题的关键．
【变式7-3】（23-24七年级·河北石家庄·期中）数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：
甲的画法：
①将含角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含角的三角尺的最短边紧贴； ②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则．
乙的画法：
①将含角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线作出一条最短边所在直线； ②再次将含角三角尺最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则．
请你判断两人的作图的正确性（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．两人都正确 D．两人都错误
【答案】C
【分析】根据平移的性质以及平行线的性质进行判断即可．
【详解】甲的画法依据是：同位角相等，两直线平行．
乙的画法依据是：内错角相等，两直线平行．
故选C
【点睛】此题主要考查了平行的画法，平行线的性质以及平移变换，正确应用平行线的性质是解题关键．
【题型8 平行线的三种判定方法】
【例8】（23-24七年级·陕西西安·期中）如图所示，与均为直角三角形，其中，，，点D在边上，，请判断两条斜边与的位置关系并证明．
【答案】，理由见详解
【分析】本题主要考查平行线的判定，涉及三角形内角和定理、三角形外角和以及平行线的判定，根据题意求得，和，即可判定，利用平行线的性质即可知．
【详解】解：，理由如下，
设与的交点为M，如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则．
【变式8-1】（23-24七年级·内蒙古包头·期末）如图，在中，，在的右侧作，试说明：．（请用两种方法解答）
【答案】解答详见解析
【分析】本题考查平行线的判定，涉及三角形内角和定理、平行线的判定定理：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键．
方法1：由内错角相等，两直线平行，即可证明问题；
方法2，由同旁内角互补，两直线平行，即可证明问题．
【详解】证明：方法1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
方法2，
∵，
∴，
∴．
【变式8-2】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行线的判定，涉及到对顶角性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．先根据三角形内角和定理以及对顶角的定义求出，再根据同旁内角互补，直线平行，即可证明结论．
【详解】证明： ，
，
，
，
，
，
．
【变式8-3】（23-24七年级·辽宁铁岭·期中）如图，已知，，，与平行吗？
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到是解题的关键．由，得到，继而，即可求证．
【详解】解：，理由如下，
证明，∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型9 平行线性质的应用】
【例9】（23-24七年级·广西贵港·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【变式9-1】（23-24七年级·山西朔州·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ．
【答案】/80度
【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式9-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质．先利用平行线的性质可得：，，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
∵，
，
∵，
，
，
，
，
故选：C．
【变式9-3】（23-24七年级·新疆喀什·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（ ）
A．先右转，再左转 B．先左转，再右转
C．先左转，再右转 D．先右转，再右转
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，根据题意画出图形是解答此题的关键．
根据题意画出图形，根据平行线的性质判定即可．
【详解】解：如图所示：
A、
故本选项错误；
B、
故本选项正确；
C、
故本选项错误；
D、
故本选项错误．
故选B．
【题型10 平行线之间的距离】
【例10】（23-24七年级·上海杨浦·期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线，点A、B在直线上，点C、D在直线上，与交于点E．与的面积相等吗？为什么？
解：作，垂足为，作，垂足为．
又因为（已知），
所以______（平行线间距离的意义）．
（完成以下说理过程）
【答案】相等，理由见解析．
【分析】作，垂足为，作，垂足为，根据平行线间间距相等得到，再根据三角形面积公式得到，进而可得．
【详解】解：相等，理由如下：
作，垂足为，作，垂足为．
又因为（已知），
所以（平行线间距离的意义）
因为，，
所以，所以，
所以，
所以与的面积相等．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线间间距相等是解题的关键．
【变式10-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，点在上，点在上，
∴的长度是到的距离，
故选：．
【变式10-2】（23-24七年级·上海长宁·期末）在梯形中，， 连接、， 已知梯形的面积为16，的面积为12，那么的面积 ．
【答案】4
【分析】本题考查了平行线间的距离处处相等，先根据题意得出的面积，即可求解．
【详解】解：∵梯形的面积为16，的面积为12，
∴的面积，
∵，
∴点B到的距离等于点C到的距离，
∴的面积的面积，
故答案为：4．
【变式10-3】（23-24七年级·湖南郴州·期末）如图， ， ， ，图中和面积相等的三角形有以下哪些三角形：
①；
②；
③；
④；
⑤．
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
【答案】C
【分析】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等．根据 ，， 平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高．
【详解】解：∵ ，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，
∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，
∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，
∴与面积相等，
∴
∴与面积相等的三角形为：、、，
故选：C．
【题型11 平行线的判定和性质的综合应用】
【例11】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键．
（1）要证明，可通过与互补求得，利用平行线的性质说明可得结论；
（2）要求的度数，可通过平角和求得，利用（）的结论及角平分线的性质求出及的度数即可．
【详解】（1）证明：∵，
，
．
∵，
．
∴；
（2）解：，
，
平分，，
．
∵，，
，
．
．
【变式11-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知点在上，点G在上，于点A，于点D，若，求的度数．
解：∵（ ），
∴ （ ），
∴ （ ），
∴（（ ），
又∵已知，
∴（ ），
∴ （ ），
∴ （ ），
∵（已知），
∴ ．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理，进行作答即可．
【详解】解：解：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵已知，
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴．
【变式11-2】（23-24七年级·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，．
(1)请对说明理由；
(2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；
（）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；
本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：理由如下：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵与底座都平行于地面，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式11-3】（23-24七年级·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可得；
（2）先证明，得到，则，再证明，得到，则，可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型12 平行线间多折点角度问题的探究】
【例12】（23-24七年级·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．
（1）过点P向右，则，得出，进而求出结论；
（2）过点P向右，则，得出，进而求出结论；
（3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论．
【详解】（1）解：过点P向右，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点P向右，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）过点P向左作，过N向左作，
∵，
∴，
与（2）同理，得，
依题意，设，
则 ．
∴，
∴ ．
【变式12-1】（23-24七年级·辽宁铁岭·期末）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、．
(1)如图1，直接写出之间的数量关系；
(2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数；
(3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．
（1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论；
（2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论；
（3）如图，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，过点作，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，
同理可得，，
，，
，
平分，平分，
，，
，
作，同理可得，；
（3）解：如图，过点作，
设，
，
平分，
，
，
，，
，
，
平分，
，
作，同理可得，．
【变式12-2】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和）
(1)如图1， 求证：；
(2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：；
(3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，等量代换得出，根据内错角相等、两直线平行，可得结论；
（2）过点F作，则，由平行线的性质得出，，等量代换可得结论；
（3）作，，由平行线的性质推出，设，则，进而得出，结合（2）中结论得出，将代入，可得，进而可得．
【详解】（1）证明： 平分，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点F作，
，，
，
，
，
，
又 ，
，
即；
（3）解：如图，作，，
由（1）知，
，
平分，平分，
，，
，
又 ，
，
，
；
，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
；
由（2）知，
，
即，
又 ，
，
整理得，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差关系，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质熟练进行等量代换．
【变式12-3】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知，，，点E、F为、之间的两点．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由；
(3)如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．
【答案】(1)；
(2)的度数是定值；
(3)．
【分析】（1）如图，过作，过作，证明，证明，，从而可得答案；
（2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再利用角的和差运算可得结论；
（3）如图，∵平分，平分，可得，，由三角形的内角和定理可得 ，结合（2）得：，从而可得．
【详解】（1）解：如图，过作，过作，
∵，
∴，而，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，是定值，理由如下：
如图，过作，过作，
∵，
∴，而，，
∴，，，
∴；
（3）解：如图，∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵由（2）得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键．
【考点3 平移】
【题型13 生活中的平移现象】
【例13】（23-24七年级·湖南长沙·期末）如图，用一个定滑轮带动重物上升，则重物上升运动过程的现象是 .(填 “平 移”或“旋转”)
【答案】平移.
【分析】根据平移的定义解答即可.
【详解】一个定滑轮带动重物上升，则重物上升运动过程的现象是平移.
故答案为平移.
【点睛】本题考查了平移的定义，熟知平移的性质是解决问题的关键.
【变式13-1】（23-24七年级·浙江温州·期中）下列运动属于平移的是（ ）
A．冷水加热过程中小气泡变成大气泡 B．乘电梯从一楼到十楼
C．随风飘动的树叶在空中的运动 D．钟表上走动的分针
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等，根据平移的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、冷水加热过程中小气泡变成大气泡不属于平移，故不符合题意；
B、乘电梯从一楼到十楼属于平移，故符合题意；
C、随风飘动的树叶在空中的运动不属于平移，故不符合题意；
D、钟表上走动的分针不属于平移，故不符合题意；
故选：B．
【变式13-2】（23-24七年级·广西河池·期中）现实世界中，平移现象无处不在，中国的方块字中有些也具有平移性，下列汉字是由平移构成的是（ ）
A．朋 B．磊 C．森 D．回
【答案】A
【分析】本题考查了平移的基本性质的运用，根据平移的基本性质，汉字只需由两或三个完全相同的部分组成即可．
【详解】解：根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字即可，
“朋”可以通过平移得到．
故选：．
【变式13-3】（23-24七年级·河南焦作·期中）在图示的汽车标志图案中，能用平移变换（不考虑颜色）来分析其形成过程的图案有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
【详解】解：根据平移的概念，观察图形可知图案第1，4个可以通过平移后得到．
共2个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，容易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选．
【题型14 平移作图】
【例14】（23-24七年级·山东滨州·期末）如图，图形在方格（小正方形的边长为个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．例如：点按“平移量”（向右平移个单位，向上平移个单位）可平移到点；点按“平移量”可平移到点．
(1)填空：点按“平移量”（________，________）可平移到点；
(2)若把图中三角形依次按“平移量”平移得到三角形．
①请在图中画出三角形（在答题卡上画图并标注）；
②观察三角形的位置，其实三角形也可按“平移量”（________，_______）直接平移得到三角形．
【答案】(1)，
(2)①作图见详解；②，
【分析】（1）根据材料提示的“平移量”的方法“左移为负，右移为正，上移为正，下移为负”，结合图形与坐标，由此即可求解；
（2）①将图形按平移量平移即可求解；②结合图示分析即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，点向右移动个单位，向上平移个单位可平移到点，
∴平移量为，
故答案为：，．
（2）解：①三角形依次按“平移量”平移得到三角形，即先向右移动个单位，向下平移个单位，再向左移动个单位，向上平移个单位得到三角形，如图所示，
②根据网格中三角形与三角形的位置可得，将三角形向右移动个单位，向下平移个单位得到三角形，
∴平移量为，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查图形平移的规律，理解图示，掌握平移的规律，平移作图的方法是解题的关键．
【变式14-1】（23-24七年级·浙江·期末）如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上．
(1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形．
(2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形．
【答案】(1)见解析
(2)3，右，4
【分析】本题考查了作图—平移，平移的性质；
（1）根据平移不改变图形的大小、形状和方向确定出点，的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据（1）中所作图形判断平移方式即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）由图可得：将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，
故答案为：3，右，4．
【变式14-2】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）在如图所示的位置．
(1)将向右平移4个单位，向下平移3个单位得，请在网格中直接作出；
(2)若连接，，则这两条线段的位置关系是 ；
(3)的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)平行
(3)4
【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，求三角形面积，熟知平移的相关知识是解题的关键．
（1）根据平移作图的方法，作图即可；
（2）根据平移的性质求解即可；
（3）利用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：由平移的性质可知，，
故答案为：平行；
（3）解：．
故答案为：4．
【变式14-3】（23-24七年级·浙江金华·期末）如图是正在进行的俄罗斯方块游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现出现一“T”形方块向下运动．
(1)若该“T”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（并画上阴影）．
(2)为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？（俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动．）
【答案】(1)图见解析
(2)在（1）的基础上，先再向右平移4个单位长度，再向下平移个单位长度
【分析】（1）根据平移的定义及性质即可解答；
（2）根据平移的定义及性质，俄罗斯方块的规则即可解答．
【详解】（1）解：∵该“T”形方块向下平移了个单位长度，
∴平移后的图形如图所示，
（2）解：∵俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动，
∴在（1）的基础上，先再向右平移4个单位长度，再向下平移个单位长度．
【点睛】本题考查了平移的定义及性质，掌握平移的性质是解题的关键．
【题型15 应用平移的性质解决实际问题】
【例15】（23-24七年级·湖南长沙·期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子．
【答案】 ② ① ③
【分析】要一次性通关，先推阻碍其它箱子的箱子，然后推动其它箱子即可．
【详解】要想使游戏一次性通关，则三个箱子要把右边的三个阴影位置占完，且每个箱子只能占一个位置；
观察三个箱子的位置，发现②号箱子会阻碍其余两个箱子的移动，因此要先推动②号箱子，其余两个箱子才能推动；然后推动①号箱子，最后推动③号箱子可以使得步数最少．
故答案为：②，①，③
【点睛】本题考查平移变换，解答本题的关键要明确推箱子游戏的规则．
【变式15-1】（23-24七年级·北京·阶段练习）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了生活中的平移现象．分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
【详解】解：利用平移的性质得：甲、乙、丙都可以变成边长为a和b的矩形，所用铁丝的长度都为：，
故．
故答案为：．
【变式15-2】（23-24七年级·重庆九龙坡·期中）某酒店准备进行装修，把楼梯铺上地毯．已知楼梯的宽度是米，楼梯的总长度为米，总高度为米，其侧面如图所示．已知这种地毯每平方米的售价是元．请你帮老板算下，购买地毯至少需要花费 元．
【答案】1400
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为8米，6米，
即可得地毯的长度为6+8=14（米），地毯的面积为14×2=28（平方米），
故买地毯至少需要28×50=1400（元）．
购买地毯至少需要1400元．
故答案为：1400．
【点睛】此题考查生活中的平移现象，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
【变式15-3】（23-24七年级·河南南阳·期末）如图所示，某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路(图中非阴影部分)，小明同学在假期沿着小路的中间行走(图中虚线)，小路宽1米，则小明同学所走的路径长为（ ）
A．98米 B．100米 C．123米 D．75米
【答案】A
【分析】由于小路宽1米，小明同学沿着小路的中间行走，则小明同学所走的路径长约为AB+BC+AD-1-1，代入计算即可．
【详解】解：由平移的性质可知，由于小路宽1米，
∴小明同学所走的路径长约为：AB+BC+AD-1-1=50+25+25-2=98(米)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，理解平移的意义，掌握平移的性质是解题的关键．
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