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专题2.1 二元一次方程组及其解法【十大题型】
【浙教版2024】
【题型1 二元一次方程（组）的概念】 2
【题型2 由二元一次方程组的解求参数】 3
【题型3 二元一次方程组的错解或遮挡复原问题】 4
【题型4 同解方程组】 5
【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】 5
【题型6 构造二元一次方程组求解】 6
【题型7 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】 6
【题型8 换元法解二元一次方程组】 7
【题型9 由二元一次方程组的解的情况求参数】 8
【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 8
知识点1：二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
【易错点剖析】
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【易错点剖析】
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.
【易错点剖析】
（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【易错点剖析】
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个.
【题型1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ．
【变式1-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-2】（22-23七年级下·吉林长春·期末）下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是 ．
【题型2 由二元一次方程组的解求参数】
【例2】（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么代数式的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【变式2-1】（2023·江苏无锡·一模）若二元一次方程组的解为，则 ．
【变式2-2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组中，的值与的值的和为3，则的值为 ．
【变式2-3】（22-23七年级下·重庆开州·期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点2：二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
【易错点剖析】
(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
【易错点剖析】
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.
【题型3 二元一次方程组的错解或遮挡复原问题】
【例3】（23-24七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了和两数，则这两数分别为（ ）
A．6和4 B．10和0 C．2和 D．4和2
【变式3-1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则 ．
【变式3-2】（22-23七年级下·河南洛阳·期末）已知是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【变式3-3】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值．
【题型4 同解方程组】
【例4】（22-23八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同，则的值为 ．
【变式4-1】（23-24七年级下·四川遂宁·期中）已知方程组 与 有相同的解，则的值为 ．
【变式4-2】（17-18七年级·湖北十堰·期中）已知方程组和方程组的解相同，则b﹣2a的值是 ．
【变式4-3】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x 、y的方程组和的解相同，求 的值．
【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】
【例5】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶
二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解．
(1)判断二元一次方程组的解的情况：___________；判断二元一次方程组的解的情况：___________．
(2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下．
解方程组：
解：由①得，代入②得，得
【变式5-1】（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）二元一次方程的解的情况是（ ）
A．无解 B．有且只有一组解 C．有两组解 D．有无数组解
【变式5-2】（22-23七年级下·广西贵港·期中）二元一次方程组的解的情况是（ ）
A．无解 B．有无数组解 C．有两组解 D．只有一组解
【变式5-3】（19-20六年级下·上海静安·课后作业）对于方程2x+5y=19的解的情况分析正确的是 （ ）
A．这个方程只有有限个解 B．这个方程只有有限个整数解
C．这个方程只有有限个正整数解 D．以上说法都不对
【题型6 构造二元一次方程组求解】
【例6】（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）关于x，y的二元一次方程，当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（18-19七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如果（x+y-5）2与│3y-2x+10│互为相反数，那么x、y的值为（ ）
A．x=3，y=2 B．x=2，y=3 C．x=0，y=5 D．x=5，y=0
【变式6-2】（17-18七年级下·全国·单元测试）已知－y2m－5xn＋1与xm＋2yn－2是同类项，则m－n等于( )
A．－1 B．1 C．－7 D．7
【变式6-3】（2020九年级·山东·专题练习）对于实数、，定义关于“”的一种运算：，例如．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【题型7 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】
【例7】（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 .
【变式7-1】（18-19七年级下·广东江门·阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解是
【变式7-2】（19-20七年级下·湖北武汉·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ．
【变式7-3】（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程的解如表：
x … 0 1 …
y … 4 2 …
关于x，y的二元一次方程的解如表：
x … 0 1 …
y … 4 1 …
则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
【题型8 换元法解二元一次方程组】
【例8】（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务．
善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把看成一个整体，设，．
原方程组可化为，解得原方程组的解为．
任务：
(1)方程组的解是，则方程组的解是______；
(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组．
【变式8-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）利用换元法解下列方程组：
(1)；
(2)．
【变式8-2】（22-23七年级下·浙江杭州·期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组．
【变式8-3】（22-23八年级上·山东济南·期中）利用换元法解下列方程组：
(1)
(2)
【题型9 由二元一次方程组的解的情况求参数】
【例9】（23-24七年级下·湖南永州·期末）无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ．
【变式9-1】（21-22七年级下·福建厦门·期中）关于x，y的二元一次方程，当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是 ．
【变式9-2】（20-21六年级下·上海浦东新·期中）k、b为何值时，关于x、y方程组有唯一解？无解？有无数解？
【变式9-3】（16-17七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，的方程组
（1）请写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数的值．
【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】
【例10】（22-23八年级上·四川雅安·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ．
【变式10-1】（20-21八年级上·山西太原·阶段练习）若方程，与有公共解，则 ．
【变式10-2】（2023八年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组（k为常数）
(1)若方程组的解是，则k的值为 ；
(2)若方程组的解满足，则k的值为 ；
(3)当k每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一组公共解，请直接写出这组公共解．
【变式10-3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）如果关于未知数x和y的二元一次方程组 的解满足：，那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（ ）
A． B． C． D．
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专题2.1 二元一次方程组及其解法【十大题型】
【浙教版2024】
【题型1 二元一次方程（组）的概念】 2
【题型2 由二元一次方程组的解求参数】 4
【题型3 二元一次方程组的错解或遮挡复原问题】 8
【题型4 同解方程组】 10
【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】 12
【题型6 构造二元一次方程组求解】 15
【题型7 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】 17
【题型8 换元法解二元一次方程组】 20
【题型9 由二元一次方程组的解的情况求参数】 24
【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 27
知识点1：二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
【易错点剖析】
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【易错点剖析】
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.
【易错点剖析】
（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【易错点剖析】
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个.
【题型1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程．
根据二元一次方程的定义，求出m和n的值，代入进行计算即可．
【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：2．
【变式1-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据二元一次方程组的定义求解即可．
【详解】、是二元一次方程组，共2个，
故选：A．
【变式1-2】（22-23七年级下·吉林长春·期末）下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义判断即可，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程是二元一次方程．
【详解】解：A．只有一个未知数，故A选项不符合题意；
B．，B选项符合题意；
C．不是方程，故C选项不符合题意；
D．的次数是2，故D选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程的解，根据题意，写出满足题意的，的系数，再把代入，验证的值，即可．
【详解】解：由题意得，的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，
∴满足题意，
∵，是这个二元一次方程的解，
∴当时，，
解得：，
∴符合题意．
故答案为：（答案不唯一）．
【题型2 由二元一次方程组的解求参数】
【例2】（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么代数式的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将代入方程组，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再代入代数式进行求解即可．
【详解】解：把，代入，得：，
解得：，
∴；
故选：B．
【变式2-1】（2023·江苏无锡·一模）若二元一次方程组的解为，则 ．
【答案】
【分析】把、的值代入方程组，再将两式相加即可求出的值．
【详解】解：将代入方程组，
得：，
得：，，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出的值．
【变式2-2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组中，的值与的值的和为3，则的值为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：将和联立，
，
解得，
将代入，
，
解得，
故答案为：．
【变式2-3】（22-23七年级下·重庆开州·期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，得到，解得，故②正确；根据，，得到，得到，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确．
【详解】解：将代入原方程组得，
解得，
将代入方程左右两边，
左边，右边，
∴当时，方程组的解也是的解，故①正确；
方程组 得，
若，则，解得，故②正确；
∵，，
∴两方程相加得，
∴，
∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；
∵，
∴x，y都为自然数的解有共5对，
故④正确．
故选：D
【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键．
知识点2：二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
【易错点剖析】
(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
【易错点剖析】
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.
【题型3 二元一次方程组的错解或遮挡复原问题】
【例3】（23-24七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了和两数，则这两数分别为（ ）
A．6和4 B．10和0 C．2和 D．4和2
【答案】C
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，把＝代入方程组第二个方程求出的值，确定出＋的值即可．
【详解】解：把代入中得：，
，
则这两个数分别为和，
故选：C．
【变式3-1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出的值代入计算即可
【详解】解：把代入方程组得，
∵是方程的一组解，
∴，
联立①②③，并解得，
∴，
故答案为：7．
【变式3-2】（22-23七年级下·河南洛阳·期末）已知是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【答案】
【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，
∵这个方程组的解是，
∴，
∴．
∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是，
∴，
∴，
解得：．
∴原方程组为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解以及解法，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键．
【变式3-3】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值．
【答案】0
【分析】将代入方程组的第二个方程，将代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
【详解】解：把 代入，得
，
∴，
把 代入，得
，，
∴，
∵．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．求出a、b值是解题的关键．
【题型4 同解方程组】
【例4】（22-23八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先求出x和y的值，再代入求出m，n的值再求解；
【详解】解：方程组，
解之得，
代入得，
代入得，
故
【变式4-1】（23-24七年级下·四川遂宁·期中）已知方程组 与 有相同的解，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是同解二元一次方程组的问题，二元一次方程组的解法，掌握利用方程组同解构建新的方程组是解题的关键．由方程组同解可得：，解方程组求解，再把求得的的值代入另外两个方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意：和 有相同的解，
可得：，
得：，
∴，
将代入①，得，
所以方程组的解：，
∴，
两个方程相加可得：，
∴．
故答案为：
【变式4-2】（17-18七年级·湖北十堰·期中）已知方程组和方程组的解相同，则b﹣2a的值是 ．
【答案】-3
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组求出x与y的值，代入剩下的方程求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】联立得：，
①+②得：5x＝10，即x＝2，
把x＝2代入①得：4+5y＝﹣26，
解得：y＝﹣6，
代入得：，
解得：a＝1，b＝﹣1，
则原式＝﹣1﹣2＝﹣3，
故答案为﹣3．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
【变式4-3】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x 、y的方程组和的解相同，求 的值．
【答案】1
【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值，根据两个方程组的解相同可得，解得，再代入，求得，，最后代入求解即可．
【详解】解：由题意得，，
由得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴方程组的解集为，
把代入得，，
由得，，
把代入③得，，
解得，
∴ ．
【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】
【例5】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶
二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解．
(1)判断二元一次方程组的解的情况：___________；判断二元一次方程组的解的情况：___________．
(2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下．
解方程组：
解：由①得，代入②得，得
【答案】(1)有无数个解；有唯一解
(2)见解析
【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义；
（1）根据二元一次方程组的解与系数的关系求解即可；
（2）根据（1）的结论可知，原方程组无解，所以出现错误．
【详解】（1）解：对于第一个二元一次方程组，
，，，由于，
所以该方程组有无数个解；
对于第二个二元一次方程组，
，，，由于，
所以该方程组有唯一解．
（2）解：∵
∴二元一次方程组无解，故小明出现错误．
【变式5-1】（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）二元一次方程的解的情况是（ ）
A．无解 B．有且只有一组解 C．有两组解 D．有无数组解
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的解，根据任意二元一次方程都无数个解即可得解．
【详解】解：任意二元一次方程都无数个解即可得解，
例如：二元一次方程的解有：
，，，……
只需任取一个x的值，求出相应的y即可得到其中一个解．
故选：D．
【变式5-2】（22-23七年级下·广西贵港·期中）二元一次方程组的解的情况是（ ）
A．无解 B．有无数组解 C．有两组解 D．只有一组解
【答案】D
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元法解二元一次方程组．利用解二元一次方程组的一般步骤，解方程组，根据所求答案，进行解答即可．
【详解】解：，
②①得：，
把代入①得：，
方程组的解为：，
二元一次方程组只有一组解，
故选：D
【变式5-3】（19-20六年级下·上海静安·课后作业）对于方程2x+5y=19的解的情况分析正确的是 （ ）
A．这个方程只有有限个解 B．这个方程只有有限个整数解
C．这个方程只有有限个正整数解 D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】可用含y的代数式表示出x，再分析取值进行讨论即可．
【详解】解：A：二元一次方程有无数个解，此选项错误；
∵，
∴，
∴当y为奇数时，x为整数，
∴方程2x+5y=19有无数个整数解，
∴B选项错误；
∴方程2x+5y=19的正整数解有或，只有两个，
∴C选项正确；
D.因为C正确，所以D的说法是错误的.
故答案是：C.
【点睛】本题主要考查二元一次方程解的概念及整数解、正整数解的情况，用含y的式子表示出x进行讨论是解题这类问题的思路．
【题型6 构造二元一次方程组求解】
【例6】（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）关于x，y的二元一次方程，当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如果当a取一个确定的值时就得到一个方程，这些方程有一个公共解，说明无论a取何值，都不影响方程，即含a的项的系数相加为0．
【详解】解：方程整理为，
即．
根据题意，即可得
，
用加减消元法解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，应注意思考：由于a可取任何数，要想让当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，就需让含a的项的系数相加为0，此时即可得到关于x和y的方程组．
【变式6-1】（18-19七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如果（x+y-5）2与│3y-2x+10│互为相反数，那么x、y的值为（ ）
A．x=3，y=2 B．x=2，y=3 C．x=0，y=5 D．x=5，y=0
【答案】D
【分析】根据相反数的意义可得关于x、y的二元一次方程，继而根据非负数的性质可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可.
【详解】∵(x+y-5)2与│3y-2x+10│互为相反数，
∴(x+y-5)2+│3y-2x+10│=0，
∴，
解得，
故选D.
【点睛】本题考查了相反数的意义，非负数的性质，解二元一次方程组等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
【变式6-2】（17-18七年级下·全国·单元测试）已知－y2m－5xn＋1与xm＋2yn－2是同类项，则m－n等于( )
A．－1 B．1 C．－7 D．7
【答案】A
【分析】根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同)列出方程，求出m、n的值，再代入m-n计算即可.
【详解】解：由题意，得：
解得：
∴m-n=4-5=-1.
故选A.
【点睛】本题考查了同类项和解二元一次方程组，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点.
【变式6-3】（2020九年级·山东·专题练习）对于实数、，定义关于“”的一种运算：，例如．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）5；（2）
【分析】(1)利用题目中的新定义进行计算即可；
(2)根据新定义，对式子进行化简后得到二元一次方程，求解该方程组即可.
【详解】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝；
故答案为：5.
（2）根据题中的新定义化简得：，
两式相加得：，
则．
故答案为：.
【点睛】本题借助新定义题型考查了二元一次方程组的解法，新定义题型就按照题目的意思来进行计算即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解法.
【题型7 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】
【例7】（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 .
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出关于、的方程组，进而得出答案．
【详解】解：关于关于、的二元一次方程组的解是，
方程组中，
解得：．
故答案为：．
【变式7-1】（18-19七年级下·广东江门·阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解是
【答案】
【分析】先观察两方程组的特点,由于两方程组的形式相同,故可用换元法把它们化为同一方程组,再令其解相同即可
【详解】令x+1=m,y-2=n,
∴方程组 可化为
∵方程组 的解是
∴x+1=2,y-2=-1,
解得
【点睛】此题考查二元一次方程组的解，解题关键在于令x+1=m,y-2=n,再代入方程组.
【变式7-2】（19-20七年级下·湖北武汉·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ．
【答案】
【分析】利用换元法解二元一次方程组即可．
【详解】将方程组变形为
令
则方程组可变形为
由题意得：
解得：
则方程组的解为
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用换元法解二元一次方程组，主要解法包括：加减消元法、代入消元法、换元法等，掌握解法是解题关键．
【变式7-3】（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程的解如表：
x … 0 1 …
y … 4 2 …
关于x，y的二元一次方程的解如表：
x … 0 1 …
y … 4 1 …
则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【分析】此题考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，解题的关键是能通过两个表格将关于x，y的二元一次方程组变为，解方程组即可得出答案．
【详解】解：∵从第一个表格中可知，当时，，时，，
∴，
解得：，
把代入得：
，
整理得：，
∵从第二个表格中可知，当时，，时，，
∴，
解得：，
把代入得：
，
整理得：，
①和②组成方程组，
解得：
故答案为：．
【题型8 换元法解二元一次方程组】
【例8】（23-24七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务．
善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把看成一个整体，设，．
原方程组可化为，解得原方程组的解为．
任务：
(1)方程组的解是，则方程组的解是______；
(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组．
【答案】(1)
(2)．
【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可．
【详解】（1）解：∵方程组的解是，
∴，
解得：；
故答案为：；
（2）解：对于，令，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
解得：．
【变式8-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）利用换元法解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法．
（1）设，，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解；
（2）设，，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解．
【详解】（1）解：，
设，，则原方程组可化为，
得，解得，
将代入②，得，解得，
解得，即，
解得；
（2）解：，
设，，则原方程组可化为，
得，解得，
将代入②，得，解得，
解得，即，
解得．
【变式8-2】（22-23七年级下·浙江杭州·期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组．
【答案】
【分析】利用换元法解方程组即可．
【详解】解：令，，
原方程组可化为：，
得，，即，
得，，即，
∴
原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．
【变式8-3】（22-23八年级上·山东济南·期中）利用换元法解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 令，，原方程组变形为，解得，还原方程组得，求解即可．
(2)令仿照原题的解法求解即可．
【详解】（1）令，，
方程组变形为，
解得，
所以，
解得
∴原方程组的解为．
（2）令
原方程组化为
解得，
把代入
得,
解得·
【点睛】本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．
【题型9 由二元一次方程组的解的情况求参数】
【例9】（23-24七年级下·湖南永州·期末）无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组有解是解题的关键．
将两个方程相减可得，即，由无论m为何值，方程组都有解，可得，，即可求解．
【详解】解：，
，得，
即
∴，
∵无论m为何值，方程组都有解，
∴，即，
且，
∴．
故答案为：6
【变式9-1】（21-22七年级下·福建厦门·期中）关于x，y的二元一次方程，当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是 ．
【答案】
【分析】根据方程的解与k无关，可得方程组，解方程组即可得答案；
【详解】解：原方程可变形为：，
根据题意可知，该方程的解与k值无关；
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，利用方程的解与k无关得出方程组是解题的关键．
【变式9-2】（20-21六年级下·上海浦东新·期中）k、b为何值时，关于x、y方程组有唯一解？无解？有无数解？
【答案】当时，方程组有唯一解；当，时，方程组无解；当，时，方程组有无数解．
【分析】两式作差，得到关于x的方程，确定此方程解得情况即可．
【详解】解：
可得：，化简可得：
（1）当时，即，方程有唯一解，即方程组有唯一解；
（2）当，时，即，，方程无解，即方程组无解；
（3）当，时，即，，方程有无数解，即方程组有无数解；
综上，当时，方程组有唯一解；当，时，方程组无解；当，时，方程组有无数解．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解方法．
【变式9-3】（16-17七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，的方程组
（1）请写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数的值．
【答案】(1); ;(2);(3)x=0,y=;(4)2或-6.
【分析】（1）由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项，再把x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0，根据以上两个条件可夹出合适的x值,从而代入方程得到相应的y值；
（2）由方程组求得x，y的值，代入方程即可求得m的值；
（3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程总有一个固定的解，列出方程组，求出方程组的解即可．
（4）先把m当作已知求出x、y的值，再根据方程组有正整数解，进行判断，再找出符合条件的正整数m的值即可．
【详解】试题分析：
试题解析（1）由已知方程x+2y=5，移项得x=5-2y，
∵x，y都是正整数，则有x=5-2y＞0，又∵x＞0，
∴0＜y＜2.5，
又∵y为正整数，根据以上条件可知，合适的y值只能是y=1、2，
代入方程得相应x=3、1，
∴方程2x+y=5的正整数解为；
(2) ∵x+y=0
∴x+2y=5变为y=5
∴x=-5
将代入得.
(3) ∵由题意得二元一次方程总有一个公共解
∴方程变为(m+1)x-2y+9=0
∵这个解和m无关，
∴x=0，y=
(4) 将方程组两个方程相加得
∴
∵方程组有整数解且m为整数
∴，，
①m+2=1，计算得：（不符合题意）
②m+2=-1，计算得：（不符合题意）
③m+2=2，计算得：（不符合题意）
④m+2=-2，计算得：（不符合题意）
⑤m+2=4，计算得：（符合题意）∴m=2
⑥ m+2=-4，计算得：（符合题意）∴m=-6
【点睛】考查了二元一次方程的解，首先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值是解答此题的关键．
【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】
【例10】（22-23八年级上·四川雅安·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ．
【答案】
【分析】先用含k的式子表示x、y，根据方程组的解也是二元一次方程的解，即可求得k的值．
【详解】解：
解方程组得，，
因为方程组的解也是二元一次方程的解，
所以，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程与方程组的解的意义，深刻理解定义是解答关键．
【变式10-1】（20-21八年级上·山西太原·阶段练习）若方程，与有公共解，则 ．
【答案】
【分析】先求出方程组，的解，代入方程即可求解．
【详解】解：∵方程组的解为：
又方程，与有公共解，
∴将代入得：
解得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，二元一次方程的解的定义，解题的关键是理解三个方程有公共解的含义．
【变式10-2】（2023八年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组（k为常数）
(1)若方程组的解是，则k的值为 ；
(2)若方程组的解满足，则k的值为 ；
(3)当k每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一组公共解，请直接写出这组公共解．
【答案】(1)
(2)7
(3)
【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解一元一次方程，关键是理解二元一次方程组的解．
（1）将方程组的解代入方程中求解即可；
（2）解方程组，再将解代入中求解即可；
（3）将整理为，当时求解即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得：，
故答案为：．
（2）解：∵方程组的解满足，
即方程组与的解相同；
解方程组，
得：，
解得：，
将代入①解得：，
故方程组的解为，
将代入得，
解得：，
故答案为：7．
（3）解：将方程整理为：，
当时，代入求得，
即，
∴公共解为．
【变式10-3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）如果关于未知数x和y的二元一次方程组 的解满足：，那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，换元法解二元一次方程组是解题的关键．由得，令，，得，此时，则，即可求解 ．
【详解】解：由得，
令，，
将可变为，
∵如果关于未知数x和y的二元一次方程组 的解满足： ，
∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足 即，
故选：B ．
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