1.5 平行线的性质 培优练习（含答案）

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1.5平行线的性质培优练习浙教版2024—2025学年七年级下册
一．选择题
1．如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠B＝112°，则∠D的大小为（　　）
A．68° B．72° C．78° D．82°
2．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　）
A．48° B．58° C．60° D．69°
3．如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠1＝63°，则∠2＝（　　）
A．143° B．147° C．153° D．157°
4．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（　　）
A．58° B．48° C．26° D．32°
5．如图，直线l1∥l2，线段AB交l1，l2于D，B两点，过点A作AC⊥AB交直线l1于点C，若∠1＝15°，则∠2＝（　　）
A．105° B．115° C．100° D．95°
二．填空题
6．如图，∠1﹣∠2＝72°．若l1∥l2，则∠ABC＝ 　 　°．
7．如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　 　．
8．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝35°，∠3＝165°，则∠2的度数为 　 　．
9．如图，AB∥CD，，，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为：　 　．
10．如图，一束平行主光轴EF的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线为BF，一束光线CO经过光心O，其折射光线为OD，折射光线BF与OD交于P点，点F为焦点，若∠ABF＝145°，∠COE＝30°，则∠DPF＝ 　 　．
三．解答题
11．如图，EF∥CD，∠1＝140°，∠2＝40°．
（1）试说明：DG∥AC；
根据题图，在下列解答中，给①、②处填上适当的理由．
解：∵EF∥CD（已知），
∴∠1+∠ACD＝180°（①　 　），
∵∠1＝140°（已知），
∴∠ACD＝40°（等式的性质），
∵∠2＝40°（已知），
∴∠ACD＝∠2（等量代换），
∴DG∥AC（②　 　）．
（2）若DG平分∠CDB，求∠A的度数．
12．如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE．
（1）求证：DF∥BC；
（2）若∠1＝72°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
13．已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF＝α．
（1）如图1，若α＝80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数；
（2）如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，，，∠DFM＝20°，求∠ENF的度数；（结果可用含α的式子表示）
（3）如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分∠AEM交FP于点G，2∠ENF+∠EMF＝110°，求∠CFN的度数．
14．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠DEF＝∠B，DE∥BC．
（1）求证：∠BDC＝∠DFE；
（2）若DE平分∠ADC，∠BDC＝2∠B，求∠BDC的度数．
15．如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣8|+（b﹣2）2＝0．
（1）a＝ 　 　，b＝ 　 　；
（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．
（3）若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ第一次到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 A D C A A
二、填空题
6．【解答】解：延长AB交直线l2于点F，设BC与直线l2交于点G，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠AFG，
∵∠1是△BFG的一个外角，
∴∠FBG＝∠1﹣∠AFG＝∠1﹣∠2，
∵∠1﹣∠2＝72°，
∴∠FBG＝72°，
∴∠ABG＝180°﹣∠FBG＝108°，
故答案为：108．
7．【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠BOF＝∠1＝60°，
∵CD∥EF，
∴∠COF＝180°﹣∠3＝180°﹣140°＝40°，
∴∠2＝∠BOF﹣∠COF＝60°﹣40°＝20°，
故答案为：20°．
8．【解答】解：工作篮底部AB与支撑平台CD平行，如图，过E点作EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠3+∠GEF＝180°，∠FEH＝∠1＝35°，
∴∠GEF＝180°﹣∠3＝180°﹣165°＝15°，
∵∠GEH＝∠GEF+∠FEH＝15°+35°＝50°，
∴路政工程车的工作示意图中∠2的度数为50°，
故答案为：50°．
9．【解答】解：过点F作FT∥CD，过点Q作QK∥AB
∵AB∥CD，
∴CD∥FT∥QK∥AB，
∴∠DFT＝∠CDF，∠TFB＝∠ABF，∠DQK＝∠GDQ，∠KQB＝∠QBH，
∴∠DFB＝∠DFT+∠TFB＝∠CDF+∠ABF∠DQB＝∠DQK+∠KQB＝∠GDQ+∠QBH，
∵，
∴，
∴，
∵DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，
∴，
∵∠GDE+∠CDE＝180°，∠HBE+∠ABE＝180°，
∴，
∴∴，
∴，
故答案为：．
10．【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠ABF+∠BFE＝180°．
又∵∠ABF＝145°，
∴∠BFE＝35°．
又∵光线CO经过光心O，且∠COE＝30°，
∴∠POF＝∠COE＝30°，
∴∠DPF＝∠BFE+∠POF＝65°．
故答案为：65°．
三、解答题
11．【解答】解：（1）∵EF∥CD（已知），
∴∠1+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1＝140°（已知），
∴∠ACD＝40°（等式的性质），
∵∠2＝40°（已知），
∴∠ACD＝∠2（等量代换），
∴DG∥AC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；
（2）∵DG平分∠CDB，∠2＝40°，
∴∠2＝∠BDG＝40°，
∵DG∥AC，
∴∠A＝∠BDG＝40°．
12．【解答】（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠AFD＝∠FDE，
∵∠AFD＝∠1，
∴∠1＝∠FDE，
∴DF∥BC；
（2）解：∵∠1＝∠FDE，∠1＝72°，
∴∠FDE＝72°，
∵DF平分∠ADE，
∴∠FDE＝∠ADF＝72°，
∵DF∥BC，
∴∠B＝∠ADF＝72°，
∴∠B的度数为72°．
13．【解答】解：（1）如图，过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠BEM＝∠NME，∠DFM＝∠NMF，
∵∠EMF＝α＝80°，
∴∠NME+∠NMF＝80°，
∴∠BEM+∠DFM＝80°；
（2）∵，∠DFM＝20°，
∴∠MFN＝10°，∠DFN＝30°，
∵∠BEM+∠DFM＝α，
∴∠BEM＝α﹣20°，
∵，
∴∠MEN＝3∠BEM＝3α﹣60°，
∴∠EGF＝∠BEM+∠DFG＝α﹣20°+30°＝α+10，
∴∠EGN＝180°﹣∠EGF＝170°﹣α，
∴∠ENF＝180°﹣∠MEN﹣∠EGN
＝180°﹣（3α﹣60°）﹣（170°﹣α）
＝70°﹣2α；
（3）方法一：∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α，
∴，
（Ⅰ）如图3，当时，
设∠PFN＝x，则∠CFP＝2x＝∠DFM，∠CFN＝3x，
∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α，
∴∠BEM＝α﹣2x，
∴∠AEM＝180°﹣α+2x，
∵EN平分∠AEM，
∴，
∴∠1＝180°﹣∠ENF﹣∠NFP，
∵∠1+∠2＝180°，
∴，
∵∠2+∠MEN+∠EMF＝180°，
∴，
解得x＝17.5°，
∴∠CFN＝3x＝52.5°；
（Ⅱ）如图4，当时，
设∠CFP＝x，则∠PFN＝2x，∠CFN＝3x，
∴∠DFM＝∠CFP＝x，
∵∠MFD+∠BEM＝α，
∴∠BEM＝α﹣x，
∴∠AEM＝180°﹣α+x，
∵EN平分∠AEM，
∴，
∵∠ENF+∠NFP+∠1＝180°，
∴，
∴，
∵∠2+∠MEN+∠EMF＝180°，
∴，
解得x＝14°，
∴∠CFN＝3x＝42°；
综上，∠CFN的度数为52.5°或42°．
方法二：设∠CFN＝x，
（Ⅰ）如图3，当时，
∴，
∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α，
∴，
∴，
∵EN平分∠AEM，
∴，
∴∠2＝180°﹣∠EMF﹣∠MEN，
∵∵∠1+∠2＝180°，
∴，
∴，
∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α，
即，
解得x＝52.5°，
即∠CFN＝52.5°；
（Ⅱ）如图4，当时，
∴，
∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α，
∴，
∴，
∵EN平分∠AEM，
∴，
∴，
∵∠1+∠2＝180°，
∴，
∴，
∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α，
即，
解得x＝42°，
即∠CFN＝42°；
综上，∠CFN的度数为52.5°或42°．
14．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠ADE＝∠DEF，
∴AD∥EF，
∴∠BDC＝∠DFE；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADC＝2∠B，
∵∠BDC＝2∠B，∠BDC+∠ADC＝180°，
∴2∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝45°，
∴∠BDC＝2∠B＝90°．
15．【解答】解：（1）∵|a﹣8|+（b﹣2）2＝0，|a﹣8|≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a﹣8＝0，b﹣2＝0，
∴a＝8，b＝2，
故答案为：8；2；
（2）设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直，
如图，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∵PQ∥MN，
∴∠ABQ+∠BAM＝180°，
∴∠OBQ+∠OAM＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠OBQ＝2t°，∠OAM＝8t°，
∴2t+8t＝90，
∴10t＝90，
∴t＝9，
∴至少旋转9秒时，射线AM、射线BQ互相垂直；
（3）设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
如图，射线AM绕点A顺时针先转动15秒后，AM转动至AM′的位置，则∠MAM′＝15×8＝120°，
∴∠M′AB＝180°﹣45°﹣120°＝15°；
分两种情况：
①当时，∠QBQ′＝2t°，∠M′AM″＝8t°，
∵PQ∥MN，
∴∠BAN＝45°＝∠ABQ，
∴∠ABQ′＝45°﹣2t°，∠BAM″＝∠M′AM″﹣∠M′AB＝8t°﹣15°，
当∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM″，
∴45﹣2t＝8t﹣15，
∴10t＝60，
解得t＝6；
②当7.5＜t＜13.125时，∠QBQ′＝2t°，∠NAM″＝8（t﹣7.5）°＝8t°﹣60°，
∴∠ABQ′＝45°﹣2t°，∠BAM″＝45°﹣（8t°﹣60°）＝105°﹣8t°，
当∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM″，
此时，45﹣2t＝105﹣8t，
∴6t＝60，
解得t＝10；
综上所述，射线AM再转动6秒或10秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
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