中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 二元一次方程组单元测试培优卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 怀化期末）下列选项是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
【解析】．，不是等式，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．中含未知数项的次数是2，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．含3个未知数，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选．
2．（2024秋 榆林期末）若是关于，的二元一次方程的解，则的值为
A．2 B．1 C． D．
【答案】
【分析】将代入关于，的二元一次方程，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案．
【解析】将代入关于，的二元一次方程，
可得，
解得．
故选．
3．（2024秋 贵州期末）解二元一次方程组，用代入消元法消去，得到的方程是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】将①变形代入②即可消去，得到方程．
【解析】将变形为，
将其代入可得：，
即．
故选．
4．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是
A．由①②，可以消去 B．由①②，可以消去
C．由①②，可以消去 D．由①②，可以消去
【答案】
【分析】观察字母系数，化为相同或者互为相反数再使用减法或者加法消元即可．
【解析】根据加减消元法可知：
①②，可以消去，
①②，可以消去．
故选．
5．（2024秋 石狮市期末）在代数式中，当分别取，，，1，2，3时，对应代数式的值如表：
1 2 3
3 5 7
则的值为
A．3 B．7 C． D．
【答案】
【分析】根据题意列得二元一次方程组，解得，的值后代入中计算即可．
【解析】由题意得，
解得：，
则，
故选．
6．（2025 池州开学）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】
【分析】将二元一次方程组的解代入，得到关于的一元一次方程并求解即可．
【解析】，
①②，得，
解得③，
将③代入②，得，
解得，
原二元一次方程组是解为，
，
，
．
故选．
7．已知是三元一次方程组的解，那么的值为
A． B．6 C．9 D．18
【答案】
【分析】把代入方程组中得：，然后利用整体的思想进行计算，即可解答．
【解析】把代入方程组中得：，
①②③得：，
解得：，
故选．
8．（2024秋 府谷县期末）已知关于，的二元一次方程组和关于，的二元一次方程组有相同的解，则的平方根为
A．4 B． C． D．
【答案】
【分析】由题意可得，解得，的值后分别代入及中求得，的值，然后求得的值后求得其平方根即可．
【解析】由题意得，
解得：，
则，，
解得：，，
那么，其平方根为，
故选．
9．（2024秋 平顶山期末）用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺．这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设这根绳子有尺，环绕大树一周需要尺，根据题意列方程组为
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】设这根绳子尺，绕大树一周需要尺．等量关系：①环绕大树3周，则绳子还多4尺；②环绕大树4周，则绳子少了3尺．根据等量关系列方程求解即可．
【解析】根据题意，得
．
故选．
10．（2024秋 大足区期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，则结论正确的个数为
①，；
②若，、均取整数，则或或或；
③若，，对任意有理数、都成立（这里和均有意义），则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】
【分析】①根据规定及，得，，由此解出，，进而可对结论①进行判断；
②由①可知，则，则，再根据、均取整数得，，3，，由此解出，，进而可对结论②进行判断；
③由①可知，则，，进而得，再根据，，对任意有理数、都成立得，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．
【解析】①，，，
，，
由，得：，
将代入，得：，
解得：，
，
故结论①正确；
②由①可知：，
，
，
，
、均取整数，
，，3，，
由，解得：，则；
由，解得：，则；
由，解得：，则；
由，解得：，则；
综上所述有：或或或，
故结论②正确；
③由①可知：，
，，
当，，时，
，
，
，
又，，对任意有理数、都成立，
，
故结论③正确，
综上所述：正确的结论有①②③，共3个．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号）
①②③④
【答案】④．
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【解析】①含有3个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意；
②未知数的最高次数是2，不是二元一次方程组，故不符合题意；
③分母含未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意；
④是二元一次方程组，故符合题意；．
故答案为：④．
12．（2024秋 滕州市期末）已知是方程的解，则代数式的值为 ．
【答案】9．
【分析】把代入方程得出，变形后代入，即可求出答案．
【解析】把代入方程得：
，
所以．
故答案为：9．
13．（2024秋 太平区期末）若，则的值为 ．
【答案】0．
【分析】根据非负数的性质可得，解出和的值即可解答．
【解析】，
，
解得，
．
故答案为：0．
14．（2024秋 花山区校级期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ．
【答案】或或1．
【分析】由①可得，由、为正整数可得或2或3，进而得出方程组的正整数解，然后代入方程②即可求出的值．
【解析】解方程组可得：，
由、为正整数可知：或或，
把代入得：，则；
把代入得：，则；
把代入得：，则；
综上分析，的值为或或1，
故答案为：或或1．
15．（2024春 娄星区校级期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ．
【答案】．
【分析】把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出与的值，把甲结果代入第二个方程求出的值即可．
【解析】把与代入得：，
①②得，将代入①得，
把代入得：，
解得：，
则，
故答案为：．
16．（2024秋 高碑店市期末）在大长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中空白部分的面积之和为 ．
【答案】171．
【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解析】设小长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
即小长方形的长为16，宽为5，
空白部分的面积和为．
故答案为：171．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 应城市期末）解方程组．
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法进行计算，即可解答；
（2）利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解析】（1），
①得：③，
②③得：，
解得：，
把代入①中得：，
解得：，
原方程组的解为：；
（2），
②①得：，
即④，
③①得：，
即⑤，
⑤④得：，
解得：，
把代入④得：，
解得：，
把，代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：．
18．（2024 北林区校级开学）若关于，的方程组与方程组的解相同，求：
（1）两个方程组的相同解；
（2）的值．
【分析】（1）将两个方程组中不含字母、的两个方程联立，求得方程组的解即可；
（2）将方程组的解代入，求得关于、的二元一次方程组的解，再代入求值即可．
【解析】（1）两方程组化简可得，，
两方程组同解，
，
①②得：，
解得：，
把代入②得：，
两个方程组的相同解为；
（2）把代入方程组可得：
，
①②得：，
解得：，
把代入②得：，
．
19．（2024春 大余县期末）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值．
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法，的值为 ，的值为 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值．
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）利用整体代入的方法求解即可．
【解析】（1）③①，得，
把代入①，得，
解得，
故答案为：5；；
（2）①②，得，
即，
，
，
，
解得．
20．（2024秋 株洲期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
（1）方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由．
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
【分析】（1）由方程组中，即满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“邻好关系”；
（2）利用原方程组变形得：，再根据“邻好关系”的定义，即得出，解出的值即可．
【解析】（1）具有“邻好关系”，
，即满足．
方程组的解，具有“邻好关系”，
（2）方程组，
②①得：，即，
把代入①得，
．
方程组的解，具有“邻好关系”，
，即，
或．
21．（2024秋 雁塔区校级月考）【数学问题】解方程组．
【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
（2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组．
【分析】（1）把①代入②，求出的值，再把的值代入①，求出的值；
（2）先把①代入③，求出的值，再把的值代入②，求出的值，最后把的值代入①，求出的值，即可．
【解析】（1）按照小明的思路，完成解方程组的过程如下：
，
把①代入②，得，
，
把代入①得：，
，
；
（2），
把①代入③得：，
，
把代入②得：，
，
把代入①得：，
，
．
22．（2024秋 梓潼县期末）【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：②①得：③
③得：，
所以的值为3．
【类比迁移】
（1）已知，求的值；
【实际应用】
（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？
【分析】（1）由整体思想求值即可；
（2）设购买1本笔记本需要元，1支签字笔需要元，1支记号笔需要元，根据若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；列出三元一次方程组，由整体思想求出，即可解决问题．
【解析】（1），
①②得：③，
③得：，
的值为18；
（2）设购买1本笔记本需要元，1支签字笔需要元，1支记号笔需要元，
由题意得：，
②①得：③，
③得：，
答：购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元钱．
23．（2024春 新野县期中）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程” 化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程” 的“完美值”；
（2）是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，求的值；
（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程” 与是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意可得，即可求解；
（2）由题意可得，求出即可；
（3）由题意可得，得，，得，再由，即可求的值．
【解析】（1）是“雅系二元一次方程”，
，
解得，
“雅系二元一次方程” 的“完美值”为；
（2）是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，
，
解得；
（3）存在，使得“雅系二元一次方程” 与是常数）的“完美值”相同，理由如下：
由，得，
由，得，
，
解得，
，
“完美值”为．
24．（2024秋 三原县期末）某市《生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现：
①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了；
②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中废纸占；
③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有的废纸；
④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克．
根据上述信息回答下面的问题：
（1）学校现在每天的可回收物和干垃圾各为多少千克？
（2）回收1吨废纸，大约可以少砍17棵大树，“垃圾分类宣传”志愿者小队中的部分成员计划每天放学后开展将干垃圾中的废纸清理出来的活动，已知六、七年级每个学生清理干垃圾的效率分别为3千克分钟、5千克分钟，问如何分配人员参与活动，恰好5分钟将所有干垃圾清理完毕？（两个年级均要有学生参加）
【分析】（1）设学校现在每天的可回收物为千克，干垃圾为千克，根据“可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设六年级有名学生参与活动，七年级有名学生参与活动，根据学校现在每天的干垃圾60千克，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出，的值，再结合六、七两个年级组成的“垃圾分类宣传”志愿者小队只有17名同学，即可确定结论．
【解析】（1）设学校现在每天的可回收物为千克，干垃圾为千克，
根据题意得：，
解得：．
答：学校现在每天的可回收物为100千克，干垃圾为60千克；
（2）设六年级有名学生参与活动，七年级有名学生参与活动，
根据题意得：，
，
又，为正整数，
或或，
又六、七两个年级组成的“垃圾分类宣传”志愿者小队只有17名同学，
不符合题意，舍去．
答：六年级有10名学生参与活动，七年级有6名学生参与活动；或六年级有5名学生参与活动，七年级有9名学生参与活动．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 二元一次方程组单元测试培优卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 怀化期末）下列选项是二元一次方程的是
A． B． C． D．
2．（2024秋 榆林期末）若是关于，的二元一次方程的解，则的值为
A．2 B．1 C． D．
3．（2024秋 贵州期末）解二元一次方程组，用代入消元法消去，得到的方程是
A． B． C． D．
4．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是
A．由①②，可以消去 B．由①②，可以消去
C．由①②，可以消去 D．由①②，可以消去
5．（2024秋 石狮市期末）在代数式中，当分别取，，，1，2，3时，对应代数式的值如表：
1 2 3
3 5 7
则的值为
A．3 B．7 C． D．
6．（2025 池州开学）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为
A．0 B．1 C．2 D．
7．已知是三元一次方程组的解，那么的值为
A． B．6 C．9 D．18
8．（2024秋 府谷县期末）已知关于，的二元一次方程组和关于，的二元一次方程组有相同的解，则的平方根为
A．4 B． C． D．
9．（2024秋 平顶山期末）用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺．这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设这根绳子有尺，环绕大树一周需要尺，根据题意列方程组为
A． B．
C． D．
10．（2024秋 大足区期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，则结论正确的个数为
①，；
②若，、均取整数，则或或或；
③若，，对任意有理数、都成立（这里和均有意义），则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共6小题）
11．下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号）
①②③④
12．（2024秋 滕州市期末）已知是方程的解，则代数式的值为 ．
13．（2024秋 太平区期末）若，则的值为 ．
14．（2024秋 花山区校级期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ．
15．（2024春 娄星区校级期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ．
16．（2024秋 高碑店市期末）在大长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中空白部分的面积之和为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 应城市期末）解方程组．
（1）；
（2）．
18．（2024 北林区校级开学）若关于，的方程组与方程组的解相同，求：
（1）两个方程组的相同解；
（2）的值．
19．（2024春 大余县期末）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值．
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法，的值为 ，的值为 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值．
20．（2024秋 株洲期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
（1）方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由．
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
21．（2024秋 雁塔区校级月考）【数学问题】解方程组．
【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
（2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组．
22．（2024秋 梓潼县期末）【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：②①得：③
③得：，
所以的值为3．
【类比迁移】
（1）已知，求的值；
【实际应用】
（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？
23．（2024春 新野县期中）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程” 化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程” 的“完美值”；
（2）是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，求的值；
（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程” 与是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
24．（2024秋 三原县期末）某市《生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现：
①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了；
②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中废纸占；
③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有的废纸；
④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克．
根据上述信息回答下面的问题：
（1）学校现在每天的可回收物和干垃圾各为多少千克？
（2）回收1吨废纸，大约可以少砍17棵大树，“垃圾分类宣传”志愿者小队中的部分成员计划每天放学后开展将干垃圾中的废纸清理出来的活动，已知六、七年级每个学生清理干垃圾的效率分别为3千克分钟、5千克分钟，问如何分配人员参与活动，恰好5分钟将所有干垃圾清理完毕？（两个年级均要有学生参加）
