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第1章 相交线与平行线 单元测试培优卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 道外区期末）下面所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．
【解析】、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；
、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；
、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；
、图案自身的一部分沿着直线运动而得到，是平移，故此选项符合题意．
故选．
2．（2024春 武汉期中）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是
A．垂线段最短
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点之间，线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】
【分析】根据垂线的性质进行解答即可．
【解析】这一想法体现的数学依据是垂线段最短．
故选．
3．（2024 东昌府区校级开学）如图，三条直线、、相交于一点，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据对顶角相等、平角的定义解答即可．
【解析】，，
，
故选．
4．（2024春 娄底期末）在同一平面内，如果直线与平行，直线与垂直，则这三条直线中所有交点的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个
【答案】
【分析】根据平行线的性质推出直线与的位置关系即可．
【解析】，
，
，
，
即，
这三条直线中所有交点的个数为2个．
故选．
5．（2024秋 新安县期末）如图，下列结论中错误的是
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是内错角 D．与是同位角
【答案】
【分析】直接利用同旁内角以及内错角、同位角的定义分别判断得出答案．
【解析】、与是同旁内角，正确，不合题意；
、与是内错角，正确，不合题意；
、与不是内错角，故错误，符合题意；
、与是同位角，正确，不合题意；
故选．
6．（2024春 永定区期末）下列说法中正确的是
A．若，，则
B．在同一平面内，不相交的两条线段必平行
C．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等
D．两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行
【答案】
【分析】分别对每个选项给出的结论进行分析，即可解题．
【解析】（1），，，故选项错误；
（2）两条不相交的直线必平行，但是线段的长是有限的，故不相交的两条线段不一定平行，故选项错误；
（3）只有两条平行的直线被第三条直线所截，所得的同位角才相等，故选项错误；
（4）如图：
，．
平分，平分，
，，
，．故选项正确；
故选．
7．（2024秋 沛县期末）如图，下列条件不能判定的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解析】、，，故本选项正确；
、，，故本选项错误；
、，，故本选项错误；
、，，故本选项错误．
故选．
8．（2024秋 博山区期末）如图所示，某商场重新装修后准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，且知主楼梯道的宽为，其侧面如图所示，则买地毯至少需要 元．
A．1881.6 B．768 C．1008 D．672
【答案】
【分析】根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解．
【解析】地毯的长度为：（米；
总价：（元．
故选．
9．（2024秋 横山区期末）如图，直线，点、在上，点在上，连接、，，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，根据角的和差计算得到，，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求解．
【解析】，，
，
，，
，即，
解得，
，
，
，
，
，
故选．
10．（2024秋 射洪市期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④．
【解析】由题意可知，，
，
，所以结论①正确；
，
，所以结论②正确；
如果，则，故，所以结论③正确；
如果，则，故，所以结论④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个，所以只有选项正确，符合题意，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 嵊州市期末）如图，，垂足为点，，垂足为点，则点到的距离是线段 的长度．
【答案】．
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度，可得答案．
【解析】，垂足为点，，垂足为点，则点到的距离是线段的长度，
故答案为：．
12．（2024春 同安区期中）如图，，垂足为，为过点的一条直线，若，则 ．
【答案】．
【分析】根据对顶角相等求出，再根据垂直的定义求出，然后根据代入数据计算即可得解．
【解析】如图，
，
，
，
，
．
故答案为：．
13．已知，，三点及直线，过点作，过点作，那么，，三点一定在同一条直线上，依据是 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ．
【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得、、三点在同一条直线上．
【解析】、、三点在同一条直线上，
，，
、、三点在同一条直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）．
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
14．（2024秋 化州市期末）如图，，，，那么 54 ．
【答案】54．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解析】，，
，
，
，
故答案为：54．
15．（2024 济南一模）如图，将长为6，宽为4的长方形先向右平移2，再向下平移1，得到长方形，则阴影部分的面积为 12 ．
【答案】12.
【分析】利用平移的性质求出阴影部分矩形的长与宽，即可解决问题．
【解析】由题意可得，阴影部分是矩形，长，宽，
阴影部分的面积，
故答案为：12．
16．（2024秋 宿城区校级期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ①②④ ．
【答案】①②④．
【分析】根据平行线的判定和性质进行解答，即可．
【解析】△，△是直角三角形，
，
，
，
，
①正确；
，，
，
，
；
②正确；
过点作，
，
，
，，
，
，
，
，
；
③错误；
，，
；
，
；
④正确；
综上所述，正确的为：①②④；
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 项城市期末）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：．
【分析】要证，只需证，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得，故本题得证．
【解析】证明：，（已知）
．（垂直定义）
又，（已知）
．
．（对顶角相等）
又，（已知）
．
（同位角相等，两直线平行）．
18．（2024春 和平区校级月考）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上，借助网格按下列要求进行作图：
（1）请你画出的平行线；
（2）平移三角形，使三角形的顶点与点重合，点与点对应，点与点对应．
【分析】（1）取格点，作直线即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可．
【解析】（1）如图，直线即为所求；
（2）如图，△即为所求；
19．（2024秋 腾冲市期末）如图，直线，相交于点，把分成两部分．
（1）图中的对顶角为 ，的邻补角为 ；
（2）若，且，求的度数．
【分析】（1）根据对顶角的定义，邻补角的定义求解即可．
（2）由对顶角的定义得出，再结合已知条件可得出，最后根据邻补角的定义求解即可．
【解析】（1）图中的对顶角为，的邻补角为；
故答案为：，；
（2）由条件可知，
且，
．
．
20．（2024秋 衡阳期末）请将下列证明过程补充完整：
已知： 如图，平分，平分，且
求证：．
证明：平分（已 知） ，
角平分线的定义 ．
平分（已 知） ，
（角 的平分线的定义） ．
．
即．
（已 知） ，
．
．
【分析】先根据角平分线的定义， 得到，再根据，即可得到，进而判定．
【解析】证明：平分（已 知） ，
（角 平分线的定义） ．
平分（已 知） ，
（角 的平分线的定义） ．
（等 式性质） ．
即．
（已 知） ，
（等 量代换） ．
（同 旁内角互补， 两直线平行） ．
故答案为： 角平分线的定义，，等式性质，，等量代换， 同旁内角互补， 两直线平行 ．
21．（2023春 贵州期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出与是同旁内角的有哪些角？请指出与是内错角的有哪些角？
（2）若，测得，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向下折弯了多少度？请说明理由．
【分析】（1）根据同旁内角、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；处于两条直线之间，处于第三条直线两侧的两个角叫内错角）逐个判断即可．
（2）根据平行线的性质解答即可．
【解析】（1）与是同旁内角的有，；
与是内错角的有；
（2），
，
，
，
水下部分向下折弯了．
22．（2014春 汉阳区期中）如图，，，平分，，，
（1）求的度数．
（2）求的度数．
（3）当为多少度时，？并说明此时与的位置关系．
【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出答案；
（2）利用已知得出，进而得出答案；
（3）利用，利用平行线的性质得出，即可得出答案．
【解析】（1）平分，
设，
，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
；
（3）当时，
，，
又，
，
，
，
．
23．（2024秋 余江区期末）如图，直线，直线，分别与直线交于，两点．点在直线上且在点右侧，．点在直线上，交直线于点，平分交直线于点．设．
（1）如图1，当点在点右侧时，若，
①求的度数；
②求证；
（2）当点在直线上运动时，设，直接写出与的数量关系．
【分析】（1）①先求，再求，即可求出结论：②先求，证明即可证明结论；
（2）分三种情况：当点在点 右侧时；当点在点左侧、在点右侧时；当点在点左侧时分别根据平行线的性质求出结论即可．
【解析】（1）①解：，
，
，
，
，
；
②证明：平分，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：当点在点右侧时，，，
，
，
，，
，，
平分，
，即；
如图2：当点在点左侧、在点右侧时，，，
，
，
，，
，，
，
平分，
，即；
如图3：当点在点左侧时，，，
，
，
，
，，
，，
，
平分，
，即．
24．（2024秋 绥化期末）综合与探究
【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题：
如图①，，，，求的度数．小明的解题思路：过点作，通过平行线的性质来求的度数．
【问题解决】（1）按小明的思路，
【问题迁移】（2）如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由．
【问题应用】（3）在（2）的条件下，，点在直线上运动，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系．
【分析】（1）因为，，，所以当，时，可求；
（2）如图所示过点作，利用平行线的定理和推论可知，即可得结论；
（3）分两种情况：点在射线上，点在射线上，方法同（2）可分别得结论．
【解析】（1）过点作，
，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2），
理由：过点作，如图：
，，
，
，，
；
（3）①点在射线上时，如图，
作，
，
，
，
，
，，，
；
②点在射线上，如图，
作，
，
，
，
，
，，，
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第1章 相交线与平行线单元测试培优卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 道外区期末）下面所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的是
A． B． C． D．
2．（2024春 武汉期中）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是
A．垂线段最短
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点之间，线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
3．（2024 东昌府区校级开学）如图，三条直线、、相交于一点，则
A． B． C． D．
4．（2024春 娄底期末）在同一平面内，如果直线与平行，直线与垂直，则这三条直线中所有交点的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个
5．（2024秋 新安县期末）如图，下列结论中错误的是
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是内错角 D．与是同位角
6．（2024春 永定区期末）下列说法中正确的是
A．若，，则
B．在同一平面内，不相交的两条线段必平行
C．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等
D．两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行
7．（2024秋 沛县期末）如图，下列条件不能判定的是
A． B． C． D．
8．（2024秋 博山区期末）如图所示，某商场重新装修后准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，且知主楼梯道的宽为，其侧面如图所示，则买地毯至少需要 元．
A．1881.6 B．768 C．1008 D．672
9．（2024秋 横山区期末）如图，直线，点、在上，点在上，连接、，，若，则的度数为
A． B． C． D．
10．（2024秋 射洪市期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 嵊州市期末）如图，，垂足为点，，垂足为点，则点到的距离是线段 的长度．
12．（2024春 同安区期中）如图，，垂足为，为过点的一条直线，若，则 ．
13．已知，，三点及直线，过点作，过点作，那么，，三点一定在同一条直线上，依据是 ．
14．（2024秋 化州市期末）如图，，，，那么 ．
15．（2024 济南一模）如图，将长为6，宽为4的长方形先向右平移2，再向下平移1，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
16．（2024秋 宿城区校级期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 项城市期末）已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：．
18．（2024春 和平区校级月考）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上，借助网格按下列要求进行作图：
（1）请你画出的平行线；
（2）平移三角形，使三角形的顶点与点重合，点与点对应，点与点对应．
19．（2024秋 腾冲市期末）如图，直线，相交于点，把分成两部分．
（1）图中的对顶角为 ，的邻补角为 ；
（2）若，且，求的度数．
20．（2024秋 衡阳期末）请将下列证明过程补充完整：
已知： 如图，平分，平分，且
求证：．
证明：平分（已 知） ，
．
平分（已 知） ，
（角 的平分线的定义） ．
．
即．
（已 知） ，
．
．
21．（2023春 贵州期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出与是同旁内角的有哪些角？请指出与是内错角的有哪些角？
（2）若，测得，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向下折弯了多少度？请说明理由．
22．（2014春 汉阳区期中）如图，，，平分，，，
（1）求的度数．
（2）求的度数．
（3）当为多少度时，？并说明此时与的位置关系．
23．（2024秋 余江区期末）如图，直线，直线，分别与直线交于，两点．点在直线上且在点右侧，．点在直线上，交直线于点，平分交直线于点．设．
（1）如图1，当点在点右侧时，若，
①求的度数；
②求证；
（2）当点在直线上运动时，设，直接写出与的数量关系．
24．（2024秋 绥化期末）综合与探究
【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题：
如图①，，，，求的度数．小明的解题思路：过点作，通过平行线的性质来求的度数．
【问题解决】（1）按小明的思路，
【问题迁移】（2）如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由．
【问题应用】（3）在（2）的条件下，，点在直线上运动，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系．
