3.5整式的化简培优练习（含答案）

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3.5整式的化简培优练习浙教版2024—2025学年七年级下册
一、选择题
1．下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣a＝2a B．（a+b）2＝a2+b2
C．a3b2÷a2＝a D．（a2b）2＝a4b2
2．已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
3．已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝（　　）
A．4 B．10 C．16 D．20
4．若代数式x（5kx﹣3xy）﹣（k﹣3）（3x2y﹣4x2）的值与y无关，则常数k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
5．如果a2﹣3a﹣7＝0，那么代数式（a﹣1）2+a（a﹣4）﹣2的值为（　　）
A．﹣15 B．﹣8 C．6 D．13
二、填空题
6．若a2+2b2＝4，则3a（a+b）﹣（a﹣b）（a+4b）的值为 　 　．
7．小亮在计算（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n）的值时，把n的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的n的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把n＝2024代入，结果还是25．则m的值为 　 　．
8．定义一种新运算：ad﹣bc．如：2×5﹣3×4＝﹣2．若的值与x的取值无关，则的值为 　 　．
9．如图，把一个周长为48cm的长方形分割为五个四边形，其中A是正方形，B，C，D，E都是长方形，这五个四边形的周长分别用lA，lB，lC，lD，lE表示，则lB+lD＝ 　 　cm．
10．为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某校在校园开辟了劳动实践基地．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若m+n＝8，mn＝15，则S1﹣S2＝ 　 　．
三、解答题
11．计算：
（1）（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5）；
（2）（x4）3÷（﹣x2）2+（﹣x2）3 x2．
12．先化简，再求值：
（1）（2a﹣3）2+2a（2a﹣3），其中；
（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2，其中a＝1．
13．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：
图1表示：　 　；
图2表示：　 　；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（3）请直接写出下列问题答案：
①若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝ 　 　；
②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝ 　 　．
14．【阅读材料】若x满足（8﹣x）（x﹣3）＝4，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值．
解：设8﹣x＝a，x﹣3＝b．则（8﹣x）（x﹣3）＝ab＝4，a+b＝8﹣x+（x﹣3）＝5．
∴（8﹣x）2+（x﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若x满足（4﹣x）（x﹣2）＝1，则（4﹣x）2+（x﹣2）2的值为 　 　．
（2）若（n﹣2022）2+（2025﹣n）2＝4，求（n﹣2022）（2025﹣n）的值．
【拓展应用】
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH．求阴影部分的面积．
15．图1是一种长为a，宽为b的长方形，对角线长为c．将这样四个形状和大小完全相同的长方形拼成如图2所示的大正方形，设中间阴影部分的面积为S1．
（1）请用含a、b的代数式表示S1；
（2）如图2，若正方形面积ABCD面积为34，S1＝19，求图1中长方形的周长；
（3）将9个图1这样的长方形按图3形式摆放，形成一个大长方形，设图3中阴影部分的面积为S2.若S2＝150，S1＝22，求图1中长方形的面积．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 D B B A D
二、填空题
6．【解答】解：3a（a+b）﹣（a﹣b）（a+4b）
＝3a2+3ab﹣（a2+4ab﹣ab﹣4b2）
＝3a2+3ab﹣a2﹣4ab+ab+4b2
＝2a2+4b2，
∵a2+2b2＝4，
∴2a2+4b2＝8，
则原式＝8，
故答案为：8．
7．【解答】解：（5m+2n）（5m﹣2n）+（3m+2n）2﹣3m（11m+4n）
＝25m2﹣4n2+9m2+12mn+4n2﹣（33m2+12mn）
＝25m2﹣4n2+9m2+12mn+4n2﹣33m2﹣12mn
＝m2，
由题意得：m2＝25，
∴m＝±5，
故答案为：±5．
8．【解答】解：由题意可得，
＝（﹣x+1）×2﹣k（3﹣x）
＝﹣2x+2﹣3k+kx
＝（﹣2+k）x+2﹣3k，
∵的值与x的取值无关，
∴﹣2+k＝0，
解k＝2，
∴
＝2﹣3k
＝2﹣3×2
＝2﹣6
＝﹣4，
故答案为：﹣4．
9．【解答】解：设最大长方形的长为x，宽为y，
∵最大长方形的周长等于48cm，
∴2（x+y）＝48，
设正方形A的边长为a，长方形B的长为b，宽为c，
∴长方形C的长为x﹣c，宽为b﹣a，长方形E的长a+c，宽为y﹣b，
∴长方形D的长为a+y﹣b，宽为x﹣c﹣a，
∴lB+lD＝2（b+c）+2（a+y﹣b+x﹣c﹣a）
＝2b+2c+2（y+x﹣b﹣c）
＝2b+2c+2（y+x）﹣2b﹣2c
＝2（y+x）
＝48（cm），
故答案为：48．
10．【解答】解：∵m+n＝8，mn＝15，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn
＝82﹣4×15
＝64﹣60
＝4，
∵m＞n，
∴m﹣n＝2，
∴S1﹣S2＝m2﹣SB﹣（n2﹣SB）
＝m2﹣SB﹣n2+SB
＝m2﹣n2
＝（m+n）（m﹣n）
＝8×2
＝16，
故答案为：16．
三、解答题
11．【解答】解：（1）（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5）
＝y2+2y+1﹣（y2+4y﹣5）
＝y2+2y+1﹣y2﹣4y+5
＝﹣2y+6；
（2）原式＝x12÷x4﹣x6 x2＝x8﹣x8＝0．
12．【解答】解：（1）（2a﹣3）2+2a（2a﹣3）
＝4a2﹣12a+9+4a2﹣6a
＝8a2﹣18a+9，
当时，原式＝8×（）2﹣189＝2；
（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2
＝a2﹣4﹣a2+2a﹣1
＝2a﹣5，
当a＝1时，原式＝2×1﹣5＝﹣3．
13．【解答】解：（1）图1中大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积可得
表示为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
图2中大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积可得；
表示为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）由条件可知x2+2xy+y2＝64，
∵x2+y2＝40，
∴2xy＝24，
∴xy＝12；
（3）①由图2知，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
则（2m+3n）2＝（2m﹣3n）2+4×2m×3n＝52，
∴（2m﹣3n）2+24mn＝25，
∵mn＝1，
∴（2m﹣3n）2+24＝25，
∴（2m﹣3n）2＝1，
∴2m﹣3n＝±1；
②设A＝4﹣m，B＝5﹣m，
∵（4﹣m）（5﹣m）＝6，
∴AB＝6，A﹣B＝﹣1，
∴A2+B2＝（A﹣B）2+2AB＝1+12＝13；
故答案为：±1，13．
14．【解答】解：（1）设4﹣x＝a，x﹣2＝b，
∴a+b＝4﹣x+x﹣2＝2，
∵（4﹣x）（x﹣2）＝1，
∴ab＝1，
∴（4﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝22﹣2×1
＝4﹣2
＝2，
故答案为：2；
（2）设n﹣2022＝a，2025﹣n＝b，
∴a+b＝n﹣2022+2025﹣n＝3，
∵（n﹣2022）2+（2025﹣n）2＝4，
∴a2+b2＝4，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
＝9﹣4
＝5，
∴ab＝2.5，
∴（n﹣2022）（2025﹣n）的值为2.5；
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，
∴DE＝MF＝x﹣1，ME＝DF＝x﹣3，
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，
∴a﹣b＝x﹣1﹣（x﹣3）＝2，
∵长方形EMFD的面积是24，
∴EM MF＝24，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝24，
∴ab＝24，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
＝4+4×24
＝4+96
＝100，
∵a+b＞0，
∴a+b＝10，
∴阴影部分的面积＝正方形MFRN的面积﹣正方形GFDH的面积
＝MF2﹣DF2
＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝10×2
＝20．
15．【解答】解：（1）
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2；
（2）因为SABCD＝34，S1＝19，
所以，
即19+2ab＝34，
得；
因为，
所以，
得（a+b）2＝49，
因为a＞0，b＞0，
所以a+b＝7，
所以图1中长方形的周长为（a+b）×2＝7×2＝14，
答：图1中长方形的周长为14．
（3）S2＝（a+b）（3a+3b）﹣9ab
＝3a2+3ab+3ab+3b2﹣9ab
＝3a2﹣3ab+3b2
＝3（a2﹣ab+b2）；
因为S2＝150，S1＝22，
所以3（a2﹣ab+b2）＝150，a2﹣2ab+b2＝22，
即a2﹣ab+b2＝50①，a2﹣2ab+b2＝22②，
①﹣②得：ab＝28．
答：图1中长方形的面积是28．
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